⎧
B ＋
C ＝120°，B －C ＝90°
得B ＝105°，C ＝15°.
由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°
sin15°
，
∴b ＝4tan75°，
∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°
1－tan30°
＝2＋3，
∴b ＝8＋4 3.
15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a . (1)求cos A 的值； (2)cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2A ＋π4的值．
解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝
3
2
a ， 所以cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc
＝
34a 2＋34
a 2
－a 22×32a ×3
2
a
＝13. (2)因为cos A ＝1
3，A ∈(0，π)，
所以sin A ＝1－cos 2A ＝
223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－7
9
，
sin2A ＝2sin A cos A ＝
42
9
. 所以cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－79×22
－429×22＝－8＋7218.
16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2， cos C ＝1
4
.
(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．
解析 (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×1
4＝4.
所以c ＝2.
所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)因为cos C ＝1
4，所以sin C ＝1－cos 2C ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
142＝154.
所以sin A ＝a sin C c ＝1542＝15
8.
因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝7
8
. 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝11
16.
17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b
.
(1)求
sin C
sin A
的值； (2)若cos B ＝1
4
，△ABC 的周长为5，求b 的长．
解析 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接
圆半径)，所以
cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin A
sin B
，
即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， 即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ，所以sin C
sin A
＝2. (2)由(1)知
sin C sin A ＝2，所以有c
a
＝2，即c ＝2a ，又因为△ABC 的周长为5， 所以b ＝5－3a ，由余弦定理及cos B ＝1
4
得
b 2＝
c 2＋a 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×14
，解得a ＝1， 所以b ＝2.
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且cos 〈AB →，AC →
〉＝14.
(1)求sin 2
B ＋
C 2
＋cos 2A 的值；
(2)若a ＝4，b ＋c ＝6，且b ＜c, 求a ，c 的值． 解析 (1)sin 2
B ＋
C 2
＋cos 2A
＝1
2
[1－cos(B ＋C )]＋(2cos 2A －1) ＝1
2
(1＋cos A )＋(2cos 2A －1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1＝－1
4
.
(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ， 即16＝36－5
2
bc ，∴bc ＝8.
由⎩⎨⎧
b ＋
c ＝6，bc ＝8，b ＜c ，
可求得⎩⎨
⎧
b ＝2，
c ＝4.
(完整版)必修五;正弦定理与余弦定理
必修五：正弦定理和余弦定理 一：正弦定理 1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形 （1）R A a C B A c b a 2sin sin sin sin ==++++ （2）?? ???C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）?? ???B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin === （4）R abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====? 以下是ABC ?内的边角关系：熟记 （5）B A B A b a >?>?>sin sin （大边对大角） （6）B A B A cos cos （7）?? ???+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系 （8）2 cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ?的角平分线，则 AC DC AB DB = 思考题： 1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？ 2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？ 3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？ 4：若2 1sin > A ，则角A 的范围是什么？
解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形. 例1：已知ABC ?，根据下列条件，解三角形. （1）10,45,60=?=∠?=∠a B A . （2）?=∠==120,4,3A b a . （3）?=∠==30,4,6A b a . （4）?=∠==30,16,8A b a . （5）?=∠==30,4,3A b a . 思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况 判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系 （2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较. 练习：（1）若?=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （2）若?=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （3）若?=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ 例2：根据下列条件，判断三角形形状. （1）C B A 2 22sin sin sin =+. （2）C B A cos sin 2sin = （3）B b A a cos cos = （4）A b B a tan tan 22=
人教A版高中数学必修五1.1 正弦定理和余弦定理
高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 1.1 正弦定理和余弦定理 一、填空题 1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3. 答案 ⎝ ⎛ ⎦⎥⎤0，π3 2．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________． 解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝4 3. 答案 43 3．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3，则a ＝________. 解析 由正弦定理，有 3sin 2π3 ＝1sin B ， 即sin B ＝1 2 .又C 为钝角， 所以B 必为锐角，所以B ＝π6，所以A ＝π 6.故a ＝b ＝1. 答案 1
4.在△ABC 中,已知5210a c A =,=,=30,则B 等于________. 解析 根据正弦定理sin sin a c A C =,得sin 1 102sin 2252 c A C a ⨯== =. ∴C=45或C=135.当C=45时,B=105; 当C=135时,B=15. 答案 105或15 5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________. 解析 设AB ＝a ，∴BD ＝ 2 3 a ， BC ＝2BD ＝ 4 3 a ， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2 －43a 22a 2＝1 3 ∴sin A ＝1－cos 2A ＝22 3 由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66 . 答案 6 6 6．在△ABC 中，若S △ABC ＝1 4 (a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________. 解析 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14 (a 2 ＋b 2－c 2)， ∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ， ∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π 4 . 答案 π4 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则
新人教A版高中数学必修51.1正弦定理和余弦定理
数学5 第一章解三角形 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置
人教课标版高中数学必修5《解三角形》章末总结
人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习 知识梳理 1.正弦定理：A a sin =B b sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理： （1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=， C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 2 22-+=，（角到边的 转换） 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21 acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R ab c 4(R 为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2B A +,
sin 2C =cos 2B A …… 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ， 再求b 、c. (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B b sin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B b sin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 absinA 两解 无解 无解 a=bsinA 一解 a高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理
§1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 知识点一 正弦定理 思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，c sin C 分别等于什么？ 答案 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？ 答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 仍然成立． 梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系
的互化． 知识点二 解三角形 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C .(√) 2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×) 类型一 正弦定理的证明 例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点， 根据正弦函数的定义知， CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴ a sin A ＝b sin B . 同理，b sin B ＝c sin C . 故 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C . 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
新人教A版必修5高中数学1.1正弦定理和余弦定理学案
高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案 新人教A 版必修5 学习目标 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 学习重难点 1. 重点：正、余弦定理内容 2. 难点：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时的讨论 一、知识链接 问题1：在解三角形时，已知三边求角，用 定理； 已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定 理． 问题2：在△ABC 中，已知 A ＝6 π ，a ＝252，b ＝502，解此三角形． 二、试一试 探究1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. ① A ＝6π，a ＝25，b ＝502；② A ＝6π，a ＝506 3 ，b ＝502；③ A ＝6π，a ＝50，b ＝502. 思考：解的个数情况为何会发生变化？ 探究2：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）． b a b a b a b a a 已知边a, b 和∠A 仅有一个解有两个解 仅有一个解无解 a ≥ b CH=bsinA※ 模仿练习 例1. 在?ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=?，试判断此三角形的解的情况． 变式：在?ABC 中，若1a =，1 2 c =，40C ∠=?，则符合题意的b 的值有_____个． 例2. 在?ABC 中，60A =?，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值． 变式：在?ABC 中，若55a =，16b =，且1 sin 22032 ab C =，求角C ． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）； 2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）； 3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）； 4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、 两解和无解三种情况）． ※ 知识拓展 在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ： ①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解． 当堂检测 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且 sin 2sin 3 A B =， 则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 5 3 2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150° 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定 4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ． 5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ． 课后作业
人教A版高中数学必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案
专题22 正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 1．正、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 22bc cos__A ； b 2＝ c 2＋a 22ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见 变形 (1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin_C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝ c sin A cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 2 2ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)， 并可由此计算R ，r . 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6 ，则b ＝________.
必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题全新
正弦定理和余弦定理 要点梳理 1．正弦定理 其中R 是 三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式 S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r. 3．余弦定理： 222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－. 余弦定理可以变形为： cos A ＝2 2 2 b c a 2bc +-，cos B ＝ 222a c b 2ac +-，cos C ＝ 222 a b c 2ab +-. 4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题． 基础自测 1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3 ，则a ＝ 1 . 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________. 3．在△ AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9 10 ，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C ) A ．2 2 B ．8 2 C. 2 D.2 2 2sin sin sin a b c R A B C ===
2019人教A版数学必修五 1.1《正弦定理和余弦定理》教案2
2019人教A 版数学必修五 1.1《正弦定理和余弦定理》教案2 一、教学目标： 1、能力要求： ①掌握余弦定理，能初步运用余弦定理解一些斜三角形。 ②明确余弦定理可解决哪种类型的三角形问题。 2、过程与方法： ①探究式教学使学生明确余弦定理的用途。 ②在探究学习中，认识到余弦定理可以解决某些与几何计算和测量有关的实际问题。 二、教学重点、难点： 重点：余弦定理公式及其推论的应用； 难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解斜三角形 三、预习问题处理： 1、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即 ； ； 。 2、从余弦定理，可以得到它的推论： ； ； 。 3、从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是 。 4、只利用余弦定理，我们可以解决何种类型的问题？ 四、新课讲解： 通过上一节课的学习我们知道，利用正弦定理可以解决两类三角形问题：①已知三角形两角和任一边解三角形；②已知两边和其中一边的对角解三角形。那么其它类型的解三角形问题是否就没有办法解决了呢？下面我们由正弦定理出发，进行一下探索。 正弦定理：（为外接圆半径） 由正弦定理可知： ()()[]C B C B C B R A C B C B R A bc c b +++=-+=-+∴cos sin sin 2sin sin 4cos sin sin 2sin sin 4cos 222222222
[] ()()[] []()()()22 22222 22 22222222222222sin 2sin 4sin 4cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2sin 1sin sin 1sin 4cos cos sin sin 2sin sin 2sin sin 4a A R A R C B R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R ===+=+=++=+-+-=+-+=即。 同理可证： 于是，我们可以得到如下定理： 余弦定理（law of cosines ） 三角形中任何一边的平方等于其他两边的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 上述证明方法比较烦琐，有没有余弦定理的简单证法呢？ 我们可以用向量法对其加以证明。 如图，设，那么， ()()C ab b a b a b b a a b a b a c c cos 2222-+=⋅-⋅+⋅=-⋅-=⋅= 所以。 同理可以证明： 在这个定理的证明过程中，你感觉到向量运算的威力了吗？ 应用余弦定理，我们可以随一些正弦定理所解决不了的三角形问题进行求解，如：已知两边和夹角求三角形第三边。 从余弦定理，可以得到它的推论： ， ， 。 应用上述推论，可以对已知三角形三边求其三个内角的问题进行求解。 由上述推论可知：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。也就是说，如果已知一个三角形的三边长度，我们可以用余弦定理的推论判定三角形的形状。 五、例题讲解： 例1、在中，已知，解此三角形。 解：由余弦定理：32 33322912cos 2222=⨯ ⨯⨯-+=-+=C ab b a c ， ； ； 例２、在中，已知，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状。
新人教A版必修5高中数学正弦定理、余弦定理(一)
正弦定理、余弦定理（一） 教学目标： 进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. 教学重点： 利用正、余弦定理进行边角互换. 教学难点： 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向； 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用. Ⅱ.讲授新课 ［例1］已知△ABC ，BD 为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝AD ∶DC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为 AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC ，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD 内，利用正弦定理得： AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，即AB AD ＝sin ∠ADB sin ∠ABD 在△BCD 内，利用正弦定理得： BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC ，即BC DC ＝sin ∠BDC sin ∠DBC . ∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ， ∴sin ABD ＝sin DBC . ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°，∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理》优质课教案_14
《余弦定理》教案 一、教材分析 《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。 余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。 二、教学目标 知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。 2、掌握余弦定理的推导、证明过程。 3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。 过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。 2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。 3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际 问题的能力。 情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验 解决问题的成功喜悦。 2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。 三、教学重难点 重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。 难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。 四、教学用具 普通教学工具、多媒体工具 （以上均为命题教学的准备） 五、教学过程 过程设计设计意图 情境设疑、引发思考1、温州有很多山，乘火车时会经过一个个隧 道，让学生思考隧道是如何开凿的。【多媒体 展示隧道图片】 （学生发表自己意见，提出要测量出山脚两端 的距离） 2、提出问题：如何测量山脚两端的距离。 3、展示技术人员的方案，让学生与自己的方案 进行比较，并思考这个方案的设计原理。 【技术人员方案：将山脚两端记为B、C，在 结合实际情景、结合学生 经历来提出问题，引发学 生思考，激发学生的学习 兴趣。（命题教学的情境 性策略——创设实践情 境） 给出技术人员的方案，引 起学生的疑问，激起学生
人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理教案一新
数学：1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5） 余弦定理 一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章第二节 二、设计思想： 1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。 3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。 4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问
题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。 三、教学目标： 1、知识与技能： 理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题 2．过程与方法： 通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。 3．情感、态度与价值观： 探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。 四、教学重点： 通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。 五、教学难点：余弦定理的灵活应用 六、教学流程： (一)创设情境，课题导入： 1、复习：已知A=0 45,b=16解三角形。（可以让学生板练） 30,C=0 2、若将条件C=0 45改成c=8如何解三角形？ 设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化
2020秋高中数学人教版5达标检测：1.1第3课时 正、余弦定理的综合应用含解析
2020秋高中数学人教A版必修5达标检测：1.1第3课时正、余弦定理的综合应用含解析 A级基础巩固 一、选择题 1．已知三角形的三边长分别是a，b,错误!,则此三角形中最大的角是（） A．30°B．60°C．120°D．150° 解析：因为错误!＞a, 错误!＞b, 所以最大边是错误!， 设其所对的角为θ,则 cos θ＝错误!＝－错误!， 所以θ＝120°. 答案:C 2．△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b，c。若B＝2A，a＝1,b＝错误!，则c＝() A．2错误!B．2 C.错误!D．1 解析：由 a sin A＝错误!，得错误!＝错误!, 所以错误!＝错误!， 故cos A＝错误!， 因为A∈（0，π），所以A＝错误!， 所以B＝错误!，C＝错误!，c＝错误!＝错误!＝2.
答案：B 3．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6。则错误!·错误!的值为(） A．19 B．14 C．－18 D．－19 解析:由余弦定理的推论知： cos B＝AB2＋BC2－AC2 2AB·BC＝ 19 35。 所以错误!·错误!＝|错误!|·｜错误!|·cos（π－B）＝7×5×错误!＝－19. 答案：D 4．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是(）A．sin A＝cos B B．sin A＜cos B C．sin A＞cos B D．不能确定 解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°. 所以A＞90°－B, 所以sin A＞sin (90°－B）＝cos B. 答案：C 5．在△ABC中，b＝8，c＝3,A＝60°，则此三角形外接圆面积为() A.错误! B.错误!C。错误!D。错误! 解析：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝82＋32－2×8×3×错误!＝49, 所以a＝7，所以2R＝错误!＝错误!＝错误!， 所以R＝错误!，所以S＝π错误!错误!＝错误!π. 答案:D
人教版高数必修五第1讲：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用 教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状 1、 正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即ABC ∆中，若,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c 则sin sin sin a b c A B C == 2、 解三角形 一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题： （1） 已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有唯一解； （2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。 3、 正弦定理的常见公式拓展： ① 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（边化角公式） ③sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = ==(角化边公式)
④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤ 2sin sin sin sin sin sin a b b c c a R A B B C C A +++===+++ ⑥ 2sin sin sin a b c R A B C ++=++ 4、 余弦定理 ①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 ②定义式：2222222222cos 2cos 2cos c a b ab C a b c bc A b c a ac B =+-=+-=+- 5、 余弦定理的变形式和特例 ①222222222 cos ,cos ,cos 222a b c c a b b c a C B A ab ac bc +-+-+-=== ②22290C c a b =⇔=+ ③22260C c a b ab =⇔=+- ④222120C c a b ab =⇔=++ ⑤2 2 2 30C c a b =⇔=+ ⑥2 2 2 45C c a b =⇔=+ 6、 余弦定理可以解决的两类三角形问题 （1） 已知三边长，求三个内角； （2） 已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。 类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。 例1：（2015山东潍坊一中月考）在ABC ∆中，已知8,60,75,a B C =∠=∠= 则b 等于（） A. D.22 3 解析： 由已知可得18045A B C ∠=-∠-∠=由 sin sin a b A B = 得sin 8sin 60 sin sin 45 a B b A ⨯= ==，故选C 答案：C
人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计
名师示范课 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（名师：王历权） 一、教学目标 1.核心素养 通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力. 2.学习目标 （1）了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型; （2）能证明余弦定理; （3）应用余弦定理解决三角形相应问题. 3.学习重点 理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题. 4.学习难点 余弦定理的证明. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务 阅读教材P5－P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用? 2.预习自测 1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=. bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 2 22-+=.
2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c . 解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c . （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）在三角形中大边对大角,大角对大边. （2）三角形的面积:C ab S sin 2 1= . （3）正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究 问题探究一 另一类解三角形问题 ●活动一 回顾旧知 理论上正弦定理可解决两类问题: （1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角; （2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. ●活动二 整合旧知,探求边角新关系 如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗? 应用正弦定理显然无法求解三角形. Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢? 问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理 在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.
正弦定理-高二数学人教版(必修5)
第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1．正弦定理 在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即____________．正弦定理对任意三角形都成立． 2．解三角形 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的____________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________． K 知识参考答案： 1． sin sin sin a b c ==A B C 2．元素 解三角形 K —重点 正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用 K —难点 三角形解的个数的探究、三角形形状的判断 K —易错 解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论 正弦定理的常见变形及推广 （1） sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======． （2）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C +++++======+++++． （3）::sin :sin :sin a b c A B C =． （4）正弦定理的推广： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC △外接圆的半径． （1）已知△ABC 中，sin :sin :sin =1:2:3A B C ，则a:b:c =_____________； （2）已知△ABC 中，∠A =60︒，3a ，则 ++sin +sin +sin a b c A B C =_____________．
正弦定理 (新人教A版必修5)
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 从容说课 本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认 识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构． 教学重点1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的证明及其基本应用． 教学难点1.正弦定理的探索和证明； 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数． 教具准备直角三角板一个 三维目标 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 二、过程与方法 1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系； 2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理； 3.进行定理基本应用的实践操作． 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 教学过程 导入新课 师如右图，固定△ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 师思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 生显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大． 师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt △ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c a =sin A ，c b =sin B ，又
