数理统计假设检验习题
假设检验练习题（一）
双正态总体，σ12，σ22已知，均值差的假设检验
1．从甲乙两名射击运动员中选拔一名参加比赛，分别随机抽取了他们在同一次练习中的三十次射击成绩。成绩如表一，设他们的设计成绩均服从正态分布，2
=1.4σ甲，
2=2.6σ乙。检验假设0: H μμ=乙甲。
（α＝0.05）
2.某企业下辖两个分厂生产同一种糕点，为了检查两厂生产的糕点的质量，现随机从两厂各抽取糕点40块，测定其黄曲霉素含量（含量越高质量越差），结果如下表。设
两厂糕点中黄曲霉素含量服从正态分布，2
1
0.05σ=，2
20.031σ=。请问两厂生产
的糕点质量有无显著差异。（α＝0.05）
表二 一厂产品黄曲霉素含量
0.01 0.02 0.034 0.035 0.054 0.002 0.009 0.044 0.012 0.01 0.006 0.074 0.032 0.009 0.038 0.005 0.034 0.088 0.028 0.045 0.056 0.098 0.004 0.038 0.018 0.057 0.048 0.067 0.003 0.009 表三 二厂产品黄曲霉素含量
0.062 0.037 0.051 0.028 0.001 0.007 0.073 0.037 0.029 0.016 0.019 0.008 0.082 0.001 0.004 0.098 0.079 0.075 0.019 0.012 0.002 0.066 0.046 0.047 0.087
0.053
0.004
0.099
0.001
0.087
3.为了了解学生的体能状况,随机从该校抽取男女生各30名,做台阶心率测试,结果如下.设男女生心率(/分)均服从从正态分布,
2 1.9σ=男,2 1.1σ=女,问男女同学的心
率(/分)有无显著差异.( α＝0.05)
表一 男生心率测试结果
45 34 36 77 65 89 39 59 58 56 76 77 44 43 66 66 76 47 64 78 98 79 77 87 47 62 58
63
43
33
表二 女生心率测试结果
55 65 44 77 65 64 55 52 53 50 46 56
49 50 60 58 63 64
55 60 50 68 66 70
56 54 65 53 44 43
假设检验练习题（二）
双正态总体，σ12，σ22未知，均值差的假设检验
1．某医院病理科研究人体两肾的重量，20例男性尸解时的左、右肾的称重记录见表7，问左、右肾重量有无不同？
表7 20例男性尸解时左、右肾的称重记录
编号左肾（克）右肾（克）
1 170 150
2 155 145
3 140 105
4 11
5 100
5 235 222
6 125 115
7 130 120
8 145 105
9 105 125
10 145 135
11 155 150
12 110 125
13 140 150
14 145 140
15 120 90
16 130 120
17 105 100
18 95 100
19 100 90
20 105 125
2．有10例健康人，10例克山病人的血磷测定值（mg%）如表8所示，问克山病人的血磷是否高于健康人？
表8 健康人与克山病人的血磷测定值（mg%）
健康人170 155 140 115 235 125 130 145 105 145 患者150 125 150 140 90 120 100 100 90 125
概率论与数理统计+第八章+假设检验+练习题答案
八、假设检验 Ⅲ、 典型例题分析 〖填空题〗 例8.0 (两类错误概率) 假定X 是连续型随机变量，U 是对X 的（一次）观测值；关于其概率密度)(x f 有如下假设： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=若不然． 若：若不然；若：,0, 20,2)(H ,0,20,21)(H 10x x x f x x f 检验规则：当事件{ }23>=U V 出现时否定假设0H 接受1H ．则检验的第一类错误概率 α= ；检验的第二类错误概率β = ． 分析 由检验的两类错误概率βα 和的意义，知 {}41 d 21H 23230==>=⎰x U P α； 16 9 d 2}H 2/3{2 30 1== ≤=⎰ x x U P β． 例8.2(假设的类型) 设新购进五部移动电话机，以θ表示其中有质量问题的部数，则假设 0H ：最多一部有质量问题，即1H 0≤θ：是 假设；若视0H 为基本假设，则备选 假设(对立假设)为1H ： ． 分析 假设0H 可以表示为“1H 0≤θ：”，包含θ=0和θ=1两种情形，因此是复合假设．视 0H 为基本假设，则备选假设（对立假设）为1H ：θ>1或1H ：θ≥2 (至少两部有质量问题， 包括θ=2,3,4,5)． 例8.3(两类错误概率) 关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数) λ有两个二者必居其一的假设，0H ：λ=0.5和1H ：λ=1．以10ν表示十分钟出现的随机质点数．设检验规则为：当10ν>7时否定0H 接受1H ，则检验的第一类错误概率 α= ；检验的第二类错误概率β = (只要求写出表达式) ．
分析 由于10ν服从参数为10λ的泊松分布，则 {}{}． ； 2203.0e !1017 1334.0e !55.077 10 108510 ≈==≤=≈==>=∑ ∑ =-∞ =-k k k k k k λνβλναP P 例8.6（否定域） 假定总体X~()1,μN ，关于总体X 的数学期望μ的假设0 H 0=μ： ；基于来自总体X 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X ．则假设H 0的水平0.05的否定域为： ． 分析 在已知2σ=1的情况下，假设0H 0=μ：的检验的统计量 )1,0(~39 100 N X X n X U =-= -= σμ． 因此假设H 0的水平α=0.05的否定域为{ }{} 96.1396.1≥=≥=X U V ． 例8.10 假设总体X 服从正态分布() 23,μN ；()2521,,,X X X 是来自总体X 简单随机样本，0μ是已知常数，X 是样本均值．考虑00H μμ=：的形如{} C X V ≥-=0 μ的水平为0.05的否定域，则其中的未知常数=C ． 分析 检验的统计量 )1,0(~25 30 00N X n X U μσμ-=-= 因此，有 {}{} C X X U ≥-=⎭⎬⎫ ⎩ ⎨⎧⨯≥-=≥=0025396.196.105.0μμP P P ； 由此可见176.15396.1=⨯=C ． 〖选择题〗 例8.11(两类错误概率) 假定总体X~()1,μN ，关于总体X 的数学期望μ有两个假设： 1H 0H 10==μμ：：和 设921,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值；以αu 表示标准正态分布水平α双侧分位数；则在4个选项所列举的H 0的水平α=0.05的否定域中，第二类错误概率最小的否定域是
《应用数理统计》第三章假设检验课后作业参考答案
第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得：拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴Q 本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。
数理统计习题 数理统计练习题
数理统计 一、填空题 1．设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2．设母体σσμ),,(~2 N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X 服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 6．某地区的年降雨量),(~2 σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 σ的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 22 21,S S 分别是两个子样的方差，令2 2222121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~22 2221χχχχ，则__________,==b a 。 8．假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。 9．假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ，则____=λ 。 10．设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)(=>λX P ， 则____=λ 11．假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ，则Y 的 分布
《概率论与数理统计》习题 第七章 假设检验
第七章 假设检验 一． 填空题 1. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(μ, σ2)的样本, σ2未知, 现要检验假设H 0: μ = μ0, 则应选取的统计量是______; 当H 0成立时, 该统计量服从______分布. 解. 当σ2未知时, 要检验H 0: μ = μ0, 应选统计量: n S X 0 μ-, 当H 0成立时, 该统计量服从 t(n －1)分布. 2. 在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小, 则只有增加______. 解. 因为犯二类错误的概率, 当一个缩小时另一个会扩大. 所以要犯二类错误的概率同时缩小, 只能扩大样本容量. 二．单项选择题 1. 设总体X ～ N(μ, σ2) , σ2已知, x 1, x 2, …, x n 为取自X 的样本观察值, 现在显著水平α = 0.05下接受了H 0: μ = μ0. 若将α 改为0.01时, 下面结论中正确的是 (A) 必拒绝H 0 (B) 必接受H 0 (C) 犯第一类错误概率变大 (D) 犯第一类错误概率变小 解. 显著水平α = 0.05下拒绝H 0的拒绝域为: 96.1/975.02 10 ==>-- u u n x α σμ. 接受H 0的接 受域为: 96.1/975.02 10 ==≤-- u u n x α σμ; 显著水平α = 0.01下拒绝H 0的拒绝域为: 57.2/995.02 10 ==>-- u u n x α σμ. 接受H 0的接受域 为: 57.2/995.02 10 ==≤-- u u n x α σμ. 所以B)是答案. 2. 在假设检验中, H 0表示原假设, H 1为备选假设, 则称为犯第二类错误的是 (A) H 1不真, 接受H 1 (B) H 0不真, 接受H 1 (C) H 0不真, 接受H 0 (D) H 0为真, 接受H 1 解. 第二类错误的定义为: H 0不真, 接受H 0. (C)是答案. 3. 设(X 1, X 2, …,X n )为来自正态总体 N(μ, σ2)的样本, μ, σ2未知参数, 且 ∑== n i i X n X 1 1 , ∑=-= n i i X X Q 1 2 2 )( 则检验假设H 0: μ = 0时, 应选取统计量为 (A) Q X n n ) 1(- (B) Q X n (C) Q X n 1 - (D) 2 Q X n 解. 当σ2未知检验假设H 0: μ = μ0 = 0时, 使用的统计量为
概率论与数理统计 第8章假设检验习题及答案
第8章 假设检验 一、填空题 1、 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设 00:μμ=H ，那么在显著性水平0.01下，必然接受0H 。 2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为α，则犯第一类错误的概率是α。 3、设总体),(N ~ X 2σμ，样本n 21X ,X ,X ，2σ未知，则00:H μ=μ，01:H μ<μ的拒绝域为 )}1(/{0 --<-n t n S X αμ，其中显著性水平为α。 4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2σμ的简单随机样本，其中2,σμ未知，记 ∑==n 1 i i X n 1X ，则假设0:H 0=μ的t 检验使用统计量=T Q n n X )1(- . 二、计算题 1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作 为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？ 解：设重量),(~2σμN X 05.016==αn 4252==S X (1)检验假设250:0=μH 250:1≠μH ， 因为2σ未知，在0H 成立下，)15(~/250t n S X T -= 拒绝域为)}15(|{|025.0t T >，查表得1315.2)5(025.0=≠t 由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H (2)检验假设9:20=σH 9:201>σH 因为μ未知，选统计量 2 02 2)1(σS n x -= 在0H 成立条件下，2 x 服从)15(2x 分布，
概率论与数理统计(经管类)第八章课后习题答案word
习题8.1 1.某天开工时,需检验自动装包机工作是否正常.根据以往的经验,其装包的重量 在正常情况下服从正态分布N(100,1.52)(单位:公斤).现抽测了9包,其重量为: 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.0 100.5 问这天包装机工作是否正常? 将这一问题化为一个假设检验问题,写出假设检验的步骤,设α=0.05. 解: (1)作假设H0:μ=100,H1:μ≠100 (2)选取检验统计量u=X−100 σ√n ⁄ (3)查表知μα 2=μ0.025=1.96, 拒绝域为|u|=|X−100 σ√n ⁄ |≥1.96 (4)由样本观测值有=99.97 ∴|u|=|X−100 σ√n ⁄ |=| 99.97−100 1.5√9 ⁄ |=0.06<1.96. 不属于拒绝域,所以接受原假设H0,即认为这天包装机工作正常. 2.设α,β分别是假设检验中犯第一,第二类错误的概率且H0,H1分别为原假设和 备择驾驶,则 (1)P{接受H0|H0不真}=β (2)P{拒绝H0|H0真}=α (3)P{拒绝H0|H0不真}=1−β (4)P{接受H0|H0真}=1−α 习题8.2 1.某自动机生产一种铆钉,尺寸误差X~N(μ,1),该机正常工作与否的标志是检验 μ=0是否成立.一日抽检容量n=10的样本,测得样本均值X=1.01.试问:在检验水平α=0.05下,该日自动机工作是否正常? 解:检验假设H0:μ=μ0=0,H1:μ≠0 ∵X=1.01,n=10,σ=1 ∴|u|=|X−μ σ√n ⁄ |=| 1.01−0 1√10 ⁄ |=3.194 查表知μα 2 =μ0.025=1.96,由于|u|=3.194>1.96,故拒绝H0,即该日自动机工作不正常. 2.假定考生成绩服从正态分布,在某地一次数学统考中,随机抽取了36位考生的 成绩,算的平均成绩为X=66.5分,标准差S=15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? 解: 检验假设H0:μ=μ0=70,H1:μ≠70
概率论与数理统计练习题第八章答案
第八章 假设检验（一） 一、选择题： 1．假设检验中，显著性水平为α，则 [ B ] (A) 犯第二类错误的概率不超过α (B) 犯第一类错误的概率不超过α (C) α是小于等于%10的一个数，无具体意义 (D) 可信度为α-1. 2．设某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均寿命为950小时，方差为100小时，检验这批产品是否合格可用 [ A ] （A ）t 检验法 （B ）2 χ检验法 （C ）Z 检验法 （U 检验法） （D ）F 检验法 3．从一批零件中随机抽出100个测量其直径，测得的平均直径为5.2cm ，标准方差为1.6cm ， 若这批零件的直径是符合标准5cm ，采用了t 检验法，在显著性水平α下，接受域为 [ A ] （A ）2 ||(99)
数理统计复习题第八章
第七章 假设检验 三、典型题解 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设 0100:5.0:μμμμ≠==H H 和 选择统计量：)1,0(~/0 N n X Z σμ-= 取定0.05，则/2 0.025 1.96,z z 又已知 9, 0.015, n 由样本计算得0.511x ，0 2.2 1.96/x n ，于是拒绝假设 0H , 认为包装机工作不正常. 例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2 σμN ， s cm s cm /2,/40==σμ，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n 只，测得燃 烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0=α） 解：根据题意需要检验假设 00 :40H （即假设新方法没有提高了燃烧率）, 10 : H （即假设新方法提高了燃烧率）, 这是右边检验问题，拒绝域为0 0.05 1.645/x z z n ，由 3.125 1.645/x z n 可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平 0.05 下拒绝0 H . 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今
概率论与数理统计习题解答第8章
第八章 假 设 检 验 三、解答题 1. 某种零件的长度服从正态分布，方差2 = 1.21，随机抽取6 件，记录其长度（毫米）分别为 32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23 在显著性水平 = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50 毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度 ),(~2σμN X ， 则需要检验的是： 由于2σ已知，选取n X Z σμ0 -= 为检验统计量，在显著水平 = 0.01下， 0H 的拒绝域为： 查表得 2.575829005.0=Z ，现由 n =6, 31.1266711 ∑===n i i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ 计算得： 可知，z 落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。 EXCEL 实验结果： 2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：
54，67，68，78，70，66，67，65，69，70 已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平 = 0.05下，“四乙 基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数 ),(~2σμN X ，则需要检验的是： 由于方差未知，选取n s X T 0 μ-=为检验统计量，在显著水平 = 0.05 下，0H 的拒绝域为： 查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由 n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.1555556111 22 ∑==--=n i i x x n s ， 计算得 可知，t 落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。 3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值 11958=x ，样本均方差316=s ．设发热量服从正态分布，在显著性水 平 = 0.05下，是否可认为该试验物发热量的平均值不大于 12100？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量),(~2σμN X ， 则需要检验的是： 此为右边检验，由于方差未知，应选用t 统计量检验，在显著水平 = 0.05下，H 0 的拒绝域为 由表得}{714.1)23(05.0=t ，现有n =24，11958=x ，316=s ，121000 =μ 计算
概率论与数理统计 假设检验习题集
第八章 假设检验 基本要求 1．理解显著性假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。 2．了解单个和两个正态总体的均值与方差的假设检验。 典型题解析 [例1] 某地早稻收割根据长势估计平均亩产为310kg ，收割时，随机抽取了10块，测出 每块的实际亩产量为1021,,,X X X ，计算得3201011 ==∑=n i X X ，如果已知早稻亩产 量X 服从正态分布)144,(μN ，试问所估产量是否正确？ 解：设两个假设310:0=μH ；310:1≠μH 若0H 为真，则X ～)10 12,310(2 N ，标准化为 10 /12310-=X U ～)1,0(N ，则05.0}96.1{=>U P 将kg X 320=代入统计量U ， 96.163.210 /12310 320>=-= U ∴拒绝0H ，∴估产310kg 不正确。 [例2] 某冶金工作者对锰的溶化点作了4次试验，结果各为摄氏︒︒︒︒1265,1236,1271,1269， 以显著性水平05.0=α论，在常态的假设下，这些结果是否符合于公布的数字︒1260？ 解：由题意检验假设00:μμ=H ，01:μμ≠H 由于统计量 t X =)1(-n t 依题意︒=︒+︒+︒+︒= 25.1260)1265123612711269(4 1 X ︒=12600μ，4=n 29.14)(12 4 1 2 =-=∑=i i n S X X ∴029.029.143 25.03 /29.14126025.1260=⨯=-= t 又查t 分布表得18.3)3(05.0=t ∴0.052 0.029 3.18(3)t t =<= ∴接受原假设，认为这些结果符合于公布的︒1260。
概率论与数理统计第八章习题
概率论与数理统计习题 第八章 假设检验 习题8-1 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量均值为3.25。 解：设测定值总体X ～N （μ，σ 2），μ，σ 2均未知 步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25 .3--= n t n S X t （3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2 -n t α （4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(1 1,252.35 1 2=--= =∑=i i X X n S x 查表t (4)=4.6041, )1(343.05 01304.025 .3252.3||2 -<=-= n t t α （5）故在α = 0.01下，接受假设H 0 习题8-2 要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。试在显著性水平α=0.05下判定这批元件是否合格？设总体均值为μ，μ未知。即需检验假设01:1000,:1000H H μμ ≥。 解：步骤：（1）:0H μ≥1000；H 1：μ<1000；（σ =100已知） （2）H 0的拒绝域为 αz n σx -≤-1000 （3）n =25，α = 0.05，950=x ， 计算知 645.15.225 100 1000 05.0=-<-=-z x （4）故在α = 0.05下，拒绝H 0，即认为这批元件不合格。 习题8-3 下表分别给出两个文学家马克·吐温（Mark Twain ）的8篇小品文以及斯诺特格拉斯（Snodgrass ）的10篇小品文中由3个字母组成的单字的比例。
数理统计习题
一、数理统计基础知识 1. 在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为 4 5 6 0 3 1 4 2 1 4 试计算样本均值、样本方差和样本标准差。 解 样本均值12454 310 n x x x x n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+= == 【 样本方差()()()()2222 2 111435343 3.7819 n i i s x x n =⎡⎤=-=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-∑， 样本标准差 1.94s == 2. 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为A x ，样本标准差为A s ，样本极差为 A R ，样本中位数为A m 。现对样本中每一个观测值施行如下变化 y ax b =+ ￥ 如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标准差、极差和中位数。 解 不妨设样本A 为{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅，样本B 为{}12,,,n y y y ⋅⋅⋅，且i i y ax b =+， 1,2,,,i n =⋅⋅⋅ 1212n n B A y y y ax b ax b ax b y ax b n n ++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++= ==+， 2 2 22211 11()()11n n B i B i A i i s y y ax b ax b a s n n ===-=+--=--∑∑， 因而B A s a s =. | ()()()()()()() 111B A n n n R y y ax b ax b a x x aR =-=+--=-=，
121221 2n B n n y m y y +⎛⎫ ⎪⎝⎭ ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ 3. 设1,,n x x ⋅⋅⋅是来自()1,1U -的样本，试求()E x 和()Var x 。 解 均匀分布()1,1U -的均值和方差分别为0和1 3 ，该样本的容量为n ，因而 得 ()0E x =，1()3Var x n = ; 4.设116,,x x ⋅⋅⋅是来自(8,4)N 的样本，试求下列概率 (1)(16)(10)P x >； (2) (1)(5)P x > 解 (1) … 16 (16)(16)116 16(10)1(10)1(10)1081(())10.84130.9370 2 P x P x P x >=-≤=-≤-=-Φ=-= (2) 1616 16(1)(1)58(5)((5))(1( ))[(1.5)]0.33082 P x P x ->=>=-Φ=Φ=。 5.在总体(7.6,4)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于，则至少为多少 解 样本均值 4 (7.6,)x N n ，从而按题意可建立如下不等式 [ (5.69.6)0.95x P x P <<=<<≥，
医药数理统计第六章习题(检验假设和t检验)
第四章抽样误差与假设检验 练习题 一、单项选择题 1。样本均数的标准误越小说明 A. 观察个体的变异越小 B. 观察个体的变异越大 C. 抽样误差越大 D。由样本均数估计总体均数的可靠性越小 E。由样本均数估计总体均数的可靠性越大 2。抽样误差产生的原因是 A。样本不是随机抽取 B. 测量不准确 C. 资料不是正态分布 D。个体差异 E. 统计指标选择不当 3. 对于正偏态分布的的总体，当样本含量足够大时, 样本均数的分布近似为 A. 正偏态分布 B。负偏态分布 C. 正态分布 D. t分布 E。标准正态分布 4. 假设检验的目的是 A. 检验参数估计的准确度 B。检验样本统计量是否不同 C. 检验样本统计量与总体参数是否不同 D. 检验总体参数是否不同 E. 检验样本的P值是否为小概率 5. 根据样本资料算得健康成人白细胞计数的95%可信区间为7.2× 109/L~9.1×109/L，其含义是 A. 估计总体中有95%的观察值在此范围内 B。总体均数在该区间的概率为95% C。样本中有95％的观察值在此范围内 D。该区间包含样本均数的可能性为95％ E. 该区间包含总体均数的可能性为95%
答案:E D C D E 二、计算与分析 1. 为了解某地区小学生血红蛋白含量的平均水平，现随机抽取该地小学生450人，算得其血红蛋白平均数为101。4g/L ，标准差为1.5g/L ，试计算该地小学生血红蛋白平均数的95%可信区间. [参考答案] 样本含量为450，属于大样本,可采用正态近似的方法计算可信区间。 101.4X =， 1.5S =，450n =，0.07 X S === 95%可信区间为 下限：/2.101.4 1.960.07101.26X X u S α=-⨯=－（g/L ） 上限：/2.101.4 1.960.07101.54X X u S α+=+⨯=（g/L) 即该地成年男子红细胞总体均数的95%可信区间为101。26g/L~101。54g/L. 2. 研究高胆固醇是否有家庭聚集性，已知正常儿童的总胆固醇平均水平是175mg/dl ，现测得100名曾患心脏病且胆固醇高的子代儿童的胆固醇平均水平为207。5mg/dl,标准差为30mg/dl 。问题： ①如何衡量这100名儿童总胆固醇样本平均数的抽样误差？ ②估计100名儿童的胆固醇平均水平的95%可信区间； ③根据可信区间判断高胆固醇是否有家庭聚集性,并说明理由. ［参考答案］ ① 均数的标准误可以用来衡量样本均数的抽样误差大小，即 30S =mg/dl ，100n = 3.0 X S = == ② 样本含量为100，属于大样本,可采用正态近似的方法计算可信区 间.207.5X =，30S =，100n =，3X S =,则95％可信区间为 下限：/2.207.5 1.963201.62X X u S α=-⨯=－（mg/dl ）
数理统计中常见习题
《数理统计习题》 一、填空题 1、设12,, ,n X X X 为总体X 的一个样本，如果1(X ,,X )n g 中 ，则称 1(X ,,X )n g 为一个统计量。 2、设总体2(,)X N μσ，σ已知，则在求均值μ的区间估计时所用的枢轴量为 3、设总体X 服从正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得字样均值为5，标准差为1，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 4、假设检验的统计思想是 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为 6、某地区的年降雨量2(,)X N μσ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为（单 位:mm ）587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为_______________ 7、设两个相互独立的样本1221,, ,X X X 与125,,,Y Y Y 分别取自正态总体N （1，4）与N （2，1），22 12,S S 分别为他们的样本方差，若22222 211 22 (20),()(4)aS a b S χχχχ==+， 则a=_________，b=_________ 8、假设随机变量(n)X t ，则 21 X 服从分布________ 9、假设随机变量(10)X t ，已知2(X )0.05P λ≥=，则λ=___________ 10、设样本1216,, ,X X X 来自标准正态分布总体N （0，1），X 为样本均值，若 (X )0.99P λ>=，则λ=_________ 11、假设样本1216,,,X X X 来自正态总体2 (,)N μσ，令1016 1 11 34i i i i Y X X ===-∑∑，则Y 的分 布为________________ 12、设样本1210,, ,X X X 来自标准正态分布总体N(0,1)，2,X S 分别为样本均值与样本方 差，令2 2 10X Y S =，若已知(Y )0.01P λ≥=，则λ=___________ 13、如果1ˆθ，2ˆθ都是总体中未知参数θ的估计量，若满足______________，则称1ˆθ比2 ˆθ有效。
数理统计 习题及解答过程(中英文)
第一章习题 1. 英文：(来源< 《应用数理统计》吴翊李永乐第三章假设检验课后作 业参考答案 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响( 01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域⎭⎬⎫ ⎩ ⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=- -21212αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差 100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 习 题 三 1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108X N .现在测试了5炉铁水，其含 碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()2 4.55,0.108X N ，5n =，5 1 1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=， ()52 2 01 10.095265i i s x μ==-=∑. 1)当00.108σ=时， ①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512 1.96u u α - == ，临界值12 1.960.0947c α- = = =， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->. ③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化. 2)当0 4.55μ=时， ①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值 ()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655 c n c n n n ααχχχχ-= =====， 拒绝域为2 2 2 2 0212 2 2 2 0000{ }{ 2.56660.1662}s s s s K c c σσσσ=><=><或 或 . ③ 2 02 2 00.09526 8.16700.108 s K σ= =∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化. 2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.该种元件寿命()2,100X N μ，问这批元件是否合格()0.05α=？《应用数理统计》吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案
研究生数理统计第三章习题答案