高考数学一轮复习考点知识专题讲解40---等比数列

高考数学一轮复习考点知识专题讲解

等比数列

考点要求

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系．

知识梳理

1．等比数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为

a n ＋1

a n

＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：

S n

＝⎩⎨⎧

na 1

，q ＝1，

a 1(1－q n

)1－q ＝a 1－a n

q

1－q ，q ≠1.

3．等比数列的性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．

(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .

(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．

(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (5)若⎩⎨

⎧

a 1>0，q >1或⎩⎨

⎧

a 1<0，0

则等比数列{a n }递增．

若⎩⎨

⎧

a 1>0，0

或⎩⎨

⎧

a 1<0，q >1，

则等比数列{a n }递减．

常用结论

1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2

n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫1a n ，

{a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫a n b n 也是等比数列．

2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)

(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n

)

1－a

.(×)

(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×) 教材改编题

1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝1

2

，则公比q 等于()

A ．－12

B ．－2

C ．2

D ．±12

答案D

解析设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，

∴a 4＝a 2q 2，

∴q 2＝a 4a 2＝14，

∴q ＝±1

2

.

2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案5

解析∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，

∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2

＝25.

又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.

3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案1,3,9或9,3,1

解析设这三个数为a

q

，a ，aq ，

则⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a

q

·aq ＝27，

解得⎩⎨⎧

a ＝3，q ＝1

3

或⎩⎨

⎧

a ＝3，q ＝3，

∴这三个数为1,3,9或9,3,1.

题型一 等比数列基本量的运算

例1(1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则

S n

a n

等于() A ．2n －1 B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1 答案B

解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝

a 6－a 4a 5－a 3＝24

12

＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，

S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n

－1，

所以S n a n ＝2n －1

2

n －1＝2－21－n .

方法二设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎨⎧

a 3q 2

－a 3＝12，①a 4q 2

－a 4＝24，②

②①得a 4

a 3

＝q ＝ 2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q

2＝1，下同方法一．

(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1

3，a 24＝a 6，

则S 5＝________. 答案

1213

解析设等比数列{a n }的公比为q ，

因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5

，

所以a 1q ＝1，又a 1＝1

3，所以q ＝3，

所以S 5＝a 1(1－q 5

)1－q ＝1

3×(1－35)1－3＝121

3.

教师备选

1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案54或24

解析由⎩⎨⎧

a 1·q ＝6，

6a 1＋a 1·q 2

＝30，

解得⎩⎨

⎧

q ＝3，a 1＝2

或⎩⎨

⎧

q ＝2，a 1＝3，

a

4

＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.

2．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于() A．－2或32 B．－2或64

C．2或－32 D．2或－64

答案B

解析∵数列{a n}为等比数列，

a 2a

6

＝－2a7＝a1a7，

解得a1＝－2，

设数列的公比为q，S3＝－6＝－2－2q－2q2，

解得q＝－2或q＝1，

当q＝－2时，则a6＝(－2)6＝64，

当q＝1时，则a6＝－2.

思维升华(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a n}的前n项和S n

＝na1；当q≠1时，{a n}的前n项和S n＝a

1

(1－q n)

1－q

＝

a

1

－a n q

1－q

.

跟踪训练1(1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k等于()

A．2 B．3 C．4 D．5

答案C

解析a1＝2，a m＋n＝a m a n，

令m＝1，则a n＋1＝a1a n＝2a n，

∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .

又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，

即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.

(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式；

②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1. 解①设{a n }的公比为q (q >1)． 由题设得⎩⎨⎧

a 1q ＋a 1q 3

＝20，

a 1q 2

＝8，

解得⎩⎨

⎧

q ＝2，

a 1＝2

或⎩⎨⎧

q ＝12，

a 1

＝32

(舍去)．

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，

故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1

＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋3

5

.

题型二 等比数列的判定与证明

例2已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)·a n，设b n＝a

n

n

.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{a n}的通项公式．

解(1)由条件可得a n＋1＝2(n＋1)

n

a

n

.

将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

(2){b n}是首项为1，公比为2的等比数列，

由条件可得a n＋1

n＋1＝

2a n

n

，即b n＋1＝2b n，

又b1＝1，

所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．

(3)由(2)可得a

n

n

＝2n－1，

所以a n＝n·2n－1.

教师备选

已知各项都为正数的数列{a n}满足a n＋2＝2a n＋1＋3a n.

(1)证明：数列{a n＋a n＋1}为等比数列；

(2)若a1＝1

2

，a2＝

3

2

，求{a n}的通项公式．

(1)证明a n＋2＝2a n＋1＋3a n，

所以a n＋2＋a n＋1＝3(a n＋1＋a n)，

因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以

a n ＋2＋a n ＋1

a n ＋1＋a n

＝3，

所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1 ＝2×3n －1，

因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，

所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3

n －1

，a n ＝1

2

×3n －1.

思维升华等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若

a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n

a n －1

＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *

)，则{a n }是等比数列．

(3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．

跟踪训练2S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；

(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解(1)易知q ≠1，

由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1q 3＝9a 1q ，

a 1

(1－q 3

)

1－q

＝13，q >0，

解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3

n －1

，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12

.

(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝1

2，

此时S n ＋12＝1

2×3n ，

则S n ＋1＋

12S n ＋12＝1

2

×3n ＋1

12

×3

n

＝3，

故存在常数λ＝12，使得数列⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12是以3

2为首项，3为公比的等比数列．

题型三 等比数列的性质

例3(1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于() A.

20243 B ．1011 C.2023

2

D ．1012 答案C

解析由题意得a5a2019＝3，根据等比数列性质知，

a 1a

2023

＝a2a2022＝…＝a1011a1013＝a1012a1012＝3，

于是a1012＝

1

2 3，

则log

3a

1

＋log

3

a

2

＋log

3

a

3

＋…＋log

3

a

2023

＝log

3

(a1a2a3 (2023)

＝log

3

1

10112

33

⎛⎫

⋅

⎪

⎝⎭

＝

2023

2

.

(2)已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于()

A．40 B．60 C．32 D．50

答案B

解析数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，

即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，

∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.

教师备选

1．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S

6

S

3

＝3，则

S

9

S

6

＝__________.

答案7 3

解析设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，

∴S

6

－S3

S

3

＝

S

9

－S6

S

6

－S3

，

又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，

∴S 9S 6＝73

. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案2

解析由题意，得⎩⎨

⎧

S 奇＋S 偶＝－240，

S 奇－S 偶＝80，

解得⎩⎨

⎧

S 奇＝－80，S 偶＝－160，

所以q ＝

S 偶S 奇＝－160－80

＝2. 思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．

跟踪训练3(1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于()

A ．5

B ．10

C ．15

D ．－20 答案C

解析易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设

{a n }的公比为q ，则

S 20－S 10S 10

＝q 10

>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，

即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.

又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.

(2)已知函数f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x ＝2，若等比数列{a n }满足a 1a 2023＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)

＋…＋f (a 2023)等于()

A.12

B.20232 C ．2 D ．2023 答案D

解析根据题意，等比数列{a n }满足a 1a 2023＝1， 则有a 2a 2022＝a 3a 2021＝…＝(a 1012)2＝1， 若a 1a 2023＝1，则1

a 1

＝a 2023，

则f (a 1)＋f (a 2023)＝f (a 1)＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1a 1＝2，

同理f (a 2)＋f (a 2022)＝f (a 3)＋f (a 2021)＝…＝f (a 1011)＋f (a 1013)＝2， f (a 1012)＋f (a 1012)＝f (a 1012)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a 1012＝2，

则f (a 1012)＝1，

故f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2023)＝2×1011＋1＝2023.

课时精练

1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n}满足a1＋a2＝1，a4＋a5＝8，则a7等于()

A.64

3

B．－

64

3

C.

32

3

D．－

32

3

答案A

解析设等比数列{a n}的公比为q，

则a

4

＋a5

a

1

＋a2

＝q3＝8，

所以q＝2，

又a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，

所以a1＝1 3，

所以a7＝a1×q6＝1

3

×26＝

64

3

.

2．已知等比数列{a n}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为()

A．2B．4C.9

2 D．6

答案B

解析根据等比数列的性质得a3a5＝a24，

∴a24＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.

又∵a1＝1，a1a7＝a24＝4，∴a7＝4.

3．(2022·开封模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n＝32n－1＋r，则r的值为()

A.1

3

B．－

1

3

C.

1

9

D．－

1

9

答案B

解析由等比数列前n 项和的性质知，

S n ＝3

2n －1

＋r ＝1

3

×9n ＋r ，

∴r ＝－1

3

.

4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为()

A ．6里

B ．12里

C ．24里

D ．48里 答案C

解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝1

2，

因为S 6＝a 1⎝

⎛⎭

⎪

⎫1－1261－

12

＝378，

解得a 1＝192，

所以a 4＝a 1·q 3

＝192×18

＝24.

5．设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是() A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列

D ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫1a n 是公比为1

q 的等比数列

答案D 解析对于A ，由

a n a n ＋1a n －1a n

＝q 2

(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列，故A 错误； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列，故B 错误； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列，故C 错误；

对于D ，

1

a n ＋11

a n

＝

a n a n ＋1＝1q

， 所以数列⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公比为1q 的等比数列，故

D 正确．

6．(2022·西北工业大学附属中学模拟)已知等比数列{a n }的公比q ≠1，向量m ＝(a 1，a 2)，

n ＝(a 3，a 4)，则()

A ．m ⊥n

B ．m ∥n

C ．(m ＋n )·(m －n )＝0

D ．|m |＝|n | 答案B

解析对于A ，m ·n ＝a 1a 3＋a 2a 4＝a 21q 2＋a 21q 4＝a 21q 2(1＋q 2

)>0，A 错误；

对于B ，∵a 1a 4＝a 2a 3，∴a 1a 4－a 2a 3＝0，∴m ∥n ，B 正确； 对于C ，D ，由(m ＋n )·(m －n )＝0得m 2＝n 2，即|m |＝|n |，

又|m |2＝a 21＋a 22＝a 21＋a 21q 2＝a 21(1＋q 2)，|n |2＝a 23＋a 24＝a 23＋a 23q 2＝a 23(1＋q 2)，

∴当a 21≠a 23，即q ≠±1时，|m |≠|n |，C ，D 错误．

7．(2022·河南六市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________.

答案1

解析由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.

由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7，

得a 1＝1.

8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝1

3，则a 4＝

________. 答案381

解析由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7

q

3＝81.

9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *

)．若数列{b n }满足b n ＝a n －12.

(1)求证：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . (1)证明因为a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)， 所以a n ＋1－12＝3a n －32＝3⎝ ⎛

⎭⎪⎫a n －12，

又b n ＝a n －12，a 1＝3

2

，

所以b n ＋1＝3b n ， 即

b n ＋1

b n

＝3(n ∈N *)，b 1＝1， 所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列． (2)解由(1)可得b n ＝3n －1， 即a n －1

2＝3n －1，

所以a n ＝3n －1＋1

2

，

所以S n ＝30＋12＋31＋12＋…＋3n －1＋1

2

＝30＋31＋…＋3n －1＋1

2×n

＝1－3n 1－3＋n 2 ＝3n ＋n －12

.

10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .

(1)求证：数列{b n }为等比数列；

(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，

所以

b n b n －1＝a n ＋1－2a n

a n －2a n －1

＝

2(a n －2a n －1)

a n －2a n －1

＝2(n ≥2)，

又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，

所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，

所以c n ＝|2n

－100|＝⎩⎨⎧

100－2n

，n ≤6，2n

－100，n >6，

所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－2(1－26)

1－2＋27＋28＋29＋210

＝200＋2＋28＋29＋210 ＝1994.

11．已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝2，a 3＝2a 1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于() A ．(2＋2)[1－(2)n ] B ．(2＋2)[(2)n －1] C.2(2n －1) D.2(1－2n ) 答案C

解析由{a n}为正项等比数列，且a2＝2，a3＝2a1，可得a1＝1，公比q＝2，所以数列{a n a n

＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝

2(1－2n)

1－2

＝2(2n

－1)．

12．(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并

且满足条件a1>1，a7·a8>1，a

7

－1

a

8

－1

<0.则下列结论正确的是()

A．q>1B．a7·a9>1

C．S n的最大值为S9D．T n的最大值为T7答案D

解析∵a1>1，a7·a8>1，a

7

－1

a

8

－1

<0，

∴a7>1,0

∴0

a 7a

9

＝a28<1，故B错误；

∵a1>1,0

∴S n无最大值，故C错误；

又a7>1,0

∴T7是数列{T n}中的最大项，故D正确．

13．记等比数列{a n}的前n项积为T n(n∈N*)，已知a m－1a m＋1－2a m＝0，且T2m－1＝128，则m ＝________.

答案4

解析∵a m－1a m＋1－2a m＝0，

由等比数列的性质可得，a2m－2a m＝0，

2020版高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和教案(理)(含解析)新人教A版

第3讲 等比数列及其前n 项和 基础知识整合 1．等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个数列从第□ 012项起，每一项与它的前一项的比等于□02同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的□03公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为□ 04a n ＋1a n ＝q . (2)等比中项 如果a ，G ，b 成等比数列，那么□05G 叫做a 与b 的等比中项，即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?□ 06G 2＝ab (ab ≠0)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝□ 07a 1q n －1.

等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N * )． (2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N * )，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2 k . (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }， ???? ??a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列， 其公比为q n . (6)等比数列{a n }满足??? ?? a 1>0， q >1或? ?? ?? a 1<0， 00， 01 时，{a n }是递减数列．

2020年高考数学(理)总复习：等差数列与等比数列(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列 题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】 方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用 等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现． 【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为5 4， 则S 5等于( ) A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【解析】 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知????? a 1qa 1 q 4 ＝2a 1q 2 a 1 q 3＋2a 1q 6 ＝2×54，解得????? q ＝12a 1＝16 ，所以S 5＝a 1(1－q 5) 1－q ＝31，故选B. 法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝1 2，所以a 1＝16，所 以S 5＝a 2(1－q 5) 1－q ＝31，故选B. 【答案】 B 【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 2 7，则该数列的前10项和 S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．5 【解析】 由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，

2020年高考文科数学一轮总复习：等比数列及其前n项和

2020年高考文科数学一轮总复习：等比数列及其前n 项和 第3讲 等比数列及其前n 项和 1．等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1． (2)前n 项和公式：S n ＝?????na 1 ，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列； (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 常用知识拓展 1．等比数列的单调性 当q >1，a 1>0或01，a 1<0或00时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系 当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n ，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积， 因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．

2020届高三文理科数学一轮复习《等比数列及其前n项和》专题汇编(教师版)

《等比数列及其前n 项和》专题 一、相关知识点 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n － m (n ，m ∈N *)． (2)前n 项和公式：S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的有关性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝…. (2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{ba n }，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，???? ?? a n b n ，{pa n ·qb n }和? ??? ?? pa n qb n 仍然是等比数列．(其中b ，p ，q 是非零常数) (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)． (4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k . (5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n ，…成等比数列． 4．等比数列的有关结论 (1) “G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件． (2)若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n (k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 1 1－q . 5．等比数列{a n }的单调性 (1)满足????? a 1>0，q >1或????? a 1<0， 0

高考数学等比数列知识点-等比数列的所有公式

高考数学等比数列知识点|等比数列的所有公式 (1)定义式： 任意两项 的关系为 (5)等比中项： 若 为 或者 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。 (7)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+......+anB=an+1+......+a2n C=a2n+1+ (3) 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n 2.若A=a1+a4+a7+……+a3n- 2 B=a2+a5+a8+……+a3n- 1 C=a3+a6+a9+……+a3n 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q 性质 (1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 (3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G≠0)”。 (4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则 {a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3… {can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为 q1，q1q2，q1/q2。 (5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。 (6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。 (7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n- 1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 (8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。 求通项方法 (1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an? 构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x) a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3

2023届高三数学一轮复习专题 数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法 讲义 (解析版)

数列求解通项的方法总结 方法一、公式法 当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。 1、等差数列通项公式： d n a a n )1(1-+= 2、等比数列通项公式： 例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N * ，求数列{c n }的前n 项和． 1 1-=n n q a a

方法二、利用前n 项和与通项的关系 已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝ { )1() 2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1 的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。 例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．求{a n }的通项公式； （2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n = ，求数列{b n }的前n 项和． 变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前n 项和为T n ，求T n ．

高考数学(理科)一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案30 等比数列及其前n项和 导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 自主梳理 ．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an ＝______________. 3．等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 通项公式的推广：an＝am•________． 若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则

__________________________． 若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列． 单调性：a1>0，q>1或 a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1. 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测 ．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 c．充要条件

高考数学一轮复习考点知识专题讲解40---等比数列

高考数学一轮复习考点知识专题讲解 等比数列 考点要求 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为 a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式： S n ＝⎩⎨⎧ na 1 ，q ＝1， a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．

(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (5)若⎩⎨ ⎧ a 1>0，q >1或⎩⎨ ⎧ a 1<0，00，01， 则等比数列{a n }递减． 常用结论 1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2 n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫1a n ， {a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n ) 1－a .(×) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×) 教材改编题

2022届高考数学统考一轮复习第六章等比数列及其前n项和学案文含解析新人教版

高考数学统考一轮复习： 第三节 等比数列及其前n 项和 【知识重温】 一、必记6个知识点 1．等比数列及其相关概念 若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，则其通项公式为⑥________________(n ∈N *)． 3．等比数列的前n 项和公式 (1)当公比q ＝1时，S n ＝⑦________. (2)当公比q ≠1时，S n ＝⑧____________＝⑨________. 4．项的性质 (1)a n ＝a m q n － m . (2)a m －k a m ＋k ＝a 2m (m >k ，m ，k ∈N *)． (3)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝⑩____________＝a 2k . (4)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . 5．和的性质 (1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m . (2)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶 S 奇 ＝q . (3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，⑪____________仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，⑫____________不一定构成等比数列． 6．等比数列{a n }的单调性 (1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，00，01时，{a n }是⑭________数列． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1≠0， q ＝1 时，{a n }为⑮________数列．

2021版【南方凤凰台】数学(江苏专用文科)大一轮复习检测评估：第40课 等比数列 Word版含答案

第40课等比数列 【自主学习】 第40课等比数列 (本课时对应同学用书第页) 自主学习回归教材 1.(必修5P49习题1改编)已知数列{a n}为正项等比数列，a2=9，a4=4，则数列{a n}的通项公式 a n=. 【答案】9· -2 2 3 n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】设等比数列{a n}的公比为q，则q2= 4 2 a a= 4 9. 又由于q>0，所以q=2 3，所以a n =9· -2 2 3 n ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭. 2.(必修5P49习题1改编)假如-1，a，b，c，-9成等比数列，那么b=，a·c=.【答案】-39 【解析】由等比数列的性质可得ac=(-1)×(-9)=9；b×b=9，且b与奇数项的符号相同，故b=-3. 3.(必修5P58练习6改编)若对于实数x，有a n=x n，则数列{a n}的前n项和S n=. 【答案】 00 1 (1-) 01 1- n x n x x x x x x ⎧ ⎪= ⎪⎪ = ⎨ ⎪ ⎪≠≠ ⎪⎩ ，， ，， ，且 【解析】当x=0时，S n=0；当x=1时，S n=n；当x≠0且x≠1时，S n= (1-) 1- n x x x. 4.(必修5P61习题3改编)若等比数列的通项公式为a n=4×31-n，则数列{a n}是数列.(填“递 增”或“递减”) 【答案】递减 5.(必修5P67习题3改编)设{a n}是等比数列，给出下列四个命题： ①{ 2 n a}是等比数列；②{ n a a n+1 }是等比数列； ③ 1 n a ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭是等比数列；④{lg|a n |}是等比数列. 其中正确的命题是.(填序号) 【答案】①②③ 【解析】④是等差数列. 1.等比数列的定义及通项 假如一个数列从其次项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作 等比数列.这个常数叫作等比数列的公比. 等比数列的通项公式：a n=a1q n-1= 1 a q·q n(n∈N*)； 推广：a n=a m q n-m. 2.等比数列求和公式 S n= 1 1 (1-) 1 1- 1 n a q q q na q ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪= ⎩ ，， ， = 1 1 - 1 1- 1 n a a q q q na q ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪= ⎩ ，， ， .

高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习

§4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 第1课时等比数列的概念及通项公式 学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 知识点一等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：a n a n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫ 或 a n＋1 a n＝q，n∈N*. 思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0? 答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0. 知识点二等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 知识点三等比数列的通项公式 若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)． 知识点四等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n}的公比为q，则 a n＝a1q n－1① ＝a m q n－m② ＝a1 q·q n.③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q>0且q≠1时，y＝a1 q·q x为指数型函数．

1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ ) 2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × ) 3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × ) 4．常数列一定为等比数列．( × ) 一、等比数列中的基本运算 例1 在等比数列{a n }中： (1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ； (2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1； (3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . 解 (1)因为a 4＝a 1q 3， 所以8＝q 3，所以q ＝2， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1. (2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5. (3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②① ，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1， 所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1， 即26－n ＝20，故n ＝6. 反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．

考点专练41：等比数列—2023届高考数学一轮复习(附答案)(人教A版(2019))

考点专练41：等比数列 一、选择题 1.设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2022·济宁模拟)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n是它的前n项和．若a2a6＝4， 且a4＋2a7＝5 2，则S5＝() A．29B．30 C．31D．32 3.中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了() A.6里 B.12里 C.24里 D.96里 4.数列{a n}是等比数列，S n为前n项和．若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于() A．40 B．60 C．32 D．50 5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝a·2n－1＋1 6，则a的值为() A．－1 3B． 1 3C．－ 1 2D． 1 2 6.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若数列{S n－2a1}也为等比数列，则a4 a3＝() A．1 2B．1 C． 3 2D．2 7.设等比数列{a n}的公比为q>0，且q≠1，S n为数列{a n}的前n项和，记T n＝a n S n，则() A．T3≤T6B．T3T6 8.在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6＝3，则a4＋a8有() A．最小值6 B．最大值6 C．最大值9 D．最小值3 9.(多选)数列{a n}中，a1＝1，a n·a n＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是() A.a4＝4 B.{a2n}是等比数列 C.a2n－a2n－1＝2n－1 D.a2n－1＋a2n＝2n＋1 二、填空题

2021版北师大版文科数学一轮复习核心素养测评 四十 8.5.1等差与等比数列的综合问题含解析

2021版高考北师大版文科数学一轮复习核心素养测评四十8.5.1等差与等比数列的综合问题含 解析 温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后.关闭Word文档返回原板块. 核心素养测评 四十等差与等比数列的综合问题 (30分钟60分) 一、选择题（每小题5分，共20分） 1。已知1,a1,a2，9四个实数成等差数列,1，b1，b2，b3,9五个数成等比数列,则b2(a2—a1）= (） A。8 B。-8 C。±8 D。 【解析】选A.由1,a1，a2,9成等差数列,得公差d=a2-a1==,由1，b1，b2,b3,9成等比数列,得=1×9,所以b2=±3,当b2=—3时,1，b1，-3成等比数列，此时=1×（—3)无解,所以b2=3,所以b2 （a2—a1)=3×=8。 2.等差数列{a n},等比数列{b n},满足a1=b1=1，a5=b3,则a9能取到的最小整数是（)

【解析】选B。等差数列{a n}的公差设为d,等比数列{b n｝的公比设为q,q≠0， 由a1=b1=1,a5=b3，可得1+4d=q2, 则a9=1+8d=1+2(q2-1）=2q2—1〉—1, 可得a9能取到的最小整数是0。 3.已知在等差数列｛a n｝中，a1〉0，d>0,前n项和为S n，等比数列{b n｝满足b1=a1,b4=a4，前n项和为T n，则(） A。S4>T4B.S41，数列｛b n}单调递增， 又S4—T4=a2+a3-（b2+b3)=a1+a4—a1q—=a1（1—q)+a4= （a4—a1q)=(b4—b2)〉0，所以S4〉T4. 【一题多解】选A.不妨取a n=7n—4,则等比数列｛b n｝的公比 q==2,所以S4=54,T4==45,显然S4>T4。 4.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于世纪金榜导学号（)

2020届高考数学一轮复习第五篇数列第3节等比数列课时作业理(含解析)新人教A版

第3节 等比数列 课时作业 基础对点练(时间：30分钟) 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 B 解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2 －Aq ，a 3＝Aq 3 －Aq 2 ，由a 3a 2＝a 2 a 1 ，得A ＝－B .故选B. 2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) (A)(－2) n －1 (B)－(－2) n －1 (C)(－2)n (D)－(－2)n A 解析：∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3 ，∴q 3 ＝－8，∴q ＝－2.又a 5＞a 2，即a 2q 3 ＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1.故a n ＝a 1·(－2)n －1 ＝(－ 2) n －1 .故选A. 3．(2019成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1 4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) (A)16(1－4－n ) (B)16(1－2－n ) (C)323 ()1－4－n (D)323 (1－2－n ) C 解析：∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．故选 C. 4．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 9，a 4＝3，则该数列前5项的积为( ) (A)±3 (B)3 (C)±1 (D)1 D 解析：因为a 4＝3，所以3＝19 ×q 3(q 为公比)，得q ＝3，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2) 5 ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫19×95 ＝1，故选D. 5．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2 －nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n 等于 ( )

高考第一轮复习数列知识精讲知识点总结

高考第一轮复习数列知识精讲 知识精讲 一、等差数列与前n项和 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：a n＋1－a n＝d,d为常数． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 <1>若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为a n＝a1＋d. 若等差数列{a n}的第m项为a m,则其第n项a n可以表示为a n＝a m＋d. <2>等差数列的前n项和公式 S n＝错误!＝na1＋错误!d.<其中n∈N*,a1为首项,d为公差,a n为第n项> 3．等差数列及前n项和的性质 <1>若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A＝错误!. <2>若{a n}为等差数列,当m＋n＝p＋q,a m＋a n＝a p＋a q． <3>若{a n}是等差数列,公差为d,则a k,a k＋m,a k＋2m,…是公差为md的等差数列． <4>数列S m,S2m－S m,S3m－S2m,…也是等差数列． <5>S2n－1＝<2n－1>a n. <6>若n为偶数,则S偶－S奇＝错误!； 若n为奇数,则S奇－S偶＝a中<中间项>． 4．等差数列与函数的关系 <1>等差数列与一次函数的区别与联系 <2>等差数列前n项和公式可变形为S n＝n2＋n,当d≠0时,它是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y＝错误!x2＋错误!x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．

高考数学一轮复习 题组层级快练40(含解析)

题组层级快练(四十) 1．(2014·天津文)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6. ∵S 2 2＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2 ＝a 1(4a 1－6)． ∴4a 21－4a 1＋1＝4a 2 1－6a 1⇒a 1＝－12 . 2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 D 解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝ a 3＋a 11 2 ＝4＝b 7. 又{b n }为等比数列，b 6·b 8＝b 2 7＝16，故选D. 3．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10 a 7＋a 8等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2 D ．3－2 2 答案 C 解析 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0， 则有a 3＝a 1＋2a 2， 即a 1q 2 ＝a 1＋2a 1q ，q 2 －2q －1＝0，q ＝1± 2. 又q >0，因此q ＝1＋ 2. 所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8 ＝q 2＝(1＋2)2 ＝3＋2 2. 选C. 4．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( ) A ．3n ＋4 B ．6n ＋2 C ．6n ＋4 D ．2n ＋2 答案 C 解析 设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，

2021-2022年高考数学一轮总复习第6章数列第3节等比数列及其前n项和高考AB卷理

2021年高考数学一轮总复习第6章数列第3节等比数列及其前n 项 和高考AB 卷理 等比数列中的运算问题 1.(xx·全国Ⅱ，4)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21 B.42 C.63 D.84 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 答案 B 2.(xx·全国Ⅲ，17)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31 32 ，求λ. (1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝1 1－λ ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以 a n ＋1a n ＝λλ－1 . 因此{a n }是首项为1 1－λ ，

公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫λλ－1n －1 . (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132 ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝1 32 .解得λ＝－1. 3.(xx·全国Ⅱ，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3 2 . 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛ ⎭⎪⎫a n ＋12 又a 1＋12＝3 2 ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫a n ＋12是首项为32， 公比为3的等比数列. a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －1 2. (2)由(1)知1a n ＝23n －1 . 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3n －1 . 于是1 a 1＋1 a 2＋…＋1 a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32 .

2020年高考理科数学一轮总复习：等比数列及其前n项和

2020年高考理科数学一轮总复习 等比数列及其前n 项和 [基础梳理] 1．等比数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a 、G 、b 不为零)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式： S n ＝⎩⎨⎧ na 1，q ＝ 1， a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)． (2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p . (3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)． (4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . 1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论． (2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n ＝A －A ·q n . 2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；

高三数学一轮复习等差等比数列讲义

等差等比数列 【知识梳理】 一、通项公式 等差数列：，为首项，为公差. 等比数列：1 1-⋅=n n q a a ，为首项，为公比. 二、前项和公式 等差数列：或 等比数列：当1≠q 时， q q a S n n --=1) 1(1 或 q q a a S n n --=11 当1=q 时，1na S n = 三、差比数列的判定方法 1.定义法：（，是常数）是等差数列； q a a n n =+1 （，是常数）{}n a 是等比数列. 2.中项法：()是等差数列； 22 1++⋅=n n n a a a ()且0≠n a {}n a 是等比数列. 四、差比数列的常用性质 等差数列：若，则； 等比数列：若，则q p n m a a a a ⋅=⋅. 课中讲解 一、等差等比数列的判定 典型例题 1. 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1 a n －1 (n ∈N *)．求 ()d n a a n 11-+=1a d 1a q n ()2 1n a a S n n += ()d n n na S n 2 11-+ =d a a n n =-+1+∈N n d ⇔{}n a +∈N n 0≠q ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔{}n a +∈N n ⇔),,,(+∈+=+N q p n m q p n m q p n m a a a a +=+),,,(+∈+=+N q p n m q p n m

证：数列{b n}是等差数列。 2.若数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝1 2，求证：数列 ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ 1 S n 是等差 数列。 3.已知数列{a n}满足对任意的正整数n，均有a n＋1＝5a n－2·3n，且a1＝8，证明：数列{a n－3n}为等比数列。 4. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4，证明：{S n－n＋2}为等比数列。过关检测

【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第六章 6.3等比数列-(学生版+教师版)

等比数列 1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( ) (3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) 2、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14 ，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D.12 3、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________． 5、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2 ＝________. 无 题型一 等比数列基本量的运算 例1 (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D.18 (2)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4等于( )

A ．1 008 B ．2 016 C ．2 032 D ．4 032 【同步练习】 (1)已知等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，数列{a n }的前4项和S 4＝________. (2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 题型二 等比数列的判定与证明 例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 引申探究 若将例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 【同步练习】 1、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明：{a n ＋12 }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32 . 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式