高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)
正弦定理与余弦定理 【知识概述】 在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2= R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a === C B A c b a sin :sin :sin ::= 2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 22 22222222-+=-+=-+= 定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 2 22222222ab c b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+= 3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+= 4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1sin 21sin 21===? 【学前诊断】 1．[难度] 易 在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 3．[难度] 易 在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = . 【经典例题】
人教A版高中数学必修五1.1 正弦定理和余弦定理
高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 1.1 正弦定理和余弦定理 一、填空题 1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3. 答案 ⎝ ⎛ ⎦⎥⎤0，π3 2．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________． 解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝4 3. 答案 43 3．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3，则a ＝________. 解析 由正弦定理，有 3sin 2π3 ＝1sin B ， 即sin B ＝1 2 .又C 为钝角， 所以B 必为锐角，所以B ＝π6，所以A ＝π 6.故a ＝b ＝1. 答案 1
4.在△ABC 中,已知5210a c A =,=,=30,则B 等于________. 解析 根据正弦定理sin sin a c A C =,得sin 1 102sin 2252 c A C a ⨯== =. ∴C=45或C=135.当C=45时,B=105; 当C=135时,B=15. 答案 105或15 5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________. 解析 设AB ＝a ，∴BD ＝ 2 3 a ， BC ＝2BD ＝ 4 3 a ， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2 －43a 22a 2＝1 3 ∴sin A ＝1－cos 2A ＝22 3 由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66 . 答案 6 6 6．在△ABC 中，若S △ABC ＝1 4 (a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________. 解析 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14 (a 2 ＋b 2－c 2)， ∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ， ∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π 4 . 答案 π4 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则
必修五第一章正弦定理和余弦定理
衡南九中 高中数学必修五第一章导学案 编制人：袁静 审核人： 使用日期： 班级： 姓名： 教师评价： §1.1 正弦定理和余弦定理（3） 】 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 1、正弦定理： 2、余弦定理： 3、在解三角形时：已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理． 4、（已知三角形两边和其中一边的对角） 在△ABC 中，已知 A ＝6 π ，a b ＝ 1、在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. ① A ＝6 π ，a ＝1，b ＝ ② A ＝6 π ，a ，b ＝ ③ A ＝6 π ，a ＝2，b ＝ 解的个数情况会发生变化原因 2、用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）． 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时， 如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解． 例1. 在?ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=?，试判断此三角形的解的情况． 变式：在?ABC 中，若1a =，1 2 c = ，40C ∠=?，则符合题意的b 的值有_____个 ． 例2．在?ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 提示：三角形面积定理111 sin sin sin 222 S ab C ac B bc A === 变式：在?ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积S =，求角C 1. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）． 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2 sin 3 A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 53 2.在?ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况. 3.在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围． 4.在?ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积222 4 a b c S +-=，求角C
高中数学必修五正余弦定理
姓名____________ 2012年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA=a c ,sinB=b c ?c=sin a A ,c=sin b B ?sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理： （1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π+A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π+A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理： （1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2a =2b +2c -2bccosA; 2b =2a +2c -2accosB; 2c =2a +2b -2abcosC 变形：2sin A=2sin B+2sin C-2sinBsinCcosA 2sin B=2sin A+2sin C-2sinAsinCcosB 2sin C=2sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222 b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=12 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0
人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)
1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修） 1.2应用举例1.3实习作业 [基础训练A 组] 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（） A ．2 B ．2 3C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0 150
二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1． 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。 三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理
§1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 知识点一 正弦定理 思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，c sin C 分别等于什么？ 答案 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？ 答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 仍然成立． 梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系
的互化． 知识点二 解三角形 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C .(√) 2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×) 类型一 正弦定理的证明 例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点， 根据正弦函数的定义知， CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴ a sin A ＝b sin B . 同理，b sin B ＝c sin C . 故 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C . 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》
数学5 第一章解三角形 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置
人教A版高中数学必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案
专题22 正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 1．正、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 22bc cos__A ； b 2＝ c 2＋a 22ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见 变形 (1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin_C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝ c sin A cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 2 2ac ； cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)， 并可由此计算R ，r . 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6 ，则b ＝________.
新人教A版必修5高中数学正弦定理、余弦定理(一)
正弦定理、余弦定理（一） 教学目标： 进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. 教学重点： 利用正、余弦定理进行边角互换. 教学难点： 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向； 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用. Ⅱ.讲授新课 ［例1］已知△ABC ，BD 为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝AD ∶DC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为 AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC ，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD 内，利用正弦定理得： AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，即AB AD ＝sin ∠ADB sin ∠ABD 在△BCD 内，利用正弦定理得： BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC ，即BC DC ＝sin ∠BDC sin ∠DBC . ∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ， ∴sin ABD ＝sin DBC . ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°，∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理》优质课教案_14
《余弦定理》教案 一、教材分析 《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。 余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。 二、教学目标 知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。 2、掌握余弦定理的推导、证明过程。 3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。 过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。 2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。 3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际 问题的能力。 情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验 解决问题的成功喜悦。 2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。 三、教学重难点 重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。 难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。 四、教学用具 普通教学工具、多媒体工具 （以上均为命题教学的准备） 五、教学过程 过程设计设计意图 情境设疑、引发思考1、温州有很多山，乘火车时会经过一个个隧 道，让学生思考隧道是如何开凿的。【多媒体 展示隧道图片】 （学生发表自己意见，提出要测量出山脚两端 的距离） 2、提出问题：如何测量山脚两端的距离。 3、展示技术人员的方案，让学生与自己的方案 进行比较，并思考这个方案的设计原理。 【技术人员方案：将山脚两端记为B、C，在 结合实际情景、结合学生 经历来提出问题，引发学 生思考，激发学生的学习 兴趣。（命题教学的情境 性策略——创设实践情 境） 给出技术人员的方案，引 起学生的疑问，激起学生
高中数学必修五11正弦定理和余弦定理教案
编号19 1.1正弦定理和余弦定理 **学习目标** 1．掌握正余弦定理的推导过程； 2．理解正余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用； 3．能应用正余弦定理解斜三角形； 4．能灵活运用正余弦定理判断三角形的形状及三角形面积的计算。 一、重点知识梳理： 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。 正弦定理的变式：（1） （2） （3） 2、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。 3、余弦定理： _ ___________ ___________ __________222===c b a 余弦定理的变式： . ________________cos ______;__________cos ______; __________cos ===C B A 4、用正弦定理和余弦定理可分别解决下列那种问题 ①已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。 5、三角形常用的面积公式：（1）
（2） （3） 二、基础检测： 引入：在任一个直角三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a sin =B b sin =C c sin ，那么这个等式是否适合其他的任意三角形？ 例（1）已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。 （2）已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。 引入：在任一个直角三角形中，三边满足勾股定理，那么对于一般三角形的三边是否具有什么关系？ 例（1）在△ABC 中，若︒===120,1,1C b a ，求c ； （2）△ABC 三边的长37,4,3===c b a ，求最大角； 三、合作探究 1、根据下列条件，判断解三角形时是否有解，若有解，有几个解 （1）120a b A === （2）60,48,60a b B === （3）7,5,80a b A === （4）14,16,45a b A ===
必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题全新
正弦定理和余弦定理 要点梳理 1．正弦定理 其中R 是 三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝ a 2R ，sin B ＝ b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式 S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r. 3．余弦定理： 222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－. 余弦定理可以变形为： cos A ＝2 2 2 b c a 2bc +-，cos B ＝ 222a c b 2ac +-，cos C ＝ 222 a b c 2ab +-. 4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角． 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题． 基础自测 1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π 3 ，则a ＝ 1 . 2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________. 3．在△ AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝9 10 ，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C ) A ．2 2 B ．8 2 C. 2 D.2 2 2sin sin sin a b c R A B C ===
新人教A版必修5高中数学正弦定理、余弦定理(一)
正弦定理、余弦定理〔一〕 教学目标： 进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. 教学重点： 利用正、余弦定理进行边角互换. 教学难点： 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向； 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用. Ⅱ.讲授新课 ［例1］△ABC，BD为B的平分线，求证：AB∶BC＝AD∶DC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为 AB sin∠ADB ＝ AD sin∠ABD ， BC sin∠BDC ＝ DC sin∠DBC ，再根据相等角正弦值相等，互补角正 弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD内，利用正弦定理得： AB sin∠ADB ＝ AD sin∠ABD ，即 AB AD ＝ sin∠ADB sin∠ABD 在△BCD内，利用正弦定理得： BC sin∠BDC ＝ DC sin∠DBC ，即 BC DC ＝ sin∠BDC sin∠DBC . ∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC， ∴sin ABD＝sin DBC. ∵∠ADB＋∠BDC＝180°，∴sin ADB＝sin〔180°－∠BDC〕＝sin BDC
高中数学必修五知识点整理【经典最全版】
《必修五知识点整理》 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sin sin sin a b c A B C ==. 正弦定理推论：① 2sin sin sin a b c R A B C ===〔R 为三角形外接圆的半径〕 ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a A b B c C c C === ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++ 2、解三角形的概念：一般地,我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素.任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 3、正弦定理确定三角形解的情况 图形 关系式 解的个数 A 为 锐 角 ①sin a b A = ②a b ≥ 一解 sin b A a b << 两解 sin a b A < 无解 A 为钝角或直角 b a > 一解 b a ≤ 无解 1.1.2 余弦定理 5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角
的余弦的积的两倍,即 2222cos a b c bc A =+-,2222cos b a c ca B =+-,2222cos c a b ab C =+-. 余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=,222cos 2a c b B ac +-=,222 cos 2a b c C ab +-= 6、不常用的三角函数值 15° 75° 105° 165° αsin 426- 42 6+ 42 6+ 4 2 6- αcos 42 6+ 42 6- 4 2 6+- 4 2 6+- αtan 32- 32+ 32-- 32+- 1.2 应用举例〔浏览即可〕 1、方位角：如图1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角. 2、方向角：如图2,从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角.〔指定方向线是指正北或正南或正西或正东〕 3、仰角和俯角：如图3,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角. 〔1〕方位角 〔2〕方向角 〔3〕仰角和俯角 〔4〕视角 4、视角：如图4,观察物体的两端,视线X 开的角度称为视角. 5、铅直平行：与海平面垂直的平面. 6、坡角与坡比：如图5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比h i l ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ . 〔5〕坡角与坡比 第二章 数 列 2.1 数列的概念与简单表示法 1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项〔也叫首项〕,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.所以,数列的一般形式可以写成1a ,2a ,3a ,…,n a ,…,简记为{}n a . 2、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 3、数列的递推公式：如果已知数列的第1项〔或前几项〕,且从第2项〔或某一项〕开始的
