数学_高中必修五_解三角形_
第一章 解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形
例1
在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .
,,,6321::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6322A B C B C A B C a b A B C ππ
π
π
π
π
π
=++=∴===∴====而
【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2
在ABC 中，已知
C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°，
，∴由正弦定理得：sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒ ∴
（150°-A ）.
∴
°
·2sin75°·cos(75°
-A)= 2
cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b
取得最大值2
② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,
∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，
∴＞2 cos75°
=2
综合①②可得a+b 的取值范围为
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状
例3在△ABC 中，2a ·tanB=2
b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：()()22sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A ∙=∙, sin cos sin cos ,A A B B ∴=即sin 2sin 2A B =，2222A B A B π∴=+=或， 2A B A B π
∴=+=或.∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC 中，由sin 2sin 2A B =得∠A=∠B ”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠A+∠B=2
π”的导出过程。
例4在△ABC 中，如果lg lg lgsin a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状。
解：lgsin sin 2
B B =-=.又∵B 为锐角，∴B=45°.
由lg lg 2c a c a -=-=得由正弦定理，得sin sin 2
A C =, ∵18045,A C =︒-︒-代入上式得：
()
2sin 135C C =︒-()2sin135cos cos135sin C C =︒-︒,C C = cos 0,90,45.C C A ∴=∴=︒∴=︒ABC ∴为等腰直角三角形。
考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式
例5在△ABC 中，求证222222
0cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A
---++=+++. 【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222
a b c ，，转化为222sin ,sin ,sin A B C .
证明：由正弦定理的变式a 2sin ,2sin R A b R B ==得： 2222224sin 4sin =cos cos cos cos a b R A R B A B A B --++2224[cos cos ]cos cos R A B
=+（1-A ）-(1-B) 222(cos cos )4(cos cos )cos cos B A R B A A B
-==-+ 同理
22
222
24(cos cos ),cos cos 4(cos cos ).cos cos b c R C B B C
c a R A C C A
-=-+-=-+2=4(cos cos cos cos cos cos )
0R B A C B A C ∴-+-+-==∴左边右边
等式成立。
【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。
例6在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证22c b ab -=.
【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.
证明：180,180.A B C B C A ++=︒∴+=︒-2,.C B C B B =∴-=又
sin()sin(180)sin ,B C A A +=︒-=
2222222224(sin sin )
4(sin sin )(sin sin )
42sin cos 2cos sin 2222
4sin()sin()4sin sin .
c b R C B R C B C B B C C B B C C B R R C B C B R A B ab ∴-=-=+-+-+-=∙∙∙∙=+-===∴右边等式成立.
【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。
,,
,2222
222.A B C A B C A B C A B C ππππ+++=+=-=-+=-（1） (2)sin()sin ,cos()cos ,tan()
tan .A B C A B C A B C +=+=-+=-
(3)sin
cos ,cos sin ,tan 22222cot .2A B C A B C A B C +++===
(4)sin(22)sin 2,cos(22)cos 2,tan(22)tan 2.
A B C A B C A B C +=-+=+=- 考察点4：求三角形的面积
例7在△ABC 中，a,b,c 分别是三个内角A,B,C
的对边，若2,,cos 42B a C π
===求
△ABC 的面积S.
【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c ，再求面积。
解：由题意cos 2B =，得23cos 2cos 1,25B B =-= ∴B 为锐角，43sin ,sin sin()sin(),5410
B A B
C B ππ∴==--=-=由正弦定理得10,7c =111048sin 2.22757
S ac B ∴==∙∙∙= 【解题策略】在△ABC 中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，,sin()sin ,cos()cos ;sin
2A B A B C A B C A B C π+++=+=+=-= cos ,cos sin .222
C A B C += 例8已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且3C π=, 求△ABC 的面积S 的最大值。
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。 解：11sin 2sin 2sin sin 22
ABC S ab C R A R B C ==
22sin sin [cos()cos()]A B A B A B ==--
+21[cos()].2
A B =-+ cos()1,A B A B -==当即
时，2max ()144ABC S R === 【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题
例9已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C
【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。
解法1：cot cot ,2sin sin a b a b a A b B R A B
+=+==且（R 为△ABC 的外接圆半径）， sin cos cos sin ,1sin 21cos 2.
A A
B B A B ∴-=-∴-=-cos 2cos 20A B ∴-=sin 2sin 22cos()sin().
cos()sin()0,
cos()0sin()0.
A B A B A B A B A B A B A B -=+-∴+-=∴+=-=又或 又∵A,B 为三角形的内角，,2A B A B π
∴+==或22A B C π
π
+==当时，；
当A B =时，由已知得cot 1,,.42A A B C π
π=∴+=∴=综上可知，内角2
C π=. 解法2：由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得，sin sin =cos cos A B A B ++， sin cos cos sin A A B B -=-，从而sin cos
cos sin cos sin sin cos ,4444A A B B ππππ-=- 即sin()sin().44A B ππ-=-又∵0＜A+B ＜π，,44A B ππ∴-=-,.22A B C ππ
∴+=∴= 【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。
例10在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos 4cos 3
A b
B a ==，求a,b 及△AB
C 的内切圆半径。
【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。 解：cos cos sin ,=,cos cos sin A b A B B a B A =由
可得变形为sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B =∴= 又,22,,2a b A B A B π
π≠∴=-∴+=∴△ABC 是直角三角形。 由222
1043,a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
解得6,8.a b ==6810222a b c ABC +-+-∴==的内切圆半径为r= 【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。
------------------------------------------
『易错疑难辨析』
易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解
【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
例1
（1） 在△ABC
中，6,30,;a b A B ===︒求
（2） 在△ABC
中，2,60,;a b A B ===︒求
【错解】
（1）
由正弦定理得sin sin 6602A B b B a =⨯==∴=︒ （2）
由正弦定理得sin 1sin 2,301502A B b B a =⨯
==∴=︒︒或 【点拨】（1
）漏解，由sin B =（0°＜B ＜180°）可得60120B =︒︒或因为b ＞a,所以
两解都存在。（2）增解。由1sin 2
B =
（0°＜B ＜180°）可得30150B =︒︒或，因为b ＜a,根据三角形中大边对大角可知B ＜A,所以150B =︒不符合条件，应舍去。
【正解】（1）由正弦定理得sin sin 6
2A B b a =⨯==又∵0°＜B ＜180°60120B ∴=︒︒或（经检验都符合题意）
（2）由正弦定理得sin 1sin 2.
2A B b a =⨯==又∵0°＜B ＜180°30150B ∴=︒︒或∵b ＜a,根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，
150B ∴=︒不符合条件，应舍去，30B ∴=︒。
易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错
【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。
例2在△ABC 中，若3,C B =求
c b
的取值范围。 【错解】由正弦定理得sin sin 3sin(2)=sin sin sin c C B B B b B B B +==sin cos 2cos sin 2sin B B B B B
+= 22cos 22cos 4cos 1.B B B =+=-220cos 114cos 13,03c B B b
≤≤∴-≤-≤∴≤≤ 【点拨】在上述解题过程中，得到了2=4cos 1c B b -后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的,,A B C 均为正角这一条件。
【正解】 由正弦定理可知sin sin 3sin(2)=sin sin sin c C B B B b B B B +==sin cos 2cos sin 2sin B B B B B
+= 22cos 22cos 4cos 1.
B B B =+=-=180A B
C ++︒，3.C B =
∴0°＜B ＜45°，2
＜cos B ＜1.∴1＜24cos 1B -＜3，故1＜c b ＜3. --------------------------
『高考真题评析』
例1（2010·广东高考）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若
1,2,a b A C B ==+=则sin _______C =
【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C 的值。
【点拨】在△ABC 中，,A B C π++=又2A C B +=，故3B π
=，由正弦定理知
sin 1sin ,2a B A b ==又a ＜b ，因此6B A =从而可知2
C π=，即sin 1C =。故填1. 【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。 例2（2010·北京高考）如图1-9所示，在△ABC
中，若21,,3b c C π===
则_________.a =
【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。
11,sin .sin 2sin 3
B B =∴=∵
C 为钝角，∴B 必为锐角， . 1.66B A a b π
π
∴=∴=∴==故填1
【名师点评】在()0,π范围内，正弦值等于
12的角有两个，因为角C 为钝角，所以角B 必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解
图1-9 例3（2010·湖北高考）在△ABC 中，15,10,60,a b A ===︒则cos B 等于（ ）
.A
B
.C
D 【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B 的范围。
【点拨】由正弦定理得10151010sin 602,sin sin 60sin 15
15B B ︒=∴===︒∵a ＞b ，60A =︒，∴B
为锐角。cos B ∴===，故选D 【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B 的范围，从而确定角B 的余弦值。
例4（2010·天津高考）在△ABC 中，cos .cos AC B AB C
= （1）求证 B C =；（2）若1cos 3A =-，求sin 43B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。 【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。
证明：（1）在△ABC 中，由正弦定理及已知，得sin cos sin cos B B C C
=。 于是sin cos cos sin 0,B C B C -=即()sin 0.B C -=
因为π-＜B-C ＜π，从而B-C=0，所以B=C .
解：（2）由A B C π++=和（1）得2A B π=-，故()1c
o s2c o s 2c o s 3B B A π=--=-=
又0＜2B ＜π，于是sin 2B ==从而sin 42sin 2cos 2B B B ==，
227cos 4cos 2sin 29B B B =-=-。所以sin 4sin 4cos 33B B ππ⎛⎫+== ⎪⎝
⎭ 【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角A 与角B 的函数关系，在求2B 的正弦值时要先判断2B 的取值范围。
知能提升训练 学以致用
1、在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是（ ）
A ．a ＞sin b A B. a =sin b A
C. a ＜sin b A
D. a ≥sin b A
2、（2011·山东模拟）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，,13A a b π=
==，
则c 等于（ ）
13、（2011·广东模拟）在△ABC 中，15,10,60a b A ===︒，则sin B 等于（ ）
A ±±4、在△ABC 中，若
cos cos cos a b c A B C ==，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B.等边直角三角形
C ．钝角三角形 D.等腰直角三角形
5、在锐角△ABC 中，若C=2B ，则c b
的范围是（ ）
A ．()0,2
B.)
C.
D.( 6、在△ABC
中，,,45a b A λ===︒，则，满足此条件的三角形有（ ）
A ．0个 B.1个 C.2个 D.无数个
7、在△ABC 中，若A ：B ：C=3：4：5，则a ：b ：c 等于（ ）
A ．3：4：
)
1
2
8、（2011·浙江模拟）在△ABC 中，135,15,5,B C a =︒=︒=则此三角形的最大边长为（ ）
A
．
9、在△ABC
中75,45,A B c =︒=︒=则________b =。
10、（2011·山东模拟）在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，
若,2,s i n c o 2a b B B =+，则角A 的大小为_______。
11、在△ABC 中已知a x =cm ，2b =cm ，45B =︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么x 的取值范围是______________。
12、如图1-10所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒BD 交AC 于E ，AB=2.（1）求cos CBE ∠的值；（2）求AE 的长。
1-10
13、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为
a,b,c ，求证()222sin sin A B a b c C
--=。
14、在△ABC 中，3,tan 2,c A B ===求,a b 及三角形的面积。
15、已知方程()2cos cos 0x b A x a B -+=的两根之积等于两根之和，且,A B 为△ABC 的内角，,a b 分别为,A B 的对边，判断△ABC 的形状。
16、在△ABC 中，13tan ,tan .45
A B =
= （1）求角C 的大小；
（2）若△ABC
，求最小边的长。
1.1.2 余弦定理
『典型题剖析』
考察点1： 利用余弦定理解三角形
例1：已知△ABC
中，3,30,b c B ===︒求A ，C 和a 。
【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由再由正弦定理求角A ，角C ，也可以先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角。
解法1：
由正弦定理2222cos ,b a c ac B =+-
得(
22232cos30a a =+-⨯︒， 29180,a a ∴-+=解得3a =或6.当3a =时，30,120A C =︒∴=︒
当6a =时，由正弦定理得16sin 2sin 1,3a B A b ⨯===90,60.A C ∴=︒∴=︒
解法2：由b ＜c ，30,B =︒b
＞1sin 3022c ︒==，知本题有两解。
由正弦定理得1sin 2sin 3c B C b ===，60C ∴=︒或120︒， 当60C =︒时，90A =︒
，由勾股定理得：
6a ===
当120C =︒时，30A =︒，∴△ABC 为等腰三角形，3a ∴=。
【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。
例2：
△ABC
中，已知6a b c ==+=，求A ，B ，C
【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值。 解法1：由余弦定理得：
2
2
2
222
6cos 2
b c a A bc ++-+-==
=
2
=
==
。因为()0,180,A ∈
︒︒所以30A =︒。
2
2
2
222
6
cos 2a
b c C ab ++
-+-==
2=
= 因为()0,180,C ∈︒︒所以45C =︒
因为180,A B C ++=︒所以18045
30105B =︒-︒-
︒=︒
解法
2：由解法1知1
sin 2
A =
，由正弦定理得，1
sin sin c A C a ===
因为b ＞c ，所以B ＞C ，所以角C 应该是锐角，因此45C =︒。 又因为180,A B C ++=︒所以1804530105B =︒-︒-︒=︒
【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止增解或漏解。
考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状 例3：在△ABC 中，已知()()3,a b c a b c ab +++-=且2cos sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。
【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。 解法1：（角化边）由正弦定理得
sin sin C c
B b
=，由2c o s s i n s i A
B C =，得
s i n c o s 2s i n 2C c A B b ==。又由余弦定理的推论得222
cos 2c b a A bc
+-=。
222
,22c c b a b bc
+-∴=即2222,c b c a a b =+-∴=。又()()3.a b c a b c ab +++-=
()2
223,a b c b ∴+-=22243,.b c b b c ∴-==,a b c ABC ∴==∴为等边三角形。
解法2：（边化角）
()180,sin sin .A B C C A B ++=︒∴=+又2cos sin sin A B C =，
2cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B ∴=+()sin 0.A B ∴-=
又∵A 与B 均为ABC 的内角，∴A=B.
又由()()3a b c a b c ab +++-=，得()2
2
3a b c ab +-=，
22223a b c ab ab +-+=，即222,a b c ab +-=由余弦定理得1cos 2
C =
， 而0°＜C ＜180°，60.C ∴=︒又
,A B =∴ABC 为等边三角形。
【解题策略】已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状，有两条思考路线：一是化边为角，求出三个角之间的关系式；二是化角为边，求出三条边之间的关系式，种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
例4：已知钝角三角形ABC 的三边,2,4,a k b k c k ==+=+求k 的取值范围。
【点拨】由题意知△ABC 为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c 的大小关系，故必有C 角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k 的取值范围。 解：
2222cos ,c a b ab C =+-C ∴当为钝角时，
2cos ab C -＞0，22a b ∴+＜2c ， ()2
22k k ∴++＜()2
4k +，解得-2＜k ＜6.而k+k+2＞k+4，∴k ＞2.故2＜k ＜6.故k 的取
值范围是()2,6.【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。 考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题
例5在中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边， （1）求证cos cos ;a B b A c +=（2）求证()2
21
cos
cos .222
C A a a b c +=++ 【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。
证明：（1）左边22222222a c b b c a a b ac bc +-+-=+222222
22a c b b c a ac bc +-+-=+
2
22c c c
===右边，故原式成立。 （2）左边()()1cos 1cos 22a C c A ++=+222222112222a a b c c b c a ab bc ⎛⎫⎛⎫
+-+-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222221222a b c b c a a c b b ⎛⎫+-+-=+++ ⎪⎝⎭()1
2
a b c =++=右边，故原式成立。 【解题策略】（1）小题利用余弦定理将角化为边。（2）小题先降幂，然后利用余弦定理将角化为边。
例6在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 。
（1）求证()222sin ;sin A B a b c C
--=（2）求证cos sin cos sin a c B B b c A A -=-
【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用
证明：（1）由2
2
2
2cos ,a b c bc A =+-得；
222222cos 12cos a b c bc A b
A c c c
--==-⋅⋅。 又∵
sin ,sin b B
c C =∴222sin sin 2sin cos 12cos sin sin a b B C B A A c C C
--=-⋅⋅=
()sin 2cos sin sin cos cos sin sin sin A B A B A B A B
C C +--=
=()sin .
sin A B C
+=故原式成立。
（2）左边22222222222222222222a c b a a c b a c ac a b c a b b c a b c bc b +---+-⋅
==+---+-⋅
222
222sin 2sin 2a c b b B a b c a a A b
-+====-+右边。
故原式成立。
考察点4：正余弦定理的综合应用 例7：在ABC
中，已知)
1,30,b a C =
=︒求,.A B
【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。 解：
()
2
2
2
3
1,2cos b a
c b a ab C =
-∴=
+-)
)
2
22
121a
a a ⎡
⎤=
+-⎣
⎦
(
)22241a a a =-+-(
22.a =
∵a ＞
0,c ＞0,,c
c a
∴=
∴
= 正弦定理得sin ,sin c C a A
=1
sin A
∴===== 75A ∴=︒或105︒.由)
1b a =
知a ＞b,
若75,A =︒则()18075,,B A C a b =︒-+=︒=与已知矛盾。
()105,18045.A B A C ∴=︒=︒-
+=︒
【解题策略】本题边未知，已知一角，所以考虑使用余弦定理得a ，c 的关系，再结合正弦定理求sin .
A 注意特殊角的三角函数值，如：sin 75︒=
︒=
例8：设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222,b c a +=
（1）求A 的大小；（2）求()2sin cos sin B C B C --的值。 【点拨】本题考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的综合应用。
解：（1）由余弦定理2
2
2
2cos ,a b c bc A =+-得222cos 222
b c a A bc bc +-===
所以.6
A π
=
（2）()2sin cos sin B C B C --()2sin cos sin cos cos sin B C B C B C =-- ()sin cos cos sin sin B C B C B C =+=+()1
sin sin 2
A A π=-==。
例9：设ABC 得到内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 3,sin 4.a B b A == （1）求边长a ；（2）若ABC 的面积S=10，求ABC 的周长l 。 【点拨】本题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用。 解：（1）已知cos 3,sin 4.a B b A ==
将两式相除，有
3cos cos cos cot .4sin sin sin a B a B b B
B b A A b B b
==⋅=⋅= 又由cos 3a B =知cos B ＞0，则34
cos ,sin 55
B B ==，则 5.a =
（2）由1sin 10,2S ac B ==得 5.c =由2223
cos ,25
a c
b B a
c +-=
=得b =
故10l =+
【解题策略】把已知两个关系式相除是本题的难点，也是解决此题的关键，相除之后出现
sin a
A
，使用正弦定理使问题得到顺利解决。 『易错疑难解析』
易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况
【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。
例1：在ABC 中，已知cos cos ,a A b B =试判断ABC 的形状。 【错解】由余弦定理得：
222222,22b c a a c b a b bc ac
+-+-⋅=⋅()()22222222,a b c a b a c b ∴+-=+-
2222422224,a b a c a b a b c b ∴+-=+-()()()2222222,a b c a b a b ∴-=+-
222.c a b ∴=+故ABC 为直角三角形。
【点拨】利用余弦定理把已知等式中角的形式转化为边的形式，其思路是正确的，但是在等
式变形中约去了可能为零的因式22
a b -，产生了漏解的情况，导致结论错误。 【正解】
由余弦定理得：222222
,22b c a a c b a b bc ac +-+-⋅
=⋅()()22222222,a b c a b a c b ∴+-=+- ()()()2222222,a b c a b a b ∴-=+-()()222220,a b c a b ∴---= a b ∴=或222c a b =+。∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。
易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误
【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分
析问题，如下列题中的b ＞a 就是一个重要条件。
例2：在ABC 中，已知2,15,a b C ===︒求A 。 【错解】由余弦定理，得
2222cos c a b ab C =+-48228c =+-⨯⨯=-∴= 由正弦定理，得sin 1
sin .2
a C A c =
=又0°＜A ＜180°，30A ∴=︒或150︒.
【点拨】注意到已知条件中b =2a =这一隐含条件，则B ＞A ，显然150A =︒是不可能的。
【正解】由余弦定理，得2
2
2
2cos c a b ab C =+-8=-c = 又由正弦定理，得sin 1
sin .2
a C A c =
=∵b ＞a ，∴B ＞A.又0°＜A ＜180°，30A ∴=︒ 『高考真题评析』
例1：（2011.山东模拟）在ABC 中，D 为BC 边上一点，3,135,BC BD AD ADB ==∠=︒
若,AC =则__________.BD =
【命题立意】本题主要考察余弦定理与方程组的应用。
【点拨】如图1-13所示，设,AB k =则,AC =再设,BD x =则2,DC x =在ABD 中，
由余弦定理得2
2
2
2222k x x x x ⎛=+-⋅=++ ⎝⎭
①。在ADC 中，由余弦定理
得22
224222424,2
k x x x x =+-⋅=+-22212k x x ∴=+-②。由①②得
2410,x x --=解得2x =，故填2
【名师点评】根据题意画出示意图由
设出未知量，在两个三角形中分别利用余弦定理，然后联立方程组求解。
图1-13
例2：（2010.天津高考）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c
，若
22,sin ,a b C B -==则A 等于（ ）
A ．30° B.60° C.120° D.150°
【命题立意】本题考察正、余弦定理的综合应用，考察分析问题、解决问题的能力。 【点拨】
由sin ,C B =根据正弦定理
得,c =代
入22,a b -得
2226,a b b -=即227,a b =，由余弦定理得
2222222cos 22b c a A bc +-====又0°＜A ＜180°，30.A ∴=︒故选A
【名师点评】
应用正弦定理把已知条件中sin ,C B =转化成边b ，c 的关系，再代入已知得a ，b 的关系，利用余弦定理变形形式求角的余弦值。
例3：（2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ） A.2sin 2cos 2a a -+
B.sin 3a a +
C.3sin 1a a +
D.2sin cos 1a a -+
【命题立意】本题考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面积公式和图形的分割求和等知识。
【点拨】三角形的底边长为x ==
2
1
4411sin 2
S S S a x ∴=+=⨯⨯⨯⨯+正方形三角形2sin 22cos 2sin 2cos 2a a a a =+-=-+故选A 。
【名师点评】此题难度较低，该八边形由4个等腰三角形和一个正方形组合而成，应用余弦定理求正方形的边长是关键。
例4：（2010.安徽高考）设ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C
所对边长，
且22sin sin sin sin 33A B B B ππ⎛⎫⎛⎫
=+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。 （1）求角A 的值；（2）若12,AB AC a ⋅==
b ，
c （其中b ＜c
）
【命题立意】本题考察两角和的正弦公式，同脚三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，
余弦定理，向量的数量积等知识。 解：（1）因为2
2
11sin sin sin sin 22A B B B B B ⎫=+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭
22
2313cos sin sin ,444B B B =
-+=所以sin 2
A =±。又A 为锐角，所以.3A π= （2）由12,A
B A
C ⋅=得cos 12.cb A =①由（1）知.3
A π
=
所以
cb=24.② 由余弦定理知2
2
2
2cos .a c b cb A =+-将a =2
2
52c b +=，③ ③+②×2，得()2
100,c b +=，所以10c b +=。
因此 c ，b 是一元二次方程2
10240t t -+=的两个根，解此方程并由b ＜c 知c=6，b=4. 【名师点评】（1）题三角形的六个元素均未知，只能从已知条件出发，把方程右边关系式进
行化简整理，得2
3
sin .4
A =
（2）题考察了构造方程求跟的能力。 例5：（陕西高考）如图1-15所示，在ABC 中，已知B=45°，D 是BC 边上一点，AD=10，
AC=14，DC=6，求AB 的长。
【命题立意】本题主要考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时考察运算求解能力。 解：在ADC 中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得 222100361961
cos 221062AD DC AC ADC AD DC +-+-∠=
==-⋅⨯⨯ 120,60.ADC ADB ∴∠=︒∠=︒在ABD 中，10,45,60,AD B ADB ==︒
∠=︒
正弦定理得
,sin sin AB AD
ADB B =∠10sin 10sin 60sin sin
45AD
ADB AB
B ⋅∠
︒∴===
=︒
图1-15
【名师点评】已知ACD 的三边，则由余弦定理先求ADC ∠的余弦值，再求角，即可求的补角ADB ∠，在ABD ∠中，已知两角一边用正弦定理求解即可。 例6：（2010.江苏高考）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若6c o s ,b a
C a b
+= 求
tan tan tan tan C C
A B
+的值。 【命题立意】本题考察三角函数的化简及正、余弦定理的综合应用。
解：由
6cos ,b a
C a b
+=得()222226cos 32cos 3b a ab C ab C a b c +==⋅=⋅+- 化简整理得()222
23.a b c +=将tan tan tan tan C C A B
+切化弦，得 ()sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin A B C A B C C A B C A B +⎛⎫⋅+=
⋅ ⎪⎝⎭2sin sin sin .cos sin sin cos sin sin C
C C C A B C A B
=⋅= 根据正、余弦定理得
22
222sin cos sin sin 2C
c a b c C A B
ab ab
=+-⋅
22222
2222432c c a b c c c ===+-- 所以
tan tan 4tan tan C C
A B
+= 【名师点评】整理通式的常用方法是通分，出现22
a b +，cos C 这样的形式时应考虑向余弦定理靠拢。
知能提升训练 学以致用
1、（2011.山东模拟）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c
，,1,
3
A a b π
===则c 等于（ ）
A
．
1
D.2、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么他的顶角的余弦值为（ ） A ．
518 B.34
C.2
D.78 3、在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且2
a ＜2
2
b c +，则A 的取值范围是（ ） A ．,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B.,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
4、在ABC 中，2
cos
,22A b c
c
+=则ABC 的形状为 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角形 5、在ABC 中，下列结论；
①若2a ＞22b c +，则ABC 为钝角三角形 ②若2a =22
b c +bc +，则A=60°
③若22a b +＞2
c ，则ABC 为锐角三角形 ④若A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=1:2:3
其中正确的个数是 （ ） A ．1 B.2 C.3 D.4
6、（2011.广东模拟）在ABC 中， 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,,
6
a b C π
===则角A 等于____________
7、ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c 设向量p (),a c b =+， (),b a c a =--，若p ∥q ，则C 的大小为____________
8、在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，已知1
cos 3
A =。 （1）求2
2tan
sin 22
B C A
++的值
（2）若2,ABC
a S ==，求
b 的值
9、（2011.山东模拟）设
ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，且
()
2c o s 3c o s .
b A a C =
（1）求角A 的大小；
（2）若角,6
B π
=BC 边上的中线AM ABC 的面积
10、在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c 且cos .cos 2B b
C a c
=-+ （1）求角B 的大小；
（2）若4,b a c +=求ABC 的面积。
11、在ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =2：
)
1，求ABC 的三个内角。
12、在()()()
()2222
sin sin ,a b A B a b A B +-=-+试判断ABC 的形状。
13、已知三角形的一个内角为60°，面积为2
cm ，周长为20cm ，求此三角形的各边长。 14、（2011.济宁模拟）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，已知
23
,cos 4b ac B ==
（1）求11tan tan A C +的值；（2）设3
,2BA BC ⋅=求a c +的值
15、如图1-18所示，半圆O 的直径长为2，A 为直径延长线上一点，2OA =，B 为半圆周上一个动点，以AB 为边，向圆外作等边三角形ABC ，则B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？并求出这个最大面积。
图1-18
最新数学-高中必修五-解三角形-经典题目
第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2 在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3 在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识 点
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理: 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 数学·必修5(人教A版) 一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标： 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题． 3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”． “在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题． 4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广． 高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习 高中数学必修5第一章解三角形复习 一、知识点总结 【正弦定理】 1．正弦定理: ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径 2正弦定理的一些变式： iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2R iiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4） 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】 a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB 2推论： 设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90； ②若abc，则C90；③若abc，则C90． 3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角1 2222222 【面积公式】 已知三角形的三边为a,b,c, 1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径） 12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？ 扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习 高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习 高二数学必修五 第一章解三角形 一、本章知识结构： 二、基础要点归纳 1、三角形的性质： ①.A+B+C=π, 222 A B C π+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sin cos 22 A B C += ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B , A ＞ B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B ③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞ 2π,B+C ＞2π,A+C ＞2 π ; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-222 cos 2b c a A bc +-= 2 2 2 2cos b a c ac B =+-222 cos 2a c b B ac +-= 2 2 2 2cos c a b ab C =+-222 cos 2a b c C ab +-= 〔必修五〕第二章、数列 一、本章知识结构： 二、本章要点归纳： 1、数列的定义及数列的通项公式： ①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。 ②.n a 的求法： i.归纳法。 ii.11,1 ,2 n n n S n a S S n -=⎧=⎨ -≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。 iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。 iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：1 1() ()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的 递推关系式. 数学必修五解三角形知识点 人教版数学必修五解三角形知识点 漫长的学习生涯中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。掌握知识点有助于大家更好的学习。下面是店铺整理的人教版数学必修五解三角形知识点，欢迎大家分享。 (一)解斜三角形 1、解斜三角形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射影公式和各种形式的面积的公式。 2、能解决的四类型的问题：(1)已知两角和一条边(2)已知两边和夹角(3)已知三边(4)已知两边和其中一边的对角。 (二)解直角三角形 1、解直角三角形的主要定理：在直角三角形ABC中，直角为角C，角A和角B是它的两锐角，所对的边a、b、c，(1)角A和角B的和是90度;(2)勾股定理：a的平方加上+b的平方=c的平方;(3)角A的正弦等于a比上c，角A的余弦等于b比上c，角B的正弦等于b比上c，角B的余弦等于a比上c;(4)面积的公式s=ab/2;此外还有射影定理，内外切接圆的半径。 2、解直角三角形的四种类型：(1)已知两直角边：根据勾股定理先求出斜边，用三角函数求出两锐角中的一角，再用互余关系求出另一角或用三角函数求出两锐角中的两角;(2)已知一直角边和斜边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1);(3)已知一直角边和一锐角，可求出另一锐角，运用正弦或余弦，算出斜边，用勾股定理算出另一直角边;(4)已知斜边和一锐角，先算出已知角的对边，根据勾股定理先求出另一直角边，问题转化为(1)。 (1)两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题： 课题: §1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A c =， sin b B c =，又sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （证法二）：过点A 作j AC ⊥u r u u u r ， 由向量的加法可得 AB AC CB =+u u r u u u r u u r 则 ()j AB j AC CB ?=?+u r u u r u r u u u r u u r ∴j AB j AC j CB ?=?+?u r u u r u r u u u r u r u u r 必修五解三角形题型归纳 一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k 的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c. 【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 Q A:B :C1: 2: 3,而A B C . 解：A, B ,C , 6 3 2 1 3 a : b :sin A: sin B : sinC sin : sin : sin : :1 1: 3 :2. 6 3 2 2 2 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2 在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°，c= 2+ 6 ，∴由正弦定理得： a b c 2 6 sin A sin B sin C sin 30 , ∴a=2( 2+ 6 )sinA,b=2( 2+ 6 )sinB=2( 2+ 6 )sin（150°-A） . ∴a+b=2( 2+ 6 )[sinA+sin(150 °-A)]= 2( 2+ 6 ) ·2sin75 °·cos(75 °-A)= 2 2 6 cos(75 °-A) ①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 2 6 =8+4 3 ； ②∵A=180°-(C+B)=150 °-B, ∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75 °＜75°-A＜75°，∴cos75 °＜cos(75 °-A) ≤1， ∴＞ 2 2 6 cos75 °= 2 2 6 × 6 2 4 = 2+ 6 . 综合①②可得a+b 的取值范围为( 2+ 6 ,8+ 4 3 > 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3 在△ABC中， 2 a ·tanB= 2 b ·tanA，判断三角形ABC的形状。 必修五数学解三角形知识点 必修五数学解三角形知识点 在日常的学习中，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。掌握知识点是我们提高成绩的关键！以下是店铺整理的必修五数学解三角形知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。 判断解法 已知条件：一边和两角 一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。 已知条件：两边和夹角 一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。 已知条件：三边 一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。 已知条件：两边和其中一边的对角 一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C) ①若a>b，则A>B有唯一解; ②若b>a，且b>a>bsinA有两解; ③若a (1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC (2)sinA:sinB:sinC=a:b:c (3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB (4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R 面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式) 余弦定理 a?=b?+c?-2bccosA b?=a?+c?-2accosB c?=a?+b?-2abcosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cosC=(a?+b?-c?)/2ab cosB=(a?+c?-b?)/2ac cosA=(c?+b?-a?)/2bc 数学二元一次方程组知识点 1.定义：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。 2.二元一次方程组的解法 (1)代入法 由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。 (2)因式分解法 在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。 (3)配方法 将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。 (4)韦达定理法 通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次 解三角形 一．解答题（共5小题） 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，O为△ABC三边中垂线的交点． （1）若b﹣c=a，2sinB=3sinC，求cosA的值； （2）若b2﹣2b+c2=0，求?的取值范围． 2．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x． （Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域； （Ⅱ）设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f（c）=3，c=1，ab=2，求a，b的值． （Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圆的面积； （Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积． 4．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB．（I）求角C的大小； （Ⅱ）若c=，求△ABC周长的取值范围． （Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a和b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A；（Ⅲ）若ab=，求△ABC的周长． 解三角形 参考答案与试题解析 一．解答题（共5小题） 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，O为△ABC三边中垂线的交点． （1）若b﹣c=a，2sinB=3sinC，求cosA的值； （2）若b2﹣2b+c2=0，求?的取值范围． 【分析】（1）利用正弦定理可求2b=3c，结合已知可得a=2c，b=，用余弦定理即可求值得解． （2）如图所示，延长AO交外接圆于D．由于AD是⊙O的直径，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos，cos∠BAD=．可得=?（﹣）=2﹣2，．再利用c2=2b﹣b2，化为=（b﹣）2﹣．由于c2=2b﹣b2＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=（b﹣）2﹣．利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）∵2sinB=3sinC，∴2b=3c． 又∵b﹣c=a，∴a=2c，b=， ∴cosA==﹣． （2）∵O为△ABC三边中垂线的交点， ∴O为三角形外接圆的圆心．如图所示，延长AO交外接圆于D，连接BD、CD，∵AD是圆O的直径， ∴∠ACD=∠ABD=90°，cos，cos∠BAD=． ∵c2=2b﹣b2， ∴=?（﹣AB）=?﹣?=2﹣2 【知识要点】 1?正弦定理: 变形：a = 2Rsin A , b = 2Rsin B , c = 2Rsin C. a ? r b ? c sin A = 2R ，sm B =灵 sin C =示 2. 余弦定理: 3. 三角形面积公式： S -absi nC -bcsi nA -acsi nB 2 2 2 4.三角形中的常用结论 解三角形 (1)三角形内角和定理: A + B + C = n ,sin A B sin C,cos A B cosC (2)A>B>C? a>b>c? sin A>sin B>sin C. 5.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫俯角(如图①). I /视线 __________ 的角叫仰角，在水平线 门匕 铅垂线 水平线 视线 图① 6 ?方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 7.方向角 相对于某一方向的水平角(如图③)? *北 r 图② B 点的方位角为a (如图②). 北偏东 冃标 < --------------- 东 图③ (1) 北偏东a ° :指北方向向东旋转 a °到达目标方向. (2) 东北方向：指北偏东 45°或东偏北45° . (3) 其他方向角类似. a ____ b_ sin A sin B c sin C =2R(2R ABC 外接圆的直径). a 2= b 2 + c 2— 2bccos A , b 2= a 2+ c 2— 2accos B , c 2 = a 2 + b 2— 2abcos C. cos C = a 2+ b 2— c 2 2ab A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 一、选择题： 1.在厶 ABC 中, A. 10 3 a = 10, B=60° ,C=45° ,则 c 等于 B. 10 , 3 1 C. 3 1 ( ) D. 10、3 b=V 3 , c=3, B=30,则 a 等于( .12 3 C . 3 或 2 ,3 D 2. 在厶 ABC 中, A . 3 B 3. 已知△ ABC 的周长为 9，且 sin A:sin B :sinC ( ) 1 1 2 2 A 1 B . 1 C . 2 D . 2 4 4 3 3 4. 在厶ABC 中，bcosA=acosB ，则三角形为( ） .2 3:2:4，贝U cosC 的值为 5.在 ABC 中，已知(a c)(a c) b(b c)，则 A 为（ ） A. 300 B . 450 C .600 D .120 6. △ ABC 中, B 45° ,C 60o ,c 1，则最短边的边长等于 A 至 B 卫 C 3 2 7.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ） A 90 ° B 120 ° C 135 ° D 150 a b c ，则△ ABC 一定是（ cosC 钝角三角形 等边三角形 8.3 , 8. △ ABC 中, cos A cosB A 直角三角形 B C 等腰三角形 D S VABC 16,3，则 A 等于（） A 卅 B 60o C 30o 或150o 10.在厶ABC 中， a 2= b 2+ c 2+bc ,则 A 等于 A.60° B.45° C.120 11.在厶ABC 中， a=2, A=30° ,C=45°, ! A. .1 B.2扛 C.门 +1 9. △ ABC 中, b D.30 ° 8 , c D 60o 或 120o ABC 的面积S A ABC 等于（ 12.已知△ ABC 的三边长a 3,b 5,c 6， A. 、14 B. 2 14 C. 15 D. D.〔(乜 +1) 则厶ABC 的面积为（ ） 2 15 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C 解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3 ＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( ) A ．120° B ．105° C ．90° D ．75° 答案 A 解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题 7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75° 解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22 . ∵BC ＝2 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3 在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 必修五：解三角形 知识点一：正弦定理和余弦定理 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪ +-⎪ = ⎨⎪ ⎪+-= ⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形问题：1、已知两角和任意一边，求其他两边及一角. 2、已知两角和其中一边对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边形式或角形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得一些基本关系式进行三角变换运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===.、 1. 若ABC ∆三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆是 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若2=a ，b=2，sinB+cosB=2，则 角A 大小为 （ ）A ． 2π B ．3π C 4π D ．6 π 3. 在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、 3π B 、6π C 、4π D 、12 π 4. 已知ABC ∆中，︒=∠==60,3,4BAC AC AB ，则=BC ( ) A. 13 B. 13 C.5 D.10 5. 在锐角ABC ∆中，若2C B =，则c b 范围（ ） A ． B ． )2 C ． ()0,2 D ． ) 2 6. 在ABC ∆中，A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ， 已知2 2 2 a b c +=，则C =( ) A.2π B.4π C.23π D.34π 7.在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 8.在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、 150 9. 已知ABC ∆中，4,45AB BAC =∠=︒，AC =ABC ∆面积为_______ 10. 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,对边,且c a b C B +- =2cos cos ,则角B 大小为_______ 11.已知锐角三角形边长分别是2,3,x ，则x 取值范围是 A 、15x << B x < 、0x << 5x << 12．ABC ∆中，2,1==BC AB 则角C 取值范围是__________．高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
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