二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
二项分布还是超几何分布
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．
8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．
解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率
均为
5
1，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫
⎪⎝⎭，．
3
3
1464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴； 1
2
131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
2
1
23
1412(2)55125
P X C ⎛⎫⎛⎫
==⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
30
33141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 因此，X 的分布列为
（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：
03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15
C C P Y C ===；21
283101
(2)15C C P Y C ===．
因此，Y 的分布列为
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本
称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此
得到样本的频率分布直方图，如图4
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量, （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克
的产品数量，求Y 的分布列；
（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505
克的概率。
17.:(1)505⨯⨯⨯⨯解重量超过克的产品数量是:
40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:
2
2353
(3)10
373087*********
3087
.10000
设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则Y
B(5,),
从而P(Y=2)=C (
)()=.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为
超几何分布与二项分布特点
(A)判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:
一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个
Y 0
1
2
P
228
240
C C 112812
2
40
C C C ⋅ 212
240
C C
A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N M
n
N
C C P X k C --== （0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.
:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概 率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生 的概率都是同一常数
p ,事件A 发生的概率为1p -.
2个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例1与例2中的EX=EY=
二项分布、超几何分布、正态分布练习题
一、选择题
1．设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( )
2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝5
9，则P (η≥1) ＝( )
3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球 出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )
A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810·⎝ ⎛⎭⎪⎫582
B ．
C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589·⎝ ⎛⎭⎪⎫382
D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389
·⎝ ⎛⎭⎪⎫582
4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则 事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )
A ．[,1)
B ．(0,]
C ．(0,]
D ．[,1) 5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2
)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ＜0)＝( ) A ． B ．0.32 C ． D ． 二、填空题
6．某篮运动员在三分线投球的命中率是1
2，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．
7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为______． 8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N (4,．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 三、解答题
9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核 辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率 为
16，第二轮检测不合格的概率为1
10
，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损
80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布 列，并求出均值E (X ).
10、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机
抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），
再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）
岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活
动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁” 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
频率
组距
20 25 30 35 40 45 年
11、2015年南京青奥组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编
成如右所示的茎叶图（单位:cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,
再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.
二项分布、超几何分布、正态分布参考答案
分组
（单位：岁）
频数频率
[)
20,255050
.0
[)
25,30①200
.0
[)
30,3535②
[)
35,4030300
.0
[]
40,4510100
.0
合计10000
.1
1、解析：P (ξ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 答案：A
2、解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2
＝59， ∴p ＝13
，
∴P (η≥1) ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133
＝1927
，故选D.
3、解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 9
11·⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38
.
答案：B
4、解析：C14p (1－p )3
≤C24p 2
(1－p )2
，即2(1－p )≤3p ，∴p ≥.又∵p <1，∴≤p <1 5、解析：∵P (ξ≤4)＝，μ＝2，∴P (ξ＜0)＝P (ξ＞4)＝1－＝.故选A. 6、解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫127
＝15128
.
7、解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 2
2C 25＝；P (X ＝1)＝C 13C 1
2C 25＝; P (X ＝2)＝C 23C 0
2
C 25
＝，
分布列如下表：
8、解析：根据3σ原则，在4－3×＝~4＋3×＝之外为异常，所以这批零件不合格． 9、（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则1
11()1(1)(1)6104
P A =--⨯-
=. 所以，该产品不能销售的概率为
1
4
. （Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160---.
411(320)()4256P X =-==
， 1
34133(200)()4464P X C =-=⋅⋅=， 22241327(80)()()44128P X C =-=⋅⋅=，3341327(40)()4464P X C ==⋅⋅=， 4381
(160)()4256
P X ===
. 所以X
……………………………………11分 E (X )
1127278132020080401602566412864256
=-⨯
-⨯-⨯+⨯+⨯40=， 故均值E (X ) = 40.……12分
组距
20 25 30 35 40 45 年
10、（Ⅰ）①处填20，②处填35.0；
补全频率分布直方图如图所示.
500名志愿者中年龄在[)35,30
的人数为 0.35500175⨯=人． （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人,
则其中“年龄低于30岁”的有5人， “年龄不低于30岁”的有15人． 故X 的可能取值为0，1，2；
21522021
(0)38
C P X C ===，
1115522015(1)38C C P X C ===， 252202
(2)38
C P X C ===，……11分
所以X 的分布列为：
X
0 1 2 P
2138 1538 238 ∴ 0123838382
EX =⨯+⨯+⨯=．
11、（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人……1分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
6
1
305=………2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36
1
18=⨯人．……3分
用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，
则()P A =-125
2
3C C 107
1031=-=．……5分
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
10
7
．…6分 （Ⅱ）依题意，ξ的取值为0,1,2,3．………………7分
5514C C )0(31238===ξP ， 55
28C C C )1(3
1228
14===ξP ，
5512C C C )2(3121824===ξP ， 55
1C C )3(3
1234
===ξP ……9分 因此，ξ的分布列如下：
……10分
155
13551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξ∴E ．…………12分
10.8 二项分布、超几何分布与正态分布
§10.8 二项分布、超几何分布与正态分布 【一】独学：主干知识 知识梳理 一、二项分布 1．伯努利试验 只包含 试验叫作伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为 。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为 其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的 ，记作X ～B (n ，p )． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝ ，D (X )＝ (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝ D (X )＝ 二、超几何分布 1．定义：一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝ ，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min{n ，M }， 则称X 服从 ．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n － r N －M C n N 记为H (r ；n ，M ，N )． 2．E (X )＝ 三、正态分布 1．正态密度曲线 函数 x ∈R ，其中实数μ(μ∈R )和σ(σ>0)为参数，该函数的图象称为 ． 2．正态密度曲线的特征： (1)当x <μ时，曲线 ；当x >μ时，曲线 ．当曲线向左右两边无限延伸时，以 为渐近线． (2)曲线关于直线 对称． (3)σ越大，曲线越 ；σ越小，曲线越 ． (4)在曲线 和 范围内的区域面积为1. 3．正态分布 若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a 二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均 为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ?? ???，． 3 03 1464(0)55125P X C ???? ==?= ? ????? ∴； 12 13 1448(1)55125 P X C ???? ==?= ? ?????； 21 231412(2)55125P X C ???? ==?= ? ?????； 3 33 141(3)55125 P X C ???? ==?= ? ?????． 因此，X 的分布列为 2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有： 03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101 (2)15 C C P Y C ===． 因此，Y 的分布列为 辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 超几何分布和二项分布都是离散型分布 专题05二项分布、超几何分布与正态分布 一、单选题 1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设X 表示向上一面出现6点的次数，则X 的数学期望()E X 的值为（ ） A ． 1 3 B ． 49 C ． 59 D ． 23 【答案】D 【详解】 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为 16 ()112(4,)4663 X B E X ∴=⨯= 故选：D 2．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是 2 3 ，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（ ） A ． 43 B ． 119 C ．1 D ． 89 【答案】A 【详解】 由题意可知：2 ~(2,)3 X B ， 因此面试结束后通过的人数X 的数学期望是242=33 ⨯. 故选：A 3．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ，且()6E X =，则()D X =（ ） A ．1.8 B ．6 C ．2.1 D ．4.2 【答案】D 【详解】 因为X 服从二项分布~(20,)X B p ，所以()206==E X p ，得0.3p =，故 ()(1)200.30.7 4.2=-=⨯⨯=D X np p ． 故选：D. 4．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()54 E X = ， ()15 16=D X ，则p =（ ） A ． 1 4 B ． 13 C ． 34 D ． 45 【答案】A 【详解】 由题意54 15(1)16np np p ⎧ =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 故选：A ． 5．（2020·全国高二课时练习）已知圆22 28130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离 为14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则使()P X k =的值为（ ） A ． 23 B ． 35 C ． 13 D ． 2764 【答案】D 【详解】 由题意，知圆心坐标为()1,4， 圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为 =1 7k =-或1k =． 因为k Z ∈，所以1k =． 因为14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以()1 41 141127114464 P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ． 故选：D ． 6．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建 北京四中 【过关练习】 1、一个班级有30名学生，其中有10名女生，现在从中任选3名学生当班委，令变量x表示3名班委中女生的人数，令变量y表示3名班委中男生的人数，试求x与y的概率分布。 2、设20件商品中有15件一等品，其余为二等品，现从中随机选购2件，用x表示所购2件中的二等品件数，写出x的概率分布。 3、甲、乙、丙3人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率为0.25，假定随机变量x表示译出此密码的人数： (1)写出x的分布列；(2)密码被译出的概率。 4、对患某种病的人，假定施行手术的生存率是70%，现有8个这种病人施行该种手术，设x为8个病人中生存下来的人数： (1)求p(x＝7)；(2)写出x的概率分布。 5、某种灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000h后，至多只坏一个的概率。 6、假定随机变量z～N(0,1)，查表求： (1)P(z≤2.75)；(2)P(z＜0.5)；(3)P(z ＞－1.5)；(4)P(2＜z＜2.9)；(5)P(－2＜z＜2.9)。 7、设～N(0，1)，查表求： (1)P(0＜＜1.9)；(2)P(－1.83＜＜0)；(3)P(||＜1)。 8、设随机变量x只能取5，6，7，……，16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求： (1)P(x＞8)；(2)P(6＜x≤14)；(3)P(x≥10)。 9、设15件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以x表示取出的3件中的不合格品件数，试求x的概率分布。 10、随机变量x的分布列为P(x＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，试求： (1)P(x＜3)；(2)P；(3)P(2≤x≤4)。 11、一制药厂组织两组技术人员分别独立地试制不同类型的新药，设每组试制成功的概率都是0.40。当第一组成功时，该组研制的新药的年销售额为400万元，若失败则没有收入；当第二组成功时，该组研制的新药的年销售额为600万元，若失败则没有收入，以x表示这两种新药的年销售总额，求x的概率分布。 12、批量较大的一批产品有30%的一级品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求： (1)取出的5个样品中恰有2个一级品的概率； 超几何分布和二项分布 一、两者的定义是不同的 1超几何分布的定义 2独立重复试验与二项分布的定义 (1)独立重复试验． (2)二项分布． 本质区别 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题. (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题. 二、两者之间是有联系的 人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题： 例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问： （1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？ 【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系： 第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布 第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加. 从以上分析可以看出两者之间的联系： 当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布. 例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列. 二项分布与超几何分布专题训练 一、知识梳理 知识点一 n 重伯努利试验及其特征 1．n 重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验． 2．n 重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n 次． (2)各次试验的结果相互独立． 知识点二 二项分布 一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0 新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 考点知识总结55 二项分布与超几何分布、正态分布 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题， 分值为5分、12分，中等难度 考纲 研读 1.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用 3．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的 意义 4．能解决一些简单的实际问题 一、基础小题 1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．6 C.8 D ．10 答案 A 解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.故选A. 2．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 6，12，则P (X ＝3)＝( ) A.516 B ．316 C.58 D ．3 8 答案 A 解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得，P (X ＝3)＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－123＝516. 3．15个村庄中有7个交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村 庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015 的是( ) A ．P (X ＝2) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝4) D ．P (X ≤4) 答案 C 解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015 ，k ＝4. 4．一试验田某种作物一株生长果实个数x 服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为( ) A ．3 B ．2.1 C.0.3 D ．0.21 答案 B 解析 ∵x ～N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，∴P (x >110)＝0.2，∴P (90≤x ≤110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X ～B (10,0.3)，则X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.故选B. 5．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.25 B ．35 C.18125 D ．54125 答案 D 解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽 高中数学正态分布知识总结 高中数学关于正态分布知识总结 高中数学关于正态分布知识总结就在下面，正态分布为高中数学的内容之一，下面就来看看相关的知识点吧！ 高中数学正态分布知识总结 1 如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。 当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。叫标准正态曲线。 x∈R的有关性质： （1）曲线在x轴上方，与x轴永不相交； （2）曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x 轴； （3）曲线在x=μ处达到最高点； （4）当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。 高中数学正态分布知识总结 2 二项分布： 一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B（n，p）。 独立重复试验： （1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。 （2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为n 此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率。 （3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。 （4）独立重复试验概率公式的特点： 是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率。其中，n 是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式。 二项分布的判断与应用： （1）二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布。 （2）当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列。 求独立重复试验的概率： （1）在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n是第i次试验的结果。 （2）独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的'用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k 的意义。 求二项分布： 二项分布是概率分布的一种，与独立重复试验密切相关，解题时要注意结合二项式定理与组合数等性质。 高中数学正态分布知识总结 3 超几何分布： 一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品，从中任取n （n≤N）件产品，用X表示取出的n件产品的件数，那么（其中k 为非负整数），如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从 备战高考数学复习考点知识与题型讲解 第81讲二项分布与正态分布 考向预测核心素养二项分布与正态分布是高考的热点，三种题型均有可 数据分析、数学建模 能出现，中高难度. 一、知识梳理 1．伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0 (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ②曲线在x ＝μ处达到峰值 1 σ2π ； ③当|x |无限增大时，曲线无限接近x 轴． (3)正态分布的均值与方差 若X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝μ，D (X )＝σ2． 二、教材衍化 1．(人A 选择性必修第三册P 77练习T 2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( ) A ．0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45 解析：选A.设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X ，则X ～B (5，0.9)， 所以P (X ＝4)＝C 45×0.94 ×0.1≈0.33. 2．(人A 选择性必修第三册P 87习题7.5T 1改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X ～N (80，25)，如果规定大于85分为A 等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A 等的概率是________． 解析：P (X >85)＝12[1－P (75≤X ≤85)]＝1－0.682 72＝0.158 65. 答案：0.158 65 3．(人A 选择性必修第三册P 71习题7.3T 4改编)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为2 3，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y ，则Y 的数学期望为 ________． 解析：由题意知Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～B ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫3，23，则E (Y )＝3×23＝2. 答案：2 4．(人A 选择性必修第三册P 87练习T 2改编)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X >2c －1)＝P (X 专题17 二项分布、超几何分布与正态分布 一、考情分析 二、经验分享 知识点1 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ). (2)二项分布 在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝ k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率. 知识点2 正态分布 (1)正态分布的定义 如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分 布，记为X ～N (μ，σ2 ).其中φμ，σ(x )＝12πσ e (x －μ)2 2σ2 (σ>0). (2)正态曲线的性质 ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值 1 σ2π ； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ 课时规范练54二项分布、超几何分布、正态分布 基础巩固组 1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是() A.2 5B.3 5 C.18 125 D.54 125 2.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X≤2)=() A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 3.(2021河南驻马店模拟)已知X~B(20，p)，且EX=6，则DX=() A.1.8 B.6 C.2.1 D.4.2 4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)=() A.1 5B.2 5 C.3 5 D.4 5 5.(2021重庆三模)已知随机变量X服从正态分布N(6，σ2)(σ>0)，若P(X>3)=0.8，则P(3 高中数学超几何分布知识点总结 第一篇：高中数学超几何分布知识点总结 高中数学超几何分布知识点总结: 超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件N产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=？，此时我们称随机变量X服从超几何分布。 高中数学二项分布知识点总结: 二项分布：就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 高中数学离散型随机变量的方差知识点总结: 离散型随机变量的方差：刻画随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。 高中数学正态分布知识点总结: 正态分布：是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2)。 高中数学平均数，方差，标准差知识点总结:平均数，方差，标准差：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。 高中数学数学期望知识点总结: 数学期望：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(=xi)之积的和称为的数学期望。 第二篇：高中数学知识点总结 高中数学难度更大，难度在于它的深度和广度，但如果能理清思路，抓住重点，多实践，变渣滓为暴君并非不可能。高中数学知识点总结有哪些你知道吗?一起来看看高中数学知识点总结，欢迎查阅! 高中数学知识点汇总 1.必修课程由5个模块组成： 必修1：集合，函数概念与基本初等函数(指数函数，幂函数，对数函数) 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 第29讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布 一．选择题（共18小题） 1．（2020秋•工农区校级期末）已知随机变量X 的分布列为( ) 若()(01)3 D X p = <<，则p 的值为( ) A ． 23 B ． 14 C ．13 D ． 12 【解析】解：由随机变量X 的分布列，知：()1E X p =-， 22()(1)(1)3 p D X p p p p ∴=-⨯+⨯-= ， 解得23 p = ． 故选：A ． 2．（2020秋•新余期末）已知X 分布列如图，设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是( ) A ．6 - B ． 23 C ．1 D ． 2936 【解析】解：由已知得 11 126 a ++= 13 a ∴= ， 111 ()236E X ∴=-+=-， ()2()1E Y E X =+， 2()3 E Y ∴= ． 故选：B ． 3．（2020春•淮安月考）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为如表，则(q = ) A ． 12 B ． 12 C ． 2 D ．13 【解析】解：根据题意可得1 2114 q q +-+=，解得712q =， 故选：B ． 4．（2020春•福建月考）已知X 服从二项分布：1 ~(4,)4 X B ，则(3)(P X == ) A ． 164 B ． 364 C ． 1256 D ． 3256 【解析】解：因为X 服从二项分布：1~(4,)4X B ，则33 4113(3)()(1)4464P X C ==-=， 故选：B ． 5．（2020春•河南月考）若随机变量X 的分布列如表： A ．2m B ．01m < C ．02m < D ．12m << 【解析】解：由题意可得(2)0.1P X <-=， (0)0.3P X <=， (1)0.5P X <=， 则(0m ∈，1]． 专题36 二项分布、超几何分布与正态分布问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样 本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【知识总结】 1．二项分布 一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0 第六节二项分布、超几何分布与正态分布 一、教材概念·结论·性质重现 1．n重伯努利试验与二项分布 (1)n重伯努利试验 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)二项分布 设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)． 在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 二项分布与两点分布的联系 由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布． 2．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产 品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－k N－M C n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r， 其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布． 超几何分布的特征 (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布． 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 3．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)＝ 1 σ2π e－ (x－μ)2 2σ2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正 态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ③曲线在x＝μ处达到峰值 1σ2π . ④曲线与x轴围成的面积为1. ⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x 轴平移，如图(1)所示． ⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示． (3)正态分布的定义及表示 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝ 1 σ2π e－ (x－μ)2 2σ2，x∈R，则称随机变量 X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值． ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 超几何分布、二项分布、正态分布 【学习目标】 1、通过实例，理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布列及其导出过程，并能进行简单的应用。 2、理解n次独立重复试验(即n重伯努利试验)及其意义，理解二项分布并能解决一些简单的实际问题。 3、借助直观图，了解是正态分布曲线与正态分布，认识正态分布曲线的特点及曲线表示的意义。 4、会查标准正态分布表，会求满足正态分布的随机变量x在某一范围内的概率。 【重点与难点】 重点：正确理解超几何分布、二项分布、正态分布的意义。 难点：正确进行超几何分布、二项分布、正态分布有关概率的计算。 【知识要点】 1、超几何分布： 一般地，若一个随机变量x的分布列为：P(x＝r)＝① 其中r＝0，1，2，3，…… ，，＝min(n，M)，则称x服从超几何分布。 记作x～H(n，M，N)，并将P(x＝r)＝，记为H(r，n，M，N)。 如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示： (表一) 其中＝min(n，M)，满足超几何分布。 2、伯努利试验(n次独立重复试验)，在n 次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对 立的结果A与出现，P(A)＝p∈(0，1)，这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。 P()＝1－p＝q，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率(0≤k≤n)为P(k)＝ (k＝0，1，2，3，……，n)，它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项。 3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(x＝k)＝，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k ＝0，1，2，……，n，则称x服从参数为n、p的二项分布，记作x～B(n，p)。 如：n次射击中，击中目标k次的试验或投掷骰子n次，出现k次数字5的试验等均满足二项分布。 3、正态分布曲线。 (1)概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概率密度曲线。 (2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为P(x)＝(x∈R)的曲线称之为正态密度曲线。 正态密度曲线图象特征： ①当x＜μ时曲线上升；当x＞μ时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。 ②正态曲线关于直线x＝μ对称。 ③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。 ④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。 4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间，P恰好是正态密度曲线 下方和x轴上上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x服从参数为μ和σ的正态分 布，简记为x～N(μ，σ2)。 在现实世界中很多随机变量遵循正态分布。如：反复测量某一个物理量，其测量误差x通常被认为服从正态分布；某一地区同性别同年龄组儿童的体重W也近似地服从正态分布。 若x～N(μ，σ2)，则随机变量x在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很少。如图一所示：随机变量x取值落在区间(μ－σ，μ ＋σ)上的概率约为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%。 其中，μ实际上就是随机变量x 的均值，σ2为随机变量x的方差，它们分别反映x取值的平均大小和稳定程度。 专题 : 超几何分布与二项分布 一．基本概念 1. 超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件 X=k 发生 的概率 C k C n k 为： P(X=k)= C M C N M ,k= 0,1,2,3, ,m ；其中， m = min M,n , 且 n N , M N . n,M,N N 为超 C N n 几何分布；如果一个变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量 X 服从超几何分布 .其中， EX= n N M 2. 二项分布 在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X, 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 P, 那么在 n 次独立重复试中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为： P(X=k)= C n k p k (1-p) n-k (k=0,1,2,3, ,n), 此时称随机变量 X 服从二项分布 . 记作： X B(n,p),EX= np 3. “二项分布”与“超几何分布”的联系与区别 (1) “二项分布”所满足的条件 每次试验中，事件发生的概率是相同的； 是一种放回抽样 . 各次试验中的事件 是相互独立的； 每 次试验只有两种结果， 事件要么发生， 要么不发生； 随机变量是这 n 次独立重复试验中 事件发生的次数 . (2) “超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是 不放回抽样 ，“当样本容量 很 大时，超几何分布近似于二项分布 ; 典型例题 1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概 2 率为 2 . 现有 10件产品，其中 6 件是一等品， 4件是二等品 . 3 (Ⅰ) 随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率； (Ⅱ) 随机选取 3件产品，其中一等品的件数记为 X ，求 X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取 3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率 .(完整版)二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
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