高中等差等比数列的通项求和公式

高中等差等比数列的通项求和公式

高中等差等比数列的通项求和公式_高频考点

学好数学的关键是公式的掌握，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。下面是小编为大家整理的高中等差等笔数列的通项求和公式，希望能帮助到大家!

等差数列的通项求和公式

an=a1+(n-1)d

或an=am+(n-m)d

前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2

若m+n=2p则：am+an=2ap

以上n均为正整数

等比数列的通项求和公式

(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。

(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);

(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数)

(4)性质：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2

(5)G是a、b的等比中项G^2=ab(G ≠ 0).

(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

q__Sn=a1__q+a2__q+a3__q+...+an__q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q__Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1__q^n Sn=(a1-a1__q^n)/(1-q) Sn=(a1-an__q)/(1-q) Sn=a1(1-

q^n)/(1-q) Sn=k__(1-q^n)~y=k__(1-a^x)。

高三数学学习方法

1、变介绍方法为选择方法

高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复

习的关键。“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。

2、变全面覆盖为重点讲练

第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。要

做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。

3、变以量为主为以质取胜

高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。只有重质减量，才能有利于学生更好的掌握知识，减少

练习量，不是指不做或是少做，而是要在精选上下功夫，要做到非重点的就少做甚至

是不做。

4、变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举

虽然影响学生的数学成绩的因素很多，但是学习兴趣和爱好与成绩绝对是相辅相成的。所以一味的强调“补弱”是不科学的，要因人而异，因成绩而异。一般，成绩居

中上游的学生，应以“扬长”为主，居下游的学生，应以补弱为主。处理好扬长、补

弱的关系，才是正确的做法。

高考数学应试技巧

1、拓实基础，强化通性通法

高考对基础知识的考查既全面又突出重点。抓基础就是要重视对教材的复习，尤其

是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，

理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决

问题时题目所体现的数学思维方法。

2、认真阅读考试说明，减少无用功

在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知

识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。

3、抓住重点内容，注重能力培养

高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线

和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

4、关心教育动态，注意题型变化

由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则

是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概

率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复

习与训练。一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，

5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误

计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。可以说是学好

数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在。并且在每年的阅卷中因为这

两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。所以我们在数学复习时，除抓好知识、

题型、方法等方面的教学外，还应通过各种方式、机会提高和规范学生的运算能力和

逻辑推理能力。

6、课后及时回忆

如果等到把课堂内容遗忘得差不多时才复习，就几乎等于重新学习，所以课堂学习

的新知识必须及时复习。

可以一个人单独回忆，也可以几个人在一起互相启发，补充回忆。一般按照教师板

书的提纲和要领进行，也可以按教材纲目结构进行，从课题到重点内容，再到例题的

每部分的细节，循序渐进地进行复习。在复习过程中要不失时机整理笔记，因为整理

笔记也是一种有效的复习方法。

7、定期重复巩固

即使是复习过的内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，

间隔也可以逐渐拉长。可以当天巩固新知识，每周进行周小结，每月进行阶段性总结，期中、期末进行全面系统的学期复习。从内容上看，每课知识即时回顾，每单元进行

知识梳理，每章节进行知识归纳总结，必须把相关知识串联在一起，形成知识网络，

达到对知识和方法的整体把握。

8、科学合理安排

复习一般可以分为集中复习和分散复习。实验证明，分散复习的效果优于集中复习，特殊情况除外。分散复习，可以把需要识记的材料适当分类，并且与其他的学习或娱

乐或休息交替进行，不至于单调使用某种思维方式，形成疲劳。分散复习也应结合各

自认知水平，以及识记素材的特点，把握重复次数与间隔时间，并非间隔时间越长越好，而要适合自己的复习规律。

高考数学六大备考建议

01 函数与导数

近几年高考中，函数类试题一般会出现2道选择题、2道填空题、1道解答题。

其中，选择题和填空题经常考的知识点更偏向反函数，函数的定义域和值域，函数

的单调性、奇偶性、周期性，函数的图象、导数的概念和应用等，这些知识点要着重

复习。

而在分值颇高的解答题中，通常会考查考生对于函数与导数、不等式运用等考点的

掌握运用情况。掌握题目背后的知识点，建立自己的答题思路是非常重要的。

值得考生们注意的是，函数和导数的考查，经常会与其他类型的题目交叉出现，所

以需要重视交叉考点问题的训练。

02 三角函数、平面向量和解三角形

三角函数是每年必考题，虽是重点但难度较小。哪怕是基础一般的同学，经过二轮

复习的千锤百炼，都可以掌握这部分内容。所以，三角函数类题目争取一分都不要丢! 从题型来看，会覆盖选择题、填空题、解答题三大类型。大题会出现在二卷解答题

的第一个，也证明此类型题目的难度比较小。

在三角函数的部分，高三考生需要熟练的知识点有不少。

(1)掌握三角变换的所有公式，理解公式的意义、应用场景、考查形式、使用方法等。

(2)熟悉三角变换常用的方法——化弦法、降幂法、角的变换法等。应用以上方法进行三角函数式的求值、化简、证明。

(3)掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题。

(4)熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质。同时，也要掌握这些函数图象的形状、特点。

(5)掌握三角函数不等式口诀：s inα上正下负;cosα右正左负;tanα奇正偶负。

03 数列

数列是高中数学的重要内容，每年高考都会考查等差数列、等比数列等重点知识点。考查题型常为填空题、选择题、解答题。小题考查的知识点大都比较基础，难度不大;解答题中有难度中等，最后一题的综合题目难度较大。

近年的高考试题中相关题目主要考查数列本身知识，等差数列与等比数列的概念、

性质、通项公式及求和公式;数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合;数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

考生应强化对这些知识点的掌握和应用，找到解题规律，争取看到等差、等比数列

不再头痛丢分!

04 立体几何

立体几何的考查的题型也覆盖选择题目、填空题和解答题。通常情况下选择题目、

填空题共三道，解答题一道，总分25-30分之间。

填空题和选择题主要考查立体几何的计算型问题，解答题着重考查建立空间直角坐

标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

立体几何题目再解答和练习时应该这么做。

(1)审清题目。不要上来盲目就做题，文字加见图案不看清楚很容易懵圈了，之后再次读题就会思路不清、得分困难了。看题目中的已知条件、未知条件和所求结果是什么。

(2)看图分析。审题后就是静下心来先看清题目中是什么几何体。之后，分析几何体结构特征。看题目中的面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。重点需要注意的是图形中的面面垂直、线面垂直，线线平行、线面平行等关系。

(3)整理思路找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。

(4)做题检验。以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。

05 解析几何

解析几何是重点也是公认的难点，高考的解析结合涉及的知识点有直线及其方程、线性规划、圆及其方程、椭圆及其方程、抛物线及其方程、双曲线及其方程以及曲线与方程的关系及其图像等。高考试题中有时将以上的知识点进行交叉综合考查，让考试的难度更大了。

(1)基础知识很重要。对于基础知识，不仅一个知识点都要熟稔于心，还要有能力将这些零散的知识点串联起来。只有这样，才能形成属于自己的知识框架，才能更从容的应对考试。

(2)概念掌握要牢靠。明确直线及其方程部分的基本的概念，直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。对于椭圆、抛物线、双曲线，考生要分别从其两个定义出发，明白焦点的来源、准线方程以及相关的焦距、顶点、突破离心率、通径的概念。每种圆锥曲线存在焦点在X轴和Y 轴上的情况，要分别进行掌握。

(3)解题思路。考生应在二轮复习过程中学会解决不同问题的方法，并进行分门别类的及时总结，勤加复习，做到熟稔于心。

对于向量方法，最长用的地方就解决与斜率有关的问题;对于“设而不求”的方法，最常用到的地方就是两种不同的平面几何图形相交的情况下求弦长的问题;设点法，最长用到的地方就是两种曲线相切以及求最值得问题等。

06 概率与统计

概率统计类型的试题约为两题左右，难度为中等或中等偏易。同时，概率统计题常

对课本原题进行改编，考查基础，贴近学生的生活总体，总体来说此类型试题的难度

不大。

概率与统计试题频繁考查基本概念和基本公式，需要考生们进行熟练的掌握。比如：对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试

验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等知识点。

(完整版)等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3。变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4。前n 项和:2)(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5。几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6。}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+= ⇔+=⇔+=⇔++-11122 7。性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1。定义：常数）(a 1q a n n =+ 2。通项公式：11a -=n n q a 3。变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -=

4. ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5。变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6。性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ⋅=⋅ ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =⋅ ③ =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可 或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和：前如求n n n )}1({+

高中等差等比数列的通项求和公式

高中等差等比数列的通项求和公式 高中等差等比数列的通项求和公式_高频考点 学好数学的关键是公式的掌握，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。下面是小编为大家整理的高中等差等笔数列的通项求和公式，希望能帮助到大家! 等差数列的通项求和公式 an=a1+(n-1)d 或an=am+(n-m)d 前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2 若m+n=2p则：am+an=2ap 以上n均为正整数 等比数列的通项求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);

(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数) (4)性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq; ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2 (5)G是a、b的等比中项G^2=ab(G ≠ 0). (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q__Sn=a1__q+a2__q+a3__q+...+an__q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q__Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1__q^n Sn=(a1-a1__q^n)/(1-q) Sn=(a1-an__q)/(1-q) Sn=a1(1- q^n)/(1-q) Sn=k__(1-q^n)~y=k__(1-a^x)。 高三数学学习方法 1、变介绍方法为选择方法 高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复 习的关键。“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。 2、变全面覆盖为重点讲练 第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。要 做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。 3、变以量为主为以质取胜 高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。只有重质减量，才能有利于学生更好的掌握知识，减少 练习量，不是指不做或是少做，而是要在精选上下功夫，要做到非重点的就少做甚至 是不做。 4、变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举 虽然影响学生的数学成绩的因素很多，但是学习兴趣和爱好与成绩绝对是相辅相成的。所以一味的强调“补弱”是不科学的，要因人而异，因成绩而异。一般，成绩居

高二数学等比数列公式归纳

等比数列公式_高二数学等比数列公式归纳 定义： an+1/an=q(an≠0) q<0摆动数列 q=1常数列 常数列(除零外)即成等差又成等比 通项公式： an=a1·qn-1 变形： an=am·qn-m=A·qn(A为常数) =(a1/q)·qn 前n项和： Sn=a1·(1-qn)/(1-q)=A-A·qn =(a1-an·q)/(1-q) Sn=n·a1······(q=1) a1·(1-qn)/(1-q)·······(q≠1) 性质： 等比中项：an2=an+1·an-1隔项符号相同 序号公式：m+n=p+qam+an=ap+aq 抓好基础是关键

数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提， 是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想 到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系 的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解 题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重 点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理 解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知 识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什 么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有 这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即 将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以 有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思 维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听 课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还 有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计 算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设 计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要 用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案

等比数列和等差数列公式

等比数列和等差数列公式 等差数列（Arithmetic Sequence）是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的差都是一个常数。等比数列（Geometric Sequence）是一种特殊的数列，其中每一项与它前一项的比都是一个常数。 等差数列的通项公式： 对于等差数列{a₁,a₂,a₃,...,aₙ}，其中公差为d，则第n项的值可以通过以下公式计算出来： aₙ=a₁+(n-1)d 等差数列的前n项和公式： 前n项和Sn可以通过以下公式计算出来： Sn=(n/2)(a₁+aₙ)=(n/2)(2a₁+(n-1)d) 等差数列的性质： 1.等差数列的前n项和与项数成正比，当n增大时，前n项和也随之增大。 2.等差数列的前n项和与公差成正比，公差越大，前n项和增长的速度越快。 等比数列的通项公式： 对于等比数列{a₁,a₂,a₃,...,aₙ}，其中公比为r，则第n项的值可以通过以下公式计算出来： aₙ=a₁×r^(n-1)

等比数列的前n项和公式： 前n项和Sn可以通过以下公式计算出来： Sn=a₁×(1-r^n)/(1-r)(当r≠1) 等比数列的性质： 1.等比数列的前n项和与项数成正比，当n增大时，前n项和也随之增大。 2.等比数列的前n项和与公比成正比，当公比绝对值小于1时，累加和趋近于一个有限值；当公比绝对值大于1时，累加和无限增长。 等差数列和等比数列在数学中的应用广泛，由于其规律性和计算简便性，被广泛应用于数学、物理、经济等领域。 举例： 1.等差数列：2,5,8,11,14... 其中公差为3，第n项的通项公式为aₙ=2+(n-1)×3 第6项的值为a₆=2+(6-1)×3=2+15=17 前6项的和为S₆=(6/2)×(2+17)=3×19=57 2.等比数列：3,6,12,24,48... 其中公比为2，第n项的通项公式为aₙ=3×2^(n-1) 第6项的值为a₆=3×2^(6-1)=3×2^5=3×32=96

等差数列与等比数列的通项与求和公式

等差数列与等比数列的通项与求和公式 数列（Sequence）是按照一定顺序排列的数的集合。在数学中，等差数列与等比数列是两种常见的数列形式。了解并掌握等差数列与等比数列的通项公式和求和公式，对于解决数学问题和数学推理具有重要意义。本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质以及它们的通项公式和求和公式。 一、等差数列 等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。例如，1、3、5、7、9 就是一个等差数列，其中的公差（公差是指相邻两项的差）为2。等差数列的通项公式可以通过对数列的特性进行推导得到。 1. 等差数列的概念 设数列a₁，a₂，a₃，...，an，... 是等差数列，若存在常数d（称为公差），使得对于任意正整数n，恒有 an+1 - an = d，则该数列称为等差数列。 2. 等差数列的通项公式 设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d 其中，an 表示等差数列的第n项。 3. 等差数列的前n项和公式

设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则等差数列的前n项和公式为： Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2 其中，aₙ 表示等差数列的第n项。 二、等比数列 等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。例如，1、2、4、8、16 就是一个等比数列，其中的公比（公比是指相邻两项的比）为2。等比数列的通项公式可以通过对数列的特性进行推导得到。 1. 等比数列的概念 设数列a₁，a₂，a₃，...，an，... 是等比数列，若存在常数q（称为公比），使得对于任意正整数n，恒有 an+1 / an = q，则该数列称为等比数列。 2. 等比数列的通项公式 设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1) 其中，an 表示等比数列的第n项。 3. 等比数列的前n项和公式 设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则等比数列的前n项和公式为：

高中等差数列求和公式有哪几种

高中等差数列求和公式有哪几种 等差数列求和公式有哪几种 等差数列公式an=a1+(n-1)d 前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2 若公差d=1时：Sn=(a1+an)n/2 若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq 若m+n=2p则：am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值an=首项+(项数-1)×公差 前n项的和Sn=首项+末项×项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)÷(n-1) 项数=(末项-首项)÷公差+1 数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数 数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 等差数列相关公式

第n项=首项+(项数-1)__公差 项数=(末项-首项)/公差+1 公差=(末项-首项)/(项数-1) 通项公式推导： a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d……an-a(n-1)=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)__d→an=a1+(n-1)__d。 前n项和公式为：Sn=a1__n+[n__(n-1)__d]/2 Sn=[n__(a1+an)]/2 Sn=d/2__n?+(a1-d/2)__n 注：以上n均属于正整数。 等差数列求和解题技巧 一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2 解：Sn=a1+a2+a3+...+an① 倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ② ①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)

数列的等差和等比求和公式的推导

数列的等差和等比求和公式的推导等差数列求和公式的推导 现在我们来推导等差数列的求和公式。假设有一个等差数列，其首项为a，公差为d，共有n项。我们要求这个数列的和。为了简化问题，我们先考虑一个特殊情况，即首项为1，公差也为1的情况。 我们假设这个数列的前n项和为Sn，我们可以将这个数列从首项到末项分别写出来： 1, 2, 3, ..., n-1, n 接下来我们将这个数列逆序排列，然后将两个数列相加： 1, 2, 3, ..., n-1, n n, n-1, n-2, ..., 2, 1 --------------- n+1, n+1, n+1, ..., n+1, n+1

我们可以看到，相加后的结果是n+1重复了n次。所以，我们可以得出结论： 2Sn = (n+1)n 即 Sn = (n+1)n/2 这就是等差数列的求和公式。 现在，我们来考虑一般情况下的等差数列。假设我们要求的等差数列的首项为a，公差为d，共有n项。 首先，我们可以将这个数列进行变换，使得首项为1，公差也为1。具体的变换是：将每一项减去首项a，然后再除以公差d。这样，我们就得到了一个首项为1，公差为1的等差数列。 根据前面的推导，这个等差数列的和为：

Sn' = (n'+1)n'/2 其中，n'表示首项为1，公差为1的等差数列的项数。 接下来，我们将这个和Sn'进行变换，使其变回原来的数列的和Sn。具体的变换是：将每一项乘以公差d，然后再加上首项a。 Sn = a + d((n'+1)n'/2) 我们知道，n' = (an - a)/d，将其代入上式，得到： Sn = a + d((an - a)/d + 1)(an - a)/2d 化简后得到： Sn = (2a + (n-1)d)n/2 这就是一般情况下等差数列的求和公式。

高中数学知识点等差等比数列的综合及数列求和

等差等比数列的综合及数列求和知识要点： 1、等差数列、等比数列的综合 （ 1）等差数列通项公式有如下求法： a2a1d（1） a3a2d（ 2） a n a n 1 () n N ，且 n 2 d n 1 12n 1 有， a n a1n 1 d ∴ a n a1n 1 d 当 n1a1n 1 d a1n N a n a1n 1 d 成立。由此，这种“累加法”适用于如下数列a n： a n 1a n f n 的数列求通项公式。 （ 2）等比数列通项公式有如下求法： a2 q1 a1 a3 q2 a2 a n q (n 1)n Nn 2 a n 1 (1)2n1，得 a n q n1 a1 a n a1· q n 1 当 n a 1· q n1a n N a n a ·q n 1成立。 111 由此，这种“累乘法”知用于如下数列a n， a n 1 g n的数列求通项公式。 a n （ 3）“错位相减法”求“差比数列”的前n 项和 等比数列前 n 项和公式采用的是“错位相减法”求得，用此方法还可以求符合条件的“差比数列”求前n 项和：a n b n· C n，其中 b n是等差数列，C n是等比数列，公差为 d，公比为 q q 1。 设 S n a1a2a n b1· C1b2· C2b n· C n（1） 两边同乘以 q，得 qS n b1· C1q b2· C2q b n· C n q

b1C2b2C3b n C n1（ 2） （ 1）－（ 2），得： 1 q S n b1 C1b 2 C2b n C n b1C2b2C3b n C n 1 b1C1b2C1 C2b n b n 1 C n b n C n 1 b1C1 d C2C3C n b n C n 1 ∴ S n b1C1d· C1q C1q n b1n 1 d · C1· q n 1q 1q1q 2、数列求和 求 S n a1a2a n f n的方法有如下几种 （ 1）公式法：等差数列中S n na1n n 1 d n a1a n 22 na1q1 等比数列中 S n a1a n q a1 1q n q1 1q1q 12 22n2n n12n1 6 （ 2）错位相减法：如果一个数列的通项是由一个等比数列相应项乘积构成其前n项和公式可以采用“错位相减法”求得。 （3）裂项法：如果一个数列的通项公式是分式形式，通常可考虑采用这种方法。 3、方程与函数思想在等差数列、等比数列中的应用： 对于等差数列 a n来说，其通项公式 a n a1n 1 d dn a1 d 可以写成自变量 n N 的函数式，其图象是在同一条直线的一系列点， d 为这些点所在直线的斜率， a1 d 是纵截距。 等差数列的前 n 项和公式 S n na1n n1 d n2a1 d n 可以写成自2 d 22 变量 n N 的函数式，其图象是分布在抛物线上的一系列点，d 为二次项系数，2 a1d 为一次项系数，常数项为 0。容易知道， d >0 时S n有最小值， d <0 时S n 222 有最大值。 对于等比数列常采用方程的方法解决问题，解决问题时除用“代入法消元”、“加减法消元”之外还常用“除法消元”。 4、“换元法”求数列的通项公式 如果一个数列 a n既不是等差数列，也不是等比数列，但由 b n f a n构造的新数列 b n是等差数列或等比数列，通过求 b n的通项公式，由 b n f a n解出 a n的通项公式 的方法是“换元法” 我们也可以称之为“等差数列、等比 数列转化法”。

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21 +=n n S n ， )2)(1(2 1++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由

等差等比数列的公式与技巧

第13讲等差、等比数列的公式与方法 （一）知识归纳： 1 .概念与公式： ①等差数列：1° .定义：若数列｛a n｝满足a ni-a n=d（常数）,则｛a n｝称等差数列；2通项公式：a n =a i （n-1）d = a k （n- k）d; 3° .前n项和公式： 公式：S n』 a 1 a n)=na1 n(n 「)d. 2 2 ②等比数列：a 1° .定义若数列｛a n｝满足亠丄q （常数），则｛a n｝称等比数列；2° .通a n 项公式：a n - a1q - a k q ,3 .前n 项和公式：S n - - (q^1),当 1 -q 1-q q=1 时S n = n &1. 2 .简单性质： ①首尾项性质：设数列｛a*｝： Qaa, ,a n, 1 °•若｛a n｝是等差数列，则a1■ a n= a2■a n = a3■ a n ^ =''; 2 .右｛a n｝是等比数列，则&1，a n = a?，a n4 = * 3 a n. ②中项及性质: .设a, A , b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且 2:设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G二-.ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p r s, 1 ° .若｛a n｝是等差数列，则a p +a q =a「+a$; 2° .若｛a n｝是等比数列，则a p a q =a r a s;

④ 顺次n 项和性质： n 2n 3n n 2d 的等差数 1 ° .若｛a n ｝是公差d 的等差数列， 则 a a k , z a k , a a k 组成公差为 k 二 k :n 1 k 3 1 列； n 2n 3n 2 ° .若｛a n ｝是公差 q 的等比数列， 则v ak ,' a k , 7 a k 组成公差为 q n 的等比数 kJ k m 1 k ：n 1 列•（注意：当q=— 1, n 为偶数时这个结论不成立） ⑤ 若｛a n ｝是等比数列， 2 则顺次n 项的乘积：a 1a^ a n ,a n 1a n 2…a 2n ,a 2n 1a 2n a 3n 组成公比这q n 的等比 数列• ⑥ 若｛a n ｝是公差为d 的等差数列， 1 ° .若n 为奇数，则S n 二na 中且S 奇-S 偶 = a 中 （注：a 中指中项，即a^ = a n d ,而S 奇、 S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）； 2。若n 为偶数，则S 偶-S 奇二—. 2 （二）学习要点： 1 •学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差 d 工0的等差数 列的通项公式是项 n 的一次函数a n =an+b;②公差d 丰0的等差数列的前 n 项和公式项数n 的 没有常数项的二次函数 S n =an 2+bn;③公比q 丰1的等比数列的前n 项公式可以写成"S n =a （1-q n ） 的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的 2 •解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确， 绝对不能用课外的需要证明的性质解题 • 3 •巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设 三数为 “a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列， 可设三数为“a,aq,aq 2（或—,a,aq ）” q ③四数成等差数列，可设四数为“ a,a m, a ■ 2m, a - 3m(或 a- 3m, m,a m, a 3m); ” a,aq,aq 2, aq 3(或 三，空,aq,二aq 3), ” q q 验还很多，应在学习中总结经验 ［例1］解答下述问题： ④四数成等比数列，可设四数为 等等；类似的经

数列求通项公式及求和的常用方法

数列求通项公式与求和的常用方法 求通项公式 一.公式法：（高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比） 1、等差数列公式 例1．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式. 2、等比数列公式 例2.设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式. 3、通用公式: (若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-21 1n S S n S a n n n n 求解。 一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式) 例3．已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式.

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法:(一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a )即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥； 例4．数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且()*+∈-=N n a a b n n n 1．若则12,2103=-=b b ，则 =8a ( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 例5．已知数列{}n a 满足11211 ,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式. 2、叠乘法：（一般地对于形如“已知a 1，且 n 1 n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：1 2 112 1 n n n n n a a a a a a a a ---= ⋅⋅⋅ ⋅(2)n ≥） 例6．在数列｛n a ｝中，1a =1,()n n na a n =++11，求n a 的表达式. 3、构造法（当数列前一项和后一项即n a 和a n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法） 1．待定系数法（①、一般地对于a n =ka n-1 +m(k 、m 为常数）型，可化为的形式a n +λ=k(a n-1 +λ).重

高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧1

数列求和的基本方法和技巧 关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+ 1222-⋯+n ），……的前顶和为n s ，则n s 的值。

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。 [例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----⋅+=-- ∴ 21) 1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项2 11=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。 （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

等差数列、等比数列、求通项方法、求和方法总结

等差数列 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公 差，公差通常用字母d 表不。用递推公式表本为a n -a n 」= d(n 至2)或 a n 4一a n =d(n >1) 0 例：等差数列a n =2n —1, a n —a n 」= 2、等差数列的通项公式： a n = & +(n —1)d ； 说明：等差数列(通常可称为 AP 数列)的单调性：d >0为递增数列，d=0为常数列，dc0为递减 数列。 例：1.已知等差数列 Q ｝中，a 7 +a 9 =16, a 4=1,则a 12等于( ) A. 15 B . 30 C . 31 D . 64 2. ｛a n ｝是首项a 1 =1,公差d =3的等差数列，如果 a n =2005,则序号n 等于 (A) 667 (B) 668 (C) 669 (D) 670 3. 等差数列a n =2n —1,\ = —2n +1 ,则a n 为 孰为(填“递增数列” 或“递减数列”) 3、等差中项的概念： 定义：如果a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项。其中 A=9」 2 a b a, A , b 成等差数列 u A = —^~ 即：2a n 4=a n +a n42 ( 2a n = a n _m + a n4m ) 例：1 .设Ln ｝是公差为正数的等差数列，若 a1+a 2+a 3=15, a 1a 2a 3 =80 ,贝U a11+a 12+a 3 =( ) A. 120 B . 105 C. 90 D . 75 2.设数列｛a n ｝是单调递增的等差数列，前三项的和为 12,前三项的积为48,则它的首项是( ) A. 1 B.2 C.4 D.8 4、等差数列的性质： (1)在等差数列｛4｝中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； (2)在等差数列｛a n ｝中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； (3)在等差数列(a n ｝中，对任意 m , n ^N +, a n = a m +(n —m)d , d = a n 一a m (m / n)； n -m (4)在等差数列｛a n ｝中，若 m, n , p, q ^N 川 m+n = p + q ,则 a m +a n = a p +a q ； 5、等差数列的前n 和的求和公式： & =n(a1 * a n ) =na 1+n( n —1)d =1n 2 +(a 1—d)n 。 2 2 2 2 (S n =An 2 +Bn (A, B 为常数)=G n ｝是等差数列) 递推公式：S n = (a 1 a n )n = (a m a n d") )n 2 2