数学第一章空间向量与立体几何1-1第1课时空间向量及其线性运算练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第1课时 空间向量及其线性运算

学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．

知识点一 空间向量的概念

1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →

，其模记为|a |或|AB →

|. 4．几类特殊的空间向量

名称 定义及表示

零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a

相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量

思考 空间中的两个向量是不是共面向量？

答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算

空间向量的线性运算

加法

a ＋

b ＝OA →＋ AB → ＝OB →

减法

a －

b ＝OA →

－OC →＝CA →

数乘

当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →

； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；

当λ＝0时，λa ＝0

运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ；

结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；

分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .

思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？

答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0.

1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )

3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC →

是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ )

一、向量概念的应用

例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等

C ．若向量AB →，C

D →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →

D ．相等向量其方向必相同 答案 D

解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( )

A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反

B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |

C ．空间向量的加法满足结合律

D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC

解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝

|b |，从而B 正确；空间向量的加法满足结合律，C 正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.

反思感悟 空间向量的概念问题

在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；

④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 答案 ①

解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确． 二、空间向量的加减运算

例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′———→.

解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AA ′—→＋A ′D ′———→＝AD ′—→

. (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′———→＝AA ′—→＋A ′B ′———→＋B ′C ′———→ ＝AB ′—→＋B ′C ′———→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→

如图所示．

延伸探究

试把本例中的体对角线所对应向量AC ′—→用向量AA ′—→，AB →，AD →

表示． 解 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′—→＝AC →＋AA ′—→

， 在平行四边形ABCD 中，

由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →

. 故AC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→.

反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．

跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )

A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →

B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→

C.AD →－AB →－DD 1—→

D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→ 答案 AB

解析 A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→

； B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；

C 中，A

D →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；

D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→

.故选AB. 三、空间向量的线性运算

例3 在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式． (1)AG →＋13BE →＋12CA →；

(2)12

(AB →＋AC →－AD →

)．

解 (1)因为G 是△BCD 的重心，所以|GE →|＝13|BE →

|，

所以13BE →＝GE →，又因为12

CA →＝EF →，

所以由向量的加法法则，可知AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AE →＋EF →＝AF →.

从而AG →＋13BE →＋12

CA →＝AF →

.

(2)如图所示，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，

则四边形APHQ 为平行四边形，且有12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，而AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →

，

所以12(AB →＋AC →－AD →)＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →

.

反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．

跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→

＝c ，则下列向量中与B 1M —→

相等的向量是( )

A ．－12a ＋1

2b ＋c

B.12a ＋1

2b ＋c C.12a －1

2b ＋c D ．－12a －1

2

b ＋c

答案 A

解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A —→＋12(BA →＋BC →)

＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋1

2

b ＋

c .

1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 答案 B

2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b

B ．a ＋b 为实数0

C ．a 与b 方向相同

D ．|a |＝3

答案 D

解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →

＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA → 答案 B

4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →

，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形

答案 A

解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →

， ∴AB →＝DC →.

∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．

5．化简：5(3a －2b )＋4(2b －3a )＝________. 答案 3a －2b

1．知识清单： (1)向量的概念．

(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：

三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：对空间向量的理解

应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．

1．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件

B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →＞CD →

C ．若两个非零向量AB →，C

D →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →

互为相反向量 D.AB →＝CD →

的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 答案 AC

解析 A 正确，模不为0的向量方向是确定的． B 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． C 正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →

互为相反向量．

D 错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →

同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 2．化简PM →－PN →＋MN →

所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →

答案 C

解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →

＝0，故选C. 3．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →

等于( ) A.OA → B.AB → C.OC →

D.AC →

答案 C

4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→ B.AB →－AC →＋BB 1—→ C.AB →＋AD →＋AA 1—→ D.AC →＋CB 1—→

答案 A

解析 在A 选项中，AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →

＝0. 5．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →

|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →

同向 D.AC →与CB →

同向 答案 D

6．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →

＝________. 答案 AD →

解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.

7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →

的结果是________． 答案 2AC →

解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.

8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 2

9.如图所示的是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列各式：

(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1—→－AB →＋BC →.

解 (1)AB →＋AD →＋AA 1—→＝AC →＋AA 1—→＝AC 1—→

.

(2)DD 1—→－AB →＋BC →＝AA 1—→－AB →＋BC →＝BA 1—→＋BC →＝BD 1—→.

10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，AB →＋GD →＋EC →

，并标出化简结果的向量．

解 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.

因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， 所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.

所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 故所求向量为AD →，AF →

，如图所示．

11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →

等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA →

答案 D

解析 方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →

. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →

.

12．在三棱锥A －BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF →＝23BE →，则 AF →

等于( )

A. 12AB →＋34AC →－34AD →

B. AB →＋34AC →－34AD →

C ．－5AB →＋3AC →＋3A

D →

D.13AB →＋13AC →＋13AD → 答案 D

解析 因为 E 是棱 CD 的中点，BF →＝23

BE →，

所以 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝23AE →＋13AB →

＝13(AC →＋AD →)＋13AB →＝13AB →＋13AC →＋13

AD →

. 13．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →

＝________. 答案 －c －a ＋b 解析 如图，

A 1

B —→＝B 1B —→－B 1A 1—→

＝B 1B —→－BA →＝－CC 1—→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .

14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．

(1)化简A 1O —→－12AB →－12

AD →

＝________.

(2)用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→

＝________. 答案 (1)A 1A —→ (2)12AB →＋12

AD →＋AA 1—→

解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→

.

(2)因为OC →＝12AC →＝12

(AB →＋AD →

)，

所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12

AD →＋AA 1—→

.

15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3

CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.

答案 6

解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，

又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3

CC ′——→， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y 2

＝1，z 3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，z ＝3，

∴x ＋y ＋z ＝6.

16.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是

AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：

(1)AP →；

(2)A 1N —→；

(3)MP →.

解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，

∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12

D 1C 1——→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12

b . (2)∵N 是BC 的中点，

∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12

BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12

c . (3)∵M 是AA 1的中点，

∴MP →＝MA →＋AP →＝12

A 1A —→＋AP → ＝－12a ＋⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .

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第1课时 空间向量及其线性运算 学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律． 知识点一 空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB → ，其模记为|a |或|AB → |. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 思考 空间中的两个向量是不是共面向量？ 答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a ＋ b ＝OA →＋ AB → ＝OB → 减法 a － b ＝OA → －OC →＝CA → 数乘 当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ → ； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；

当λ＝0时，λa ＝0 运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ； 分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0. 1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ ) 3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC → 是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ ) 一、向量概念的应用 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等 C ．若向量AB →，C D →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD → D ．相等向量其方向必相同 答案 D 解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反 B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | C ．空间向量的加法满足结合律 D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC 解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝

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空间向量及其运算

考点一概念的辨析 【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中,假命题是（）A．同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】A.向量是有向线段,不能比较大小.真命题. B.两向量相等：方向相同,模长相等.起点相同,则终点也相同.真命题. C.零向量：模长为0的向量.真命题. D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D. 【一隅三反】 1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若向量,a b共线,则,a b所在的直线平行； ②若向量,a b所在的直线是异面直线,则,a b一定不共面；

③若三个向量,a b c ，两两共面,则,a b c ，三个向量一定也共面； ④已知三个向量,a b c ，,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道,两向量共线有可能两向量所在的直线重合,所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内,所以此命题错误；对于③：若三个向量 ,,a b c 两两共面,这三个向量有可能不共面,所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道,这三 个向量要不共面才可以,所以此命题错误,所以选A 2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行； ②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面； ④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行或重合；所以①错； ②因为向量是可以自由移动的量,因此即使a 、b 所在的直线是异面直线,a 、b 也可以共面；所以②错； ③若a 、b 、c 三向量两两共面,因为两平面的关系不确定,因此a 、b 、c 三向量不一定共面；所以③错； ④若三向量a 、b 、c 共面,若向量p 不在该平面内,则向量p 不能表示为p xa yb zc =++,所以④错. 故选：A. 考法二 空间向量的线性运算 【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且2AF FD =,E 为BC 中点,则EF 等于（ ）

空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

空间向量与立体几何 【知识要点】 1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算： ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立． ②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )； 分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ． (2)空间向量的基本定理： ①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ． ②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ． ③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ． (3)空间向量的数量积运算： ①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉； ②空间向量的数量积的性质： a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥ b ⇔a ·b ＝0； |a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜． ③空间向量的数量积的运算律： (λ a )·b ＝λ (a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ； 分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示： ①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)． ②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 a ＋ b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件： a ∥ b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )； a ⊥ b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a

新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册优秀学案(知识点考点汇总及配套习题,含解析)

人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案 第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 - 1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 - 1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 - 1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 - 1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 - 1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 - 1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 - 1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 - 1.4空间向量的应用 .......................................................................................................... - 59 - 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 - 第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 - 第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 - 1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 - 章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 - 2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 - 2.1.1倾斜角与斜率 ................................................................................................. - 113 - 2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 - 2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 - 2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 - 2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 - 2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 - 2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 - 2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 - 2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 - 2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 - 2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 - 2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 - 2.4.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 171 - 2.4.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 180 - 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 - 2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 - 2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 - 章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 - 3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 - 3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 - 3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 - 第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 - 第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 - 3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 - 3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测 含解析

第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测 一、1.1.1空间向量及其线性运算 ................................................................................. - 1 - 二、1.1.2空间向量的数量积运算 ................................................................................. - 7 - 三、1.2空间向量基本定理 .......................................................................................... - 15 - 四、1.3.1空间直角坐标系........................................................................................... - 21 - 五、1.3.2空间运算的坐标表示 ................................................................................... - 27 - 六、1.4.1第1课时空间向量与平行关系 ................................................................... - 33 - 七、1.4.1第2课时空间向量与垂直关系 ................................................................... - 41 - 八、1.4.2用空量研究距离夹角问题 ........................................................................... - 50 - 第一章章末测验............................................................................................................ - 63 - 一、1.1.1空间向量及其线性运算 一、选择题 1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB → 等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.] 2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC → ，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 A [∵AO →＋O B →＝DO →＋O C →，∴AB →＝DC → . ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．] 3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝OA →＋O B →＋O C → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →

高中数学选修一1.1.1 空间向量及其线性运算

第一章空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 基础过关练 题组一空间向量的基本概念 1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量都不相等; ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ③平行且模相等的两个向量是相等向量; ④若a≠b,则|a|≠|b|; ⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同. A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列说法正确的是(深度解析) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.若a、b为相反向量,则a+b=0 C.零向量是没有方向的向量 D.若a、b是两个单位向量,则a=b

3.(2020山东烟台高二上期中)下列命题是真命题的是( ) A.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的充要条件是A 与C 重合,B 与D 重合 C.若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.若两个非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 4.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列向量相等的是( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 题组二 空间向量的加法与减法 5.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,下列各式的运算结果为向量B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) ①A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;④B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . A.①② B.②③ C.③④ D.①④

新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1-1共线向量与共面向量练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第2课时 共线向量与共面向量 学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面． 知识点一 共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a ＝λb . 2．直线的方向向量 在直线l 上取非零向量a ,我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 思考1 对于空间向量a ,b ,c ,若a ∥b 且b ∥c ,是否可以得到a ∥c ? 答案 不能．若b ＝0,则对任意向量a ,c 都有a ∥b 且b ∥c . 思考2 怎样利用向量共线证明A ,B ,C 三点共线？ 答案 只需证明向量AB →,BC → (不唯一)共线即可． 知识点二 共面向量 1．共面向量 如图,如果表示向量a 的有向线段OA → 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b . 思考 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,存在有序实数对(x ,y ),满足关系OP →＝OA → ＋ xAB →＋yAC → ,则点P 与点A ,B ,C 是否共面？ 答案 共面. 由OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,可得AP →＝xAB →＋yAC →,所以向量AP →与向量AB →,AC → 共面,故点P 与点A ,B ,C 共面．

第一章 §1.1 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算

§1.1 空间向量及其运算 1．1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 导语 国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 一、空间向量的有关概念 知识梳理 1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB → |. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这

注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小． (4)共线向量不一定具备传递性，比如0． 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．单位向量都相等 B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反 C ．若向量AB →，C D →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD → D ．相等向量其方向必相同 答案 D 解析 A 中，单位向量长度相等，方向不确定； B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定； C 中，向量不能比较大小． (2)(多选)下列命题为真命题的是( ) A ．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b B ．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1——→ C ．若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p D ．空间中，a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案 BC 解析 A 为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A 中向量a 与b 的方向不一定相同； B 为真命题，A C →与A 1C 1——→的方向相同，模也相等，故AC →＝A 1C 1——→ ； C 为真命题，向量的相等满足传递性； D 为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a 与c 不一定平行．

高中数学《空间向量与立体几何》练习题(含答案解析)

高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析） 一、单选题 1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ） A ．()1,2,1-- B ．()1,2,1- C ．()1,2,1--- D ．()1,2,1-- 2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ） A ．7- B ．5- C ．5 D ．7 3．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）． A ．()1,6,3- B ．()5,4,3- C ．()1,6,3-- D ．()2,5,3- 4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ） A ．6 B ．12 C ． D ．5．平面α的一个法向量是1(2 n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ） A ．平行 B ．重合 C ．平行或重合 D ．垂直 6．已知某圆柱的内切球半径为92 ，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π 7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线 B ．OA 、OB 共线 C ．OB 、OC 共线 D ．O 、A 、B 、C 四点共面 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A B C D

第一章 空间向量与立体几何章末测试(解析版) 高二数学新教材选择性必修第一册(人教A版)

第一章 空间向量与立体几何章末测试 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分） 1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( ) A ．1- B ．1 C D ．73 【答案】A 【解析】如图所示 由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅= E 是棱AB 中点 12PE PA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC 故选：A 【点睛】 本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型. 2．（2020·宜昌高二期末）已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9 B ．﹣9 C ．﹣3 D ．3 【答案】B

【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面， (2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=， 272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ . 故选:B. 3．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个 C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等 【答案】C 【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错. B 项，空间基底有无数个, 所以B 错. D 项中因为基底不唯一，所以D 错. 故选C . 4．（2020·全国高二课时练习）若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l α C ．l α⊥ D ．l 与α相交 【答案】C 【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-， 平面α的法向量为()3,6,9n =--， ∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥． 故选C ． 5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16 B ．14 C ．16- D ．14 -

最新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题 1．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--， (4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平 面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（ ） A ．②④ B ．②③ C ．①③ D ．①② 2．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43 - B ． 43 C ．13 - D ． 13 3．已知在平行六面体中 ,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（ ） A ．52 B ．9 C ．85 D ．73 4．给出下列两个命题：命题:p 空间任意三个向量都是共面向量；命题:q 若0a >， 0b >，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ⌝∨ 5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（ ） A 30 B ．15 - C 70 D ． 15 6．空间四点()(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、，，、、共面，则x =（ ） A ．4- B ．1- C ．1 D ．4 7．如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且 12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）

人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)

一、选择题 1．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，1BC α⊥，点E 、F 分别为1AA 、 1CC 的中点，112C G GD =，若α 平面ABCD m =，α平面EFG n =，则直线m 与 直线n 所成角的正切值为（ ） A ． 22 7 B ． 32 7 C ． 42 7 D ． 62 7 2．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ） A ． 12 B ． 22 C ． 3 D ． 55 3．若(),,0OA m n =，40, ,OB p n ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，则m p +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 4．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面 11A BC 所成的角的大小为（ ） A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 5．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，

点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43 - B ． 43 C ．13 - D ． 13 6．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝ 1 2 AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( ) A 6 B 3 C 6 D ． 23 7．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（ ） A ．[ ,]63 ππ B ．[ ,]43 ππ C ．[ ,]62 ππ D ．[ ,]42 ππ 8．已知在平行六面体中 ,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（ ） A ．52 B ．9 C 85 D 739．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．2123,θθθθ<< B ．2123 ,θθθθ>< C ．2123 ,θθθθ D ．2123 ,θθθθ>> 10．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面， 14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）

高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)

第一章空间向量与立体几何单元过关基础A 版 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5- 【答案】A 【解析】 【分析】 关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数． 【详解】 关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ． 【点睛】 本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题． 2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（ ） A ．1D 的坐标为(1,0,0) B ．1D 的坐标为(0,1,0) C ．13B B 293 D ．13B B 14【答案】D

【分析】 根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】 由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ， 13B B ==. 故选：D. 【点睛】 本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题. 3．空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3345A B 、，，，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．()234， ， B ．()134，， C ．()235，， D ．()245， ， 【答案】A 【解析】 点()()1,2,3345A B 、， ，， 由中点坐标公式得中得为：132435,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，即()234，，. 故选A. 4．已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是⎫ ⎪⎪⎝⎭ C ．AB 与BC D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)- 【答案】D 【分析】 根据向量的相关性质判断. 【详解】 对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；