代数方程解法
代数方程-解法
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代数方程 解法
化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元
分式化整式：化整式的方法：去分母，换元 无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元 多元化一元：代入和加减消元 1.一元一次方程和一元二次方程的解法
一元二次方程的解法主要有四种： （1）直接开平方法：
适用于（mx+n ）2
=h (h ≥0)的一元二次方程。 （2）配方法：
适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。
配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n ）2
=h (h ≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 其基本步骤是：
①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； ②把常数项移到等式的右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； ⑤利用直接开平方法解此方程
用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方 （3）公式法：
适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式()
04242
2≥--±-=ac b a
ac b b x 可以解
所有的一元二次方程。
注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2
-4ac ＜0时，原方程无实数解。
（4）因式分解法：
适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2.含字母系数的整式方程的解法
3.特殊的高次方程的解法
（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n
的解法
二项方程的定义：
如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是
),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+
二项方程的解法及根的情况：
一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n
可变形为a
b x n
-
= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。
二项方程的根的情况：
对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n
，
当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n 为偶数时，如果0
（3）因式分解法解高次方程
解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。
用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。
例题 解下列方程：
（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2
+x-2=0 解：（1）方程左边因式分解，得
x(2x 2
+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0 得x=0或x+4=0或2x-1=0
∴原方程的根是 x=0，x=-4，x=
21
注意：不要漏掉x=0这个根! （2）方程左边因式分解，得(x 3-2x 2) +(x-2)=0 x 2
(x-2)+(x-2)=0
（x-2）(x 2+1)=0 即 x-2=0或x 2
+1=0
解方程x-2=0得 x=2 方程x 2
+1=0没有实数根 所以，原方程的根是 x=2
二、可化为一元二次方程的分式方程的解法 1．适宜用“去分母”的方法的分式方程
解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。
解分式方程要注意验根！
例题 解下列方程
60
1745
123542
+--=--+-x x x x x
分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。
（1）首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例x 2
-17x+60可分解因式为（x-5）（x-12）.
（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“（x-5）（x-12）”.
（3）用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解. （4）最后应检验，至此例可找到本例完整解 在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x ”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.
2.适宜用“换元法”的分式方程
适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法， 下面的例题中的两个方程，分别具有这两种特点。
例题 解下列方程：
（1）061512
=+??
?
??++??? ??+x x x x ；（2）112)1(31)2(8222
2=+-+-+x x x x x x . （1）分析：观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑同底换
元法为宜.
2）分析：观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的1222-+x x x 与x
x x 21
22+-互为倒数，
根据这个特点，可以用倒数换元法来解.
由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点，考
虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.
三、无理方程的解法
解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。 解无理方程一定要验根！
在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。 1．只有一个含未知数根式的无理方程
当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
例题 解下列方程：
(1)632-=-x x （2）x x =--
323
解：（1）两边平方，得 4（x-3）=(x-6)2
整理，得 x 2
-16x+48=0
解这个方程，得 x 1=4，x 2=12
经检验，x=4是增根，舍去；x=12是原方程的根。所以，原方程的根是 x=12 （2）原方程可变形为 323-=
-x x 两边平方，得 (3-x)2=2x-3
整理，得 x 2
-8x+12=0解得 x 1=2，x 2=6
经检验，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=2
2.有两个含未知数根式的无理方程
当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
例题 解下列方程： （1）
01222=+--x x （2）12=-+x x
解：（1）原方程可变形为
1222+=-x x 两边平方，得 x 2-2=2x+1
整理，得 x 2
-2x-3=0 解得 x 1=-1,x 2=3
经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。 所以，原方程的根是 x=3
3.适宜用换元法解的无理方程 如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。
例题 解方程 46342222+-=+-x x x x
练习
1.在方程01532
2=-+-x x 中，若设y x =-12，则原方程化为关于y 的方程 是 . 答案:
0232
=-+y y 2.当m= 时，关于x 的分式方程021
632
=++--++x x x m x 没有实数解.
答案：4或-6 3.若关于x 的方程02=+--a x x 有实数根，则a 的取值范围是 .
答案：a ≥-2
4.用换元法解方程051612
=++-?
??
??+x x x x 时，可设 =y,这时原方程变
为 . 答案：056,12
2
=+-+y y x x
5.方程0=x 的根是 ；x x =的根是 ；x x -=的根
是 . 答案：0；0和1；0
6.无理方程x a x =-+62
的根为3±，则a 的值为 . 答案：33±
7.若a ，b 都是正实数，且b a b a +=-211，则=-2
2b a ab . 答案：21- 8.若a+b=1，且a ∶b=2∶5,则2a-b= . 答案：71-
9.当a= 时，方程022
=--+x x a
x 无实数根 答案：-2，1
10.若
81=+
x x ，则
=-x x 1
. 答案：±2 11.下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（ ）
A.
321
1
=--x x B.853
22
=-
-x
x
C.
1
32=-
-x x x D.x x =-353
E.532=+y x
F.2
322-=+x x x 答案：A
12．方程
)3(4)3)(3(32)3(212
---+=-x x
x x x 的最简公分母是（ ） A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2
C.24（x+3）(x-3)2
D.12（x+3）(x-3)2 答案：D 13.观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（ ）
A.033=-x
B.0312
2
=++x
C.0
2)
3(=++x x x D.0122=-+-x x x 答案：C
14.如果018162
=+-x x ，那么x 4
的值是（ ）
A.1
B.-1
C.±1
D.4 答案：A 15.方程1142=+-x x 的解是（ ）
A.0
B.2
C.0或2
D.
22
1±
答案：B
16.设y=x2+x+1,则方程
x x x x +=
++222
1可变形为（ ）
A.y2-y-2=0
B.y2+y+2=0
C.y2+y-2=0
D.y2-y+2=0 答案：A 17.若a a a 214412
-=+-，则a 的取值范围是（ ） A.全体实数 B.a ≥0
C.a ≥21
D.A ≤21
答案：D
18.已知)0≠+=-S R S V
R V U ，则相等关系成立的式子是（ ）
A.
SU S R V +=
B.S R SU
V +=
C ．
S R SU V -=
D.SU S
R V -=
答案：B
19.关于x 的方程
x a x x 22+=+
的根是（ ）
A.x=a
B.x=-a
C.x 1=a ；x 2=-a 2
D.x 1=a ；x 2=a 2
答案：D
20.一个数和它的算术平方根的4倍相等，那么这个数是（ ）
A.0
B.16
C.0或16
D.4或16 答案：C
21.335
3112
-+=--+x x x x x x ；
解 )5()1()1(3+=--+x x x x ， x x x x 51332
+=+-+， 0432
=-+x x ， 0)1)(4(=-+x x . 1,421=-=x x .
经检验知：x=1是增根，x=-4是原方程的根.
22.2725=--+x x ；
23.0
7129122=+??? ??
+-??? ??+x x x x ；
24.46
11242
2--+-=-+-x x x x x x ； 25.11161123
++-=-+-x x x x
x ； 26.041312
=---?
?? ??-x x x x
matlab解方程组
matlab解方程组 lnx表示成log(x) 而lgx表示成log10(x) 1-exp(((log(y))/x^0.5)/(x-1)) 1、解方程 最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵，非奇异)的求解，MATLAB 中有两种方法： (1)x=inv(A)*b —采用求逆运算解方程组； (2)x=A\B —采用左除运算解方程组 PS：使用左除的运算效率要比求逆矩阵的效率高很多~ 例: x1+2x2=8 2x1+3x2=13 >>A=[1,2;2,3];b=[8;13]; >>x=inv(A)*b x = 2.00 3.00 >>x=A\B x = 2.00 3.00； 即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。 对于同学问到的用matlab解多次的方程组，有符号解法，方法是：先解出符号解,然后用vpa(F,n)求出n位有效数字的数值解.具体步骤如下： 第一步:定义变量syms x y z ...; 第二步:求解[x,y,z,...]=solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN'); 第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。 如：解二（多）元二（高）次方程组： x^2+3*y+1=0 y^2+4*x+1=0 解法如下： >>syms x y; >>[x,y]=solve('x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0'); >>x=vpa(x,4); >>y=vpa(y,4); 结果是：
代数方程知识点及经典习题
代数方程知识点 一.一元二次方程 1、一元二次方程的一般形式[20（a≠0）] 2、一元二次方程的判定方法 （1）根据定义判定。[即①是整式方程②只有一个未知数③未知数的最高次数是2 ] （2）根据一般形式判定。[即将整式方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果能化为一元二次方程的一般形式20（a≠0）,那么它就是一元二次方程。] 二.因式分解 1、因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为零（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积（3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 2、一元二次方程解法的选择顺序：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再用公式法。 三．一元二次方程的根的判别式 1.一元二次方程的根的判别式的概念 2.一元二次方程的根的情况与判别式的关系 判别式定理和逆定理?>0 ?方程有两个不相
等的实数根 ?=0 ?方程有两个相等的实数根 ?<0 ?方程没有实数根 ?≥0 ?方程有两个实数根3.一元二次方程根的判别式的应用 1）不解方程，判定方程根的情况 2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围。 3）应用判别式证明方程根的情况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根） 4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题。 四.根与系数的关系 1 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程20（a≠0）的两个实数根是x 1, x 2 ,那么 12 ＿＿, 12 ＝ ＿＿, 2韦达定理的逆定理 如果实数x 1, x 2 满足 12 ＿＿, 12 ＝＿＿, 那么x 1 , x 2 是一元 二次方程20的两个根． 3韦达定理的两个重要推论 推论1：如果方程20的两个根是x 1, x 2 ， 那么 12＿＿, 12 ＝＿＿,
第七讲 MATLAB中求方程的近似根(解)
第七讲MATLAB中求方程的近似根(解) 教学目的：学习matlab中求根命令，了解代数方程求根求解的四种方法，即图解法、准解析法、数值方法以及迭代方法，掌握对分法、迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程；掌握求代数方程（组）的解的求解命令． 教学重点：求方程近似解的几种迭代方法，代数方程（组）的解的求解命令的使用方法.利用所学的编程知识，结合具体的实例，编制程序进行近似求根．掌握相关的代数方程（组）的求解命令及使用技巧． 教学难点：方程的近似求解和非线性方程（组）的求解． 一、问题背景和实验目的 求代数方程0 x f的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和 (= ) 后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当) f为线性方程，否则称之为非线性方程．(x (= x ) f是一次多项式时，称0 当0 (x f的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如f是非线性方程时，由于) ) x (= 果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．同时对于多未知量非线性方程(组)而言，简单的迭代法也是可以做出来的，但在这里我们介绍相关的命令来求解，不用迭代方法求解． 通过本实验，达到下面目的： 1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程； 2. 求代数方程（组）的解． 首先，我们先介绍几种近似求根有关的方法： 1．对分法 对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根． 设) a f ?b f，即()0 f a>，()0 f a<，()0 f b<或()0 f b>．则 ) , (< (x [b f在] a上连续，0 ( ) 根据连续函数的介值定理，在) fξ=． a内至少存在一点ξ，使()0 , (b 下面的方法可以求出该根：
代数方程 解法
代数方程 解法 化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元 分式化整式：化整式的方法：去分母，换元 无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元 多元化一元：代入和加减消元 1.一元一次方程和一元二次方程的解法 一元二次方程的解法主要有四种： （1）直接开平方法： 适用于（mx+n ）2 =h (h ≥0)的一元二次方程。 （2）配方法： 适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。 配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n ）2 =h (h ≥0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 其基本步骤是： ①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； ②把常数项移到等式的右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； ⑤利用直接开平方法解此方程 用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方 （3）公式法： 适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式() 04242 2≥--±-=ac b a ac b b x 可以解 所有的一元二次方程。
注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2 -4ac ＜0时，原方程无实数解。 （4）因式分解法： 适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 2.含字母系数的整式方程的解法 3.特殊的高次方程的解法 （1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 的解法 二项方程的定义： 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。 关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是 ),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+ 二项方程的解法及根的情况： 一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 可变形为a b x n - = 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。 二项方程的根的情况： 对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n ， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。 当n 为偶数时，如果0
解线性代数方程
解线性代数方程
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求解线性方程组的直接解法 5.3特殊矩阵的三角分解 ①实对称矩阵的LDL T分解 设A是实对称阵,且A的所有顺序主子式均不为零，则LDR分解中R=L T, 故可用以作LDL T分解.这就是说,当A的对角元素非零时，我们可 以作LU分解,也就得到LDL T分解,L相同,是单位上三角阵,U的对角元素 构成D.不过没有利用对称性,存储量运算量都未能节省—预计是一半。试 用n=3的计算表格说明如何实现节省。 d1=u11 =a11 u12=a12 l21=u12/d1 u13=a13 l31=u13/d1 d2=u22=a22-l21u12u23=a23-l21u13 l32=u23/d2 u33=a33-l31u13-l32u23 这样,可用上半部元素逐列计算D,L T。也可用下半部元素逐行计算L,D。引进輔助量t1, t2代替u1j,u2j,并利用对称性得到： d1=a11 t1=a21 l21= t1/d1 d2= a22-t1l21 t1=a31 l31=t1/d1t2=a32-t1l21 l32=t2/d2 d3=a33-t1l31-t2l32 据此不难写出LDL T分解A=LDL T的计算公式和程序(逐行计算L,D). d1=a11 for i=2:n for j=1:i-1 t j=a ij-l j1t1-l j2t2-…-l j,j-1t j-1 l ij=t j/d j end d i=a ii-l i1t1-l i2t2-…- l i,i-1t i-1 end 存储约n(n+1)/2单元,乘加运算各约n3/6. 利用LDL T分解解Ax=b分四步: 1．分解A=LDL T 2．解Lg=b 求g 3．解Dy=g 求y 4．解L T x=y 求x ②实对称正定矩阵的LL T分解 A实对称正定时顺序主子式皆正,可作LDL T,D的对角元素皆正,有正
MATLAB 微分代数方程解法Microsoft Word 文档
微分代数方程(DAE)的Matlab解法 所谓微分代数方程，是指在微分方程中，某些变量满足某些代数方程的约束。假设微分方程的更一般形式 可以写成 前面所介绍的ODEs数值解法主要针对能够转换为一阶常微分方程组的类型，故DAE就无法使用前面介绍的常微分方程解法直接求解，必须借助DAE的特殊解法。 其实对于我们使用Matlab求解DAE时，却没有太大的改变只需增加一个Mass参数即可。描述f(t,x)的方 法和普通微分方程完全一致。 注意：ode15i没法设置Mass属性，换句话说除了ode15i外其他ode计算器都可以求解DAEs问题1.当M(t,y)非奇异的时候，我们可以将微分方程等效的转换为y'=inv(M)*f(t,y)，此时就是一个普通的ODE(当 然我们可以将它当成DAEs处理)，对任意一个给定的初值条件都有唯一的解 2.当m(t,y)奇异时，我们叫它为DAEs(微分代数方程)，DAEs问题只有在同时提供状态变量初值y0和状态变量一阶导数初值py0，且满足M(t0,y0)*yp0=f(t0,y0)时才有唯一解，假如不满足上面的方程，DAEs解算器会将提供的y0和py0作为猜测初始值，并重新计算与提供初值最近的封闭初值 3.质量矩阵可是一个常数矩阵(稀疏矩阵)，也可以是一个自定义函数的输出。但是ode23s只能求解Mass 是常数的DAEs 4.对于Mass奇异的DAEs问题，特别是设置MassSingular为yes时，只能ode15s和ode23t解算器 5.对于DAE我们还有几个参数需要介绍 a.Mass：质量矩阵，不说了，这个是DAE的关键，后面看例子就明白了 b.MStateDependence：质量矩阵M(t,y)是否是y的函数，可以选择none|{weak}|strong，none表示M与 y无关，weak和strong都表示与y相关 c.MvPattern：注意这个必须是稀疏矩阵，S(i,j)=1表示M(t,y)的第i行中任意元素都与第j个状态变量yi有 关，否则为0 d.MassSingular：设置Mass矩阵是否奇异，当设置为yes时，只能使用ode15s和ode23t e.InitialSlope：状态变量的一阶导数初值yp0，和y0具有相同的size，当使用ode15s和ode23t时，该属 性默认为0 下面我们以实例说明，看下面的例子，求解该方程的数值解 【解】 真是万幸，选取状态变量和求状态变量的一阶导数等，微分方程转换工作，题目已经帮我们完成。 可是细心的网友会发现，最后一个方程不是微分方程而是一个代数方程(这就是为什叫DAE的原因)，其实 我们可以将它视为对三个状态变量的约束。 (1)用矩阵形式表示出该DAEs
代数方程讲解
代数方程讲解(1) 解下面方程 （1）).1(1122-≠-=-b x bx （2）n x mx -=+34 （3）1222+=++x a ax ax （4）x 3-2x 2-4x ＋8=0． （5）(x-2)(x ＋1)(x ＋4)(x+7)=19． （6）(6x ＋7)2(3x+4)(x+1)=6． （7）12x 4-56x 3+89x 2-56x+12=0． （8）x 4-10x 3-2(a-11)x 2＋2(5a+6)x+2a+a 2=0，其中a 是常数，且a ≥-6． （9）
（10） （11） （12） (13) (14) (15)如果只有一个实数根，求a的值及对应的原方 程的根．
代数方程习题(1) 1．填空： (1)方程(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)=24的根为_______． (2)方程x 3-3x ＋2=0的根为_____． (3)方程x 4+2x 3-18x 2-10x+25=0的根为_______． (4)方程(x 2+3x-4)2＋(2x 2-7x ＋6)2=(3x 2-4x+2)2的根为______． (7)如果关于x 的方程 有增根x=1，则k=____． 2．解方程 (1)a(x-3)=4(a-x) (2)()09122≠-=+m mx mx (3) (4x ＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x 4． (4)x 5＋2x 4-5x 3＋5x 2-2x-1=0． (5) (6) (x+2)4+(x-4)4=272．
(7)x 3+(a-2)x 2-(4a+1)x-a 2＋a+2=0． (8) (9) （10） （11） （13）m 是什么数值时，方程有根？ （14）如果不论k 为何值，1-=x 总是关于x 的方程 13 22-=--+bk x a kx 的解，试求b a ,的值
matlab-解方程
1、解方程 最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b(A为系数矩阵，非奇异)的求解，MA TLAB中有两种方法： (1)x=inv(A)*b —采用求逆运算解方程组； (2)x=A —采用左除运算解方程组。 例: x1+2x2=8 2x1+3x2=13 >>A=[1,2;2,3];b=[8;13]; >>x=inv(A)*b x = 2.00 3.00 >>x=A x = 2.00 3.00； 即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。 对于同学问到的用matlab解多次的方程组，有符号解法，方法是：先解出符号解,然后用vpa(F,n)求出n 位有效数字的数值解.具体步骤如下： 第一步:定义变量syms x y z ...; 第二步:求解[x,y,z,...]=solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN'); 第三步:求出n位有效数字的数值解x=vpa(x,n);y=vpa(y,n);z=vpa(z,n);...。 如：解二（多）元二（高）次方程组： x^2+3*y+1=0 y^2+4*x+1=0 解法如下： >>syms x y; >>[x,y]=solve('x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0'); >>x=vpa(x,4); >>y=vpa(y,4); 结果是： x = 1.635+3.029*i 1.635-3.029*i -.283 -2.987 y = 1.834-3.301*i 1.834+3.301*i -.3600 -3.307。 二元二次方程组，共4个实数根；
高次代数方程求根
高次代數方程求根 P n(x) = a0x n+a1x n+．．．+a n-1x+a n=0 上式的左邊為多項式的方程，稱為n次代數方程，或多項式方程。而當中n=1,2,．．．,a k是實系數或複系數，但a0不等於0。當n>1的時候，P n(x)則稱為高次代數方程，而它的次數就是n。以上的多項式中的零點就是對應代數方程的根。 人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解法的問題。如巴比倫泥板中的平方表和立方表，它們可被用作解某些特殊的二次和三次方程。 在中國古代，人們已相當系統地解決了高次方程求解的問題：《九章算術》以算法形式給出求二次方程和正系數三次方程根的具體計算程序。7世紀，王孝通也找出了求三次方程正根數值解法。11世紀，賈憲《黃帝九章算法細草》創：「開方作法本源圖」，是以「立成釋鎖法」解三次或三次以上的高次方程式。同時，他亦提出了一種更簡便的「增乘開方法」。 13世紀，由秦九韶《數書九章》完成了「正負開方術」，更提供了一個用算籌布列解任何的數字方程的可行可計算的算法，可以求出任意次代數方程的正根。 除中國外，阿拉伯人對高次代數方程亦有所研究，在9世紀，花拉子米是第一個給出二次方程的一般解法，而在1100年，奧瑪?海亞姆給出了些特殊的三次方程式解法。 1541年，塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法。1545年，卡爾達諾的名著《大術》一書中，把塔爾塔利亞的解法加以發展，並記載了費拉里的四次方程的一般解法。 1736年，在牛頓的《流數法》一書中，給出了著名的高次代數方程的一種數值解法。1690年，J.拉福生亦提出了類似的方法，而它們的結合就成為現代常用的方法──牛頓法，亦稱為切線法。這是一種廣泛用於高次代數方程和方程組求解的迭代法，一直為數學界所採用，並不斷創新，如修正牛頓法及擬牛頓法等。 1797年，高斯給出了「代數基本定理」，證實了高次代數方程根的存在性。 1819年，霍納給出了高次方程數值求根另一種方法──霍納法，它的思想和計算程序與秦九韶的算法相近，而類似的方法在1804年魯非尼也曾提出過。霍納法有廣泛的應用，而在現代改進形式稱為劈因子法。 此外，伯努利法和勞思表格法等亦是現在常用的高次代數方程數值解法。
matlab实验报告--求代数方程的近似根
数学实验报告 实验序号： 第二次 日期：2012 年 5月10日 班级 0920861 小组成员姓名 徐易斌；王勇 王康 学号 30 12 33 实验名称：求代数方程的近似根 问题背景描述： 求代数方程0)(=x f 的根是最常见的数学问题之一，当)(x f 是一次多项式时，称0)(=x f 为线性方程，否则称之为非线性方程． 当0)(=x f 是非线性方程时，由于)(x f 的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求． 本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间],[b a ，或给出某根的近似值0x ．
实验目的： 1. 了解代数方程求根求解的四种方法：对分法、迭代法、牛顿切线法 2. 掌握对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。 实验原理与数学模型： 1．对分法 对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根． 设)(x f 在],[b a 上连续，0)()(，()0f b <或()0f a <，()0f b >．则根据连续函数的介值定理，在),(b a 内至少存在一点 ξ，使()0f ξ=． 下面的方法可以求出该根： (1) 令02 a b x +=，计算0()f x ； (2) 若0()0f x =，则0x 是()0f x =的根，停止计算，输出结果0x x =． 若 0()()0f a f x ?<，则令1a a =，10b x =，若0()()0f a f x ?>，则令10a x =，1b b =；11 12 a b x +=． ……，有k a 、k b 以及相应的2 k k k a b x += ． (3) 若()k f x ε≤ (ε为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果2 k k k a b x +=； 反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)． 以上方法可得到每次缩小一半的区间序列{[,]}k k a b ，在(,)k k a b 中含有方程的根． 当区间长k k b a -很小时，取其中点2 k k k a b x += 为根的近似值，显然有 1111111 ()()()2222 k k k k k k x b a b a b a ξ--+-≤-=??-==- 以上公式可用于估计对分次数k ． 2. 迭代法 1) 迭代法的基本思想： 由方程()0f x =构造一个等价方程
代数方程 知识点
1 代数方程 整式方程 举例说明含字母的一元一次方程和一元二次方程 方程中只含有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程 经过整理之后的一元整式方程中含未知数的项 最高次数是n ，那么这个方程就叫做一元n 次方程。其中n>2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程 题型：判断是否是整式方程，是一元几次方程？ 二项方程，如果一元n 次方程的一边只含有未知数的一项和非零的常数项。另一边是零， 一般形式：0n ax b +=(0,0)a b ≠≠n 为正整数 解法：当n 当n 为偶数时，如果ab<0,那么方程有两个根，且他们互为相反数： 如果ab>0，那么方程没有祋根 题型：判断是否是二项方程，解二项方程， 分式方程 解分式方程的一般步骤：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 （1） 考虑去掉方程中各分式的分母，把方程转化为整式方程 （2） 求解 （3） 判断所求的整式方程的根是不是原方程的根 用换元法解方程：例如：2223x x +=等： 注意解分式方程时要记得检验 无理方程（与根式有关的方程） 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程 有理方程和无理方程统称为代数方程 解无理方程的步骤：去根号，解有理方程，检验根 题型：解无理方程 二元二次方程 二元二次方程：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2,的整式方程 它的一般形式：220ax bxy cy dx ey f +++++=（a,b ,c,d,e,f 都是常数，a,b,c,中至少有一个不为零，当b 为0时，a 与d ，c 与e 分别不全为0） 方程组中，仅含有两个未知数，各方程式整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程组叫做二元二次方程组， 能满足二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解，方程组中所含各个方程的公共解叫做这个方程组的解 二元二次方程组的解法：（消元的思想将其转化为一元一次方程） 把一个未知数用另一个未知数的代数式表示----代入消元----解一元一次方程---带回---解出原方程的解，， 还可以利用方程本身的特点来解题！ 列方程（组）解应用题
用Matlab解代数方程
一般的代数方程 函数solve用于求解一般代数方程的根，假定S为符号表达式，命令solve (S)求解表达式等于0的根,也可以再输入一个参数指定未知数。例： syms a b c x S=a*x^2+b*x+c; solve(S) ans= [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] b=solve(S,b) b = -(a*x^2+c)/x
线性方程组 线性方程组的求解问题可以表述为：给定两个矩阵A和B，求解满足方程AX=B或XA=B的矩阵X。方程AX=B的解用X=A\B或X=inv (A)*B表示；方程XA=B 的解用X=B/A或X=B*inv (A)表示。不过斜杠和反斜杠运算符计算更准确，占用内存更小，算得更快。
线性微分方程 函数dsolve用于线性常微分方程（组）的符号求解。在方程中用大写字母D表示一次微分,D2，D3分别表示二阶、三阶微分，符号D2y相当于y关于t的二阶导数。 函数dsolve的输出方式 格式说明 y=dsolve(‘Dyt=y0*y’) 一个方程，一个输出参数[u,v]=dsolve(‘Du=v’,’Dv=u’) 两个方程，两个输出 参数 S=dsolve(‘Df=g’,’Dg=h’,’Dh=-2*f ‘)方程组的解以S.f S.g S.h结构数组的形式输出
例1 求 2 1u dt du += 的通解. 解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t') 结 果：u = tg(t-c) 例2 求微分方程的特解. ???íì===++15 )0(',0)0(029422 y y y dx dy dx y d 解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 结果为: y =3e -2x sin （5x ）
符号代数方程的求解
6.5 符号代数方程的求解 6.5.1 线性方程组的符号解 【* 例 6.5.1 -1 】求 线性方程组的解。本 例演示，符号线性方程组的基本解法。 A=sym([1 1/2 1/2 -1;1 1 -1 1;1 -1/4 -1 1;-8 -1 1 1]); b=sym([0;10;0;1]);X1=A\b X1 = [ 1] [ 8] [ 8] [ 9] 【* 例 6.5.1 -2 】求解上例前 3 个方程所构成的“欠定”方程组，并解释解的含义。syms k A2=A(1:3,:);X2=A2\b(1:3,1) % 求一个特解：最少非零元素的最小二乘解 XX2=X2+k*null(A2) % 构成通解 A2*XX2 % 验算 X2 = [ 0] [ 8] [ 4] [ 6] XX2 = [ k] [ 8] [ 4+4*k] [ 6+3*k] ans = [ 0] [ 10] [ 0] 6.5.2 一般代数方程组的解 【* 例 6.5.2 -1 】求方程组，关于的解。 S=solve('u*y^2+v*z+w=0','y+z+w=0','y','z')
disp('S.y'),disp(S.y),disp('S.z'),disp(S.z) S = y: [2x1 sym] z: [2x1 sym] S.y [ -1/2/u*(-2*u*w-v+(4*u*w*v+v^2-4*u*w)^(1/2))-w] [ -1/2/u*(-2*u*w-v-(4*u*w*v+v^2-4*u*w)^(1/2))-w] S.z [ 1/2/u*(-2*u*w-v+(4*u*w*v+v^2-4*u*w)^(1/2))] [ 1/2/u*(-2*u*w-v-(4*u*w*v+v^2-4*u*w)^(1/2))] 【* 例 6.5.2 -2 】用solve 指令重做例 6.5.1-2 。即求， ，构成的“欠定”方程组解。 syms d n p q;eq1=d+n/2+p/2-q;eq2=n+d+q-p-10;eq3=q+d-n/4-p; S=solve(eq1,eq2,eq3,d,n,p,q);S.d,S.n,S.p,S.q Warning: 3 equations in 4 variables. > In E:\MAT53\toolbox\symbolic\solve.m at line 110 In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\solve.m at line 49 ans = d ans = 8 ans = 4*d+4 ans = 3*d+6 【* 例 6.5.2 -3 】求的解。 clear all,syms x;s=solve('(x+2)^x=2','x') s = .69829942170241042826920133106081
对称性与代数方程的公式解
对称性与代数方程的公式解 一元二次方程的根满足维达定理 212120 x ax b x x a x x b ++=+=-= 很明显12,x x 具有对称性2Z 2Z 具有两个1维不可约表示11 11-，表示基底可以由12,x x 构造，即 12 12x x x x +-，这两个表示基可以用来构造不变表示的基 ()2 1122212()y x x y x x =+=- 可以用方程系数表示出来()1222124x x a x x a b +=--=-，因此 1212x x a x x +=--= 12x x =， 一元三次方程的根满足维达定理 321231223311230 x ax bx c x x x a x x x x x x b x x x c +++=++=-++==- 很明显123,,x x x 具有对称性3S 3S 具有不变子群3Z ，且332S /Z Z ≈ 3Z 具有三个1维不可约表示22111 11ωωωω ，表示基底可以由123,x x x ,构造，即
0123 2112322123 y x x x y x x x y x x x ωωωω=++=++=++，后两个表示基可以用来构造不变表示的基 3211231223311233222212312233132123122331123322221231223313(1)(()()3) ()3()() 3(1)(()()3) ()3()() y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ωωωωωω=-++++-+++-+++=--++++-+++++++ 令2221122331 222 2122331z x x x x x x z x x x x x x =++=++，可知12x x ?时，12z z ? 即12z z ，承载了2Z 群的忠实表示，可以用他们构造不可约表示基，对应于 1212(1,2) 1 111e z z z z +--可以通过幂函数构造不变表示212()z z -，有 12122331123123()()3z z x x x x x x x x x x x x +=++++- 22212123123123123123122331222 122331123122331(-)27()4()18()()()()4()z z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--++++++++++++-++于是开根方可以求解12z z -，求出12z z ， 代入可以计算3312 ,y y ，开3次根求出12y y ，，结合0y 解三元1次方程求出123,,x x x 一元4次方程求解 一元4次方程的根满足维达定理 432123412233441243112323434141212340 x ax bx cx d x x x x a x x x x x x x x x x x x b x x x x x x x x x x x x c x x x x d ++++=+++=-+++++=+++=-= 很明显1234,,,x x x x 具有对称性4S 4S 有正规子群4V ，443S /V S ≈；3S 有正规子群3Z ，332S /Z Z ≈ 4V =(e,(12)(34),(13)(24),(14)(23))具有4个1维不可约表示
1代数方程求解
一基本软件试题 1代数方程求解： （1）x^4-x^3-6*x^2+1=0 >> a=[1,-1,-6,0,1] a = 1 -1 -6 0 1 >> roots(a) ans = 2.9773 -1.9467 -0.4310 0.4003 (2)? ??-=-=+512y x y x >> S=solve('x+2*y=1','x-y=-5','x','y') S = x: [1x1 sym] y: [1x1 sym] >> disp('S.x=') , disp(S.x) S.x= -3 >> disp('S.y=') , disp(S.y) S.y= 2 2计算积分 （1） ? -1 21dx x >> syms x >> f=sqrt(1-x^2) f = (1-x^2)^(1/2)
>> int(f,0,1) ans = 1/4*pi （2） dx e x x ? 3 2 2 )ln(（这个积分用上面的方法做不出，不知什么原因，请求指教。 344103492@https://www.wendangku.net/doc/cc8760649.html, ） 3求导 （1）2 2 1x a y -= >> syms x a >> f=1/sqrt(a^2-x^2) f = 1/(a^2-x^2)^(1/2) >> diff(f,x) ans = 1/(a^2-x^2)^(3/2)*x （2）2 2 2a x x y += >> syms x a >> f=x^2/sqrt(a^2+x^2) f = x^2/(a^2+x^2)^(1/2) >> diff(f,x) ans = 2*x/(a^2+x^2)^(1/2)-x^3/(a^2+x^2)^(3/2) 4求极限
代数方程-解法
代数方程 解法 化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元 分式化整式：化整式的方法：去分母，换元 无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元 多元化一元：代入和加减消元 1.一元一次方程和一元二次方程的解法 一元二次方程的解法主要有四种： （1）直接开平方法： 适用于（mx+n ）2=h (h ≥0)的一元二次方程。 （2）配方法： 适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。 配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n ）2=h (h ≥0)的形式，再利用直接开平方法求 解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 其基本步骤是： ①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； ②把常数项移到等式的右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； ⑤利用直接开平方法解此方程 用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方 （3）公式法： 适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式() 042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程。 注意：当b 2-4ac ≥0时，方程才有实数解；当b 2-4ac ＜0时，原方程无实数解。
（4）因式分解法： 适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 2.含字母系数的整式方程的解法 3.特殊的高次方程的解法 （1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 的解法 二项方程的定义： 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。 关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是 ),0,0(0是正整数n b a b ax n ≠≠=+ 二项方程的解法及根的情况： 一般地，二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 可变形为a b x n -= 可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。 二项方程的根的情况： 对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n ， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。 当n 为偶数时，如果0
MATLAB Jacobi法解线方程组
Jacobi 法解线性代数方程组 Jacobi 法解线性代数方程组算法： Step 1取初始点)0(x ，精度要求eps Step 2若ε>-∞+) ()1(k k x x 转到Step 3 否则转到Step 4 Step 3用下式计算：b D x U L D x k k 1)(1)1()(--+++=转到Step 2 Step 4停止计算（)1(+k x 作为线性方程组的解） Step 5 )22(6 43211k k k k h y y n n ++++ =+ Jacobi 法解线性代数方程组程序： function Jacobi(A,b,x0,eps) %A----线性方程组系数矩阵 %b----线性方程组的解（列向量） %x0---初始迭代点 %D----A 对角阵 %e----取误差（计算范数） D=diag(diag(A)); D=inv(D);%D 取自己的逆矩阵 L=tril(A,-1);%取下三角阵 U=triu(A,1);%取上三角阵 B=-D*(L+U); f=D*b; e=1000; while e>=eps x=B*x0+f; e=norm(x-x0); x0=x; end x
例：用Jacobi 迭代法解下列线性方程组 ???? ??????=????????????????????-1166122111221321x x x 输入：A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; b=[6;6;11]; x0=[0;0;0]; eps=1e-3; Jacobi(A,b,x0,eps) 得到： x = 2 3 1 指导教师： 年 月 日
初中数学方程及方程的解知识点总结新选
一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程． 一元一次方程的标准形式是：ax＋b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）． 一元一次方程的最简形式是：ax=b(a≠0)． 不定方程:一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。 代数方程: 代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。 等式: 用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式; 两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。 解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； 2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； 3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边； 4．合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式； 5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。 矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程． 知识点2： 二元一次方程 有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程． 二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组． 解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．二元一次方程组的两种解法： （1）代入消元法，简称代入法． ①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示． ②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值． ④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解． 2）加减消元法，简称加减法． ①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等． ②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值． ④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解． 二元一次方程组解的情况：
matlab求解代数方程组解析
第三讲 Matlab 求解代数方程组 理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序 讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组： 1111221121122222 1122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??? ?+++=? （1） 一、直接法 1.高斯消元法： 高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以1 11 ,k a a - 加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2) 22112 (2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ?+++=?++=??? ?++=? （2） 其中(1) (1)1111,.k k a a b b ==再设(2)22 0,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2 (2)22 ,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2) 22112(1)(1)(1) 1,111,1()() n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------?+++=?++=? ? ??+=? ?=? （3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行 下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在() 0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设 下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示： 若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ?=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯