第一章 习题课 空间向量应用的综合问题

习题课空间向量应用的综合问题

学习目标通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量求点、线、面间的距离、空间角及解决有关探索性问题．

一、利用空间向量求空间角

例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M 在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD＝6，AB＝4.

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求平面BPD与平面APD的夹角；

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

(1)证明如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.

∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PDB，平面MAC∩平面PDB＝ME，

∴PD∥ME.

∵四边形ABCD是正方形，

∴E为BD的中点．∴M为PB的中点．

(2)解取AD的中点O，连接OP，OE.

∵P A＝PD，∴OP⊥AD.

又∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面P AD，

∴OP⊥平面ABCD.

∵OE⊂平面ABCD，∴OP⊥OE.

∵底面ABCD是正方形，∴OE⊥AD.

以O为原点，分别以OD→，OE→，OP→为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，2)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，BD→＝(4，－4,0)，PD→＝(2,0，－2)．

设平面BDP的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·BD →＝0，n ·

PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.

令x ＝1，得y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1,1，2)．

又平面P AD 的一个法向量为p ＝(0,1,0)， ∴cos 〈n ，p 〉＝

n ·p |n ||p |＝1

2

. ∴平面BPD 与平面APD 的夹角为60°. (3)解 由(1)(2)知M ⎝

⎛⎭

⎫

－1，2，

22，C (2,4,0)， 则MC →

＝⎝

⎛⎭⎫3，2，－22.

设直线MC 与平面BDP 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈n ，MC →

〉|＝|n ·MC →

||n ||MC →

|＝269.

∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为26

9

.

反思感悟 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．

跟踪训练1 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF ＝22FD ，∠DFE ＝∠CEF ＝45°.

(1)求异面直线BC ，DF 所成角的大小； (2)求平面BDE 与平面BEC 所成角的余弦值． 解 因为四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，

所以AF ⊥平面DCEF . 又∠DFE ＝∠CEF ＝45°，

所以，在平面DCEF 内作DO ⊥EF ，垂足为点O ， 以O 为坐标原点，OF 所在的直线为x 轴，

OD 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)． 设OF ＝a ，因为AF ＝22FD ， 所以DF ＝2a ，AF ＝4a ，CD ＝2a .

(1)∴D (0,0，a )，F (a,0,0)，B (－3a,4a,0)，C (－2a,0，a )． 则BC →＝(a ，－4a ，a )，DF →

＝(a,0，－a )， 设向量BC →，DF →

的夹角为θ， 则cos θ＝BC →·DF

→|BC →|·|DF →|

＝0，

所以异面直线BC ，DF 所成角为π

2

.

(2)∵E (－3a ,0,0)，BC →＝(a ，－4a ，a )，BE →＝(0，－4a ,0)，DE →

＝(－3a ,0，－a )， 设平面DBE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧

n 1·DE →＝0，n 1·

BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

3x 1＋z 1＝0，4y 1＝0，

取x 1＝1得平面DBE 的一个法向量为n 1＝(1,0，－3)， 设平面CBE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧

n 2·BC →＝0，n 2·

BE →＝0，

得⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－4y 2＋z 2＝0，4y 2＝0，

取x 2＝1得平面CBE 的一个法向量为n 2＝(1,0，－1)， 设平面BDE 与平面BEC 的夹角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝255

，

所以平面BDE 与平面BEC 所成角的余弦值为25

5.

二、利用空间向量求距离

例2 已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．

解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则G (0,0,2)，E (4，－2，0)，F (2，－4,0)，B (4,0,0)， ∴GE →＝(4，－2，－2)，GF →＝(2，－4，－2)，BE →

＝(0，－2,0)．

设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧

GE →·n ＝0，GF →·

n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

2x －y －z ＝0，x －2y －z ＝0，

∴x ＝－y ，z ＝－3y .

取y ＝1，则n ＝(－1,1，－3)． ∴点B 到平面EFG 的距离d ＝|BE →

·n |

|n |

＝

211

＝21111.

反思感悟 求点P 到平面α的距离的三个步骤：(1)在平面α内取一点A ，确定向量P A →

的坐标表示；(2)确定平面α的法向量n ；(3)代入公式d ＝|P A →·n |

|n |

求解．

跟踪训练2 如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥

平面BCD，AB＝23，求点A到平面MBC的距离．

解

如图，取CD的中点O，连接OB，OM，

因为△BCD与△MCD均为正三角形，

所以OB⊥CD，OM⊥CD，

又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM⊂平面MCD，

所以MO⊥平面BCD.

以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，

所以OB＝OM＝3，

则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，3)，

B(0，－3，0)，A(0，－3，23)，

所以BC→＝(1，3，0)．

→＝(0，3，3)．

BM

设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，

由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BC →，n ⊥BM →，得⎩⎪⎨⎪⎧

n ·

BC →＝0，n ·

BM →＝0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3y ＝0，

3y ＋3z ＝0， 取x ＝3，可得平面MBC 的一个法向量为n ＝(3，－1,1)． 又BA →

＝(0,0,23)，

所以所求距离为d ＝|BA →·n ||n |＝215

5.

三、利用空间向量解决探索性问题

例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝2，BC ＝22，P A ＝2.

(1)取PC 的中点N ，求证：DN ∥平面P AB ； (2)求直线AC 与PD 所成角的余弦值；

(3)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面ACD 的夹角为45°？如果存在，求出BM 与平面MAC 所成角的大小；如果不存在，请说明理由．

(1)证明 取BC 的中点E ，连接DE ，交AC 于点O ，连接ON ，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (0，－1,0)，B (2，－1,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0，－1,2)． ∵点N 为PC 的中点，∴N (0,0,1)， ∴DN →

＝(1,0,1)．

设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，

由AP →＝(0,0,2)，AB →

＝(2,0,0)， 可得n ＝(0,1,0)， ∴DN →·n ＝0.

又∵DN ⊄平面P AB ，∴DN ∥平面P AB .

(2)解 由(1)知，AC →＝ (0,2,0)，PD →

＝(－1,1，－2)． 设直线AC 与PD 所成的角为θ， 则cos θ＝|AC →·PD →||AC →||PD →|

＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22×6＝6

6

. (3)解 存在．设M (x ，y ，z )，且PM →＝λPD →

，0≤λ≤1， ∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝－λ，y ＋1＝λ，z －2＝－2λ，

∴M (－λ，λ－1,2－2λ)．

设平面ACM 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由AC →＝(0,2,0)，AM →

＝(－λ，λ，2－2λ)， 可得m ＝(2－2λ，0，λ)，

由图知平面ACD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)， ∴|cos 〈m ，u 〉|＝

λ

1·λ2＋(2－2λ)2

＝22

， 解得λ＝2

3

或λ＝2(舍去)．

∴M ⎝⎛⎭⎫－23，－13，23，m ＝⎝⎛⎭⎫23，0，23. ∴BM →

＝⎝⎛⎭

⎫－83，23，23， 设BM 与平面MAC 所成的角为φ，

则sin φ＝|cos 〈BM →

，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪12

922

3

×22＝12，

∴φ＝30°.

故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.

反思感悟(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．

(2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．跟踪训练3如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝22，E为CD的中点，点F在线段PB上．

(1)求证：AD⊥PC；

(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．

(1)证明如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC，

因为AB＝22，BC＝2，∠ABC＝45°，

由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos 45°＝4，得AC＝2，

所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

又AD∥BC，所以AD⊥AC.

因为AD＝AP＝2，DP＝22，

所以P A⊥AD，

又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面P AC，

所以AD⊥平面P AC，

又PC⊂平面P AC，所以AD⊥PC.

(2)解因为侧面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，

侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊂侧面P AD ，

所以P A ⊥底面ABCD ，

所以直线AC ，AD ，AP 两两垂直，

以A 为原点，直线AD ，AC ，AP 为坐标轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

则A (0,0,0)，D (－2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (－1,1，0)，P (0,0,2)， 所以PC →＝(0,2，－2)，PD →＝(－2,0，－2)，PB →

＝(2,2，－2)． 设

PF

PB

＝λ(λ∈[0,1])， 则PF →

＝(2λ，2λ，－2λ)，F (2λ，2λ，－2λ＋2)， 所以EF →

＝(2λ＋1,2λ－1，－2λ＋2)．

易得平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)． 设平面PDC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧

n ·PC →＝0，n ·

PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

2y －2z ＝0，－2x －2z ＝0，

令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．

因为直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos 〈EF →，m 〉|＝|cos 〈EF →

，n 〉|， 即|EF →·m ||EF →||m |＝|EF →·n ||EF →||n |， 所以|－2λ＋2|＝

|2λ|3

， 即3|λ－1|＝|λ|(λ∈[0,1])，

解得λ＝3－3

2，

所以PF PB ＝3－32

，

即当PF PB ＝3－32

时，直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等．

课时对点练

1．已知两平面的法向量分别为m ＝(1，－1,0)，n ＝(0,1，－1)，则两平面的夹角为( ) A ．60° B ．120° C ．60°或120° D ．90° 答案 A

解析 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|－1|2·2＝12，

即〈m ，n 〉＝60°. ∴两平面所成角为60°.

2．在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AA 1的中点，F 为线段C 1D 1上靠近D 1的三等分点，则异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为( ) A.114 B.214 C.314 D.1

7 答案 B

解析 如图，建立空间直角坐标系，

则A 1(3,0,0)，B (3,3,3)， E ⎝

⎛⎭⎫3，0，3

2，F (0,1,0)， 所以A 1B —→

＝(0,3,3)， EF →

＝⎝

⎛⎭⎫－3，1，－32，

所以|cos 〈A 1B —→，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪A 1B —→·EF →||A 1B —→·

|EF →|＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪3－9

232×72＝214. 3.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱CC 1的中点，则直线B 1M 与平面A 1D 1M 所成角的正弦值是( )

A.

21

5

B.25

C.35

D.45

答案 B

解析 建立如图所示的空间直角坐标系，

则A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， M ⎝

⎛⎭⎫0，1，1

2，B 1(1,1,1)， A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1M —→＝⎝⎛⎭⎫0，1，－12，MB 1→

＝⎝⎛⎭⎫1，0，12， 设平面A 1D 1M 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D 1—→·

m ＝0，D 1M —→·m ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧

－x ＝0，y －12z ＝0，

令y ＝1可得z ＝2，所以m ＝(0,1,2)， 设直线B 1M 与平面A 1D 1M 所成角为θ， sin θ＝|m ·MB 1→||m |·|MB 1→|＝15×

52

＝2

5.

4．在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，∠PBC ＝45°，则点C 到平面P AB 的距离是( )

A.463

B.263

C.433

D.423

答案 A

解析 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (0,4,0)，P (0,4,42)， ∴AP →＝(0,4,42)，AB →＝(4,0,0)，PC →

＝(0,0，－42)． 设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

m ·AP →＝0，m ·

AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

4y ＋42z ＝0，4x ＝0，

令y ＝2，则z ＝－1，

∴m ＝(0，2，－1)，∴点C 到平面P AB 的距离为|PC →

·m ||m |＝46

3.

方法二 ∵PC ⊥底面ABC ，

∴PC ⊥AB ，又AB ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ，PC ，AC ⊂平面P AC ， ∴AB ⊥平面P AC ， ∴AB ⊥P A ， ∵AC ＝AB ＝4， ∴BC ＝42， ∴PC ＝42，PB ＝8， 在Rt △P AB 中，P A ＝

82－42＝43，

令点C 到平面P AB 的距离为d ， ∵V P －ABC ＝V C －P AB ，

∴13×12×4×4×42＝13×1

2

×4×43×d ，

∴d ＝463

.

5.如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1

3

AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为( )

A.33535

B.277

C.33

D.24

答案 A

解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，

则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)，

所以DC 1→＝(0,3,1)，D 1E —→＝(1,1，－1)，D 1C —→

＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·D 1E —→＝0，n ·

D 1C —→＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2y ，z ＝3y ，

取y ＝1，得n ＝(2,1,3)．

因为cos 〈DC 1→

，n 〉＝DC 1→·n |DC 1→|·|n |＝(0，3，1)·(2，1，3)10×14＝33535，

所以DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335

35

.

6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( )

A.12

B.23

C.33

D.22 答案 B

解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

设棱长为1，

则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，1

2， D (0,1,0)，

∴A 1D —→＝(0,1，－1)，A 1E —→

＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12. 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D —→·n 1＝0，A 1E —→·

n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

y －z ＝0，1－12z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝2，

z ＝2，

∴n 1＝(1,2,2)；

∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23

，

即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2

3

.

7．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________． 答案

4917

17

解析 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－32

z ，y ＝－z .

令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)． 又∵AD →

＝(－7，－7,7)，

∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|AD →·n |

|n |

＝

|3×(－7)＋2×(－7)－2×7|

32＋22＋(－2)2

＝

4917

＝491717.

8.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ＝PD ＝5，平面ABCD ⊥平面P AD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是___________．

答案

885

85

解析 以O 为原点，OA 为x 轴，过O 作AB 的平行线为y 轴，OP 为z 轴，

建立空间直角坐标系，则B (1,2,0)，P (0,0,2)，C (－1,2,0)， M ⎝⎛⎭

⎫－1

2，1，1，O (0,0,0)， OP →＝(0,0,2)，OC →＝(－1,2,0)，BM →

＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1， 设平面PCO 的法向量m ＝(x ，y ，z )， ⎩⎪⎨

⎪⎧

m ·

OP →＝2z ＝0，m ·

OC →＝－x ＋2y ＝0，可得m ＝(2,1,0)， 设直线BM 与平面PCO 所成角为θ，

则sin θ＝|cos 〈m ，BM →

〉|＝|m ·BM →||m ||BM →|＝

45×

17

4

＝

885

85

. 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 是DD 1的中点．

(1)求证：CF ∥平面A 1DE ；

(2)求平面A 1DE 与平面A 1DA 夹角的余弦值．

(1)证明 分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，

则 A 1(2,0,2)，E (1,2,0)，D (0,0,0)， C (0,2,0)，F (0,0,1)，

则DA 1→＝(2,0,2)，DE →＝(1,2,0)，CF →

＝(0，－2,1)， 设平面A 1DE 的法向量n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·DA 1→＝2a ＋2c ＝0，n ·DE →＝a ＋2b ＝0，

取n ＝(－2,1,2)，

∴CF →·n ＝(0，－2,1)·(－2,1,2)＝0， 又CF ⊄平面A 1DE ， ∴CF ∥平面A 1DE .

(2)解 DC →

＝(0,2,0)是平面A 1DA 的法向量， ∴cos 〈n ，DC →

〉＝

(－2，1，2)·(0，2，0)(－2)2＋12＋22·0＋22＋0

＝1

3

， 即平面A 1DE 与平面A 1DA 夹角的余弦值为1

3

.

10.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1

2

AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．

(1)求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值． 解 (1)∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ， 平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ， ∴DB ⊥平面ABC . ∵BD ∥AE ， ∴EA ⊥平面ABC .

如图所示，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．

∵AC ＝BC ＝4，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，E (4,0,4)， ∴AB →＝(－4,4,0)，CE →

＝(4,0,4)． ∴cos 〈AB →，CE →

〉＝－1642×42＝－12，

∴异面直线AB 与CE 所成角的大小为π

3.

(2)由(1)知O (2,0,2)，D (0,4,2)，M (2,2,0)， ∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →

＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则由⎩⎪⎨⎪⎧

n ⊥OD →，n ⊥MD →，

可得⎩⎪⎨⎪⎧

－2x ＋4y ＝0，

－2x ＋2y ＋2z ＝0，

令x ＝2，则y ＝1，z ＝1， ∴n ＝(2,1,1)．

设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，CD →

〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CD →|n ||CD →

|＝3010， ∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为

3010

.

11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线B 1C 与EF 所成角最小时，其余弦值为( )

A ．0 B.12 C.105

D.1116

答案 C

解析 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为线段AB 的中点，设正方体棱长为2， 则D (0,0,0)，E (2,1,0)，B 1(2,2,2)，C (0,2,0)，B 1C —→

＝(－2,0，－2)，

设F (m,0,0)(0≤m ≤2)，EF →

＝(m －2，－1,0)， 设异面直线B 1C 与EF 的夹角为θ，

则cos θ＝|EF →·B 1C —→|

|EF →|·|B 1C —→|＝|－2×(m －2)|22·(m －2)2＋1＝

12·

1

(m －2)2

＋1

，异面直线B 1C 与EF 所成角最

小时，则cos θ最大，即m ＝0时，cos θ＝

1

2·14

＋1

＝210

＝105.

12.如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为________．

答案 35

解析 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B 1(0，3，2)，F (1,0,1)， E ⎝⎛⎭

⎫12，3

2，0，G (0,0,2)， B 1F —→＝(1，－3，－1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1，GF →

＝(1,0，－1)．

设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

EF →·

n ＝0，GF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，

取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，

故n ＝(1，3，1)为平面GEF 的一个法向量，

所以|cos 〈n ，B 1F —→

〉|＝|1－3－1|5×5＝35，

所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为3

5

.

13.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为1

3

，则正四棱柱的高为________．

答案 4

解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD 1＝a ，

则A (2,0,0)，C (0,2,0)， D 1(0,0，a )，

故AC →＝(－2,2,0)，AD 1→＝(－2,0，a )，CC 1→

＝(0,0，a )， 设平面ACD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·AC →＝－2x ＋2y ＝0，n ·AD →1＝－2x ＋az ＝0，

可取n ＝⎝

⎛⎭⎫1，1，2

a ， 故cos 〈n ，CC 1→

〉＝n ·CC →

1|n ||CC 1→|＝2a ·4a

2＋2

＝

22a 2＋4

，

又直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为1

3

，

数学第一章空间向量与立体几何1-1第1课时空间向量及其线性运算练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第1课时 空间向量及其线性运算 学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律． 知识点一 空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB → ，其模记为|a |或|AB → |. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 思考 空间中的两个向量是不是共面向量？ 答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a ＋ b ＝OA →＋ AB → ＝OB → 减法 a － b ＝OA → －OC →＝CA → 数乘 当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ → ； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；

当λ＝0时，λa ＝0 运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ； 分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0. 1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ ) 3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC → 是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ ) 一、向量概念的应用 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等 C ．若向量AB →，C D →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD → D ．相等向量其方向必相同 答案 D 解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反 B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | C ．空间向量的加法满足结合律 D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC 解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝

第一章空间向量与立体几何-章节综合训练

章节综合训练 [文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址]

单元质量评估 （120分钟 150分） 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a=(1,,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是( ) A.-1 B. C.1 D.- 2.若a,b,c是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系中,不成立的是( ) A.a+b=b+a B.λ(a+b)=λa+λb C.(a+b)+c=a+(b+c) D.b=λa 3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则++等于( ) A. B. C. D. 4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( ) A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5.已知平面α的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面β的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面α与平面β( ) A.平行 B.垂直

C.相交但不垂直 D.不确定 6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为( ) A.,-1,- B.,1, C.-,1,- D.,1,- 7.(2013·吉安高二检测)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( ) A.1或-3 B.-1或3 C.-3 D.1 8.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则△ABC的面积是( ) A. B. C. D. 9.下列命题正确的是( ) A.若=+,则P,A,B三点共线 B.若{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,b+c,a+c}构成空间的另一个基底 C.(a·b)·c=|a|·|b|·|c| D.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0 10.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G为BC的中点,K 为△ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时KG的长是 ( )

2021年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何章末综合测评含解析人教A版选择性必修一

章末综合测评(一) 空间向量与立体几何 (满分：150分 时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9 D ．86 D [由条件知AB →＝(5，－5,6)，∴|AB → |＝ 25＋25＋36＝86.故选D.] 2．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3,5,2)，CD → ＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF → 的坐标为( ) A ．(2,3,3) B ．(－2，－3，－3) C ．(5，－2,1) D ．(－5,2，－1) B [取A C 中点M ，连接ME ，MF (图略)， 则ME →＝12AB →＝? ????－32，52，1，MF →＝12CD →＝? ???? －72，－12，－2， 所以EF →＝MF →－ME → ＝(－2，－3，－3)，故选B.] 3．A ，B ，C 不共线，对空间内任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面 B ．共面 C ．不一定共面 D ．无法判断是否共面 B [由于34＋18＋1 8＝1，∴P 、A 、B 、C 四点共面．故选B.] 4．已知平面α的一个法向量为n ＝(1，－1,0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为( ) A ．π6 B ．π4

C ．π3 D ．π2 B [y 轴的一个方向向量s ＝(0,1,0)，cos 〈n ，s 〉＝n ·s |n |·|s |＝－ 2 2，即y 轴与平面α所成角的正弦值是22，故其所成的角的大小是π 4.故选B.] 5.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( ) A ．1010 B ．3010 C ．21510 D ．31010 B [建立坐标系如图所示． 则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，BC 1→＝(－1,0,2)，AE → ＝(－1,2,1)． cos 〈BC 1→，AE → 〉＝AE →·BC 1→|AE →|·|BC 1→| ＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为30 10.故选B.] 6．空间直角坐标系中A (1,2,3)，B (－1,0,5)，C (3,0,4)，D (4,1,3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直

高考数学第一章空间向量与立体几何4-1第1课时空间中点直线和平面的向量表示练习含解析新人教A版选择性

第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量． 知识点一 空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP → 来表示．我们把向量OP → 称为点P 的位置向量． 知识点二 空间中直线的向量表示式 直线l 的方向向量为a ，且过点A .如图，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 OP →＝OA → ＋t a ，① 把AB → ＝a 代入①式得 OP →＝OA →＋tAB → ，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 思考 直线的方向向量是不是唯一的？ 答案 直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 知识点三 空间中平面的向量表示式 1．平面ABC 的向量表示式 空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC → .③ 我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式． 2．平面的法向量 如图，若直线 l ⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以 a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P |a ·AP → ＝0}．

思考 平面的法向量是不是唯一的？ 答案 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取． 1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( √ ) 2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( × ) 3．直线的方向向量是唯一的．( × ) 一、直线的方向向量 例1 (1)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A (0，y ，3)和B (－1,2， z )两点，则y －z 等于( ) A ．0 B ．1 C.3 2 D ．3 答案 A 解析 ∵A (0，y ，3)和B (－1,2，z )，AB → ＝(－1,2－y ，z －3), ∵直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－1,3) ，故设AB → ＝k m . ∴－1＝2k ,2－y ＝－k ，z －3＝3k . 解得 k ＝－12，y ＝z ＝3 2. ∴y －z ＝0. (2) 在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线 BC 1 的一个方向向量为________． 答案 (不唯一)(0,0,1) (0,1,1) 解析 ∵DD 1∥AA 1，AA 1—→ ＝(0,0,1)，直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)； BC 1∥AD 1，AD 1→ ＝(0，1,1), 故直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．

选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何(Word含答案解析)

人教A 版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与 立体几何 一、单选题 1．已知平面α内的两个向量()()1,1,1,0,2,1a b ==-，且()4,4,1c ma nb =++-．若c 为平面α的法向量，则,m n 的值分别为（ ） A ．1,2- B ．1,2- C ．1，2 D ．1,2-- 2．已知a ､b ､c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a ，a b -，2a b + B ．2b ，2b a -，2b a + C ．a ，2b ，b c - D ．c ，a c +，a c - 3．已知圆221:2440C x y x y ++++=，圆222:4210C x y x y +-++=，M ，N 分别为圆1C 和圆2C 上的动点，P 为直线:2l y x =+上的动点，则MP NP +的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C 3 D 3 4．已知()121 a =-,,，()121a b -=--,,，则b =（ ） A ．()2,0,2-- B ．()2,4,2-- C ．()242-,, D ．()2,1,3- 5．正三棱锥P ABC -的侧面都是直角三角形，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则PB 与平面PEF 所成角的正弦为（ ） A B C D 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）

A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1A B ．线段1CA 的中点 C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点C D ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C 7．已知()1,5,2a =-，(),2,1b m m =+，若a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．6- B ．8- C ．6 D ．8 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线 OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）． A ．⎣⎦ B ．11,32⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ C ．⎣⎦ D ．11,43⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CC 的中点，则1A E =（ ） A ．11 2 AB AD AA ++ B ．11 2 AB AD AA +- C ．11 2AB AD AA - + D ．11 2 AB AD AA + - 10．已知空间四点()4,1,3A ，()2,3,1B ，()3,7,5C -，(),1,3D x -共面，则x 的值为（ ） A ．4 B ．1 C ．10 D ．11 11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，AB b =，AD c =，点P 在

新教材高中数学第一章空间向量与立体几何4-1空间中直线平面的平行练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第2课时 空间中直线、平面的平行 学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 知识点一 线线平行的向量表示 设u 1,u 2分别是直线l 1,l 2的方向向量,则 l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ,使得u 1＝λu 2. 知识点二 线面平行的向量表示 设u 是直线 l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l ⊄α,则 l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0. 知识点三 面面平行的向量表示 设n 1 ,n 2 分别是平面α,β的法向量,则 α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ,使得n 1＝λn 2 . 思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？ 答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路 (1)转化为线线关系,然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定． 1．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0),平面α的法向量为n ＝(2,1,－1),则( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l ∥α或l ⊂α 答案 D 2．若平面α∥β,且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12,则平面β的法向量可以是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，14 B ．(2,－1,0) C ．(1,2,0) D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，1，2 答案 A 3．若两个不同平面α,β的法向量分别为u ＝(1,2,－1),v ＝(－4,－8,4),则平面α,β的位置是________． 答案 α∥β

解析 ∵u ＝－1 4 v ,∴α∥β. 一、证明线线平行 例1 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝3,AD ＝4,AA 1＝2,点M 在棱BB 1上,且BM ＝2MB 1,点S 在 DD 1上,且SD 1＝2SD ,点N ,R 分别为A 1D 1,BC 的中点．求证：MN ∥RS . 证明 方法一 如图所示,建立空间直角坐标系, 根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43,N (0,2,2),R (3,2,0),S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23. 则MN →,RS → 分别为MN ,RS 的方向向量, 所以MN →＝⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－3，2，23,RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23, 所以MN →＝RS →,所以MN →∥RS → ,因为M ∉RS , 所以MN ∥RS . 方法二 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→ ＝c , 则MN →＝MB 1—→＋B 1A 1—→＋A 1N —→＝1 3c －a ＋12b , RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝1 2b －a ＋13c . 所以MN →＝RS →,所以MN →∥RS → . 又R ∉MN ,所以MN ∥RS . 反思感悟 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形． 证明 以点D 为坐标原点,分别以DA →,DC →,DD 1—→ 为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体

2022-2023学年人教版高二数学复习精练第一章 空间向量与立体几何-综合检测(培优版)(解析版)

第一章 空间向量与立体几何 本卷满分150分，考试时间120分钟。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四个结论正确的是 （ ） A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若空间中点O ，A ，B ， C 满足12 33 OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线 C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()() a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若2 5 x <，则,a b 为钝角 【答案】B 【解析】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足12 33 OC OA OB =+， 即 ()() 12 33 OC OA OB OC -=-， 所以12 33 AC CB =，化简得：2AC CB =， 则A ，B ，C 三点共线，B 正确； 设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。则不满足()() a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，C 错误； ()()1,1,,2,,4a x b x ==-，则()()1,1,2,,42452a b x x x x x ⋅=⋅-=-++=-， 令520x -<得：25x < ，当 1124 x x ==-时，2x =-，此时,a b 反向， 要想,a b 为钝角，则2 5 x <且2x ≠-，故D 错误. 故选：B 2．直角梯形ABCD 中，,4,2,,AB DC AB CD AD BC AB E ===⊥∥是边AB 的中点，将三角形ADE 沿DE 折叠到1A DE 位置，使得二面角1A DE B --的大小为120，则异面直线1A D 与CE 所成角的余弦值为（ ） A ．14 B C D ．34【答案】D 建如图所示空间直角坐标系，得) 1 1,0A -，()()()0,0,2,0,0,0,0,2,2D E C ，所以

高中数学第一章空间向量与立体几何 空间直角坐标系课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

第一章 1.3 1.3.1 A级——基础过关练 1．已知点A(－3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( ) A．(－3,－1,－4) B．(－3,－1,4) C．(3,1,4) D．(3,－1,－4) 【答案】A 【解析】关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以A(－3,1,4)关于x轴的对称点坐标为(－3,－1,－4)． 2．在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q 的坐标为( ) A．(0,2,0) B．(0,2,3) C．(1,0,3) D．(1,2,0) 【答案】B 【解析】由于垂足Q在Oyz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQ⊥Oyz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1,2,3),所以y＝2,z＝3,可得Q(0,2,3)． 3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知点B1(1,0,3),D(0,2,0),则点C1的坐标为( ) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,3,1) D．(3,2,1) 【答案】A 【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1,2,3)． 4．在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A的坐标是( )

A ．(－1,－1,－1) B ．(1,－1,1) C ．(1,－1,－1) D ．(－1,1,－1) 【答案】C 【解析】依据空间点的坐标定义可知,点A 的坐标是(1,－1,－1)． 5．如图,在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,棱长为2,E 是B 1B 上的点,且|EB |＝2|EB 1|,则点E 的坐标为( ) A ．(2,2,1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43 【答案】D 【解析】因为EB ⊥Oxy 平面,而B (2,2,0),故设E (2,2,z )．又因为|EB |＝2|EB 1|,所以|BE |＝23|BB 1|＝43,故点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43． 6．(2021年绵阳月考)在空间直角坐标系中,已知点A (－1,1,3),则点A 关于xOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．(1,1,－3) B ．(－1,－1,－3) C ．(－1,1,－3) D ．(－1,－1,3) 【答案】D 【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A (－1,1,3)关于xOz 平面的对称点的坐标为(－1,－1,3)．故选D ． 7．(多选)如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝5,AD ＝4,AA 1＝3,以直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则( )

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测 含解析

第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测 一、1.1.1空间向量及其线性运算 ................................................................................. - 1 - 二、1.1.2空间向量的数量积运算 ................................................................................. - 7 - 三、1.2空间向量基本定理 .......................................................................................... - 15 - 四、1.3.1空间直角坐标系........................................................................................... - 21 - 五、1.3.2空间运算的坐标表示 ................................................................................... - 27 - 六、1.4.1第1课时空间向量与平行关系 ................................................................... - 33 - 七、1.4.1第2课时空间向量与垂直关系 ................................................................... - 41 - 八、1.4.2用空量研究距离夹角问题 ........................................................................... - 50 - 第一章章末测验............................................................................................................ - 63 - 一、1.1.1空间向量及其线性运算 一、选择题 1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB → 等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.] 2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC → ，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 A [∵AO →＋O B →＝DO →＋O C →，∴AB →＝DC → . ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．] 3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝OA →＋O B →＋O C → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →

1.4 空间向量的应用(教案)-2022-2023学年高二数学教材配套教案(人教A版2019选择性必

1.4 空间向量的应用（教案）-2022-2023学年高二数学教 材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册） 【教学目标】 1.理解空间向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则； 2.掌握使用坐标法求解空间向量的相关问题； 3.能够应用空间向量解决立体几何中的实际问题。 【教学内容分析和设计】 一、概念和性质 1.向量的基本概念及向量的相等和共线 2.向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则； 3.向量的模长、单位向量、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关概念。 二、坐标法 1.空间直角坐标系及三维空间中向量的坐标表示； 2.向量的加、减、数乘及点积的坐标表示； 3.坐标法求解向量的模长、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关问题。 三、应用实例 1.以向量为工具，解决平面或空间几何中的相关问题； 2.以向量为工具，解决机器人运动的问题； 3.以向量为工具，理解矢量力在立体图形中的应用。

【课时安排】 本次教学安排5课时。 【教学步骤设计】 一、由图至式，引入空间向量的定义及基本概念。 1.结合实际，引导学生发现向量的概念，并介绍向量的基本性质； 2.引导学生掌握向量的相等、共线的判定方法。 二、向量的表示及运算法则 3.引导学生理解向量的加、减、数乘及点积，并讲解相应的运算法则； 4.以包括网格点的三维空间相互平移, 介绍向量的模长、单位向量、方向余弦及夹角等相关概念； 5.练习向量的加、减、数乘及点积的计算。 三、空间向量的坐标表示 6.介绍空间直角坐标系，并讲解向量的坐标表示及相应的运算法则； 7.练习空间向量的坐标表示及计算。 四、应用实例 8.引导学生理解向量的应用，解决平面或空间几何中的相关问题； 9.引导学生掌握向量在机器人运动中的应用； 10.以矢量力为例，引导学生理解其在立体图形中的应用。 五、课后作业

2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 第一章 第1课时 空间向量及其线性运算 作业

第1课时 平面向量的概念 1．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC → ，则下列向量相等的是( D ) A.AD →与CB → B.OA →与OC → C.AC →与DB → D.DO →与OB → 解析：因为AB →＝DC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．由平行四边形的性质知，DO →＝OB → .故选D. 2.已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD → ＝( A ) A.AD → B.BD → C.AC → D ．0 3.(多选)下列命题中为假命题的是( BCD ) A.向量AB →与BA → 的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 解析：对于B ，其终点构成一个球面；对于C ，零向量不能用有向线段表示；对于D ，向量a 与向量b 不相等，它们的模可能相等．故选BCD. 4.下列关于空间向量的说法中正确的是（ D ） A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行 B ．若||||a b ，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反

C ．若向量AB ，C D 满足 AB CD >，则AB CD > D ．相等向量其方向必相同 解析：A 中，对于非零向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行或重合； B 中，||||a b =只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定； C 中，向量作为矢量不能比较大小； D 中，由相等向量的定义知方向必相同.故选D. 5．如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC → ＝c ，用向量a ，b ，c 表示AG → . 解析：在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE → ＝ AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB →＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14 c . 6．如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 是BC 的中点，则MN → 等于( B ) A.12a －23b ＋12c B.－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12 c 解析：因为OM ＝2MA ，

2020版高考数学复习第七单元第40讲空间几何中的向量方法(第1课时)空间向量的应用一练习理新人教A版

第1课空间向量的应用一 1.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是() A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 2.若平面α的一个法向量为(1,2,0),平面β的一个法向量为(2,-1,0),则平面α和平面β的位置关系是() A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 3.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量是n=(6,-3,6),则下列点P在平面α内的是 () A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 4.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是. 5.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x+y= . 6.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k).若α∥β,则k 等于() A.2 B.-4 C.4 D.-2 7.如图K40-1,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,点M在EF上,且AM ∥平面BDE.以C为原点,CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点M的坐标为() 图K40-1 A.(1,1,1) B.,,1 C.,,1 D.,,1 8.如图K40-2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC上的点,且A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是() 图K40-2 A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 9.如图K40-3,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点,E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有 ()

高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.1.1空间向量与平行关系含解析第一册

课时分层作业(六） （建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是() A．a＝(1，0,0)，n＝（－2,0,0) B．a＝（1,3,5)，n＝（1，0，1） C．a＝（0,2,1),n＝(－1,0，－1） D．a＝（1,－1,3），n＝（0，3，1） D［若l∥α,则a·n＝0.而A中a·n＝－2， B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D。] 2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5），n ＝(－6，－2,10),则（) A．α⊥βB．α∥β C．α与β相交但不垂直D．以上都不对 B[因为m＝(3,1，－5)，n＝（－6，－2，10),所以有n＝－2m，即m与n共线（平行），可知平面α和平面β相互平行．答案选B。]

3．平面α的法向量u＝（x，1，－2）,平面β的法向量v＝错误!，已知α∥β,则x＋y＝(） A．错误!B．错误!C．3 D．错误! A[由题意知,∵α∥β，∴u＝λv,即错误!解得λ＝－4，y＝－错误!，x＝4，∴x＋y＝4－错误!＝错误!.] 4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2）,α的一个法向量为n＝(3，1,2）,则下列点P中，在平面α内的是（）A．(1，－1，1）B．错误! C．错误!D．错误! B［对于B，错误!＝错误!， 则n·错误!＝(3,1，2）·错误!＝0， ∴n⊥AP→，则点P错误!在平面α内．] 5.如图,在正方体ABCD.A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点,则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(） A．(1，－2,4）

高中数学第一章空间向量与立体几何 空间向量运算的坐标表示课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

第一章 1.3 1.3.2 A 级——基础过关练 1．若a ＝(2,－3,1),b ＝(2,0,3),c ＝(0,2,2),则a ·(b ＋c )的值为( ) A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 【答案】D 【解析】因为b ＋c ＝(2,2,5),所以a ·(b ＋c )＝4－6＋5＝3． 2．已知A (4,1,3),B (2,－5,1),C 为线段AB 上一点,且AB →＝3AC → ,则点C 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫7 2，－12，52 B ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫83，－3，2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫10 3，－1，73 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5 2 ，－72，32 【答案】C 【解析】设C (x ,y ,z ),则AB →＝(－2,－6,－2),AC →＝(x －4,y －1,z －3)．由AB →＝3AC → ,得(－2,－6,－2)＝3(x －4,y －1,z －3),即有⎩⎪⎨⎪⎧－2＝3x －12，－6＝3y －3，－2＝3z －9， 解得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫10 3 ，－1，73． 3．已知A (2,－4,－1),B (－1,5,1),C (3,－4,1),若a ＝CA →,b ＝CB → ,则a ＋b 对应的点为( ) A ．(5,－9,2) B ．(－5,9,－2) C ．(5,9,－2) D ．(5,－9,－2) 【答案】B 【解析】a ＝CA →＝(－1,0,－2),b ＝CB → ＝(－4,9,0),所以a ＋b ＝(－5,9,－2)．所以a ＋b 对应的点为(－5,9,－2)． 4．已知a ＝(1,0,1),b ＝(－2,－1,1),c ＝(3,1,0),则|a －b ＋2c |等于( ) A ．310 B ．210 C ．10 D ．5 【答案】A

高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课

第一章 第2课时 A 级——基础过关练 1．若直线l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4 【答案】C 【解析】因为l ⊥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量是共线向量，所以21＝ 1 12＝m 2 ，解得m ＝4． 2．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 【答案】C 【解析】因为n 1·n 2＝(2，－3，5)·(－3，1，－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，所以n 1与n 2不垂直，显然n 1与n 2不平行，所以α，β相交但不垂直． 3．已知点A (0，0，0)，B (－1，0，－1)，C (1，2，1)，P (x ，y ，1)，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A ．(1，0，－1) B ．(－1，0，1) C ．(1，－1，1) D ．(－1，0，0) 【答案】B 【解析】由已知得PA →＝(－x ，－y ，－1)，AB →＝(－1，0，－1)，AC → ＝(1，2，1)．若PA ⊥平面ABC ，则⎩⎪⎨⎪⎧PA →·AB →＝0， PA →·AC →＝0， 即⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0， －x －2y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝0．故点P 的坐标为(－1，0，1)．故选B ． 4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD → ＝(4，2，

第一章 空间向量与立体几何 综合复习卷-2021-2022学年高二上学期数学人教A版2019选修一

第一章空间向量与立体几何 一．单选题 1．已知向量(1a =，1，1)，(1,2,2)b =-，且ka 与a b +互相垂直，则k 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．2- D ．1 2．下列结论错误的是( ) A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C ．若,a b 是两个不共线的向量，且(c a b λμλ=+、R μ∈且λ、0)μ≠，则{} ,,a b c 构成空间的一个基底 D ．若OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则O 、A 、B 、C 四点共面 3．在空间直角坐标系O xyz -中，经过点0(P x ，0y ，0)z ，且法向量为(,,)m A B C =的平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=，经过点0(P x ，0y ，0)z 且一个方向向量为(,,)(0)n v μωμνω=≠的直线l 方程为 00 x x y y z z v μ ω ---= = ．已知：在空间直角坐标系O xyz -中，平面α的方程为230x y z ++=，经过(0P ，0，0)的直线l 方程为 23 x y z ==，则直线l 与平面α所成角的正弦值为( ) A ． 57 B C D ． 1114 4．已知向量m ，n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos m <，32 n >=-，则l 与α所成的角为( ) A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，12AA =，若点P 在线段BD 上，则二面角1P BC C --的余弦值为( ) A B ． C D ． 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1BB 的中点，则平面11A ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A ． 12 B C D 7．如图，在正方形网格中，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，点O 为平面ABC 外任意一点，则下列向量能表示向量OP 的为（）

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]

空间向量在立体几何中的应用: （1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． （2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系: 设直线l ,m 的方向向量分别是a ，b ,平面α ，β 的法向量分别是u ,v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ; ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ,k ∈R ; ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ,b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ,显然],2 π,0(∈θ则 ⋅= ><⋅| |||| ||,cos |212121v v v v v v ②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． 设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ,显然 ]2 π,0[∈θ，则⋅= ><⋅| |||| ||,cos |v u v u v u ③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角． 利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一： 如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β