必修五正弦定理与余弦定理
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正弦定理和余弦定理
高考会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．
复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．
1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变
形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
等形式，以解决不同的三角形问题．
2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦
定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab
.
3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2
(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并
可由此计算R 、r .
4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数
一解
两解
一解
一解
[难点正本 疑点清源]
1． 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，
即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .
2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________.
2． 已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 3． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝5
13
，b ＝3，则c
＝________.
4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．
5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面
积为
( )
A ．2 2
B ．8 2
C. 2
D.
2
2
题型一 利用正弦定理解三角形
例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .
已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，
A ＋C ＝2
B ，则角A 的大小为___________． 题型二 利用余弦定理求解三角形
例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c
.
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2
A
2
＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；
(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用
例3 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.
(1)求A ；
(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .
(1)若c ＝2，C ＝π
3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状
高考中的解三角形问题
典例：(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．
(1)求cos B 的值；
(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．
方法与技巧
1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π
2
中互补和互余的情况，结合
诱导公式可以减少角的种数．
2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －
2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范
1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他
的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．
2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于
( ) A ．4 3
B ．2 3
C. 3
D.
3
2
2． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B
等于
( )
A ．－1
2
B.12
C ．－1
D ．1
3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是
( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
4． △ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于
( )
A.3
2
B.332
C.
3＋6
2
D.
3＋39
4
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝1
3
，则a ＝________.
6． 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9
10，则BC ＝________.
三、解答题(共22分)
8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255
，AB →·AC
→
＝3.
(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．
9． (12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝7
2
.
(1)求A 的度数；
(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．
B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 2． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a 等 于 ( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 2 3． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数， 且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为 ( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4 二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且 a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 的形状为__________． 5． 在△ABC 中，若∠A ＝60°， b ＝1，S △ABC ＝3，则 a ＋ b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 的值为________． 6． 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B 的 值是______． 三、解答题 7． (13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝2 3 ，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 必修五：正弦定理和余弦定理 一：正弦定理 1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形 （1）R A a C B A c b a 2sin sin sin sin ==++++ （2）?? ???C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）?? ???B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin === （4）R abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====? 以下是ABC ?内的边角关系：熟记 （5）B A B A b a >?>?>sin sin （大边对大角） （6）B A B A cos cos （7）?? ???+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系 （8）2 cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ?的角平分线，则 AC DC AB DB = 思考题： 1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？ 2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？ 3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？ 4：若2 1sin > A ，则角A 的范围是什么？ 解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形. 例1：已知ABC ?，根据下列条件，解三角形. （1）10,45,60=?=∠?=∠a B A . （2）?=∠==120,4,3A b a . （3）?=∠==30,4,6A b a . （4）?=∠==30,16,8A b a . （5）?=∠==30,4,3A b a . 思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况 判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系 （2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较. 练习：（1）若?=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （2）若?=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （3）若?=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ 例2：根据下列条件，判断三角形形状. （1）C B A 2 22sin sin sin =+. （2）C B A cos sin 2sin = （3）B b A a cos cos = （4）A b B a tan tan 22= 正弦定理和余弦定理的应用 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断 教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。 1、与实际应用问题有关的名词、术语 ①铅直平面：与水平面垂直的平面 ②坡角：坡面与水平面的夹角 ③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比 ④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 ⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 ⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角 ⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小 于90 ⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 2、解三角形应用问题步骤 （1）准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解； （4）检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。 类型一：测量距离、高度问题 例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧,A B 间的距离，给出下列数据，其中不能唯一 确定,A B 两点间的距离的是（） A.角,A B 和边b B.角,A B 和边a C.边,a b 和角C D.边,a b 和角A 解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D 答案：D 练习1. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( ) A ．4003m B ．4003 3m C ．2003m D ．200m 解析：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200， ∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝2003 3 ，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝200 3 . ∴CD ＝AB －AM ＝400 3 . 答案：A 练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( ) A ．102m B ．20m C ．203m D ．40m 解析：设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 答案：D 例2：一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________． 解析：如图，水流速和船速的合速度为v ， B 1.1 正弦、余弦定理 一、知识点 1．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外（R 为外接圆的半径） (1)C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 注意：利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 正弦定理与余弦定理 【知识概述】 在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2= R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a === C B A c b a sin :sin :sin ::= 2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 22 22222222-+=-+=-+= 定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 2 22222222ab c b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+= 3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+= 4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? 【学前诊断】 1．[难度] 易 在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 3．[难度] 易 在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = . 【经典例题】 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 1.1 正弦定理和余弦定理 一、填空题 1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3. 答案 ⎝ ⎛ ⎦⎥⎤0，π3 2．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________． 解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝4 3. 答案 43 3．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3，则a ＝________. 解析 由正弦定理，有 3sin 2π3 ＝1sin B ， 即sin B ＝1 2 .又C 为钝角， 所以B 必为锐角，所以B ＝π6，所以A ＝π 6.故a ＝b ＝1. 答案 1 4.在△ABC 中,已知5210a c A =,=,=30,则B 等于________. 解析 根据正弦定理sin sin a c A C =,得sin 1 102sin 2252 c A C a ⨯== =. ∴C=45或C=135.当C=45时,B=105; 当C=135时,B=15. 答案 105或15 5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________. 解析 设AB ＝a ，∴BD ＝ 2 3 a ， BC ＝2BD ＝ 4 3 a ， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2 －43a 22a 2＝1 3 ∴sin A ＝1－cos 2A ＝22 3 由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66 . 答案 6 6 6．在△ABC 中，若S △ABC ＝1 4 (a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________. 解析 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14 (a 2 ＋b 2－c 2)， ∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ， ∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π 4 . 答案 π4 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则 衡南九中 高中数学必修五第一章导学案 编制人：袁静 审核人： 使用日期： 班级： 姓名： 教师评价： §1.1 正弦定理和余弦定理（3） 】 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 1、正弦定理： 2、余弦定理： 3、在解三角形时：已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理． 4、（已知三角形两边和其中一边的对角） 在△ABC 中，已知 A ＝6 π ，a b ＝ 1、在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. ① A ＝6 π ，a ＝1，b ＝ ② A ＝6 π ，a ，b ＝ ③ A ＝6 π ，a ＝2，b ＝ 解的个数情况会发生变化原因 2、用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）． 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修） 1.2应用举例1.3实习作业 [基础训练A 组] 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（） A ．2 B ．2 3C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0 150 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1． 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。 三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 §1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 知识点一 正弦定理 思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，c sin C 分别等于什么？ 答案 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？ 答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 仍然成立． 梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系 的互化． 知识点二 解三角形 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C .(√) 2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×) 类型一 正弦定理的证明 例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点， 根据正弦函数的定义知， CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴ a sin A ＝b sin B . 同理，b sin B ＝c sin C . 故 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C . 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固． 1.1.2 余弦定理 第1课时 余弦定理及其直接应用 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 . 知识点一 余弦定理 思考1 根据勾股定理，在△ABC 中，C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a ＝b ＝c 时，C ＝60°， a 2＋ b 2－2ab cos C ＝ c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2， 即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？ 答案 ab cos C ＝|CB →||CA → CB →，CA →＝CB →·CA → . ∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA → ＝(CB →－CA →)2＝AB → 2＝c 2. 猜想得证. 梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述 特别提醒：余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形. 思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形. 梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形. 1.勾股定理是余弦定理的特例.(√) 2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(√) 3.在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一.(×) 类型一 余弦定理的证明 例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求c 的值. 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解 解 如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB → ＝c ， 数学5 第一章解三角形 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置 专题22 正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 1．正、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 22bc cos__A ； b 2＝ c 2＋a 22ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见 变形 (1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin_C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝ c sin A cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 2 2ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)， 并可由此计算R ，r . 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6 ，则b ＝________. 正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理公式： 正弦定理是指在一个三角形ABC中，三边的长度a、b、c和它们所对应的角A、B、C之间有一个关系式，即： ``` a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) ``` 其中，a、b、c分别表示三角形ABC的三边的长度，A、B、C分别表示三角形ABC对应的内角的度数。这个关系式可以表示为两边的正弦之比等于两边所对应的角的正弦之比。 余弦定理公式： 余弦定理是指在一个三角形ABC中，三边的长度a、b、c和它们所对应的角A、B、C之间有一个关系式，即： ``` c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C) ``` 其中，c表示三角形ABC的边c的长度，a、b分别表示三角形ABC的另外两边的长度，C表示三角形ABC对应的内角的度数。这个关系式可以表示为两边的平方和减去两边与夹角的余弦的乘积等于第三边的平方。 根据正弦定理和余弦定理，可以得到一些常用的公式，如下所示： 1.正弦定理公式的变形 根据正弦定理公式可得到以下两个等式： ``` sin(A) = (a/2R), sin(B) = (b/2R), sin(C) = (c/2R) ``` 其中，R为三角形的外接圆的半径。 2.余弦定理公式的变形 根据余弦定理公式可得到以下三个等式： ``` cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac) cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab) ``` 这些等式可以用于计算三角形的角度。 3.判断三角形类型的公式 根据正弦定理和余弦定理，可以判断三角形的类型，如下所示：-当a^2+b^2=c^2时，三角形ABC为直角三角形； -当a^2+b^2>c^2时，三角形ABC为锐角三角形； -当a^2+b^2 高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案 【导语】高考竞争非常猛烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡当中的张力却只有真正的勇士才可以破译。为了助你一臂之力，作者高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案》助你金榜题名！ 教案【一】 教学准备 教学目标 进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定知道答有关问题，如判定三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重难点 教学重点：熟练运用定理. 教学难点：运用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学进程 一、复习准备： 1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2.讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课： 1.教学三角形的解的讨论： ①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形. 分两组练习→讨论：解的个数情形为何会产生变化? ②用以下图示分析解的情形.(A为锐角时) ②练习：在△ABC中，已知下列条件，判定三角形的解的情形. 2.教学正弦定理与余弦定理的活用： ①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化?→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. ②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判定三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别?→求角余弦，由符号进行判定 ③出示例4：已知△ABC中，，试判定△ABC的形状. 分析：如何将边角关系中的边化为角?→再摸索：又如何将角化为边? 3.小结：三角形解的情形的讨论;判定三角形类型;边角关系如何互化. 三、巩固练习： 3.作业：教材P11B组1、2题. 教案【二】 一)教材分析 (1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌控的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。 (2)重点、难点。 重点：正余弦定理的证明和运用 正弦定理和余弦定理直角三角形 正弦定理和余弦定理是解决直角三角形中边长和角度关系的两个 基本公式。 一、正弦定理： 在任何三角形中，对于一个角度和它对应的边，正弦定理表示边 长与正弦值成正比例关系。对于一个直角三角形中的角 A，其对边长 设为 a，邻边长设为 b，斜边长为 c，则正弦定理可表示为：sin A = a / c 其中，sin A 表示角 A 的正弦值，a 表示角 A 对应的直角三角 形的对边长，c 表示直角三角形的斜边长。 可以通过正弦定理推导出其他两个角的正弦值，从而求解三角形 中的边和角度： sin B = b / c sin C = c / c = 1 二、余弦定理： 余弦定理是另一种在直角三角形中解决边长和角度关系的基本公式。对于一个直角三角形中的角 A，其对边长设为 a，邻边长设为 b，斜边长为 c，则余弦定理可表示为： cos A = b / c 其中，cos A 表示角 A 的余弦值，b 表示角 A 对应的直角三角 形的邻边长，c 表示直角三角形的斜边长。 通过余弦定理，可以求出其他两个角的余弦值： cos B = a / c cos C = 0 三、比较正弦定理和余弦定理： 正弦定理和余弦定理是解决直角三角形中边长和角度关系的两个 基本公式。它们都可以用于求解三角形的边和角度，但是有一些不同点： 1. 适用条件不同。正弦定理适用于任何三角形，而余弦定理无法适用于等边三角形。 2. 求解的变量不同。正弦定理可以求解角的正弦值，而余弦定理可以求解角的余弦值。 3. 计算方式不同。正弦定理使用正弦函数，余弦定理使用余弦函数，两者在计算推导过程中存在差异。 总之，正弦定理和余弦定理是直角三角形中解决边长和角度关系的基本公式，掌握并灵活应用这两个公式可以帮助我们更好地理解和求解三角形中的各种问题。 学习必备 1.1.1、任意角的概念： （ 1 ）角的定义中的三个概念：角的始边、终边、逆时针方向形成正角。 （ 2 ）与 角终边相同的角集合表示： 。 注意：相等的角，终边一定相同；终边相同的角，不一定相等。 （ 3）象限角：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角的表示。 （ 4）轴线角： x 轴、 y 轴、 x 正(负) 半轴、 y 正 (负 )半轴、坐标轴的表示。 （ 5）对称角：①角 与角 的终边关于 x 轴对称，则： 2k (k ∈Z) ； ②角 与角 的终边关于 y 轴对称，则： 2k 1 (k ∈ Z) 。 1.1.2、弧度制： 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做一弧度的角。 （ 1）圆心角 、弧长 l 与半径 r 之间的关系是： ； （ 2）角度制与弧度制之间的转化： 180 rad ， 1 rad 57 18' 。 （ 3）扇形面积公式： S 1 Rl 1 R 2 。 2 2 1.2.1、任意角三角函数定义： 设 P x, y 为角 终边上一点， OP r x 2 y 2 ， 则 sin y / r ， cos x / r ， tan y / x ， 即：若点 P 为角 终边上一点，且 OP r ，则 P r cos ,r sin 。 注意：利用定义求三角函数值时，若终边所在象限不确定，要分情况讨论。 三角函数值的符号： （象限分类）一全正，二正弦，三正切、四余弦。 （函数分类）正弦上占天，余弦右半边，正切在一三。 三角函数线： 设角 的终边与单位圆相交于点 P 。过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M 。过点 A 1,0 作单位圆的切线，设它与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T 。那么： 正弦线： MP sin ；余弦线： OM cos ；正切线： AT tan 。 1.2.2、同角三角函数的关系 （ 1）平方关系： ；（2）商数关系： 。 1.3、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限” 求任意角 k 2 (k ∈ Z) 的某个三角函数值时，先化简： (1)若 k 为奇数 ,应改变三角函数的名称 (正、余互换 )；若 k 为偶数 , 不改变三角函数名称。 (2)把 看成锐角，原三角函数在角 k 所在象限的符号为最后三角函数的符号。 欢迎下载 1.4.1、 y sin x, y cos x 的图象： 1.4.2、 y sin x, y cos x 的性质： B O A B C D （ 1）周期性： T 2 ， （ 2）奇偶性： 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数； （ 3）单调性： 正弦函数在每一个闭区间 2k , 2k k Z 上都是增函数，其值从 1增 2 2 3 大到 1，在每一个闭区间 2k , 2k k Z 上都是减函数， 其值从 1减小到 1。 2 2 余弦函数在每一个闭区间 2k ,2k k Z 上都是增函数，其值从 1 1 ， 增大到 在每一个闭区间 2k , 2k k Z 上都是减函数，其值从 1减小到 1 。 （4）最大值与最小值： 正弦函数当且仅当 x 2k 时取得最大值 1，当且仅当 x 2 2k 时，取得最 2 小值 1。 余弦函数当且仅当 x 2k 时取得最大值 1，当且仅当 x 2k 时，取得最小值 。 1 （5）对称性： （1） y sin x 的对称轴方程： ；对称中心坐标： （ ， ）； （2） y cos x 的对称轴方程： ；对称中心坐标： （ ， ）； （3） y tan x 的对称轴方程： ；对称中心坐标： （ ， ）。 1.4.3、正切函数的性质与图像： （1）周期性： T ， （ 2）奇偶性：正切函数是奇函数； （ 3）单调性： 正切函数在每一个开区间 k , k k Z 内都是增函数。 2 2 （ 4）值域：正切函数的值域是实数集R 。 2 高中数学必修五-正余弦定理突破点（三）正、余弦定理的综合 应用 考点链接 考点一：三角形面积问题 三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为： (1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解． (2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解． 方法技巧 实战演练 考点二：三角形中的范围问题 解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免 结果的范围过大． 易错提醒 涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． 实战演练 考点三：正、余弦定理在平面几何中的应用 在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类问题既要抓住平面图形的几何性质，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式． 此类题目求解时，一般有如下思路： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 编号19 1.1正弦定理和余弦定理 **学习目标** 1．掌握正余弦定理的推导过程； 2．理解正余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用； 3．能应用正余弦定理解斜三角形； 4．能灵活运用正余弦定理判断三角形的形状及三角形面积的计算。 一、重点知识梳理： 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。 正弦定理的变式：（1） （2） （3） 2、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。 3、余弦定理： _ ___________ ___________ __________222===c b a 余弦定理的变式： . ________________cos ______;__________cos ______; __________cos ===C B A 4、用正弦定理和余弦定理可分别解决下列那种问题 ①已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。 5、三角形常用的面积公式：（1） （2） （3） 二、基础检测： 引入：在任一个直角三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a sin =B b sin =C c sin ，那么这个等式是否适合其他的任意三角形？ 例（1）已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。 （2）已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。 引入：在任一个直角三角形中，三边满足勾股定理，那么对于一般三角形的三边是否具有什么关系？ 例（1）在△ABC 中，若︒===120,1,1C b a ，求c ； （2）△ABC 三边的长37,4,3===c b a ，求最大角； 三、合作探究 1、根据下列条件，判断解三角形时是否有解，若有解，有几个解 （1）120a b A === （2）60,48,60a b B === （3）7,5,80a b A === （4）14,16,45a b A === 正弦定理和余弦定理 要点梳理 1．正弦定理 其中R 是 三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式 S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r. 3．余弦定理： 222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－. 余弦定理可以变形为： cos A ＝2 2 2 b c a 2bc +-，cos B ＝ 222a c b 2ac +-，cos C ＝ 222 a b c 2ab +-. 4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题． 基础自测 1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3 ，则a ＝ 1 . 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________. 3．在△ AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9 10 ，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C ) A ．2 2 B ．8 2 C. 2 D.2 2 2sin sin sin a b c R A B C ===(完整版)必修五;正弦定理与余弦定理
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