人教版高数必修五第2讲：正弦定理和余弦定理的应用(教师版)

正弦定理和余弦定理的应用

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教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断

教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。

1、与实际应用问题有关的名词、术语

①铅直平面：与水平面垂直的平面

②坡角：坡面与水平面的夹角

③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比

④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角

⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角

⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角

⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小

于90

⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角

2、解三角形应用问题步骤

（1）准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；

（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；

（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；

（4）检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。

类型一：测量距离、高度问题

例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧,A B 间的距离，给出下列数据，其中不能唯一

确定,A B 两点间的距离的是（）

A.角,A B 和边b

B.角,A B 和边a

C.边,a b 和角C

D.边,a b 和角A

解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D

答案：D

练习1. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )

A ．4003m

B ．4003

3m C ．2003m D ．200m

解析：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，

∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝2003

3

，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝200

3

. ∴CD ＝AB －AM ＝400

3

.

答案：A

练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )

A ．102m

B ．20m

C ．203m

D ．40m

解析：设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 答案：D

例2：一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．

解析：如图，水流速和船速的合速度为v ，

在△OAB 中：

OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v ＝23km/h.

即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 答案：6 km

练习3：在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________． 解析：由题意，作出图形如图所示，

设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，

又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，

∴AC ＝AB ×sin30°

sin15°＝50×

126－2

4＝25(6＋2)(m)．

∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝

22

AC ＝25(6＋2)·22

＝25(3＋1)(m)．

练习4：两船同时从A 港出发，甲船以每小时20n mile 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12n mile 的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________n mile. 解析：如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，

∠CAB ＝40°＋80°＝120°，

由余弦定理，得BC 2＝202＋122－

2×

20×12·cos120°＝784，∴BC ＝

28(n mile)． 答案：28

规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。 类型二：测量角度问题、三角形综合题 例3：在某测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( )

A ．北偏西35°

B ．北偏东55°

C ．北偏东35°

D ．南偏西55° 解析：根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．

α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B 在A 的南偏西55°. 答案：D

练习5：已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40，灯塔

B 在观察站

C 的南偏东60，则灯塔A 在灯塔B 的（）

A.北偏东40

B.北偏西10

C.南偏东10

D.南偏西

10 答案：B

练习6：某观察站C 与两灯塔,A B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东

30 处，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔,A B 间距离为（）

A.400米

B.500米

C.800米

D.700米 答案：D

例4：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且

()

2

22S a b c =+-，则tan C = （）

A.

34 B.43 C.43- D.3

4

- 解析： 由()2

2222

222222

2,221

2sin 22

sin 2S a b c S a b ab c ab C a b ab c ab C ab a b c =+-=++-∴⨯

=++-∴-=+-

即222sin 2a b c C ab +--= 又222cos 2a b c C ab

+-=，所以1

sin 22cos ,1cos sin 2C C C C -=+=

又2

2cos 12cos ,sin 2sin cos ,2cos sin cos 222222

4tan 2,tan 23C C C C C C C C C C +==∴=∴==-

答案：C

练习7：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且

()2

22S a b c =+-，则tan

2

C

= （） A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案：A

练习8：在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且

()2

22S a b c =+-，则2

tan 2

C

= （） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B

1. 在某测量中，A 在B 的北偏东45°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．北偏东35° D ．南偏西45°

答案：D

2. 在某测量中，A 在B 的南偏西45°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东45° C ．北偏东35° D ．南偏西45° 答案：B

3.在100m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )

A.

2003

m B. 2003m

m D.400m 答案：A

4. 要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A

的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝60m ，则电视塔的高度为( )

A ．102m

B ．20m

C ．203m

D ．60m 答案：D

5. 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为3

4

，设α为坡角，那么2cos α等于( )

A ．

35 B ．45 C ．1625- D ．1625

答案：D

6. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 的南偏东70°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东20° B ．北偏西20° C ．南偏东20° D ．南偏西20°

答案：B

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基础巩固

1. 某人向正东走x Km ，向右转150，然后朝旋转后的方向走3km 后，他离最开始的出发点的距离

，那么x 的值为__________

答案：2. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )

A ．a km

B ．3a km

C ．2a km

D ．2a km

答案：B

3. 有一长为10 m 的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )

A ．5 m

B ．10 m

C ．10 2 m

D ．103m 答案：C

4. 江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )

A ．103m

B ．1003m

C ．203m

D ．30m

答案：D

5. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( ) A ．502m B ．503m C ．252m D ．252

2

m 答案：A

6.一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km) 答案：5.2

7. 如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )

A ．20(2＋6)n mile/h

B ．20(6－2)n mile/h

C ．20(6＋3)n mile/h

D ．20(6－3)n mile/h 答案：B

能力提升

8. 某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile

后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)． 答案：如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30，

∠BAC ＝30°，

∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，

由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝15

6－2

4

＝15(6＋2)． 在Rt △BDC 中，CD ＝

2

2

BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．

9.

甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速

度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？ 答案：如图，设经过t h 两船在C 点相遇，

则在△ABC 中，

BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，

由

BC sin ∠CAB ＝AC

sin B

，

得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at ＝1

2.

∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°，

∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.

即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．

10. 在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O (如图所示)的东偏南θ(cos θ＝

2

10

)方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 答案：如图所示，设在时刻t (h)台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t ＋60)km.若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t ＋60.

由余弦定理，得

OQ 2＝PQ 2＋PO 2－2·PQ ·PO ·cos ∠OPQ ， 由于PO ＝300，PQ ＝20t ，

∴cos ∠OPQ ＝cos(θ－45°)＝cos θcos45°＋sin θsin45° ＝

210×2

2

＋1－

2102×22＝4

5

， 故OQ 2＝(20t )2＋3002－2×20t ×300×4

5

＝202t 2－9600t ＋3002，

因此202t 2－9600t ＋3002≤(10t ＋60)2， 即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24. 答：12h 后该城市开始受到台风的侵袭．

11. 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103m ，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．

答案：

解法一：∵∠P AB ＝θ，∠PBC ＝2θ， ∴∠BP A ＝θ，∴BP ＝AB ＝30. 又∵∠PBC ＝2θ，∠PCD ＝4θ， ∴∠BPC ＝2θ，∴CP ＝BC ＝10 3.

在△BPC 中，根据正弦定理，得PC sin2θ＝PB

sin (π－4θ)，

即103sin2θ＝30sin4θ ， ∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103 .

由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝

3

2

. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 解法二：在△BPC 中，根据余弦定理，得 PC 2＝PB 2＋BC 2－2PB ·BC ·cos2θ， 把PC ＝BC ＝103，PB ＝30代入上式得， 300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ， 化简得：cos2θ＝

3

2

. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.

解法三：如下图，过顶点C 作CE ⊥PB ，交PB 于E ，

∵△BPC 为等腰三角形， ∴PE ＝BE ＝15. 在Rt △BEC 中，cos2θ＝

BE BC ＝15103＝3

2

. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.

12. 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20n mile 的B 处．现在“白云号”以每小时10n mile 的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile 的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．

答案：如右图，设经过t h ，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，

此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD ．则根据题意，知在△ACD 中， AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD ＝60°.由余弦定理，得 CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos60°

＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos60° ＝244t 2－560t ＋400＝244(t －

7061)2＋400－244×(70

61

)2， ∴当t ＝70

61时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．

答：经过70

61

h 后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．

13. 如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile 内有暗礁，一船从A 由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile 后，望见这岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．

答案：在△ABC 中，AC ＝8，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，∠CAB ＝90°－75°＝15°，∴∠ABC ＝15°.

∴△ABC 为等腰三角形，BC ＝AC ＝8，在△BCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝8，∴BD ＝BC ·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．

课程顾问签字： 教学主管签字：

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人教版高数必修五第2讲：正弦定理和余弦定理的应用(教师版)

正弦定理和余弦定理的应用 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断 教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。 1、与实际应用问题有关的名词、术语 ①铅直平面：与水平面垂直的平面 ②坡角：坡面与水平面的夹角 ③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比 ④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 ⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 ⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角 ⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小 于90 ⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 2、解三角形应用问题步骤 （1）准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解； （4）检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。

类型一：测量距离、高度问题 例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧,A B 间的距离，给出下列数据，其中不能唯一 确定,A B 两点间的距离的是（） A.角,A B 和边b B.角,A B 和边a C.边,a b 和角C D.边,a b 和角A 解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D 答案：D 练习1. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( ) A ．4003m B ．4003 3m C ．2003m D ．200m 解析：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200， ∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝2003 3 ，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝200 3 . ∴CD ＝AB －AM ＝400 3 . 答案：A 练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( ) A ．102m B ．20m C ．203m D ．40m 解析：设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 答案：D 例2：一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________． 解析：如图，水流速和船速的合速度为v ，

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)

正弦定理与余弦定理 【知识概述】 在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2= R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a === C B A c b a sin :sin :sin ::= 2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 22 22222222-+=-+=-+= 定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 2 22222222ab c b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+= 3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+= 4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? 【学前诊断】 1．[难度] 易 在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 3．[难度] 易 在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = . 【经典例题】

高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案(Word版)

高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教 案 （2021最新版） 作者：______ 编写日期：2021年__月__日 教案【一】 教学准备 教学目标 进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理

解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重难点 教学重点：熟练运用定理. 教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程 一、复习准备： 1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2.讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课： 1.教学三角形的解的讨论： ①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.

分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化? ②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时) ②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. 2.教学正弦定理与余弦定理的活用： ①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化?→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. ②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别?→求角余弦，由符号进行判断 ③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.

分析：如何将边角关系中的边化为角?→再思考：又如何将角化为边? 3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化. 三、巩固练习： 3.作业：教材P11B组1、2题. 教案【二】 一)教材分析 (1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。 (2)重点、难点。 重点：正余弦定理的证明和应用

必修五正弦定理,余弦定理(2节5课时)

人教A版高中数学必修5 全册导学案

目录 1.1.1正弦定理(2) 1.1.2余弦定理(2) 1.2.1解三角形应用举例（一） 1.2.2解三角形应用举例（二） 1.2.3解三角形应用举例（三） 1.2.3解三角形应用举例（四） 2.1.1数列的概念与简单表示法（一） 2.1.2数列的概念与简单表示法（二） 2.2.1等差数列(一) 2.2.2等差数列（二） 2.3.1等差数列的前n项和（一） 2.3.2等差数列的前项和（二） 2.4.1等比数列（一） 2.4.2等比数列（二） 2.5.1等比数列的前n项和（一） 2.5.2等比数列的前n项和（二） 3.1.1不等关系与不等式（一） 3.1.2不等关系与不等式（二） 3.2.1 一元二次不等式及其解法（一） 3.2.2一元二次不等式及其解法（二） 3.2.3一元二次不等式及其及解法(三) 3.3.1.1二元一次不等式（组）与平面区域（一） 3.3.2.1简单的线性规划问题（一） 3.3.2.2简单的线性规划问题（二） 3.3.2.3简单的线性规划问题（三） 3.3.2二元一次不等式(组)与平面区域（二） 3.4.1基本不等式（一） 3.4.2基本不等式（二） 3.4.3基本不等式（三）

学案序号： 1 \2 课型： 新授课 时间： 2018/8/ 禄丰一中高 二年级 标题 §1.1.1 正弦定理 【学习目标】 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【重难点】 1、会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 2、掌握正弦定理的证明方法 【自主学习指导】 阅读教材第1页-第4页，思考下列问题： 1、 正弦定理还可以怎样推导？ 2、 正弦定理用途有哪些？ 【学习过程】 一、 新知： 1、 正弦定理 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等， 符号语言： sin sin a b A B = sin c C =． 2、 解三角形 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 注意：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B = ，sin a A =sin c C ． 3、正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． 二、典型例题 例1. 在ABC ?中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形． 变式：在ABC ?中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形． 例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ?===中，求和．

必修5第二章第1节正弦定理与余弦定理(理)

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 必修5 正弦定理、余弦定理 二、教学目标 （1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。 （2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。 利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。 三、知识要点分析 1、正弦定理的有关知识（设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R ） 正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===， 由正弦定理得（i ）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++ （ii ）::sin :sin :sin a b c A B C =。 正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。 2、三角形的面积公式 （1）1 ,(2 a a S a h h a = ?是边上高）（h a 是a 边上的高）（2）111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。 （3） 1 (),(2 S a b c r r =++?是内切圆半径） 3、余弦定理的有关知识。（设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所对的边是a,b,c ） 余弦定理： 222 2 2 2 2 2cos )2(1cos )cos 2b c a b c bc A b c bc A A bc +-=+-=+-+?=a （ 222 2 2 2 2 2cos ()2(1cos )cos 2a c b b a c ac B a c ac B B ac +-=+-=+-+?=

人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计

名师示范课 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（名师：王历权） 一、教学目标 1.核心素养 通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力. 2.学习目标 （1）了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型; （2）能证明余弦定理; （3）应用余弦定理解决三角形相应问题. 3.学习重点 理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题. 4.学习难点 余弦定理的证明. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务 阅读教材P5－P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用? 2.预习自测 1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=. bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 2 22-+=.

2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c . 解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c . （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）在三角形中大边对大角,大角对大边. （2）三角形的面积:C ab S sin 2 1= . （3）正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究 问题探究一 另一类解三角形问题 ●活动一 回顾旧知 理论上正弦定理可解决两类问题: （1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角; （2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. ●活动二 整合旧知,探求边角新关系 如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗? 应用正弦定理显然无法求解三角形. Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢? 问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理 在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.

人教A版高中数学必修五正弦定理和余弦定理教案一新

数学：1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5） 余弦定理 一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章第二节 二、设计思想： 1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。 3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。 4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问

题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。 三、教学目标： 1、知识与技能： 理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题 2．过程与方法： 通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。 3．情感、态度与价值观： 探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。 四、教学重点： 通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。 五、教学难点：余弦定理的灵活应用 六、教学流程： (一)创设情境，课题导入： 1、复习：已知A=0 45,b=16解三角形。（可以让学生板练） 30,C=0 2、若将条件C=0 45改成c=8如何解三角形？ 设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化

新人教A版必修5高中数学正弦定理、余弦定理(一)

正弦定理、余弦定理（一） 教学目标： 进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. 教学重点： 利用正、余弦定理进行边角互换. 教学难点： 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向； 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用. Ⅱ.讲授新课 ［例1］已知△ABC ，BD 为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝AD ∶DC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为 AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC ，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD 内，利用正弦定理得： AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，即AB AD ＝sin ∠ADB sin ∠ABD 在△BCD 内，利用正弦定理得： BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC ，即BC DC ＝sin ∠BDC sin ∠DBC . ∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ， ∴sin ABD ＝sin DBC . ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°，∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC

35470_《正弦定理和余弦定理以及其应用-余弦定理(二)》教案12(人教A版必修5)

1.1.2余弦定理（二） 一、教学目标 1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解 等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 2.过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三 角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的 关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上 反映了事物之间的内在联系。 二、教学重、难点 重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 四、教学设想 [复习引入]余弦定理及基本作用 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 练习]1。教材P8面第2题 2．在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200） 思考。解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？ （1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角；例如︒ ===120,5,12A b a （先由正弦定理求B ，由三角形内角和求C ，再由正、余弦定理求C 边） （2）已知三角形的任意两角及其一边；例如10 ,50,70=︒=︒=a B A （先由三角形内角和求角C ，正弦定理求a 、b ） （3）已知三角形的任意两边及它们的夹角；例如︒ ===50,13,12C b a （先由余弦定理求C 边，再由正、余弦定理求角A 、B ） （4）已知三角形的三条边。例如9 ,12,10===c b a （先由余弦定理求最大边所对的角） [探索研究] 例1．在∆ABC 中，已知下列条件解三角形 （1） 30=A ，10=a ，20=b （一解）（2） 30=A ，10=a ，6=b （一解） （3） 30=A ，10=a ，15=b （二解）（4） 120=A ，10=a ，5=b （一解） （5） 120=A ，10=a ，15=b （无解） 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+从而sin a C c A = 归纳：（1）如果已知的A 是直角或钝角，a ＞b ，只有一解；

2023最新版-高中数学人教A版必修五《正弦定理》说课稿【最新2篇】

高中数学人教A版必修五《正弦定理》说课稿【最新2篇】 正弦定理说课稿篇一 一教材分析 本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。 根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标： 认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。 能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。 情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。 教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。 教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 二教法 根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点 三学法： 指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。 四教学过程 第一：创设情景，大概用2分钟 第二：实践探究，形成概念，大约用25分钟 第三：应用概念，拓展反思，大约用13分钟 （一）创设情境，布疑激趣 “兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°，∠B=53°，AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能

河南省安阳县高中数学最新学案 第1章 第8课时 正、余弦定理的应用(2)(教师版) 新人教A版必修5

听课随笔 第8课时正、余弦定理的应用（2） 【学习导航】 知识网络 ⎪⎩⎪⎨⎧数学问题航海 测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。 【课堂互动】 自学评价 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 【精典范例】 【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）. 【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上， 并且大小相等，方向相反. 如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得 ()22305023050cos12070F N =+-⨯⨯=再由正弦定理，得 150sin12053sin 7014 F OF ∠= =， 所以138.2F OF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8. 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得

【教学设计】人教版必修五《余弦定理》

课题：余弦定理 一、教材分析 1、教材内容 本节课内容为：人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》 第一单元第二课《余弦定理》。其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。主要通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的 潜能。 2、教材所处地位、作用 余弦定理是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它 是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问 题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。 二、教学目标分析 1、，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。 2、通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。 3、培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养，渗透特殊与一般、化归与转化、分类与整合、数形结合等数学思想。 三、教学重、难点分析 1、教学重点：余弦定理的发现过程及定理的应用； 2、教学难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及正、余弦定理在应用求解三角形时的思路。 四、学习者特征分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系 有了较进一步的认识。本课之前学生已经学习了正弦 解，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有 一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入， 知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特 征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方 程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 五、教学策略选择及设计 新课程的数学提倡学生动手实践、自主探索、合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现 和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断。同时要求教师从知识的传授者

人教版高中数学必修5余弦定理

余弦定理 一、教学内容分析 人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。 二、学生学习情况分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 三、设计思想 新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。 四、教学目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。 五、教学重点与难点 教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

正弦定理教案

正弦定理教案 正弦定理教案「篇一」 教学目标： 1．让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。 2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。 3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。 4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点与难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。 教学难点：正弦定理的猜想提出过程。 教学准备：制作多媒体，学生准备计算器，直尺，量角器。 教学过程： （一）结合实例，激发动机 师生活动： 师：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？ 生：当然熟悉。 师：那大家知道科技楼有多高吗？

学生不知道。激起学生兴趣！ 师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？ 学生思考片刻，教师引导。 生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似。 师：方法可行吗？ 生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行。 师：你有什么想法？ 生2：可以再取一个观测点D。 师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置？ 生2：向前或向后 师：好，模型如图 （2）：我们设正弦定理教学设计，正弦定理教学设计 ,CD=10,那么我们能计算出AB吗？ 生3：由正弦定理教学设计求出AB。 师：很好，我们可否换个角度，在正弦定理教学设计中，能求出AD,也就求出了AB。在正弦定理教学设计中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD，就需要我们来研究三角形中的边角关系。 师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！ 生4：直角三角形。 师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？ 生5：思考交流得出，如图4，在Rt正弦定理教学设计 ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c。 则有正弦定理教学设计，正弦定理教学设计，又正弦定理教学设计。 则正弦定理教学设计 从而在直角三角形ABC中，正弦定理教学设计

余弦定理教案

余弦定理教案 余弦定理教案1 一、教学内容分析 人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。 二、学生学习情况分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 三、设计思想 新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学

应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。 四、教学目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。 五、教学重点与难点 教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。 六、教学过程： 七、教学反思 本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行

高中数学 (1.1.2 余弦定理)示范教案 新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理 从容说课 课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时，注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系 教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程 2.余弦定理在解三角形时的应用思路 3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用． 教具准备投影仪、幻灯片两张 第一张:课题引入图片(记作A 如图(1)，在Rt△ABC中，有A2+B2=C2 问题:在图(2)、(3)中，能否用b、c、A求解a 第二张:余弦定理(记作1.1.2B 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B，c2=a2+b2-2abco s C， 形式二:co s A= bc a c b 2 2 2 2- + ，co s B= ca b a c 2 2 2 2- + ，co s C= ab c b a 2 2 2 2- + 三维目标 一、知识与技能

正弦定理和余弦定理(教师版)

正弦定理和余弦定理 1． 正弦定理： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变 形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本 疑点清源] 1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

高中数学必修5之解三角形(教师版)

高中数学必修5第一单元 解三角形 【第一部分】基础知识提要 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C ==. 正弦定理推论：①2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为三角形外接圆的半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A b B c C c C === ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++ 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 3、正弦定理确定三角形解的情况 A 为 锐

4、任意三角形面积公式为： 2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2 ABC abc S bc A ac B ab C R r p p a p b p c a b c R A B C ==== =---=++= 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222cos a b c bc A =+-，222 2cos b a c ca B =+-，2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 6、不常用的三角函数值