高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)
正弦定理与余弦定理 【知识概述】 在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2= R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a === C B A c b a sin :sin :sin ::= 2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 22 22222222-+=-+=-+= 定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 2 22222222ab c b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+= 3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+= 4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? 【学前诊断】 1．[难度] 易 在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 3．[难度] 易 在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = . 【经典例题】
必修5教案1.1正弦定理余弦定理(1)
教学设计示例（第一课时） 一、教学目标 1．掌握正弦定理及其向量法推导过程； 2．掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 二、教学重点 正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用； 教学难点 正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定． 三、教学准备 直尺、投影仪． 四、教学过程 1．设置情境 师：初中我们已学过解直角三角形，请同学们回忆一下直角三角形的边角关系： 生：Rt ABC ?中有2 22c b a =+ ? =+===90tan sin sin B A A b a B c b A c a B b A a sin sin = 师：对！利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角． 师：在直角三角形中，你能用其他的边角表示斜边吗？ 生：在直角三角形ABC 中，C c B b A a c sin sin sin ===。 师：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理（板书正弦定理）． 2．探索研究 （1）师：为了证明正弦定理（引导学生复习向量的数量积），θcos b a b a ?=?，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子． 生：如图，在锐角ABC ?中，过A 作单位向量j 垂直于，则j 与的夹角为j A ,90-?与的夹角为C -?90。 由向量的加法可得 =+ 对上面向量等式两边同取与向量j 的数量积运算，得到 AB j CB AC j ?=+?
A c C a A C sin sin ) 90) 9090=∴-?=-?+?∴ 同理，过点C 作与垂直的单位向量j ，可得 B b C c sin sin = ∴C c B b A a sin sin sin == 师：当ABC ?为钝角三角形时，设?>90A ，如图，过点A 作与AC 垂直的向量j ，则j 与的夹角为?-90A ，j 与的夹角为C -?90，同样可证得 C c B b A a sin sin sin == 师：课后同学考虑一下正弦定理还有没有其它的方法证明？ 师：请同学们观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三 角形问题？ 生：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。 （2）例题分析 例1 在ABC ?中，已知?=?==30,45,10C A c ，求b （保留两个有效数字） 解：∵ C c B b sin sin =且?=+-?=105)(180C A B ∴1930sin 105sin 10sin sin ≈???=?=C B c b 例2 在ABC ?中，已知?===45,24,4B b a ，求A ∠。 解：由 B b A a sin sin = 得2 1sin sin ==b B a A ∵ABC ?中b a < ∴A 为锐角 ∴?=30A 例3 在ABC ?中，)13(2,60,45+=?=∠?=∠a C B ，求ABC ?的面积S 。 解：首先可证明：B ac A bc C ab ah S ABC sin 2 1sin 21sin 2121==== ?α。 这组结论可作公式使用。 其次求b 边 ?=+-?=∠75)(180C B A
人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)
1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修） 1.2应用举例1.3实习作业 [基础训练A 组] 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（） A ．2 B ．2 3C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0 150
二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1． 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。 三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理
§1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 知识点一 正弦定理 思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，c sin C 分别等于什么？ 答案 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？ 答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 仍然成立． 梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系
的互化． 知识点二 解三角形 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C .(√) 2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×) 类型一 正弦定理的证明 例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点， 根据正弦函数的定义知， CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴ a sin A ＝b sin B . 同理，b sin B ＝c sin C . 故 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C . 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.2 第1课时余弦定理及其直接应用
1.1.2 余弦定理 第1课时 余弦定理及其直接应用 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 . 知识点一 余弦定理 思考1 根据勾股定理，在△ABC 中，C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a ＝b ＝c 时，C ＝60°， a 2＋ b 2－2ab cos C ＝ c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2， 即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？ 答案 ab cos C ＝|CB →||CA → CB →，CA →＝CB →·CA → . ∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA → ＝(CB →－CA →)2＝AB → 2＝c 2. 猜想得证. 梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述
特别提醒：余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形. 思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？ 答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形. 梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形. 1.勾股定理是余弦定理的特例.(√) 2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(√) 3.在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一.(×) 类型一 余弦定理的证明 例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求c 的值. 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解 解 如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB → ＝c ，
人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计
名师示范课 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（名师：王历权） 一、教学目标 1.核心素养 通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力. 2.学习目标 （1）了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型; （2）能证明余弦定理; （3）应用余弦定理解决三角形相应问题. 3.学习重点 理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题. 4.学习难点 余弦定理的证明. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务 阅读教材P5－P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用? 2.预习自测 1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=. bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 2 22-+=.
2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c . 解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c . （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）在三角形中大边对大角,大角对大边. （2）三角形的面积:C ab S sin 2 1= . （3）正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究 问题探究一 另一类解三角形问题 ●活动一 回顾旧知 理论上正弦定理可解决两类问题: （1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角; （2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. ●活动二 整合旧知,探求边角新关系 如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗? 应用正弦定理显然无法求解三角形. Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢? 问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理 在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.
必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题全新
正弦定理和余弦定理 要点梳理 1．正弦定理 其中R 是 三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式 S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r. 3．余弦定理： 222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－. 余弦定理可以变形为： cos A ＝2 2 2 b c a 2bc +-，cos B ＝ 222a c b 2ac +-，cos C ＝ 222 a b c 2ab +-. 4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题． 基础自测 1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3 ，则a ＝ 1 . 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________. 3．在△ AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9 10 ，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C ) A ．2 2 B ．8 2 C. 2 D.2 2 2sin sin sin a b c R A B C ===
人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计
人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计 1. 教学内容和目标 1.1 教学内容 正弦定理是三角函数的重要概念之一，本次教学内容主要包括： 1.正弦定理的概念及其推导过程 2.正弦定理的应用实例：求三角形边长和角度 3.正弦定理与勾股定理的综合应用 1.2 教学目标 通过本次课程的学习，学生应该能够： 1.掌握正弦定理的概念及其推导过程 2.能够运用正弦定理解决实际问题，如求三角形边长和角度 3.能够理解正弦定理与勾股定理的联系，运用两者综合解决问题 2. 教学过程及安排 2.1 教学过程 1.引入（5分钟）：通过简单的实例或图片来引导学生回忆三角形的基 本概念、角度和边长的定义及勾股定理。 2.学习正弦定理（30分钟）：介绍正弦定理的概念，讲解其推导过程， 并通过实例演示如何运用正弦定理求解三角形的边长和角度。 3.练习（20分钟）：提供一些练习题目，让学生在课堂上进行练习， 观察学生练习情况，在学生练习完后进行讲解并指导学生，激发学生的学习兴趣和创造力。
4.综合应用（20分钟）：介绍正弦定理与勾股定理的联系，演示如何 综合运用两者解决问题，通过实例让学生掌握综合应用的方法和技巧。 5.总结（5分钟）：对本节课所学的知识点进行总结归纳，提醒学生掌 握基本概念、加强练习和思考，在人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理 学习中取得更好的成绩。 2.2 安排 1.教材：人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理。 2.时间：1课时（45分钟）。 3.教学方式：多媒体课件+讲解+练习+讨论。 3. 教学评估和反思 3.1 教学评估 1.学生练习题目解答情况，是否理解正弦定理的概念和应用方法。 2.课后作业的完成情况，能否熟练运用正弦定理解决问题。 3.学生的课堂参与度和表现情况。 3.2 教学反思 1.本节课内容清晰，思路明确，符合学生的认知规律，但在举例操作过 程中有一些练习较为复杂，需要老师提前做好示范。 2.在整个课堂过程中，讲师讲解清晰、运用多媒体较好，但应让学生更 好地理解定理背后的设计思想，注重锻炼学生所获取的知识的应用能力。 4. 总结 人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理，是数学中一个难度较大的知识点，但对于高中学生来说，学习正弦定理是理解三角函数的重要步骤之一，同时也是学习物理等科学领域中的重要基础。本教学设计旨在通过多种形式的讲解、演示以及练习，提升学生的兴趣、自信心和实际应必修能力。
高中数学必修5之解三角形(教师版)
高中数学必修5第一单元 解三角形 【第一部分】基础知识提要 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C ==. 正弦定理推论：①2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为三角形外接圆的半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A b B c C c C === ④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++ 2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 3、正弦定理确定三角形解的情况 A 为 锐
4、任意三角形面积公式为： 2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2 ABC abc S bc A ac B ab C R r p p a p b p c a b c R A B C ==== =---=++= 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2222cos a b c bc A =+-，222 2cos b a c ca B =+-，2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 6、不常用的三角函数值
高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 1.1.1 正弦定理(二) Word版含答案
1.1.1 正弦定理(二) [学习目标]1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题． [知识链接] 以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是． (1)在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则A ＝90°. (2)在△ABC 中，若sin2A ＝sin2B ，则a ＝b . (3)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；反之，若A >B ，则sin A >sin B . (4)在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C . 答案(2) 解析对于(1)，由正弦定理可知，sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，故A ＝90°，故(1)正确． 对于(2)，由sin2A ＝sin2B 可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π， ∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故(2)错误． 对于(3)，在△ABC 中，sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，故(3)正确． 对于(4)，因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ， 所以a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C ，故(4)正确． [预习导引] 1．正弦定理的常见变形 (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . (2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R . (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . 2．三角变换公式 (1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1。1 正弦定理和余弦定理 第1课 时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5 基 础 巩 固 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A ) A ．3－ 3 B ． 2 C ．2 D ．3＋错误! ［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!， ∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!. 2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D ) A ．3︰2︰1 B ．错误!︰2︰1 C ．错误!︰错误!︰1 D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°. ∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。 3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ） A ．错误! B ．错误! C ．错误! D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得 a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!， 即sin B ＝错误!，选B ． 4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B ) A ．错误! B ．错误!
C．错误!D．错误! ［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0b sin C，又c〈b，∴此三角形有两解． 二、填空题 7．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°,则BC边的长为2错误!cm。错误! [解析］∵错误!＝2R， ∴BC＝2R sin A＝4sin60°＝2错误!（cm)． 8．在△ABC中,A＝30°,C＝45°,c＝2，则边a＝1。错误! [解析]由正弦定理，得错误!＝错误!， ∴a＝c sin A sin C ＝错误!＝1。 三、解答题 9．在△ABC中,B＝45°,AC＝错误!,cos C＝错误!，求边BC的长.错误!
数学人教B必修5同步练习：正弦定理和余弦定理2余弦定理 含解析
1.1.2 余弦定理 1．若三角形的三条边长分别为4,5,7，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．钝角或锐角三角形 2．在△ABC 中，(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则∠C 为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是__________． 4．在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶7∶8，则∠B 的大小为__________． 答案：1．C 设长为7的边对应的角为α， 则由余弦定理得72＝42＋52－2×4×5cos α， ∴cos α＝－15<0. ∴角α为钝角． 2．C 由已知，得(a ＋b)2－c2＝ab ， ∴c2＝a2＋b2＋ab ＝a2＋b2－2abcosC. ∴cosC ＝－12. ∵∠C ∈(0，π)，∴∠C ＝120°. 3．锐角三角形 设三边为a ，b ，c ，其中c 为斜边，各边增加的长度为x ， 则三角形的最大内角的余弦cosC ＝(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)22(a ＋x)(b ＋x)＝2(a ＋b －c)x ＋x22(a ＋x)(c ＋x) >0， ∴∠C 为锐角． ∴新三角形为锐角三角形． 4.π3 由sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶7∶8，得 a ∶ b ∶ c ＝5∶7∶8. 设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ， 由余弦定理可得∠B ＝π3. 课堂巩固 1．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 2．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a2∠B>∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长． 6．(2009全国高考卷Ⅰ，理17)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a2－c2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.
(人教B版必修5)1.1.1正弦定理(2)学案(含答案)
1.1.1 正弦定理(二) 自主学习 知识梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________； (2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________； (3)a ＝__________，b ＝__________，c ＝____________； (4)sin A ＝________，sin B ＝________，sin C ＝________. 2．三角形面积公式：S ＝______________＝______________＝____________. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则△ABC 的外接圆半径R ＝________，内切圆半径r ＝____________. 自主探究 在△ABC 中，(1)若A >B ，求证：sin A >sin B ；(2)若sin A >sin B ，求证：A >B . 对点讲练 知识点一 三角形面积公式的运用 例1 已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12 ，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积． 总结 注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S △ABC ＝2R 2sin A sin B sin C ．借助该公式顺利解出外接圆半径R . 变式训练1 已知三角形面积为14 ，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A ．1 B ．2 C.12 D ．4 知识点二 利用正弦定理证明恒等式 例2 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A . 总结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活． 变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 知识点三 利用正弦定理判断三角形形状 例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状． 变式训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的形状．
必修五第一章第一节正弦定理和余弦定理
一、学习目标： 1.经过实例，感觉正弦定理、余弦定理根源于实质，服务于实质。 2.掌握正、余弦定理，并会初步运用两个定理解三角形。 3.理解两个定理的证明方法。 4.认识在三角形中，已知两边和此中一边的对角解三角形时产生多解的原由，并能正确 判断解的状况，正确作答。 5.经过对定理的研究，领会数形联合、分类议论的思想，培育归纳归纳的能力。 二、要点、难点： 要点：正、余弦定理的发现、证明及简单应用。本小节内容经过实例提出问题，使学生 进一步认识数学在实质中的应用，激发学生学习数学的兴趣；在研究过程中运用了由特别到一 般的方法，这种方法是数学发现的重要方法之一，要逐渐学会擅长运用这种方法去研究数学识题，提升创建能力。 难点：公式的灵巧运用以及解的议论。在解三角形的过程中，一方面要仔细剖析题目的 已知条件，另一方面要深刻理解两个定理的实质，才有可能合理选择定理；当已知两边及此中一边的对角解三角形时，可依据三角形的边角关系或几何方法对解进行议论。 三、考点剖析： 解三角形问题，能够较好地考察三角函数的引诱公式，恒等变换，边角转变，正弦、余 弦定理等知识点，是三角，函数，分析几何和不等式等知识的交汇点，在高考取简单出综合题。一、正弦定理 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a b c sin A sin B 。 sin C 2.正弦定理的变形 变形（ 1）：a2Rsin A，b2Rsin B，c 2Rsin C ； 变形（ 2）： sin A a sin B b sin c； 2R，2R，C 2 R 变形（ 3）： a b sin A csin A ，b c sin B a sin B ，c a sin C b sin C ； sin B sin C sin C sin A sin A sin B 变形（ 4）：∶ ∶∶∶； a b c sin A sin B sin C 变形（ 5）： a b c a b c2R 。 sin B sin C sin A sin B sin C sin A 3.正弦定理的应用 （1）已知两角和任一边，求其余两边和另一角； （2）已知两边及此中一边的对角，求另一边及其余两角。 二、余弦定理 1.余弦定理：三角形随意一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍。即 a2 b 2c22bc cos A① b2c2 a 22cacos B②
数学人教B版必修五教案1.1.1正弦定理含答案
教学分析 本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力． 在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力． 本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理． 三维目标 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神． 重点难点 教学重点：正弦定理的证明及其基本运用． 教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课
