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三角函数与平面向量听课正文

全品高考第二轮专题| 数学(文科)

第6讲平面向量

1.(1)[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()

A.-

B.-

C.+

D.+

(2)[2014·全国卷Ⅰ]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()

A.B.C.D.

(3)[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ),若c∥(2a+b),则λ=.

[试

做]__________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 命题角度平面向量的线性运算

解题策略:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或平行四边形;③运用法则找关系;④用好平面向量基本定理和向量共线定理.

2.【引·全国卷】

(1)[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()

A.4

B.3

C.2

D.0

(2)[2013·全国卷Ⅱ]已知正方形ABCD的边长为2,E为CD中点,则·=.

[试

[2017·山东卷]已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值

是.

命题角度平面向量数量积的公式及应用

①定义法;②坐标法;③将向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另一向量模的积.

小题1平面向量的线性运算

1 (1)已知D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,=c,则有下列各式:

①=c-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.其中正确的等式有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

(2)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得=λ+μ,则λ+μ=

()

A.B.-

C.2

D.-2

[听课笔记]

______________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________ 【考场点拨】

高考中向量线性运算的关注点:

(1)解决向量的线性运算问题时应关注两点:①尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中(注意已知条件);②选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量.

(2)向量共线有两个常用结论:①向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)平行,坐标满足的关系为x1y2-x2y1=0;②若O为直线AB 外一点,点P在直线AB上,则有=α+β且α+β=1.

【自我检测】

1.下列各组向量中,可以作为基底的是()

A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(2,-3),e2=,-

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(-1,2),e2=(5,7)

2.已知O是正△ABC的中心,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则的值为()

A.-

B.-

C.-

D.2

3.设点O在△ABC的外部,且2-3-5=0,则S△ABC∶S△OBC=()

A.2∶1

B.3∶1

C.3∶2

D.4∶1

小题2平面向量的数量积及应用

2 (1)已知向量a与b的夹角是,且|a|=1,|b|=2,若(a+λb)⊥a,则实数λ=()

A.-

C.D.-

(2)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于()

A.,

B.-,

C.,

D.-,-

(3)已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在m-n方向上的投影为.

高考中数量积的解题策略:

(1)数量积的计算常用方法有三种:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义.其中坐标运算是处理问题的主要方法,只要能够建立直角坐标系,把向量的坐标表示出来,从而转化为坐标运算.

(2)用数量积可求投影,如a在b方向上的投影为·,b在a方向上的投影为·.

【自我检测】

1.已知向量a=(-3,2),b=(-1,0),若λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为()

A.-

C.-

2.已知两个平面向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,且a与b的夹角为120°,则|b|=()

A.3

B.2

C.1

3.在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=2,E为CD的中点,则·=.

4.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是.

第7讲三角函数的图像与性质

1.(1)[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图M2-7-1所示,则f(x)的单调递减区间为()

图M2-7-1

A.-,k∈Z

B.-,k∈Z

C.-,k∈Z

D.-,k∈Z

(2)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()

A.y=2sin2x+

B.y=2sin2x+

C.y=2sin2x-

D.y=2sin2x-

[试

(1)解决三角函数图像平移问题:关键一,有两种途径,“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”;

关键二,ωx+φ=ωx+.

利用图像变换求三角函数解析式问题:

关键一,确定图像的变换方向(左加右减、上加下减、横纵坐标的伸长或缩短);

关键二,根据不同的变换形式变换已知解析式.

(2)利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)的解析式时,常采用待定系数法:由图像的最高点或最低点求A,由函数的周期求ω,确定φ时常根据“五点法”中的五个点求解,或由图像上的某一特殊点求出φ的值.

2.[2016·全国卷Ⅱ]函数f(x)=cos 2x+6cos-x的最大值为()

A.4

B.5

C.6

D.7

[试做] __________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 命题角度三角函数的有界性

利用三角函数的有界性求最值问题:方法一,利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于sin x和cos x的二次函数,采用配方法求最值;

方法二,利用诱导公式、辅助角公式将函数化为f(x)=A sin(ωx+φ)+b(或f(x)=A cos(ωx+φ)+b)的形式,根据三角函数的有界性运用整体思想求最值.

3.【引·全国卷】

[2014·全国卷Ⅰ]在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+,④y=tan2x-中,最小正周期为π的所有函数为()

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.①③

[试

[2018·江苏卷]已知函数y=sin(2x+φ)-<φ<的图像关于直线x=对称,则φ的值为.

命题角度三角函数图像与性质问题

(1)解决三角函数图像与性质问题:关键一,将函数化为y=A sin(ωx+φ)+b(或f(x)=A cos(ωx+φ)+b)(A>0,ω>0)的形式;

关键二,把ωx+φ看作一个整体t,根据y=sin t或y=cos t的单调区间或图像的对称轴,求得原函数的单调区间或原图像的对称轴;

关键三,最小正周期为.

(2)对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是个周期,相邻对称中心与对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是个周期.

小题1三角函数的定义、诱导公式及同角关系式

1 (1)已知sin+α=,则sin-α=()

A.B.-

C.D.-

(2)已知sin α+cos α=,则sin αcos α的值为.

[听课笔记]

______________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________ 【考场点拨】

应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的易失分点:(1)确定不了函数值的符号,如由

sin2α=求sin α的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误.

【自我检测】

1.已知角α的终边经过点(m,-2m),其中m≠0,则sin α+cos α等于()

A.-

B.±

C.-

D.±

2.已知cosα+=,则sin-α的值等于()

A.B.-C.D.±

3.已知sin α+cos α=,则tan α=()

A.B.

C.-

D.-

小题2三角函数的图像及应用

2 (1)为了得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin+的图像()

A.向左平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移π个单位

D.向右平移π个单位

(2)函数f(x)=sin(πx+θ)|θ|<的部分图像如图M2-7-2,且f(0)=-,则图中m的值为()

图M2-7-2

A.1

C.2

D.或2

三角函数图像平移变换中的误区:

(1)函数图像的平移法则是“左加右减、上加下减”,但是左右平移变换只是针对x作的变换;

(2)函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左(右)平移k个单位长度后,其图像对应的函数解析式为

g(x)=sin[ω(x±k)+φ],而不是g(x)=sin(ωx±k+φ).

【自我检测】

1.要得到函数y=sin2x+的图像,只需将函数y=2sin x cos x的图像()

A.向左平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向右平移个单位

2.将最小正周期为π的函数f(x)=sinωx++cosωx+(ω>0)的图像向右平移个单位后,所得图像对应的函数解析式为()

A.y=2sin2x-

B.y=2cos2x-

C.y=2sin 2x

D.y=2cos2x-

3.函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<的部分图像如图M2-7-3所示,为了得到g(x)=cos 2x的图像,则只需将f(x)的图像()

图M2-7-3

A.向右平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

小题3三角函数的性质及应用

3 (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像上相邻两条对称轴间的距离为,且f=0,则下列说法正确的是()

A.ω=2

B.函数y=f(x-π)为偶函数

C.函数f(x)在-π,-上单调递增

D.函数f(x)的图像关于点,0对称

(2)[2018·全国卷Ⅱ]若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是()

A.B.C.D.π

利用三角函数的性质解题时要注意以下两点:一是考查三角函数的性质时,首先要将函数化为y=A sin(ωx+φ)的形式,再对比y=sin x的性质,即把ωx+φ看成一个整体处理,但是一定要满足ω>0,否则易出错;二是一定要结合图像进行分析.

【自我检测】

1.函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在-,上单调递增,则ω的取值不可能为()

A.B.C.D.

2.设函数f(x)=cos(x+φ),其中常数φ满足-π<φ<0.若函数g(x)=f(x)+f'(x)(其中f'(x)是函数f(x)的导数)是偶函数,则φ等于()

A.-

B.-π

C.-

D.-

3.已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图像上相邻两个最高点的距离为6,P,-2是该函数图像上的一个最低点,则该函数图像的一个对称中心是()

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(3,0)

D.(4,0)

小题4三角函数的值域与最值问题

4 函数f(x)=cos x sin x+-cos2x+在闭区间-,上的最小值是.

[听课笔记]

______________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________ 【考场点拨】

求三角函数的值域与最值问题的类型与求解策略:(1)形如y=a sin x+b cos x+c的三角函数,要根据三角恒等变换把函数化为y=A sin(ωx+φ)+B的形式,再借助三角函数图像与性质确定值域与最值;(2)形如y=a sin2x+b sin x+c 的三角函数,转化为二次函数去求解;(3)形如y=a sin x cos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,再转化为关于t的二次函数去求解.

【自我检测】

1.已知函数y=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间0,上的最小值为-1,则ω=.

2.已知函数y=cos2x+sin 2x-,x∈0,,则该函数的值域为.

第8讲三角恒等变换与正、余弦定理

1.(1)[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角,且sinθ+=,则tanθ-=.

(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知α∈,tan α=2,则cosα-=.

[试做]_______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 命题角度不同名三角函数的求值

(1)解决“已知角”与“所求角”不同名的求值问题:关键一,根据“所求角”与“已知角”的和或差的关系进行“变角”,对角的分拆要尽可能化成同角、补角、余角或特殊角;关键二,利用诱导公式进行“变名”求值.

(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=--,α=+-,-=α+-+β,θ+-

θ-=等.

2.(1)[2016·全国卷Ⅲ]若tan θ=-,则cos 2θ=()

A.-

B.-

(2)[2013·全国卷Ⅱ]已知sin 2α=,则cos2=()

A.B.C. D.

[试做]_______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 命题角度求高次幂或倍角的三角函数值问题

(1)解决已知正切值,求高次幂或倍角的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将倍角转化为“已知角”;关键二,“1”的代换,1=sin2α+cos2α=(sin α+cos α)2-2sin α·cos α;关键三,弦切互化,tan α=.

(2)解决已知倍角值,求高次幂的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将高次幂的三角函数转化为倍角;关键二,利用诱导公式进行变名求值.

3.(1)[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=

()

A.B.

C.D.

(2)[2018·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin C+c sin B=4a sin B sin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.

(3)[2014·全国卷Ⅰ]如图M2-8-1,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.

图M2-8-1

[试做]_______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 命题角度正、余弦定理的应用

(1)利用正、余弦定理求边、角的解题策略:关键一,利用正、余弦定理进行边角互化;

关键二,运用三角恒等变换和A+B+C=π进行化简、消元,求出所求角;

关键三,已知两边和一边的对角或已知两角和一边,则选用正弦定理解三角形.

(2)利用正、余弦定理,解决实际问题的一般步骤:

①理解题意,分清已知与未知,画出示意图;

②根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;

③利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;

④检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

小题1三角恒等变换与求值

1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知tan-=,则tan α=.

(2)若sin-α=,则cos+2α=()

A.B.

C.-

D.-

[听课笔

记]_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________ 【考场点拨】

高考中三角恒等变换与求值的常用解题策略:

(1)“1”的代换,1=sin2α+cos2α;

(2)降幂与升幂,二倍角公式的应用及逆用;

(3)转化法,弦切互化,一般是切化弦;

(4)角的拆分,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β,β=(α+β)-α等.

【自我检测】

1.已知cos α=,则sin-2α=()

A.-

C.D.-

2.已知cos+α=2cos(π-α),则tan+α=()

A.-

B.-3

C.D.3

3.已知sin α+cos α=,则sin2-α=()

A.B.

C.D.

4.[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()

A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3

B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4

小题2利用正、余弦定理解三角形

2 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+c=20,三角形的面积为10,A=60°,则a=()

A.7

B.8

C.5

D.6

(2)在△ABC中,若满足a cos A=b cos B,则△ABC的形状为()

A.等腰三角形

B.锐角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

[听课笔记]

______________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________ 【考场点拨】

高考中利用正、余弦定理解三角形的解题策略:

在解三角形时,要有意识地考虑哪个定理更适合解题,甚至两个定理都需要,当给的条件含有角的余弦或边的二次式时,多考虑余弦定理,当给的条件含有角的正弦或边的一次式时,多考虑正弦定理.

当以上特征不明显时,要考虑哪个定理更适合或者两个定理都要用.

【自我检测】

1.[2018·全国卷Ⅱ]在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()

A.4

C.D.2

2.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC=()

A.B.

C.D.2

的取值范围是()

3.已知锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则

A.0,

B.,

C.,

D.0,

4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若其面积S=-,则cos 2A=.

小题3正、余弦定理的实际应用

3 已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度方向的150 km处,以v km/h沿正西方向快速移动,2.5 h后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度方向的200 km处,若cos α=cos β,则v=()

A.60

B.80

C.100

D.125

高考中三角形的应用的解题策略:

三角形的应用实际上是把此类问题转化为解三角形问题,通过题设画出图形,在三角形中找出已知条件和所求的量,利用正弦定理或者余弦定理去解决.

【自我检测】

1.如图M2-8-2,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度

图M2-8-2

BC等于()

A.240(-1) m

B.180(-1) m

C.120(-1) m

D.30(+1) m

2.海上有A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望B岛和C岛成60°的视角,从B岛望A岛和C岛成75°的视角,则B,C间的距离是()

A.5 n mile

B.10 n mile

C. n mile

D.5 n mile

第9讲三角恒等变换与解三角形

1.(1)[2015·全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin A sin C.

①若a=b,求cos B;

②若B=90°,且a=求△ABC的面积.

(2)[2015·全国卷Ⅱ]△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.

;

①求∠

∠

②若∠BAC=60°,求∠B.

[试做]_______________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________ 命题角度解三角形的问题

(1)近五年的高考试题中,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.

(2)解三角形问题的步骤:

第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;

第二步,利用三角恒等变换求边与角;

第三步,代入数据求值;

第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.

(3)解三角形问题的总体思路是转化思想和消元.

解答1三角形基本量的求解

1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2b cos A.

(1)若a=2,b=3,求边c的长;

(2)若C=,求角B的大小.

[听课笔记] _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2c cos B=2a-b.

(1)求角C的大小;

(2)当c=3时,求a+b的取值范围.

求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:

第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.

第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.

第三步:求结果.

解答2与三角形面积有关的问题

3 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a sin B+b cos(B+C)=0,a=.

(1)求角A的大小;

(2)若b=2,求△ABC的面积.

[听课笔

记]______________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 【考场点拨】

高考中与三角形面积有关问题的解题策略:

(1)三角形的面积问题,归根结底是解三角形问题,有时和其他知识综合考查,如求面积最大值(最小值)时,常与函数、基本不等式等结合考查.

(2)在解与三角形面积有关的问题时,要熟记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,以便在解题中应用.

【自我检测】

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a·cos C=(2b-c)cos A.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

解答3以平面几何为载体的解三角形问题

4 如图M2-9-1,在四边形ABCD中,∠DAB=,AD∶AB=2∶3,BD=,AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值;

(2)若∠BCD=,求CD的长.

图M2-9-1

[听课笔

记]______________________________________________________________________________________

以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求;四是善于用好三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于或等于,从而可以确定角或边的范围.

【自我检测】

如图M2-9-2,在△ABC中,B=,BC=2.

(1)若AC=3,求边AB的长.

(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,ED=,求角A的大小.

图M2-9-2

任意角的三角函数知识点复习

任意角的三角函数任意点到原点的距离公式：d = x 2+y 2 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么 sin y r α= ；cos x r α=；tan y x α=；正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。求解三角函数值一般角：利用三角函数的定义特殊角：先化为0至360度之间的角 ) Z (tan )2tan()Z (cos )2cos() Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 例1已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三角函数值。练：已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。例2．求下列三角函数的值：（1）9cos 4π （2）11tan()6 π - ，

练： .____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3 3 .B 33.A -- 例3．确定下列三角函数值的符号：（1）cos 250 ；（2）sin()4π-；（3）tan(672)- ；（4）11tan 3 π ．练：确定下列三角函数值的符号 (1)cos250?; (2)sin()4 π -; (3)tan(672)?-; (4)tan 3π. 例4 若θ是第二象限角，则( ) A.sin 2 θ ＞0 B.cos 2 θ ＜0 C.tan 2 θ ＞0 D.cot 2 θ＜0 2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

小学数学高效课堂听课心得体会范文

小学数学高效课堂听课心得体会范文外出学习听课收获颇丰同时也感到肩上的压力很大很有一种危机感一种被改革的潮流所淘汰、被其他学校所超越的危机感。一、4月26日有幸参加了“玉门市小学数学高效课堂暨电子白板应用评选观摩活动”听完课后给我留下很深的印象。每一位老师都以自身诠释着小学数学“高效课堂”教学中。置身于课堂中倾听着每位执教老师精心准备的课亲自听到他们对教材的深刻解读感受着他们对课堂的准确把握体会着他们对学生的密切关注。他们在开启学生思维的同时也让我学到了很多很多新的教学方法和新的教学理念引发了我对“高效课堂”的思考： 1、这次课整体设计很好无论是课件的制作、教学环节的安排、教师的点拨启发还是小组的合作都遵循着让学生掌握知识和培养学生能力的原则。从导入开始就紧紧围绕课要进行的话题对旧知识的复习环节也设计得自然把新旧知识连接起来设置了很好的梯度学生很容易自己就可以尝试新知识。这就是我们平时所说的给学生一个阶梯阶梯设好以后为后面学生的自主学习扫除了障碍学生自主合作就很容易。这是我们的教学过程中把握不好的一点。 2、课堂的拓展部分也是关注了所有的学生让每个学生都有充分展示的机会。如果我们在课堂上只把学生当成容器把自己的教案全都倾倒在容器内而不让学生有任何其他的想法以免节外生枝

其实这就是忽视了对学生的生命关怀。因为学生在课堂上产生的一些想法有时正是学生读书过程中的难点可这样的难点一旦忽略不仅造成学生学习的困难而且会让学生发问的脑筋产生惰性让我们的课堂毫无生意。新课程提倡对话师与生对话、生与生对话、生与读本对话这样课堂就应该是师生互动、心灵对话的舞台老师和学生都可能在课堂上创造出奇迹唤醒潜能。从课堂中我们还应该注意以下几个问题： 1、课堂环节中注意学生良好书写习惯的养成这也是我们老师忽略的。 2、课堂过程要有总结性评价。 3、要关注每一个学生给每个学生展示的机会特别是不喜欢举手的孩子。 4、课堂上小组的展示不能过多。 5、课堂展示时一定给下面的同学一定的任务这样大家才能认真听。 6、对作业的处理老师要做到心中有数在教学的过程中可适当的渗透这样学生做起来较容易。 7、重视语言的输入巧设语言的输出。（如老师的一句“最自信的___”、“最聪明的___”、“最优势的___”等等） 8、对本节的重点可以多一个呈现的过程。二、根据学科班长总结课题实施中存在的问题： 1、老师习惯控制课堂学生缺乏独立思考的学习时间和空间。

高中数学听课评课总结

高中数学听课评课总结在学校领导的关心下，在教务处的具体指导下，本组教师群策群力，团结进取，在教学教研方面做得了一些成绩，主要有以下几个方面：本期加大了教学督查的力度。教研组内先后听了，魏丽芳，黄双妹、李哲3位老师的课，针对教育教学中存在的问题，教研组内进行了交流，有效的促进了他们对教育教学的研究以及角色的转变，保证了教学的有效推进。对提高教学质量取得了较好的效果。授课老师通过展示课件、授课技巧，注重相关知识与高考的链接，听后有不少的收获。我们组织评课活动，会上，各位老师各抒己见，指出了授课老师主要优点，并与授课老师交换了意见。阐述教学设计的理念，真诚地提出自己的见解。公开课对教师是一次良好的锻炼机会，也是学习别人的绝佳时机。通过听课，能够及时发现自己的不足之处，提高自己的教学水平，公开课的最大亮点是能够学习别人的先进理念，互帮互助，共同进步。经常利用多媒体教学，对提高教育教学质量起到促进作用，最后，教研组长对公开课中教师的教学设计、班级信息技术的运用、师生互动等方面作了分析，并且针对公开课出现的几个问题提出了改进建议，提出了新的希望。区级研讨课在我校举行。魏丽芳老师在高三6班举行鲤城区区级研讨课活动，椭圆的应用复习，得到全体参加的数

学教师一致好评，他对多媒体运用熟练、恰当，学生踊跃发言，整节课学习情势高，体现教师较强教学基本功，及引导学生自主学习的能力，老师一题多解，一题多变，利用树壮图展示知识间关系，教学效果明显。李哲向量的运算，双妹直线方程复习三角公式推导课都给每位教师留下深刻印象，他们认真负责，认真备课，上课，主动请教老教师研讨公开课内容，让听课教师受益。针对公开课存在问题，我们认真落实常规教学教研。数学组全体老师都能认真深入钻研业务，不断学习新的知识，努力提高教育、教学水平，以课堂教学改革为切入点，以促进学生自主学习为主攻方向，提高了课堂效益。为了能充分挖掘各人的潜能，发挥集体的力量和智慧，我们很注重集体备课，各年段每周至少有两次集体备课时间，并做到有内容和中心发言人，在集中之前，大家必须先钻研教材内容，然后就教材的内容对教学设计、教学的重难点如何去突破、对如何把握例题讲解的深浅程度、习题的选用等等发表个的见解和意见，大家一起学习、研究，取长补短。平时大家经常互相听课，同备课组的老师经常互相推荐自己经过学习后觉得很有收益的教研论文，大家一起共同学习，研究，最终达到共同提高的目的。全组教师工作十分认真，积极钻研教材，研究教法，在学校教学常规检查中，数学组整体情况良好，多次受到学校

平面向量与三角函数教案

1 第十讲平面向量及其应用例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝（）例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中， ,1,3 AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ?内运动，（含边界），设 () ,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的取值范围是 . 例3.设P 是ABC ?内一点，满足()()() 21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r . 则x 的取值范围是 . .已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1 S ，△ABC 的面积为2 S ， AP pPB =u u u r u u u r ， AQ qQC =u u u r u u u r ，则（ⅰ）pq p q =+ ，（ⅱ）12 S S 的取值范围是 .

例1. 在 ABC V 中， 60,3, B A C ∠=o 则 2AB BC +的最大值为 _________．例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________．例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ， b ， c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c c b +的取值范围是____________．例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若, CP AB PA PB ?=?uu r uu u r uu r uu r 则实数λ的值是_________．例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心，则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r ”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu r r ，则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________．例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若 AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________．例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为150°，且 1 OA OB ==u u u r u u u r ， 23 OC =u u u r 若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，，则 λμ +的值为_________． A O B x y 1 23 5.0- 3 -

《任意角的三角函数一》教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4）第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。【教学重点与难点】：重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。难点：任意角的三角函数概念的建构过程【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？二、研探新知 1.三角函数的定义【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

(完整版)打造高效课堂心得体会

打造高效课堂心得体会本学期学校教导处组织我们学习了《如何才能打造高效课堂》。经过学习，我认识到了高校课堂的重要性，也懂得了什么样的课堂才是高效课堂，同时对如何打造自己的高效课堂有了些许的认识和体会。课堂教学是学校教育的主阵地。追求课堂教学的高效率，是每一个老师不断追求的目标，它是教学过程的最优化，教育效果的最大化，是师生完美配合的结晶。高效课堂是针对课堂教学的无效性、低效性而言的。现在新课程改革如火如荼，“自主、合作、探究”为核心的课堂教学备受青睐。课堂教学高效性是指在常态的课堂教学中，通过教师的引领和学生积极主动的学习思维过程，是在训练习作中的升华认识，在一节课的时间里高效率、高质量地完成教学任务、促进学生获得高效发展。具体表现在：学生在认知上，从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会；在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。高效课堂的前提是看学生是否愿意学、会不会学，乐不乐学，核心是教学三维目标的达成。因此，评价课堂是否高效主要是看能否高效地促进学生的发展、高效地实现预期教学目的。如何实施高效课堂教学策略呢？我觉得具体的是：一、精心备好课，是打造高效课堂的前提。精心备课，分四步。第一步是在备课前泛读，我们一定要经过大量的阅读和准备，不单是写写教案那么简单，自己必须广泛深入地阅读，随时充电充实自己，打下深厚的知识基础，作好充足的教学准备。比如科学课中有许多知识和技能必须老师先弄得清清楚楚，明明白白才能给学生去上课，否则你不可能让学生透彻地掌握正确的科学知识与技能；自己如果都是迷迷糊糊的，那学生肯定更是云里雾里的。这哪谈得上高效呢？只会令学生生厌而已，久而久之就是误人子弟了。所以，我每次备课前都进行大量的阅读。翻阅各种资料，上网查询各种疑难问题。所以，本期我自己阅读学习的教学资料形成了厚厚的一本，远远超过了备课本的厚度。“台上一分钟，台下十年功”，这句话我是深有体会了。总之，我认为一个负责任的老师绝不能把自己都不懂的东西去教学生。第二步是备课时自读，不参照任何名家教案或参考书，完全是自读自思自解。第三步是针对自读时的难点疑点，参照别人的备课，看看哪

平面向量与三角函数的综合应用

微点深化平面向量与三角函数的综合应用平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 【例1】 (2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值； (2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ? ?? ??x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ? ????x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈??????－π3，2π3，∴－32≤sin ? ?? ??x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3. 【例2】 (2018·南京模拟)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈? ?? ??0，π2，t 为实数. (1)若a －b ＝? ?? ??25，0，求t 的值； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ? ?? ??2α＋π4的值. 解 (1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝? ?? ??25，0，

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__.

3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

高效课堂听课心得体会

高效课堂听课心得体会高效课堂听课心得体会例文 11月7日，一个美好日子。我们岸堤小学语文组六人，在刘校长和田主任的带领下，6点多就起床，七点钟出发，8点就赶到了上高里小学。很多别的学校教师精英们也同时聚集在那里。课型有 “如何构建高效课堂主题阅读”等。还有一场别开生面，深深吸引了我……每一堂课都具有学习意义，每一个教师的精心展示不仅令学生陶醉痴迷，而且对于正在语文教学路途上摸索前进的我来说，无疑也是醍醐灌顶，收获颇多。下面我就谈谈我对此次活动的心得体会：第一、吃透教材是基础。听完几位老师的汇报课后，我认为他们对教材的把握都有其独到之处，都能抓住题眼，一步步的深入文本。田老师讲授的《钓鱼的启示》一课中，她抓住经动作、语言、形态的写作手法进行部分精讲，进行示范阅读，田老师的课不仅让学生学到知识，心理上也得到愉悦。最后，她从不同角度引导学生，以文带文的形式，对人物的拓展品读，即可文品读，激发了学生的无限乐趣。整节课在优美生动的语言中层层展开，使听者回味无穷。第二、把主动权还给孩子们。新课程标准要求让学生成为学习的主体，教师是这个主体的引导者。这几位老师都充分的做到了这点。例如张老师《为中华之崛起而读书》时，通过课件的设计，精彩的品读，体会了祖国的中华不振，以及以后的我们怎么去为祖国做贡献。第三、深入文本，与文本进行情感对话。并且读的要求也不尽相同，例如：陈老师在上《称赞》这课时，首先让学生大声自由的体会那掌声热烈而持久的情感读课文；再读课文，通过多种优秀进行生字的检查；表演，让学生深情并茂的体会作者的感情升华。学习

中还穿插着齐读、分组读、示范读，进而激发同学阅读兴趣，让学生在阅读中更好的领会文章所表达的爱的精神，层次非常清晰。第四、注重学习习惯的养成。很多老师会在课堂上穿插着一些，让学生收获这些学习的方法，当他以后遇到类似的问题时才能够用自己的力量解决。例如杨老师就要求在正文学习前进行交流，便于在学习课文时迅速找到所讲的内容。她还要求在读文章时对有生字或读不通的句子多读几遍，这样就能“读书百遍，其意自见”。老师在学生阅读的过程中及时的纠正文字的发音，潜移默化的教导学生字音要读准的习惯。还有的老师一直强调“不动笔墨不读书”，做好批注，有利于培养学生集中精力的好习惯。第五、亲切的评价语言。几位老师评价学生的语言是那么贴切，到位，如有的老师运用“你最聪明、你会更加努力的、我的孩子，你真棒、你的眼睛已经告诉我答案了”等来鼓励学生。这些朴实，自然的语言，对我感触很深。在以后的课堂上，我也试着让我的学生感受这些美丽的评价语言。通过此次活动，我对语文教学应是动情去读去感受有了更深刻的认识。但是还有一丝遗憾：由于时间关系和活动的大型性，有些好课，特别是网络作文的读写联动课没听到。培养学生去有意识的修辞炼句，善于发现、善于反省和领悟情感。这些能力的习得需要语文老师去教，去想方设法的教，多种形式，但要求实效。我想我是应该阅读更多的书，更努力地钻研教学这门学问了，还要从心底爱上这门课。第六、今后努力方向 1、必须不断地学习。俗话说，教师要给学生一杯水，首先自己要有一桶水，而现在仅有一桶水已经不够了，教师要有不断流淌的源头活水，这源头活水来自哪里，这就需要我们老师不断地学习，不断地充电。新课程实施后，对老师的要求越来越高看，要求教师要专业化发展，要学习新课程理论，转变教学观念，改革课堂结构，加强自己的教学基本功训练，特别是语文教师，要不断提高自己的语文素养。而所有这

完善教学设计,提高课堂效率

完善教学设计，提高课堂效率 ——任意角三角函数概念教学反思杭州市余杭高级中学吴寅静 10月18日课题组第七次会议上，观摩了陶维林和白涛两位老师的《任意角三角函数》的概念教学课，使我对任意角三角函数概念的教学有了更深刻的理解。10月28日我到福建三明市上了一堂任意角三角函数的公开课，这一实践使我对这一节教学内容有了更深的认识。借班上课的困难主要来源于教师对学生不了解，即使像陶老师、白老师这样的专家型教师也出现了没有实现教学设计的目标的状况。为了避免这种情况再次发生，我在陶老师和白老师的教学设计基础上，重新进行教学设计，努力压缩概念的生成时间，减少习题容量，争取一节课达到预设目标。但在实际教学中，即便是减少了教学容量，降低了教学要求，预设的教学目标和任务还是没有达成，这不由得使我思考其深层原因。为了更好地说明问题，我把整堂课的大致过程呈现如下。一、教学过程 1．回顾锐角三角函数的定义师：在初中，我们已学过锐角三角函数，锐角三角函数的正弦是如何定义的？生：是对边比邻边的比值。师：哪个对边比邻边？生：直角三角形中的对边比邻边。师：对。我们可以在锐角的终边上取一点P ，作与始边垂直的直线，交始边于M ，形成Rt △OMP ，那么OM MP OP OM OP MP ===αααtan ,cos ,sin 。师：对于一个确定的锐角，上述比值是确定的。对于不同的锐角，是否可以用上述方法确定相应的比值？生齐答：可以。利用几何画板进行角的终边变化，学生可以发现当锐角发生变化时，这三个三角函数值也在改变。师：锐角三角函数的自变量是什么？函数值是什么？自变量变化范围是多少？生：自变量是角，函数值是比值，自变量范围为 90~0。师：能用弧度来表示吗？生：），（2 0π 。 2．任意角三角函数定义的生成师：角的范围已推广到了任意角，你认为任意角的三角函数该怎样定义比较合理呢？学生没有反应，有些学生在看书，希望能从书本中找到答案。师：能不能继续在直角三角形中定义任意角三角函数？生：能，也可以是比值。师：那么如果角是钝角呢？学生沉默。师：现在角的范围扩大了，你们认为该把角放在哪里研究比较好？

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30；分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径（经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋＋－＋－＋－－－＋＋－ s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数偶函数奇函数诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称）

11. 周期函数：()()f x T f x +=。不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx

14. 函数性质：（注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位（左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位（左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。

3知识讲解_任意角的三角函数_基础

任意角的三角函数【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题。【要点梳理】要点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； (2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α= ≠. 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关. 我们只需计算点到原点的距离r = 那么sin α= ,cos α=,tan y x α=。要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin(2)sin k απα+?=，其中k Z ∈ cos(2)cos k απα+?=，其中k Z ∈ tan(2)tan k απα+?=，其中k Z ∈ 要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函

数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应. 要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段. 要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外. 【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值。【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【答案】35，45-，34-或35-，45，34 - 【解析】 5||r a ==。若a ＞0，则r=5a ，α是第二象限角，则 33sin 55 y a r a α= ==， 44cos 55 x a r a α-===-， 33tan 44 y a x a α===--，若a ＜0，则r=－5a ，α是第四象限角，则 3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-。【总结升华】本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。举一反三：【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值。【答案】1221,22 --

高效课堂学习心得体会

高效课堂学习心得体会关于高效课堂学习心得体会1 我组老师认真阅读了《有效教学和-谐课堂》受益颇多。下面我有针对性谈谈我对《有效教学和-谐课堂》这本书学习的体会：一、课堂教学的有效评价新课程呼唤充满生命活力的生态课堂，呼唤充满人文关怀的生态课堂。二、课堂教学的有效提问提问是课堂教学中的一个重要环节，是教师促进学生思维、传授知识的重要手段，是教学过程中教师和学生之间常用的一种相互交流的教学技能。它在教学中有着重要的意义和作用。我深刻体会到课堂提问要集中，不能太散乱，指向性要明确，化零为整。整体性提问的设计，要紧扣教材内容，围绕学习目标，将备课中初拟的零散问题聚焦到能牵一发而动全身的关键点上，以利于突出重点、攻克难点。使学生真正能悟透疑点，达到事半功倍的效果。三、有效课堂应该为学生创设宽松和-谐的学习环境。老师要使自己与学生、学生和学生之间形成良好的、和-谐的、民-主的关系，老师要成为引导学生学会寻求知识、吸收知识、运用知识的向导和组织者，成为深刻理解学生观点、想法和情感特征的知音。这样，学生就能以极大的热情、饱满的情绪投入到教学过程中去，课堂气氛就会异常活跃，学生就能畅所欲言。四、课堂教学的有效组织其实，可以说，一位教师的课讲授的很出色，如果没有有效的组织教学，那么这一节课一定是一节失败的课。一节有效组织的课堂教学也就是一堂好课的标准。任何一堂课都要以组织教学开始，并贯穿于一节课的始终。所以我们要学会课堂教学的各种组织方法和策略，并按照新课程理念要求，从关注学生终身发展的高度，不断优化课堂教学结构，改变学生的学习方式。积极地营造民-主、平等、和-谐的教学氛围，使教师有效的教学，学生有效的学习。五、有效课堂应该为学生创设思考的空间和时间。老师要敢于改革，敢于创新，敢于改造教材，尝试新的教法，解放课堂、解放学生，让学生在课堂上自主、自发地参与、投入学习，淡化教师课堂的主导地位（不是不重视教师的主导地位），把更多的主导权给学生，把课堂交还给学生。我越来越觉得现在的学生要比以往更聪明，更有创造力和想象力，我们作为教师，更要以学生为本，为学生创设思考的空间和时间，充分发挥学生的主观能动性，采取一切方法与手段，发展学生的思维，调控学生的情绪，让学生的创新火花、灵光一现的思维碰撞都无比完美的表现出来。评价一堂课的好坏重要的是看通过这堂课的教学，学生究竟学到了什么知识，受到了多少启发，能对学生产生怎样的影响，学生是否得到了发展。我们老师需要从教育理念、学科知识、教育机智、教育手段和课堂细节等方面充分准备和思考，对课堂上可能出现的各种情况都要考虑到位，在课堂上才能以不

高中数学教学案例doc

高中数学《诱导公式》教学案例教材分析：三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教B版）数学必修四，第一章第二节内容，其主要内容是公式（一）至公式（四）。本节课是第二课时，教学内容是公式（三）。教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数定义和公式（一）（二）的基础上，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现三角函数值的关系。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法。教案背景：通过学生在已经掌握的任意角的三角函数定义和公式（一）（二）的基础上，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现三角函数值的关系。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。因此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位. 教学方法：以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式。教学目标：借助单位圆探究诱导公式。能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数。教学重点：诱导公式（三）的推导及应用。教学难点：诱导公式的应用。教学手段：多媒体。教学情景设计：一．复习回顾：诱导公式（一）（二）。角（终边在一条直线上）思考：下列一组角有什么特征？（）能否用式子来表示？二．新课：已知由可知而（课件演示，学生发现）所以于是可得：（三）设计意图：结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换，导出公式。

由公式（一）（三）可以看出，角角相等。即： . 公式（一）（二）（三）都叫诱导公式。利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式。设计意图：结合学过的公式（一）（二），发现特点，总结公式。练习（1）设计意图：利用公式解决问题，发现新问题，小组研究讨论，得到新公式。（学生板演，老师点评，用彩色粉笔强调重点，引导学生总结公式。）三．例题例3：求下列各三角函数值：（1） (2) (3) (4) 例4：化简设计意图：利用公式解决问题。练习：（1）（2）（学生板演，师生点评）设计意图：观察公式特点，选择公式解决问题。四．课堂小结：将任意角三角函数转化为锐角三角函数，体现转化化归，数形结合思想的应用，培养了学生分析问题、解决问题的能力，熟练应用解决问题。

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合【例2】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四三角函数与平面向量数量积的综合【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则（） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小；（2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？（2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．

高效课堂听课心得体会

高效课堂听课反思郝慧敏2016.11.24 课堂教学是一门艺术，是一种教师与学生共同参与的双边活动。高效课堂更是打破传统的教学方式，真正体现了学生的主体地位，教师讲得少，学生讲得多，练得多，学生的学习能力、动手能力、表现能力等多种能力得到了很好的训练，深感这样的课堂做实了，课堂也就高效了。所谓的高分低能现象也就不复存在了。在聆听教师们精心准备的每一节课中，我亲身领略着教师们对教材的深刻解读，感受着教师们对课堂的准确把握，体会着教师们对学生的密切关注。教师们在开启学生智慧大门的同时，也让我学到了很多很多的教学方法和新的教学理念，使我受益匪浅，感受颇多。魏书生教师给学生牢牢的建立这样的观念“每天背起书包，来到学校，走进学室，拿出学材，开始自学，遇到问题，查找资料，实在不会，大家商量，没有答案，再问前面这个人。”倡导“教师不替学生讲学生自己能讲清楚的问题，不替学生做自己能做的事。”我校在进行了一年多的高效课堂实践过程中也逐渐体会到了这一点，懂得每节课“怎么上”比“上什么”更重要。大胆放手，让学生自主学习，主动发展。改变了传统的数学课堂的模式，教师不再是“传道、授业、解惑”者，不再孤立不援，不再高高在上，而是和同学们共同遨游于知识的海洋，思想碰撞的“浪花”时时闪现，使得数学课堂充满了灵动性，人文性。虽然达不到百家争鸣，百花齐放，但也做到了各抒几见，畅所欲言。达到了真理趆辩趆明，学生能够表达自己的想法，能

有充分的时间去探究，去争辩，得以暴露出学生知识的“盲点”。每一位数学教师都能重视课堂的生成资源，特别是当学生回答错误时，教师能让生成的错误资源“变废为宝”，通过一时的“山重水复疑无路，”，过后的“豁然开朗”、“茅塞顿开”，最后的“柳岸花明又一村”从表现上看时间好似耗费了，实则有了这个过程，才使得学生真正弄会了，学透了。陈教师以预习书中的知识点及课堂小练笔作为导学案，充分体现了书本的重要价值，其实追根求源，也是万变不离其课本，由文本中的描写总结出描写方法，用于小练笔和习作中去，管理学生到位，学生对于预习的任务能认真的完成，这也体现了教师在平时一定是严格要求学生，认真组织和培养学生去适应高效课堂，班级学习氛围浓厚，学生在态度上认真，教师对展示的学生优缺点及时点评，不到位的地方及时纠正，知识得以细化，从而真正渗透。展示的学生讲完知识点后还会配以相应的练习去问其他的同学，听讲的同学不仅认真听，还会纠错并质疑，从而达到生生互动，师生互动的真正的高效。每节新授课都基本分为探究知识点和运用知识点解题两部分，每节的知识点是书中的精华所在，探究并推导出性质是一节课的重点也是难点，教会学生习作的方法，让学生在平时的知道从哪些方面去观察，去描写。

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆新课讲解：任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r == >，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。（Ⅳ）（Ⅲ）

三角函数与平面向量听课正文

任意角的三角函数知识点复习

小学数学高效课堂听课心得体会范文

高中数学听课评课总结

平面向量与三角函数教案

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

(完整版)打造高效课堂心得体会

平面向量与三角函数的综合应用

三角函数最全知识点总结

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三角函数及平面向量知识点总结

3知识讲解_任意角的三角函数_基础

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