2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04导数及其应用)
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（04导数及其应用）
一、选择题：
1.（2008安徽文）设函数1
()21(0),f x x x x
=+
-< 则()f x （ A ） A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
2．(2008福建文)如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数
,()y f x =的图像可能是（A ）
3. (2008福建理)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（D ）
4．(2008广东文)设R a ∈，若函数ax e y x
+=，R x ∈有大于零的极值点，则（A ） A ．1-a C. e a 1-> D. e
a 1-<
5．(2008广东理)设R a ∈，若函数x e
y ax
3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ B ） A ．3->a B. 3-a D. 3
1
- 6、(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ） A. 2 e B. e C. ln 2 2 D. ln 2 7、(2008海南、宁夏理)由直线21= x ，x=2，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是（ D ） A. 4 15 B. 4 17 C. 2ln 2 1 D. 2ln 2 8. (2008湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 9．(2008江西理) 1 23lim 1 --+→x x x ＝（ A ） A ．21 B ．0 C ．－2 1 D ．不存在 10．(2008辽宁理) 135(21) lim (21)x n n n →∞++++-=+L （ B ） A ． 14 B ．12 C ．1 D ．2 11．(2008辽宁文、理)设P 为曲线C ：2 23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线 倾斜角的取值范围为04π?????? ，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ） A ．112 ?? --??? ? ， B ．[]10-， C ．[]01， D ．112?? ???? ， 12．(2008全国Ⅰ卷文) 曲线3 24y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ B ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 13．(2008全国Ⅰ卷理)设曲线1 1x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ． 12 C ．12 - D ．2- 14．(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2 ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （A ） A ．1 B ． 1 2 C ．12 - D ．1- 二、填空题： 1.（2008北京文）如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f (f (0))= 2 ; 函数f (x )在x =1处的导数f ′（1）= -2 . 2．（2008北京理）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为 (04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = 2 ； 0(1)(1)lim x f x f x ?→+?-=? —2 ．（用数字作答） 3. (2008湖南理)2 11lim ______34x x x x →-=+-. 15 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 4. (2008江苏)直线1 2 y x b = +是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ln2－1 ． 4.【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．' 1y x = ，令112 x =得2x =，故切点（2，ln2）， 代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1． 【答案】ln2－1 5. (2008江苏) ()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = 4 ． 5.【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，23 31a x x ≥ - 设()2331g x x x =-，则()()' 4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ???上单调递增，在区间1,12?????? 上单调递减，因此()max 142g x g ?? == ??? ，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()' 4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4 【答案】4 6．(2008全国Ⅱ卷理)设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = 2 ． 7.(2008山东理)设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0).若)()(010 x f dx x f =? ，0≤x 0≤1,则x 0的值为 3 3. 8．(2008陕西理) (1)1 lim 2n a n n a ∞++=+→，则a = 1 ． 三、解答题： 1.（2008安徽文）设函数32 3()(1)1,32 a f x x x a x a = -+++其中为实数。 （Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）已知不等式'2 ()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。 1.解: (1) '2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 ' (1)0f = 即 310,1a a a -++==∴ (2) 方法一：由题设知：2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 设 2 2 ()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 2 20x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{ |20x x -≤≤ 方法二：由题设知：22 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22 202 x x x +≤+ 20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤ 2.（2008安徽理）设函数1 ()(01)ln f x x x x x = >≠且 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。 2. 解 (1) ' 22ln 1(),ln x f x x x +=-若 ' ()0,f x = 则 1x e = 列表如下 x 1 (0,)e 1e 1(,1)e (1,)+∞ '()f x + 0 - - ()f x 单调增 极大值 1()f e 单调减 单调减 (2) 在 12a x x > 两边取对数, 得 1 ln 2ln a x x >,由于01,x <<所以 1 ln 2ln a x x > (1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1 ()()f x f e e ≤=-, 为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2 a e >-,即ln 2a e >- 3.（2008北京文）已知函数32 ()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数. （Ⅰ）求a ,c 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间. 3.解：（Ⅰ）因为函数g (x )=f (x )-2为奇函数， 所以，对任意的x ∈R ,g (-x )=-g (x ),即f (-x )- 2=-f (x )+2. 又f (x )=x 3+ax 2+3bx +c , 所以-x 3+ax 2-3bx +c -2=-x 3-ax 2-3bx -c +2. 所以. 22,+-=--=c c a a 解得a =0，c ＝2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )=x 3+3bx +2. 所以f ′(x )=3x 2+3b (b ≠0). 当b ＜0时，由f ′(x )=0得x =±.b - x 变化时，f ′(x )的变化情况如下表： ，+∞）上单调递增. 当b ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )在（-∞，+∞）上单调递增. 4．（2008北京理）已知函数2 2()(1)x b f x x -= -，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 4．解：24 2(1)(2)2(1) ()(1)x x b x f x x ----'=-g 3 222(1) x b x -+-=- 3 2[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-． 当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表： 当11b ->，即2b > 所以，当2b < 在(1)+∞，上单调递减． 当2b >时，函数()f x 在(1)-∞， 上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减． 当11b -=，即2b =时，2 ()1 f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减． 5. (2008福建文) 已知函数32 ()2f x x mx nx =++-的图像过点（-1，-6），且函数()'()6g x f x x =+的图像关于y 轴对称。（1）求m,n 的值及函数()y f x =的单调区间；（2）若a>0，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值。 5.解：（1）由函数图像过（-1，-6），得m-n=-3， 由3 2 ()2f x x mx nx =++-，得：2 '()32f x x mx n =++ 而2()3(26)g x x m x n =+++图像关于y 轴对称，所以：26 023 m +-=?，即m=-3,所以n=0 由2'()360f x x x =->得：(,0)(2,)x ∈-∞+∞U 所以，单调递增区间为(,0)-∞，(2,)+∞，递减区间为(0,2) （2）由2 '()360f x x x =-=，得：x=0,x=2；函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内有： 所以，当0 6.(2008福建理)已知函数f (x )=ln(1+x )-x 1 （Ⅰ）求f (x )的单调区间； （Ⅱ）记f (x )在区间[]0,π（n ∈N*）上的最小值为b x 令a n =ln(1+n )-b x . （Ⅲ）如果对一切n p c 的取值范围； （Ⅳ）求证： 13 132******** 1.n n a a a a a a a a a a a a -+++g g g g g g p g g g 6. 本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一： （I ）因为f(x)=ln(1+x )-x ，所以函数定义域为（-1,+∞）,且f 〃(x)=11x +-1=1x x -+. 由f 〃(x )>0得-1 (i)== > 1.= 又 1x ==, 因此c <1，即实数c 的取值范围是（-∞，1）. （II ）由（i < 因为[ 135(21)246(2)n n ????-?????K K ]2 =3222133557(21)(21)11 ,246(2)2121n n n n n ???-+=???? ?++L ＜ 所以135(21)246(2)n n -g g g L g g g g L g 1∈N *), 则113135(21) 224246(2) n n -+++g g g g L g L g g g g L g ＜ 131321122242 1.n n n a a a a a a a a a a a a -=+++L L L L 即＜ 1(n ∈N *） 解法二： （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为f (x )在[]0,n 上是减函数，所以()ln(1),n b f n n n ==+- 则ln(1)ln(1)ln(1).n n a n b n n n n =+-=+-++= （i p n ∈N*恒成立. p n ∈N*恒成立. 则2c n +p n ∈N*恒成立. 设()2g n n =+ n ∈N*，则c ＜g (n )对n ∈N*恒成立. 考虑[)()21,.g x x x =+∈+∞ 因为12211 ()1(2)?(22)1121x g x x x x x -+=-++=- +p ′＝0， 所以[)()1,g x +∞在内是减函数；则当n ∈N*时，g (n )随n 的增大而减小， 又因为42lim ()lim(2x x x x g n n →∞ →∞ + =+-== 1. 所以对一切* N ,() 1.n g n ∈>因此c ≤1,即实数c 的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ) < 下面用数学归纳法证明不等式 135(21)N ).246(2)n n n +-<∈g g g L g g g g L g ①当n =1时，左边＝1 2 ，左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k 时,不等式成立. 即 135(21)246(2)k k - 3 21223 2122 2122212121)22(2642)12(12531++++= ++=++++?+?? ?????k k k k k k k k k k k k k ＜）（）－（ =, 1 )1(213 213 214 8243 824++= ++++++? k k k k k k k ＜ 即n ＝k ＋1时，不等式成立 综合①、②得，不等式*)N (121)2(642)12(531∈+?-?????????n n n n ＜成立. 所以1212) 2(642)12(531--+?-?????????n n n n ＜ ) 2(642)12(531423121n n ???????????-??+＋＋ .112123513-+=-?n n ＋＝－＋－＜ 即*)N (1212421231423121∈-???+++-n a a a a a a a a a a a a a n n n ＜＋. 7. (2008广东文)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积 购地总费用 ） 7、解：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得 *21601000010800 (56048)56048(10,)2000y x x x x N x x ?=++ =++≥∈ 则21080048y x '=-，令0y '=，即2 10800 480x -=，解得15x = 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元. 答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 8. (2008广东理)设R k ∈,函数?? ? ??≥--<-=1,1,1,11 )(x x x x x f R x kx x f x F ∈-=,)()(. 试讨论函数)(x F 的单调性. 8.解: 因为?????≥--<-=1,1,1,11)(x x x x x f ,所以R x kx x kx x kx x f x F ∈?? ? ??-----=-=,111 )()(. (1)当x<1时，1-x>0，)1(,)1(1 )(2 <--= 'x k x x F ①当0≤k 时，0)(>'x F 在)1,(-∞上恒成立，故F(x)在区间)1,(-∞上单调递增； ②当0>k 时，令)1(,0)1(1 )(2 <=--='x k x x F ，解得k k x -=1， 且当k k x - <1时，0)(<'x F ；当11<<- x k k 时，0)(>'x F 故F(x)在区间)1,(k k --∞上单调递减,在区间)1,1(k k -上单调递增； (2)当x>1时， x-1>0，)1(,1 21 )(>--- ='x k x x F ①当0≥k 时，0)(<'x F 在),1(+∞上恒成立，故F(x)在区间),1(+∞上单调递减； ②当0 21)(>=--- ='x k x x F ，解得241 1k x +=， 且当24111k x +<<时，0 )(<'x F ；当241 1k x +>时，0)(>'x F 故F(x)在区间)411,1(2k +上单调递减,在区间),411(2 +∞+k 上单调递增； 综上得，①当k=0时，F(x)在区间)1,(-∞上单调递增，F(x)在区间),1(+∞上单调递减； ②当k<0时，F(x)在区间)1,(-∞上单调递增，在区间)41 1,1(2k +上单调递减,在区间),41 1(2+∞+k 上单调递增；； ③当0>k 时，F(x)在区间)1,(k k - -∞上单调递减,在区间)1,1(k k -上单调递增, 在区间),1(+∞上单调递减. 9、(2008海南、宁夏文)设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 74120x y --=。 （1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。 9．解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为7 34 y x =-． 当2x =时，12 y =． ······················································································ 2分 又2()b f x a x '=+ ， 于是1222744 b a b a ?-=????+=??，， 解得13.a b =??=?， 故3 ()f x x x =-． ·························································································· 6分 （Ⅱ）设00()P x y ，为曲线上任一点，由23 1y x '=+知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为 002031()y y x x x ?? -=+- ??? ， 即00200331()y x x x x x ? ???-- =+- ? ?? ???． 令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ??- ?? ?， ． 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，． ············ 10分 所以点00()P x y ，处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为 016 262x x -=． 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6． ················································································································· 12分 10、(2008海南、宁夏理)设函数1 ()(,)f x ax a b Z x b =+ ∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 3y =。 （1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面 积为定值，并求出此定值。 10．解：（Ⅰ）2 1 ()()f x a x b '=- +， 于是2 121210(2) a b a b ?+=?+???-=+??，，解得11a b =??=-?，，或94 8.3a b ?=????=-??， 因a b ∈Z ，，故1 ()1 f x x x =+-． （Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21 y x =都是奇函数． 所以函数1 ()g x x x =+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． 而1 ()111 f x x x =-++-． 可知，函数()g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)， 为中心的中心对称图形． （Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ?? + ?-?? ，． 由02 01 ()1(1) f x x '=- -知，过此点的切线方程为 2000200111()1(1)x x y x x x x ??-+-=--??--?? ． 令1x =得001 1x y x += -，切线与直线1x =交点为00111x x ??+ ?-?? ，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --， ． 直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为 000001112 12112222121 x x x x x +---=-=--． 所以，所围三角形的面积为定值2． 11. (2008湖北理)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为 V （t ）=1 2(1440)50,010,4(10)(341)50,1012. x t t e t t t t ?? -+-+≤??--+≤?p p （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t ＜t 表 示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）. 11.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）①当0＜t ≤10时，V (t )=(-t 2+14t -40),505044 1 <+e 化简得t 2-14t +40>0, 解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4. ②当10＜t ≤12时，V （t ）＝4（t -10）（3t -41）+50＜50, 化简得（t -10）（3t -41）＜0, 解得10＜t ＜ 3 41 ，又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综合得0 由V ′（t ）=),8)(2(4 1)42341(41 24 1-+-=++-t t c t t c t t 令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍去). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 12. (2008湖北文) 已知函数322 ()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程. 12.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分12分） 解：(Ⅰ) f ’(x )＝3x 2+2mx －m 2=(x +m )(3x －m )=0,则x =－m 或x =31m , 当x 即f (－m )＝－m 3+m 3+m 3+1=9,∴m ＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f (x )=x 3+2x 2－4x +1, 依题意知f ’(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－3 1. 又f (－1)＝6，f (－ 31)＝27 68， 所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －2768＝－5(x ＋3 1 )， 即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0. 13．(2008湖南文) 已知函数43219 ()42 f x x x x cx =+-+有三个极值点。 （I ）证明：275c -<<； （II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。 13. 解：（I ）因为函数43219 ()42f x x x x cx = +-+有三个极值点, 所以32 ()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根. 设32()39,g x x x x c =+-+则2 ()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+- 当3x <-时，()0,g x '> ()g x 在(,3)-∞-上为增函数; 当31x -<<时，()0,g x '< ()g x 在(3,1)-上为减函数; 当1x >时，()0,g x '> ()g x 在(1,)+∞上为增函数; 所以函数()g x 在3x =-时取极大值,在1x =时取极小值. 当(3)0g -≤或(1)0g ≥时,()0g x =最多只有两个不同实根. 因为()0g x =有三个不同实根, 所以(3)0g ->且(1)0g <. 即2727270c -+++>,且1390c +-+<, 解得27,c >-且5,c <故275c -<<. （II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点. 不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x 若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减， 则[],2a a +?1(]x -∞，, 或[],2a a +?23[,]x x , 若[],2a a +?1(]x -∞，,则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <- 若[],2a a +?23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<< 又3 2 ()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2 ()(3)(3)f x x x '=-+; 当5c =时，2 ()(5)(1)f x x x '=+-. 因此, 当275c -<<时，31 3.x <<所以3,a >-且2 3.a +≤ 即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时， 总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减. 综上所述, a 的取值范围是(5)(3,1)-∞--U ，. 14.. (2008湖南理)已知函数 f (x )=ln 2(1+x)-2 1x x +. (I) 求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）若不等式1(1) a a e n ++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）. 求α的最大值. 14.解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞， 2222 2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1) x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++ 设2 ()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x -'= -=++ 当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在（-1，0）上为增函数， 当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数. 所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠， 函数g (x )在(1,)-+∞上为减函数. 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当x ＞0时，()(0)0.g x g <= 所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在（-1，0）上为增函数. 当x ＞0时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数. 故函数()f x 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,)+∞. （Ⅱ）不等式1(1) n a e n ++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n ++≤由1 11n +>知， 1 .1ln(1)a n n ≤-+ 设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x = -∈+则 22 2222 11(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1) x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由（Ⅰ）知，2 2 ln (1)0,1x x x +-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数. 故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为1 (1) 1.ln 2 G =- 所以a 的最大值为 1 1.ln 2 - 15．(2008江苏)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定 污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 15.【解析】本小题主要考查函数最值的应用． （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10 cos cos AQ OA θθ = = , 故 10 cos OB θ = ，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以1010 1010tan cos cos y OA OB OP θθθ =++= ++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ? ?<< ??? ②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以 = 所求函数关系式为)010y x x =+<< C B P O A D （Ⅱ）选择函数模型①，()()() ' 22 10cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ -----==g 令' y =0 得sin 12 θ= ，因为04πθ<<，所以θ=6π ， 当0,6πθ??∈ ???时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ??∈ ??? 时，' 0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ= 6π 时，min 10y =+。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 3 km 处。 16．(2008江西文)已知函数43 22411()(0)43 f x x ax a x a a = +-+> （1）求函数()y f x =的单调区间； （2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围． 16. 解：（1）因为322 ()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-== 由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示 所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-， 与， （2）由（1）得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，4 7()()12 f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值 要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要4 4 5713 12 a a -<< 或41a <， 即a > 01a ≤<. 17．(2008江西理) 已知函数()f x ＝ x +11＋ a +11＋ 8 +ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：()12f x <<． 解：（1）8=a 时， 17. 3 11113111 )(+++=++++= x x x x x x f ∴ 1121211)' 1()1(1)'1()('x x x x x x x x x x x f +++- +=++?+-+?+= 令0)('>x f ，结合0>x ，解得10< ax a x x f 81111 11)(+++++= ，若令ax b 8 = ，则8=abx ① b a x x f ++ ++ += 111111)( ② （一）先证1)(>x f ：因为 x x +> +1111 ，a a +>+1111，b b +>+11 11 又由x b a +++2≥8244=abx ，∴x b a ++≥6 所以 （2）.再证2)( 111<+b ， 16 26 16 11111<= + ≤+++a x ∴211 11 11 )(<++ ++ += b a x x f （Ⅱ）若a+b<7，由①得ab x 8= ，∴811+=+ab ab x ③ 因为2 2 2))1(21()(41111b b b a b b b b +-=+++-<+ ∴)1(2111b b b +-<+ ④ 同理得)1(2111a a a +-<+ ⑤，于是 )8 211(212)(+-+++- b b a a x f ⑥ 今证明8 211+>+++ab ab b b a a ⑦ 因为 )1)(1(2 11b a ab b b a a ++>+++，则只要) 1)(1(2b a ab ++82+>ab ab 只要ab b a +<++8)1)(1(，即证ab ab b a +<+++81，即a+b<7，而这显然成立。 1) 1)(1)(1()()(1) 1)(1)(1() ()(9)1)(1)(1()(2311 1111111111)(=++++++++++=+++++++++≥+++++++++=+++++>+++++=b a x abx ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x b a x x f 综上，对任意正数a ，()12f x <<． 18.．(2008辽宁文) 设函数322 ()31()f x ax bx a x a b =+-+∈R ，在1x x =，2x x =处取得极值，且 122x x -=． （Ⅰ）若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求b 的取值范围． 18．本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分 解：22 ()323f x ax bx a '=+-．① ····································································· 2分 （Ⅰ）当1a =时， 2()323f x x bx '=+-； 由题意知12x x ，为方程2 3230x bx +-=的两根，所以 12x x -= 由122x x -=，得0b =． ··············································································· 4分 从而2 ()31f x x x =-+，2 ()333(1)(1)f x x x x '=-=+-． 当(11)x ∈-，时，()0f x '<；当(1)(1)x ∈--+U ∞，，∞时，()0f x '>． 故()f x 在(11)-，单调递减，在(1)--∞，，(1)+，∞单调递增． ······························· 6分 （Ⅱ）由①式及题意知12x x ，为方程2 2 3230x bx a +-=的两根， 所以123x x a -=． 从而22 1229(1)x x b a a -=?=-， 由上式及题设知01a <≤． ············································································· 8分 考虑2 3 ()99g a a a =-， 22()1827273g a a a a a ? ?'=-=-- ?? ?． ······························································ 10分 故()g a 在203?? ???，单调递增，在213?? ???，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为24 33 g ??= ???． 又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以24 33g ??= ??? 为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =． 所以2 403b ?? ∈????，，即b 的取值范围为33?-??? ，． ········································ 14分 19．(2008辽宁理)设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x = -+++． （Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值； （Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由． 19．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）22 1ln 11ln ()(1)(1)1(1)x x f x x x x x x x '= --+=-++++． ······························· 2分 故当(01)x ∈，时，()0f x '>， (1)x ∈+，∞时，()0f x '<． 所以()f x 在(01)，单调递增，在(1)+，∞单调递减． ·············································· 4分 由此知()f x 在(0)+，∞的极大值为(1)ln 2f =，没有极小值． ································ 6分 （Ⅱ）（ⅰ）当0a ≤时， 由于[]ln(1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ()011x x x x x x x x f x x x +++-++-= =>++， 故关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞． · ··············································· 10分 （ⅱ）当0a >时，由ln 1()ln 11x f x x x ??=++ ?+?? 知ln 21(2)ln 1122n n n n f ?? =++ ?+?? ，其中n 为正整数，且有 22 211ln 11log (1)2 22n n n n a e n e ? ?+-- ??? ． · ······································· 12分 又2n ≥时，ln 2ln 2ln 22ln 2 (1)121(11)1 2 n n n n n n n n =<=-+++-． 且2ln 24ln 2112a n n n +-． 取整数0n 满足202log (1)n n e >--，04ln 2 1n a >+，且02n ≥， 则0000ln 21(2)ln 112222 n n n n a a f a ??=++<+= ?+??， 即当0a >时，关于x 的不等式()f x a ≥的解集不是(0)+，∞ ． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞，且a 的取值范围为 (]0-∞， ． ·································································································· 14分 20．(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数32 ()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2 133??-- ??? ， 内是减函数，求a 的取值范围． 20．解：（1）32 ()1f x x ax x =+++ 求导：2 ()321f x x ax '=++ 当2 3a ≤时，0?≤，()0f x '≥ ()f x 在R 上递增 当2 3a >，()0f x '= 求得两根为3 a x -±= 即()f x 在?-∞ ?? 递增，?? 递减， 3a ?? -++∞ ? ??? 递增 （2 ）2 33133a a ?---? ?? -+?-?? ，且23a > 解得：7 4 a ≥ 21．(2008全国Ⅱ卷文) 设a ∈R ，函数2 33)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 21．解：（Ⅰ）2 ()363(2)f x ax x x ax '=-=-． 因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ········································· 4分 （Ⅱ）由题设，3 2 2 2 ()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥， 即02024a -≥． 故得6 5 a ≤．································································································ 9分 反之，当6 5a ≤时，对任意[02]x ∈，， 26 ()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤ 23(210)5x x x =+- 3(25)(2)5x x x =+- 0≤， 而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65? ?-∞ ??? ，． ··································································· 12分 22．(2008全国Ⅱ卷理)设函数sin ()2cos x f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围． 22．解：（Ⅰ）22 (2cos )cos sin (sin )2cos 1 ()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'= =++． ·················· 2分 当2π2π2π2π33k x k - <<+ （k ∈Z ）时，1 cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+ （k ∈Z ）时，1 cos 2 x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ? ?-+ ???，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ? ?++ ??? ，（k ∈Z ）是减函数． ····························· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则 2 2cos 1 ()(2cos )x g x a x +'=-+ 2 23 2cos (2cos )a x x =-+++ 2 11132cos 33a x ? ?=-+- ?+?? ． 故当1 3 a ≥时，()0g x '≥． 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ························ 9分 当1 03 a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加． 故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=， 即sin 3x ax >． 于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3 x x f x ax x =>>+． 当0a ≤时，有π1 π022 2f a ??=> ? ??g ≥． 因此，a 的取值范围是13?? +∞???? ，． ··································································· 12分 23.(2008山东文)设函数2132 ()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设3 22()3 g x x x = -，试比较()f x 与()g x 的大小． 23．解：（Ⅰ）因为122 ()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++ 1e (2)(32)x x x x ax b -=+++， 又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==， 因此6203320a b a b -+=??++=?，， 解方程组得13a =-，1b =-． （Ⅱ）因为1 3 a =-，1 b =-， 所以1 ()(2)(e 1)x f x x x -'=+-， 令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =． 因为当(2)x ∈-∞-，(01)U ，时，()0f x '<； 当(20)(1)x ∈-+∞U ，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的； 在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知2132 1()e 3 x f x x x x -=--， 故21321 ()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-， 令1()e x h x x -=-， 则1 ()e 1x h x -'=-． 令()0h x '=，得1x =， 因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤， 所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减． 故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥； 因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥， 所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增． 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥． 所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又2 0x ≥， 因此()()0f x g x -≥， 故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥． 24. (2008山东理)已知函数1 ()ln(1),(1)n f x a x x = +--其中n ∈N*,a 为常数. （Ⅰ）当n =2时，求函数f (x )的极值； （Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n ,当x ≥2时，有f (x )≤x -1. 24．（Ⅰ）解：由已知得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1}， 当n =2时，2 1 ()ln(1),(1) f x a x x = +-- 所以 2 3 2(1)().(1) a x f x x --=- （1）当a ＞0时，由f (x )=0得 11x =+ ＞1，21x =＜1， 此时 f ′（x ）=123()() (1)a x x x x x ----. 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为() A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a == 所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++ 应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2007年高考数学试题分类汇编（导数） （福建理11文） 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， （海南理10） 曲线12 e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29 e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （海南文10） 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e （江苏9） 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥， 则(1)'(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 （江西理9） 12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （江西理5） 5．若π 02 x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．2 24sin π x x < Ｄ．2 24sin π x x > （江西文8） 若π 02x << ，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3 sin π x x > （辽宁理12） 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．． 出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 （全国一文11） 曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （全国二文8） 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （浙江理8） 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3 （广东文12） 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a 历年高考真题遗传类基本题型总结 一、表格形式的试题 1．（2005年）已知果蝇中，灰身与黑身为一对相对性状（显性基因用B表示，隐性基因用b表示）；直毛与分叉毛为一对相对性状（显性基因用F表示，隐性基因用f表示）。两只亲代果蝇杂交得到以下子代类型 请回答： （1）控制灰身与黑身的基因位于；控制直毛与分叉毛的基因位于。 （2）亲代果蝇的表现型为、。 （3）亲代果蝇的基因为、。 （4）子代表现型为灰身直毛的雌蝇中，纯合体与杂合体的比例为。 （5）子代雄蝇中，灰身分叉毛的基因型为、；黑身直毛的基因型为。 2．石刁柏（俗称芦笋，2n=20）号称“蔬菜之王”，属于XY型性别决定植物，雄株产量明显高于雌株。石刁柏种群中抗病和不抗病受基因A 、a控制，窄叶和阔叶受B、b控制。两株石刁柏杂交，子代中各种性状比例如下图所示，请据图分析回答： （1）运用的方法对上述遗传现象进行分析，可判断基因A 、a位于染色体上，基因B、b位于染色体上。 （2）亲代基因型为♀，♂。子代表现型为不抗病阔叶的雌株中，纯合子与杂合子的比例为。 3．（10福建卷）已知桃树中，树体乔化与矮化为一对相对性状(由等位基因D、d控制)，蟠桃果形与圆桃果形为一对相对性状（由等位基因H、h控制），蟠挑对圆桃为显性，下表是桃树两个杂交组合的试验统计数据： （1）根据组别的结果，可判断桃树树体的显性性状为。 （2）甲组的两个亲本基因型分别为。 （3）根据甲组的杂交结果可判断，上述两对相对性状的遗传不遵循自由组台定律。理由是：如果这两对性状的遗传遵循自由组台定律，则甲纽的杂交后代应出现种表现型。比例应为。 4.（11年福建卷）二倍体结球甘蓝的紫色叶对绿色叶为 显性，控制该相对性状的两对等位基因（A、a和B、b）分别位于3号和8号染色体上。下表是纯合甘蓝杂交试验的统计数据： 请回答： （1）结球甘蓝叶性状的有遗传遵循____定律。 （2）表中组合①的两个亲本基因型为____，理论上组合①的F2紫色叶植株中，纯合子所占的比例为_____。 （3）表中组合②的亲本中，紫色叶植株的基因型为____。若组合②的F1与绿色叶甘蓝杂交，理论上后代的表现型及比例为____。 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4 历年高考试题分类汇编之《曲线运动》 （全国卷1）14．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满 足 A.tan φ=sin θ B. tan φ=cos θ C. tan φ=tan θ D. tan φ=2tan θ 答案：D 解析：竖直速度与水平速度之比为：tanφ = ，竖直位移与水平位移之比为：tanθ = gt v 0 ，故tanφ =2 tanθ ，D 正确。 0.5gt 2 v 0t （江苏卷）5．如图所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度 运动．设滑块运动到A 点的时刻为t =0，距A 点的水平距离为x ，水平 0v 速度为．由于不同，从A 点到B 点的几种可能的运动图象如下列选 x v 0v 项所示，其中表示摩擦力做功最大的是 答案：D 解析：考查平抛运动的分解与牛顿运动定律。从A 选项的水平位移与时间的正比关系可知，滑块做平抛运动，摩擦力必定为零；B 选项先平抛后在水平地面运动，水平速度突然增大，摩擦力依然为零；对C 选项，水平速度不变，为平抛运动，摩擦力为零；对D 选项水平速度与时间成正比，说明滑块在斜面上做匀加速直线运动，有摩擦力，故摩擦力做功最大的是D 图像所显示的情景，D 对。本题考查非常灵活，但考查内容非常基础，抓住水平位移与水平速度与时间的关系，然后与平抛运动的思想结合起来，是为破解点。 （江苏卷）13．(15分)抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g ) (1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度，水平发出，落在球台的P 1点(如 1v高考数学试题分类汇编集合理
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