【步步高】-高中数学 第3章 习题课空间向量的应用同步训练 苏教版选修2-1

习题课 空间向量的应用

一、基础过关 1．

如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊1

2

AD ，

BE 綊1

2FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．

(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 2．

如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． (1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 3．

如图所示，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π

4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M

为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小． 二、能力提升 4．如图所示，

在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1. (1)证明：PC ⊥AD ；

(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；

(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长． 5．

等边△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使平面ADE ⊥平面BCDE (如图所示)． (1)求证：平面ABC ⊥平面ABE ；

(2)求直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值． 三、探究与拓展 6．

如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD ；

(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，

试说明理由．

答案

1． (1)证明 由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直．

以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正方向，以射线AD 为y 轴正方向，以射线AF 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，

则由题设得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )．

所以GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →

.又点G 不在直线BC 上， 所以四边形BCHG 是平行四边形．

(2)解 C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：

由题设知，F (0,0,2c )，

所以EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →

.又C ∉EF ，H ∈FD ， 故C 、D 、F 、E 四点共面．

(3)证明 由AB ＝BE ，得c ＝a ，

所以CH →＝(－a,0，a )，AE →

＝(a,0，a )． 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →

＝0， CH →·AD →

＝0，即CH ⊥AE ，CH ⊥AD . 又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE . 由CH ⊂平面CDE ， 得平面ADE ⊥平面CDE . 2． (1)证明 ∵PA ⊥底面ABCD ，

∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面PAD .∴AB ⊥PD . 又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE . 故BE ⊥PD . (2)

解 如图所示，以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为(a ，a,0)、(0,2a,0)．

∵PA ⊥底面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝30°. 于是，在Rt△AED 中，由AD ＝2a ， 得AE ＝a .

过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，

在Rt△AFE 中，由AE ＝a ，∠EAF ＝60°，

得AF ＝12a ，EF ＝3

2a .

∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1

2

a ，32a .

于是AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1

2a ，32a ，CD →＝(－a ，a,0)．

设异面直线AE 与CD 所成角为θ，

则cos θ＝|AE →·CD →||AE →||CD →|＝12a 2a ·2a ＝2

4.

∴AE 与CD 所成角的余弦值为24

. 3． (1)证明

作AP ⊥CD 于点P ，连结OP .

如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．

A (0,0,0)，

B (1,0,0)，P ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，22，0，

D ⎝

⎛⎭⎪⎫－

22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－24，24，0. MN →＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－24，24，－1，

OP →

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，

22，－2， OD →＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫－22，22，－2.

设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则n ·OP →＝0，n ·OD →

＝0. 即⎩⎪⎨

⎪⎧

22y －2z ＝0，－22x ＋2

2

y －2z ＝0.

取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．

∵MN →

·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，

又MN ⊄平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .

(2)解 设AB 与MD 所成角为θ. ∵AB →

＝(1,0,0)，

MD →＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫－22，22，－1，

∴cos θ＝|AB →·MD →||AB →|·|MD →|

＝12，∴θ＝π

3.

∴AB 与MD 所成角的大小为π

3.

4． (1)证明

如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得

A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，

B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，12，0，P (0,0,2)．

易得PC →＝(0,1，－2)，AD →

＝(2,0,0)，

于是PC →·AD →

＝0，所以PC ⊥AD .

(2)解 PC →

＝(0,1，－2)， CD →

＝(2，－1,0)．

设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·PC →＝0，

n ·CD →＝0，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

y －2z ＝0，

2x －y ＝0.

不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)． 可取平面PAC 的法向量m ＝(1,0,0)．

于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝6

6，

从而sin 〈m ，n 〉＝

30

6

. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为

306

. (3)解 设点E 的坐标为(0,0，h )， 其中h ∈[0,2]．

由此得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2

，－12，h .

由CD →

＝(2，－1,0)，故

cos 〈BE →，CD →

〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|

＝3212＋h 2

×5＝3

10＋20h 2

， 所以

310＋20h

2

＝cos 30°＝3

2

， 解得h ＝

1010，即AE ＝1010

. 5． (1)证明 取DE 的中点O ，取BC 的中点G ，连结AO ，OG ，

则AO ⊥DE ，OG ⊥DE .

∵平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ， ∴AO ⊥平面BCDE ，∴AO ⊥OG . 建立如图所示的空间直角坐标系， 设BC ＝4，则DE ＝2，AO ＝OG ＝ 3.

所以A (0,0，3)，D (1,0,0)，E (－1,0,0)，B (－2，3，0)，C (2，3，0)． 设平面ABE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵EA →＝(1,0，3)，EB →

＝(－1，3，0)， 由⎩⎪⎨

⎪⎧ m ⊥EA →，

m ⊥EB

→，得⎩⎨

⎧

x 1＋3z 1＝0，

－x 1＋3y 1＝0.

令y 1＝1，得m ＝(3，1，－1)， 设平面ABC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， ∵BC →＝(4,0,0)，AC →

＝(2，3，－3)， 由⎩⎪⎨

⎪⎧

n ⊥BC →，

n ⊥AC

→ 得⎩⎨

⎧

x 2＝0，

2x 2＋3y 2－3z 2＝0.

令y 2＝1，得n ＝(0,1,1)，

∵m·n ＝(3，1，－1)·(0,1,1)＝0， ∴平面ABC ⊥平面ABE .

(2)解 由(1)得cos 〈AC →

，m 〉＝AC →·m |AC →||m |

＝23＋3＋3

4＋3＋3·3＋1＋1

＝26

5.

∴直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值为26

5

.

6． (1)证明 连结BD ，设AC 交BD 于点O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ，以O 点

为坐标原点，OB →、OC →、OS →

的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O —xyz 如图所示．

设底面边长为a ，则高SO ＝62

a . 于是S (0,0，

62a )，D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－22a ，0，0， C ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，

22a ，0，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫22a ，0，0， OC →

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，

22a ，0， SD →＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫－22

a ，0，－62a ，

∴OC →·SD →

＝0.故OC ⊥SD ， 因此AC ⊥SD .

(2)解 由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量OS →

＝

⎝

⎛

⎭⎪⎫0，0，62a ，

设所求二面角为θ，

则cos θ＝OS →·DS →|OS →||DS →|

＝3

2，

故所求二面角P —AC —D 的大小为30°. (3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .

由(2)知DS →

是平面PAC 的一个法向量，

且DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2

2a ，0，62a ，

CS →

＝⎝

⎛

⎭⎪⎫0，－

22a ，62a ， BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0，设CE →＝tCS →

，

则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →

＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫－22

a ，22a 1－t ，62at .

由BE →·DS →

＝0，得t ＝13

，

即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →

. 而BE 不在平面PAC 内， 故BE ∥平面PAC .

高中数学选修2-1同步练习题库：空间向量及其运算(填空题：一般)

空间向量及其运算（填空题：一般） 1、在空间直角坐标系中，设，，且，则. 2、如图，平行六面体中，，则 的长为__________ > 3、已知，平面与平面的法向量分别为，，且，，则 __________. 4、如图，已知边长为1的正的顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面内的投影，设，直线与平面所成的角为.若是以角为直角的直角三角形，则的最小值__________. … 5、若向量，满足条件，则 __________．

6、已知向量，且与互相垂直，则_____. { 7、设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则(x，y，z)为__________ 8、设是三棱锥的底面重心，用空间的一组基向量表示向量 ________________________ 9、已知向量，满足，，，__________． ; 10、已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题： ①；②；③ ④函数在上是增函数，在上是减函数. 其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号） 11、如图：长方体ABCD—A B C D中，AB=3，AD=AA=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC的中点，P 为C D上动点，当EF⊥CP时，PC=_________．

, 12、已知M1（2，5，-3），M2（3，-2，-5），设在线段M1M2的一点M满足=，则向量 的坐标为_________。 13、在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为__________． : 14、已知三点，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标是________________． 15、已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是 _____________. 16、在平行六面体中，若，则__________ ) 17、如图，在正方体中，用，，作为基向量，则__________.

【步步高】-高中数学 第3章 习题课空间向量的应用同步训练 苏教版选修2-1

习题课 空间向量的应用 一、基础过关 1． 如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊1 2 AD ， BE 綊1 2FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 2． 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． (1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 3． 如图所示，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π 4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小． 二、能力提升 4．如图所示， 在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1. (1)证明：PC ⊥AD ； (2)求二面角A －PC －D 的正弦值； (3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长． 5． 等边△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使平面ADE ⊥平面BCDE (如图所示)． (1)求证：平面ABC ⊥平面ABE ； (2)求直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值． 三、探究与拓展 6． 如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD ； (2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在， 试说明理由．

苏教版数学选修2-1：3.2 空间向量的应用3.2.2

1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则l 与α的位置关系为________． 解析：∵u ＝(－2，0，－4)＝－2×(1，0，2)＝－2a ， ∴u ∥a ，∴l ⊥α. 答案：l ⊥α 2.平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是__________． 解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1，2，0)·(2，－1，0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直． 答案：垂直 3.设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于__________． 解析：由题意知，向量(1，－2，2)与向量(2，λ，4)共线， ∴21＝λ－2＝42，∴λ＝－4. 答案：－4 [A 级 基础达标] 1.已知直线l 的方向向量为u ＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2，1，－4)，则l 与α的位置关系为__________． 解析：∵u ·v ＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋4＝0， ∴u ⊥v ，∴l ∥α或l ?α. 答案：l ∥α或l ?α 2.已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n ＝(2，4，1)，且l ?α，则l 与α的位置关系是__________． 解析：因为v ·n ＝2－4＋2＝0，所以v ⊥n ，又l ?α，所以l ∥α. 答案：l ∥α 3.已知直线l 的方向向量v ＝(2，－1，3)，且过点A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z ＝__________． 解析：由已知得BA →＝(1，y －2，3－z )，依题意BA → ∥v ，所以12＝y －2－1＝3－z 3.所以y ＝32 ， z ＝3 2 ，得y －z ＝0. 答案：0 4.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，2)，DE → ＝(x ，－3，6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝__________． 解析：若DE ∥平面ABC ，

高中数学选修2-1同步练习题库：空间向量及其运算(较难)

空间向量及其运算（较难） 1、正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（） A． B． C． D． 2、在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点， ，，，则（） A． B． C． D． 3、已知，则与的夹角为（） A．30° B．60° C．45° D．90° 4、设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若 ，则为（） A． B． C． D． 5、棱长均为三棱锥，若空间一点满足则的最小值为( ) A． B． C． D． 6、已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（） A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1

7、空间四点A、B、C、D满足则的取 值（） A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 8、已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是 ______________________． 9、已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为__________． 10、非零向量的夹角为，且满足（），向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能的最小值为，则__________． 11、在空间直角坐标系中,以点A（4,1,9）,B（10,-1,6）,C（x,4,3）为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为． 12、已知，, , ,若四点共面，则= ． 13、在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为。 14、已知点，则点关于轴对称的点的坐标为。

高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.2共面向量定理讲义含解析苏教版选修2_1

3．1.2 共面向量定理 [对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问 题． 问题1：、、可以移到一个平面内吗？ 提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内． 问题2：，，三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC1A1内． 问题3：、、三个向量是什么关系？ 提示：相等． 1．共面向量 一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b. 1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性． 3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据． [对应学生用书P51] [例1] 给出以下命题：

①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数组(x ，y )使得＝x ＋y ，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________． [思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为、、共面， ∴O 、P 、A 、B 四点共面； ④错：没有强调零向量； ⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③ [一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理． 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体； ②设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋； ③若＝1 2 (＋)成立，则P 点一定是线段AB 的中点； ④在空间中，若向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面． ⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面． 解析：①②③⑤不正确，④正确． 答案：④ 2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？ 解：设r ＝x p ＋y q ， 则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ，

高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2_1

3．1.1 空间向量及其线性运算 [对应学生用书P48] 春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来． 问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？ 提示：是． 1．空间向量 (1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量． (2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示． 2．相等向量 凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量. 问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算． 提示：利用平行四边形法则、三角形法则等． 问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？ 提示：交换律、结合律、分配律． 1．空间向量的加减运算和数乘运算 ＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， ＝λa(λ∈R)． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． 问题1：向量a与b共线的条件是什么？ 提示：存在惟一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定． 1．共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 向量a与b平行，记作a∥b. 规定，零向量与任何向量共线． 2．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则． 2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍． 3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行． [对应学生用书P49] [例1] 下列四个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

空间向量及其运算 课时分配: 第一课空间向量及其加减运算 1个课时 第二课空间向量的数乘运算 1个课时 第三课空间向量的数量积运算 1个课时 第四课空间向量运算的坐标表示1个课时 3. 1.1 空间向量及其加减运算 【教学目标】 1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法； 2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件； 3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。 【教学重点】 点在已知平面内的充要条件。共线、共面定理及其应用。 【教学难点】 对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

b a AB OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=； )(R a OP ∈=λλ 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向 量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零 向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。 向量b 与非零向量a 共线 的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。 这个定理称为平面向量共 线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。 条有向线段来表示。 思考： 运算律：（1）加法交 换律：a b b a +=+ （2）加法结合 律： ) ()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配 律： b a b a λλλ+=+)( C B A O b b b a a a C' B'A' D' D A B C

2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.3-3.1.4 Word版含答案

3.1.3空间向量基本定理 3.1.4空间向量的坐标表示 学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． 知识点一空间向量基本定理 思考只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？ 答案不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理空间向量基本定理 (1)定理内容： ． 不共面3e ，2e ，1e 条件：三个向量① ②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底： (3)推论： ①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点． ②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC → . 知识点二空间向量的坐标表示 思考若向量AB → ＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？ 答 案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量 AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理(1)空间向量的坐标表示： ①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作

为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )． ②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA → ＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， ①坐标表示：AB →＝OB →－OA → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． ②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (4)空间向量平行的坐标表示： 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )． 1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP → 的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×) 3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB → 的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√) 类型一空间向量基本定理及应用 命题角度1空间基底的概念 例1已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC → ＝e 1＋e 2－ 67 e 3，试判断{OA →，OB →，OC → }能否作为空间的一个基底． 解假设OA →，OB →，OC → 共面， 由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，

数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2

§3.2 空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题． 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP → 称为点P 的位置向量． (2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量． ②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB → . (3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP → ＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：

(2)用向量表示平面的位置： ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定： ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： (3)直线的方向向量和平面的法向量： 知识点二利用空间向量处理平行问题 思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系． (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)． (2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行． 梳理(1)空间中平行关系的向量表示： 的法向量分别为μ，v，则 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β

苏教版高中数学选修2-1空间向量及运算

空间向量及运算 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量； ⒉相等的向量； ⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教具准备：《PowerPoint》课件． 教学过程：〔在演示课件的同时讲授〕 Ⅰ.复习引入 ［师］在第五章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法：

⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋〔b＋c〕 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在第五章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： ==a+b， OB+ AB OA

高中数学第1部分第3章3.2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量讲义含解析苏教版选修2_1

3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量 [对应学生用书P63] a1，a2，a3…a n是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…a n的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？ 提示：平行或重合． 问题2：如何表示a1，a2…a n与直线l的关系呢？ 提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…a n与该向量共线． 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量. 直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线． 问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？ 提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合． 问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？ 提示：垂直． 1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量． 2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量． 1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线．2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量． 3．给定一点A和一个向量a，那么过点A，以向量a为法向量的平面是惟一的． [对应学生用书P63]

[例1] 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系： (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝(2,2，－1)． [思路点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [精解详析] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴u·v ＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥v ，故α⊥β. (2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)， ∴u·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [一点通] 1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行． 3．两个平面的法向量共线时，两平面平行． 1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与 l 2的位置关系为________． 解析：∵b ＝－2a ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2或e 1与e 2重合． 答案：平行或重合 2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)； (3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.

【步步高】2013-2014学年高中数学 第3章 3.1.3空间向量基本定理同步训练 苏教版选修2-

3.1.3 空间向量基本定理 一、基础过关 1．设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的____________条件． 2．下列命题中真命题有________(填序号)． ①空间中的任何一个向量都可用a ，b ，c 表示； ②空间中的任何一个向量都可用基向量a ，b ，c 表示； ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示； ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示． 3．已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是 __________． ①2a ，a －b ，a ＋2b ②2b ，b －a ，b ＋2a ③a,2b ，b －c ④c ，a ＋c ，a －c 4．下列说法正确的是________(填序号)． ①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直； ④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底． 5．在以下三个命题中，真命题的个数是________． ①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面； ②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，且{a ，b ， c }构成空间的一个基底． 6．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________， y ＝________. 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D → ＝0 (λ∈R )，则λ＝______. 8．从空间一点P 引出三条射线PA ，PB ，PC ，在PA ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS → ＝c ， 点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH → ＝__________________.(用a ，b ，c 表示) 二、能力提升 9．若向量MA →、MB →、MC → 的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →、MB →、MC → 成为空间一个基底的关系是________(填序号)． ①OM →＝13OA →＋13OB →＋13 OC →

2021年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 1.共面向量定理 苏教版选修1

2021年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 1.2共面向量定理 苏 教版选修2-1 课时目标 1.理解共面向量的定义.2.掌握共面向量定理，并能熟练应用． 1．共面向量的定义： 一般地，能________________的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理： 如果两个向量a 、b 不共线，那么向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝__________. 3．共面向量定理的应用： (1)空间中任意两个向量a ，b 总是共面向量，空间中三个向量a ，b ，c 则不一定共面． (2)空间中四点共面的条件 空间点P 位于平面MAB 内，则存在有序实数对x 、y 使得MP →＝xMA →＋yMB → ，① 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA →，MB → 实质就是面MAB 内平面向量的一组基底． 另外有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB → ，② 或OP →＝xOM →＋yOA →＋z OB → (x ＋y ＋z ＝1)．③ ①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用． 一、填空题

1．下列说法中正确的是________．(写出所有正确的序号) ①平面内的任意两个向量都共线； ②空间的任意三个向量都不共面； ③空间的任意两个向量都共面； ④空间的任意三个向量都共面． 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的有________．(写出所有正确的序号) ①AB →＋BC →＝AC →；②AB →－BC →＝AC →； ③AB →＝BC →；④|AB →|＝|BC →|. 3．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________．(写出所有符合要求的序号) ①OM →＝2OA →－OB →－OC →； ②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA →＋MB →＋MC → ＝0； ④OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0. 4．已知向量a 与b 不共线，则“a ，b ，c 共面”是“存在两个非零常数λ，μ使c ＝λa ＋μb ”的____________条件． 5．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB → ＋λOC → ，则λ＝________.

2019-2020年高中数学空间向量及其运算1苏教版选修2-1

2019-2020年高中数学空间向量及其运算1苏教版选修2-1 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下． ［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表 示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： =a +b ， （指向被减向量）， λa ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ． ［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.1

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算 学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律． 知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB → |. (2)几类特殊的空间向量 知识点二 空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算 已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB → ＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：

OB →＝OA →＋AB → ＝a ＋c ； BA →＝OA →－OB → ＝a －b ＝－c . 若P 在直线OA 上，则OP → ＝λa (λ∈R )． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a ＋b ＝b ＋a ； (2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )． 知识点三 共线向量(或平行向量) 1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 1．在空间中，单位向量唯一．(×) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√) 4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×) 类型一 空间向量的概念及应用 例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： (1)试写出与AB → 相等的所有向量； (2)试写出AA 1—→ 的相反向量； (3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1—→ 的模． 解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1—→，DC →及D 1C 1—→ ，共3个． (2)向量AA 1—→的相反向量有A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→ ，共4个． (3)|AC 1—→|＝ |AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2

苏教版高中数学选修2-1空间向量及其应用

空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率：.a b b a +=+ 加法结合率：).()(c b a c b a ++=++ 数乘分配率：.)(b a b a λλλ+=+ 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同

苏教版高中数学选修2-13.2空间向量的应用测试题

高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 高中苏教选修（2-1）3.2空间向量的应用测试题 一、选择题 1．已知向量(235)=-， ，a 与向量1532λ⎛ ⎫= ⎪⎝⎭ ，，b 平行，则λ=（ ） A ． 23 B ． 92 C ．92 - D ．23 - 答案：C 2．已知A B C ，，三点的坐标分别为(413) (251)(37)A B C λ-，，，，，，，，，若AB AC ⊥，则λ=（ ） A ．28 B ．28- C ．14 D ．14- 答案：D 3．已知点(413)(251)A B -，，，，，，C 为线段AB 上一点，且 1 3 AC AB =， 则C 的坐标为（ ） A ．715222⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，， B ．3328⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，， C ．10713 3⎛⎫- ⎪⎝⎭，， D ．5 73222⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，， 答案：C 4．已知(152)(31)AB BC z =-=，，，，，，若(13)A B B CB P x y ⊥--，，且BP ⊥平面ABC ，则BP =（ ） A ．4015477⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，， B ．4015377⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，，

C ．331547 7⎛⎫ - ⎪⎝⎭，， D ．3315377⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，， 答案：D 5．正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =， 则1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为（ ） A ． 2 2 B ． 155 C ． 64 D ． 63 答案：C 6．二面角内一点到两个面的距离分别为22，4，到棱的距离为42，则二面角的度数是（ ） A ．75 B ．60 C ．90 D ．120 答案：A 二、填空题 7．长方体1111ABCD A BC D -中， 2AB =，1BC =，13DD =，则AC 与1BD 所成角的余弦值为 ． 答案： 370 70 8．已知(340)(255)A B O ， ，，，，，为坐标原点，且3 5 BC OA =，则C 点的坐标为 ． 答案：1937555⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，， 9．已知三点(110)(011)(101)A B C O ，，，，，，，，，为坐标原点，则OA OB OC ++= ． 答案：23 10．在60的二面角MN αβ--的面α内有一点A 到面β的距离为3，则A 在β内的射影到α的距离为 ． 答案： 32 11．在正方体1111ABCD A BC D -中，1BD 与平面1111A B C D 所成角的正切值为 ． 答案： 2 2 12．在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，PA ⊥平面ABC ，8PA =，则点P 到BC