高考数学复习空间向量及其运算理专题训练(含答案)

高考数学复习空间向量及其运算理专题训

练（含答案）

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。

一、填空题

1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).

[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，

设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面

2.(2019济南调研)在下列命题中：

若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;

若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;

若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;

已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.

其中不正确的命题是________(填序号).

[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定

共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.

[答案]

3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且

OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则

=________.(用a，b，c表示)

[解析] =-=(+)-

=b+c-a.

[答案] b+c-a

4.(2019上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)

(a+b)c=ac+b(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(ab)c=a(bc).

[解析] (ab)c=|a||b|cos c，a(bc)=|b||c|cos a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.

[答案] (4)

5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++，则=________.

[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++=1，=-.

[答案] -

6.若向量a=(1，，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于________.

[解析] 由已知得==，

解得=-2或=.

[答案] -2或

7.(2019徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是________.

[解析] 点Q在直线OP上，设点Q(，，2)，

则=(1-，2-，3-2)，=(2-，1-，2-2)，

=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=62-.

当=时，取得最小值-.

此时=.

[答案]

图76

8.如图76所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.

[解析] 设=a，=b，=c，

由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，

=a(c-b)=ac-ab

=|a||c|-|a||b|=0，即〈〉=，

所以cos〈，〉=0.

[答案] 0

二、解答题

9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，

(1)求以，为边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.

[解] (1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，

cos〈，〉===，

sin〈，〉=，

以，为边的平行四边形的面积为

S=2||||sin〈，〉=14=7.

(2)设a=(x，y，z)，由题意得

解得或

向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).

图77

10.(2019张家港调研)如图77，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，

(1)试证：A1，G，C三点共线;

(2)试证：A1C平面BC1D.

[证明] (1)=++=++，

可以证明：=(++)=，

∥，即A1，G，C三点共线.

(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，

且ab=bc=ca=0，

=a+b+c，=c-a，

=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0，

因此，即CA1BC1，

同理CA1BD，

又BDBC1=B，

A1C平面BC1D.

要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

空间向量及其运算理专题训练及答案的所有内容就是这些，查字典数学网希望对考生复习数学有帮助。

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文

水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因

就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习 一、选择题 1．已知向量(1,),(1,),a x b x ==-r r 若(2).a b b -⊥r r r 则a =r （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．4 2．化简+ + + 的结果是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-v v ，若2a b +v v 与a v 垂直，则m =（ ） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．8 4．已知向量(1,1)a =-r ，(1,)b m =r ，若(2)4a b a -?=r r r ，则m =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 5．设向量(12)a =-r ， ,(1)b m =r ，，若向量a r 与b r 平行，则a b ?=r r A ．27- B ．21- C ．23 D ．2 5 6．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ?=u u u r u u u r （ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 7．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =u u u v u u u v ，则AD =u u u v （ ） A ．1233AC A B +u u u v u u u v B ．5233AB A C -u u u v u u u v C ．2133AC AB -u u u v u u u v D ．2133 AC AB +u u u v u u u v 8．在ABC ?中，已知90BAC ∠=o ，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ?u u u r u u u r 的值为 （ ）． A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 9．已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→ → =+=+若()()m n m n → → → → +⊥-，则=λ（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1- 10．已知向量(12)=，a ，(4)x =，b ，若向量//a b ，则实数的x 值为 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 11．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则2+=a b A ．()1,5- B ．()1,5 C ．()1,6- D ．()1,6 12．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a b A ．()1,5- B ．()1,5 C ．()1,3-- D ．()1,3

【精品含答案】高考一轮复习9.7空间向量及其运算基础训练题(理科)

2009届高考一轮复习9.7 空间向量及其运算基础训练题（理科） 注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。满分100分，考试时间45分钟。 第I 卷（选择题部分 共36分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列命题中，不正确的命题个数是（ ） ①空间任意五边形ABCDE ，则=++++；②若∥，则a 所在直线与所在直线平行；③空间任意两非零向量、共面；④空间向量平行于平面α，则a 所在直线平行于平面α。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. （2008·济宁模拟）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，则AF AE ?的值为（ ） A. 2a B. 2a 21 C. 2a 4 1 D. 2a 43 3. 对空间任意一点P ，若OC 8 1OB 81OA 43OP ++=，则A 、B 、C 、P 四点（ ） A. 一定不共面 B. 一定共面 C. 不一定共面 D. 无法判断 4. 已知四边形ABCD 满足：0>?，0>?，0>?，0>?，则该四边形为（ ） A. 平行四边形 B. 梯形 C. 平面四边形 D. 空间四边形 5. 平行六面体D 'C 'B 'A A BCD -中，若'z 3y 2x '-+=，则=++z y x （ ） A.1 B. 67 C. 65 D. 3 2 6. 菱形ABCD 中，AB=2，∠BCD=?60，现将其沿对角线BD 折成直二面角C BD A --（如图），则异面直线AB 与CD 所成的角的余弦值为（ ） A. 515 B. 510 C. 41 D. 43 第II 卷（非选择题部分 共64分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。把答案填在题中横线上） 7. （2007·安徽高考）在四面体ABC O -中，=，=，=，D 为BC 的

高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)

祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题 一、选择题 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为1 2的是 （ ） A. BC AB ? B. BD AB ? C.DA AB ? D.AC AB ? 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 5．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( ) A ．a B ．b C ．c D ．2a 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ）

高考数学复习空间几何体空间向量及其运算模拟专题训练100题WORD版含答案

高考数学复习空间几何体空间向量及其运算模拟专题训练100 题WORD 版含答案 一、选择题 1. 如图，空间四边形OABC 中，a OA =，=，=， 点M 在OA 上，3 2 = ，点在N 为BC 中点，则MN 等于（ ） A ． 213221+- B ．212132++- C ．212121-+ D ．2 13232-+ 2. 已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中：①1212v v l l ?∥∥；②1212v v l l ⊥?⊥；③12n n αβ?∥∥；④12n n αβ⊥?⊥，其中正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C.3 D ．4 3. 在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ） A ．1122a b c -++ B ．1122a b c -+ C. 1122a b c --+ D ．11 22a b c ++ 4. 设()1,2,2-=是平面α的法向量，()2,4,3-=是直线l 的方向向量，则直线l 与平 面α的位置关系是（ ）. A.平行或直线在平面内 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 5.

点M (－8,6,1)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－8，－6，－1) B ．(8，－6，－1) C ．(8，－6, 1) D ．(－8，－6, 1) 6.已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==- ，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值为（ ） A ．1 B ． 15 C ． 3 5 D ． 75 7. 已知向量()())2,6,4(,4,0,2,1,3,2--==--=，则下列结论正确的是 A ．c a b a //,// B ．c a b a ⊥,// C ．c b b a //,// D ．c a b a //,⊥ 8. 如图，在四面体OABC 中，M 、N 分别在棱OA 、BC 上，且满足2OM MA =， BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 应为（ ） A ．111344OG OA O B O C =++ B ．111344OG OA OB OC =-+ C ．111 344OG OA OB OC =-- D ．111344 OG OA OB OC =+- 9. 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB a =，AC b =，1AA c =，则1(C B = ) A ．a b c +- B ．a b c -- C ．a b c -+- D ．a b c --+ 10.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，化简1AB AD CC +-= （ ） A ．1AC B ．1CA C ．1BD D ．1DB 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A =1 1，

空间向量及其运算(习题及答案)

空间向量及其运算(习题及答案) 例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为上底面 A1B1C1D1的中心，若AE=AA1+xAB+yAD，则x，y的值分 别为（）。 解析：由于E为上底面A1B1C1D1的中心，所以AE的 长度为A1E的长度的一半，即AE=1/2A1E。又因为A1E的方 向向量为1/2(AB+AD)，所以AE=1/2(AA1+AB+AD)。将 AE=AA1+xAB+yAD代入，得到x=1/2，y=1/2，故选D。 例2：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， AA1=2，AD=1，且AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，则AC1·BD1=（）。 解析：由于AB，AD，AA1两两之间的夹角都是60°，所以它们构成一组正交基底。设AB=a，AD=b，AA1=c，则 AC1=AB+BC1+CA1=a+b/2+c/2， BD1=BD=AD+DC1+CB1=b+a/2+c/2.将AC1·BD1代入，得到 AC1·BD1=(a+b/2+c/2)·(b+a/2+c/2)=ab+ac/2+bc/2+a^2/4+b^2/4+

c^2/4+ac/4+bc/4，化简得到 AC1·BD1=ab+ac+bc+1/4(a^2+b^2+c^2)，代入数值计算得到 AC1·BD1=5/2，故选B。 例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是 A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE与DF所成角的余弦值。 解析：以DA，DC。设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1，则B(1，1，0)，E(1，1/2，1)，D(0，0，0)，F(0，1/2，1)。由于BE的方向向量为(0,-1,1)，DF的方向向量为(0,1,1)， 所以BE·DF=0*(-1)+(-1)*1+1*1=0，即BE与DF所成角的余弦 值为0，故选A。 1.在三棱锥O-ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN=1/2√(2a^2+2b^2-2c^2)。将公式中的分 数写成根号下的分式形式，避免格式错误。 2.在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量：AP=1/3(b+c-a。0.c-a-b)。将向量的分量 用逗号隔开，避免格式错误。

高考数学复习空间向量及其运算理专题训练(含答案)

高考数学复习空间向量及其运算理专题训 练（含答案） 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。 一、填空题 1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面). [解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)， 设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面 2.(2019济南调研)在下列命题中： 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行; 若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面; 若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面; 已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc. 其中不正确的命题是________(填序号). [解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定

共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确. [答案] 3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且 OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则 =________.(用a，b，c表示) [解析] =-=(+)- =b+c-a. [答案] b+c-a 4.(2019上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号) (a+b)c=ac+b(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(ab)c=a(bc). [解析] (ab)c=|a||b|cos c，a(bc)=|b||c|cos a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错. [答案] (4) 5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++，则=________. [解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++=1，=-. [答案] - 6.若向量a=(1，，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于________.

高考数学一轮复习学案：空间向量及其运算(含答案)

高考数学一轮复习学案：空间向量及其运算 （含答案） 8.6空间向量及其运算空间向量及其运算最新考纲考情考向分析 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系.空间向量的有关概念.定理.公式及四种运算等内容一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行.垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度模为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理1共线向量定理空间两个向量a与bb0共线的充要条件是存在实数，使得ab.2共面向量定理共面向量定理的向量表达式pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量3空

间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b2，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cosa，b叫做向量a，b 的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa，b2空间向量数量积的运算律abab；交换律abba；分配律abcabac.4空间向量的坐标表示及其应用设aa1，a2，a3，bb1，b2，b 3.向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线abb0， Ra1b1，a2b2，a3b3垂直ab0a0，b0a1b1a2b2a3b30模 |a|a21a22a23夹角a，ba0，b0cosa， ba1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23知识拓展1向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是OAxOByOC其中xy1，O 为平面内任意一点2向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是OPxOAyOBzOC其中xyz1，O为空间中任意一点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1空间中任意两个非零向量a，b共面2在向量的数量积运算中abcabc3对于非零向量b，由abbc，则ac.4两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同5若A，B，C，D是空间任意四点，则有ABBCCDDA0.6若ab0，则a，b是钝角题组二

空间向量及其运算(理)练习题(含答案)

第六节 空间向量及其运算(理) 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分 ) 1．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1 的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋1 2b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －1 2b ＋c D.12a －1 2b ＋c 解析 显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋1 2b ＋c ，故选A. 答案 A 2．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC → 为空间的一组基底，则( ) A ．O ，A ， B ， C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线 D ．O ，A ，B ，C 四点不共面

解析 OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，所以OA →，OB →，OC → 不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC → 共面． 答案 D 3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.647 D.657 解析 由于a ，b ，c 三向量共面． 所以存在实数m ，n 使得c ＝m a ＋n b ， 即有⎩⎪⎨⎪ ⎧ 7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ， λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝65 7.故选D. 答案 D 4．正方体不在同一表面上的两个顶点为A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积为( ) A ．8 B ．27 C ．64 D ．128 解析 由于A ，B 是正方体上不共面的两个顶点，则A ，B 必为正方体一对角线的两顶点，由于|AB |＝ (－1－3)2＋(2＋2)2＋(－1－3)2＝43，故正方体的边长为4，体积为43＝64.故选C. 答案 C 5．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC → 等于( )

数学高考复习空间向量及其运算专题训练(含答案)

数学2021届高考复习空间向量及其运算专题训 练（含答案） 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，下面是空间向量及其运算专题训练，请考生及时练习。 一、选择题 1.以下四个命题中正确的是(). A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底 C.ABC为直角三角形的充要条件是=0 D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b=(b+c)+(c+a)， (1)a=(1)b+(+)c，，不可能同时为1，设1，则a=b+c，则a、 b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾. 答案 B 2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)=2，则x= (). A.4 B.2 C.4 D.2 解析 a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)， ca=(0,0,1x)，2b=(2,4,2). (ca)(2b)=2(1x)=2，x=2. 答案 D

3.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(). A.{a，a+b，ab} B.{b，a+b，ab} C.{c，a+b，ab} D.{a+b，ab，a+2b} 解析若c、a+b、ab共面，则c=(a+b)+m(ab)=(+m)a+(m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a+b，ab可构成空间向量的一组基底. 答案 C 4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为(). A.0 B. C. D. 解析设=a，=b，=c， 由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|， =a(cb)=acab=|a||c||a||b|=0，cos〈，〉=0. 答案 A5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是(). A.a+b+c B.a+b+c C.ab+c D.ab+c 解析 =+=+() =c+(ba)=a+b+c.

2021年高考数学总复习第43讲：空间向量的运算及应用练习题及答案解析

2021年高考数学总复习第43讲：空间向量的运算及应用 1．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．3 B [由题意知存在实数x ，y 使c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ， 解得λ＝－9.] 2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF → 的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14 a 2 D ． 34 a 2 C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝1 4(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.] 3．已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A ．3 2 B ．－2 C ．0 D ．3 2 或－2 B [当m ＝0时，a ＝(1,3，－1)，b ＝(2,0,0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴ 2m ＋1 2＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.] 4．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．3－2 D [∵BD →＝BF →＋F E →＋ED →，∴|BD →|2＝|B F →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →

2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量6空间向量的概念与运算练习含解析

空间向量的概念与运算 考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 知识梳理 1．空间向量的有关概念 名称定义 空间向量在空间中，具有大小和方向的量 相等向量方向相同且模相等的向量 相反向量方向相反且模相等的向量 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(或平行向量) 共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示坐标表示 数量积a·b a1b1＋a2b2＋a3b3

共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λ b 1，a 2＝λb 2， a 3＝λ b 3 垂直 a ·b ＝0 (a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角余弦值 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | (a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量． (2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 为平面α的法向量． (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2 l 1∥l 2 n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ∈R ) l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m ，l ⊄α l ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm (λ∈R ) 平面α，β的法向量分别为n ，m α∥ β n ∥m ⇔n ＝λm (λ∈R ) α⊥β n ⊥m ⇔n ·m ＝0 常用结论 1．在平面中，A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC → (其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．在空间中，P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ＋y ＋z ＝1)， O 为空间中任意一点． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( × )

空间向量及其运算练习题含详细答案

空同向M及其遇”族习鹿禽详㈤符案 空间向量及其运算 一.选择题 1、与向量a=(12,5)平行的单位向量是(C) A. B. C. D. 2、A(l, b -2)、B(l. 1. 1),则线段 AB 的工工是(C ) A. 1 B.2 C.3 D.4 3、向量 a=(L 2, -2), b=(-2, T, 4),则 aVb( C ) A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对 4> m= {8» 3, a} , n= {2b, 6,5},若 m〃n,则 a+b 的值为 (C ) A. 0 B. C. D. 8 5、若 a=(2x, 1, 3) , b= (1, —2y, 9).如果 a 与 b 为共线向

A. x=l. y=l B. x=» y=C・x=,y=D・x=一,y= 6、a= {1,5, -2} , b= {叫2,m+2},若 a_Lb,则 m 的值为 (B ) A.0 B.6 C.-6 D. ±6 7、若非零向量 a= {xb yl. zl) > b= {x2, y 2 , z2},则是 a 与b同向或反向的(A ) A.充分不必要条件B,必要非充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 8、已知A (-L -2, 6)，B (1, 2, -6) 0为坐标原点，则向量的夹角 (C ) A. O B. C. D. 9、已知,则向量的夹角为(C ) A. B. C, D.

空同向M反其遇”族习鹿含铮㈤存案 10、设0ABC是四面体，G1是△ABC的重心,G是OGlx工一点，且0G=3GGb 若= x-y/z,则(* y, z)为(A A,(,,)B,(,,)C. (, , ) D.(,,) 11、在棱长为1的正方体ABCD—AlBlClDlxx, M、N分别为A1B1和BB1的xx点，那么直线AM与CN所成的角为的xx值（D ） A. B. C, D. 3), b=(-1,4, -2), c=(7,5,人)，若 12、已知 a=(2, -l t a, b, c三向量共面，则实数X等于(D ) A. B. C. D.

(全国通用)高考数学一轮复习第七章立体几何第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算习题理【含答案】

第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算 [基础达标] 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则DE与D1F的位置关系是() A.平行 B.相交且垂直 C.异面且垂直 D.既不平行也不垂直 1.C【解析】建立空间直角坐标系后,求得=0,所以,即DE与D1F垂直且DE与D1F是异面直线. 2.两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则是a∥b的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.A【解析】a∥b且一个坐标为0是不能得到,所以必要性不满足,即 是a∥b的充分不必要条件. 3.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N是BC的中点, =a, =b, =c,则=() A. a+b-c B.- a+b+c C. a-b+c D. a+b-c 3.B【解析】∵点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中 点, +()+

+()+)=-,∵=a, =b, =c,∴ =-a+b+c. 4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是() A. B. C. D. 4.D【解析】选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有=0;选项B,当四边形ABCD为正方形时,可得AC⊥BD,可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有=0;选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有=0;选项D,由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥ CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即≠0. 5.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且 CG=CD,H是C1G的中点,则||为() A.B.C.D.

新高考新人教版高中数学选修一全套课后练习题及答案解析

1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算 学习目标 核心素养 1．了解空间向量、向量的模、零向 量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 图1图2 1．空间向量

(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|． ②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 图1 图2 (1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC → ＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→ ． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三

2022-2023学年人教版高二数学阶段性复习精练专题1-1空间向量及其运算(含详解)

专题1.1 空间向量及其运算 1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 3.表示法 (1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示; (2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模. 若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为|a|或AB. 【解读】 1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来 解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 二、空间向量的线性运算 【解读】 利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识. 三、向量共线定理

对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . 四、共面向量定理 1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. 2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x ,y ),使p =x a 【解读】 1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行. 2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A ,B ,C ,可通过 证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使AB AC λ=成立; (2)对空间任一点O ,有OA OB tBC =+(t ∈R ); (3)对空间任一点O ,有OA xOB yOC =+(x +y =1). 五、空间向量的数量积及运算律 1.数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂 直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 2.空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义:利用a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉并结合运算律进行计算. (2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代 入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤

2020秋高中数学人教版2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析

2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习： 3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析 A级基础巩固 一、选择题 1．下列说法中正确的是(） A．任意两个空间向量都可以比较大小 B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小 C．空间向量的大小与方向有关 D．空间向量的模可以比较大小 解析：由向量概念可知只有D正确． 答案:D 2．下列说法中正确的是() A．若｜a｜＝｜b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量,则｜a｜＝|b｜ C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中,一定有错误!＋错误!＝错误! 解析：｜a|＝｜b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等,则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式错误!＋错误!＝错误!，有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错． 答案:B

3．已知空间向量错误!、错误!、错误!、错误!，则下列结论正确的是(） A.错误!＝错误!＋错误! B.错误!－错误!＋错误!＝错误! C.错误!＝错误!＋错误!＋错误! D。错误!＝错误!－错误! 解析:错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!. 答案：B 4．已知正方形ABCD的边长为1,设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则|a＋b＋c|等于(） A．0 B．3 C．2＋错误!D．2错误! 解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a ＋b＋c|＝2|错误!|＝2错误!. 答案:D 5。如图，在长方体ABCD。A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量错误!的是() ①（错误!－错误!)－错误!； ②(错误!＋错误!)－错误!； ③(错误!－错误!)－错误!； ④(错误!－错误!)＋错误!. A．①②B．②③C．③④D．①④ 答案:A 二、填空题

考点专练36：空间向量及其运算—2023届高考数学一轮复习(附答案)(人教A版(2019))

考点专练36：空间向量及其运算 一、选择题 1.已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A .－2 B.145 C .－143 D.2 2.(2022·江西新余月考)已知a ＝(t,12，－3)，b ＝(2，t ＋2,1)，若a ∥b ，则实数t 的值为( ) A .－5 B.－6 C .－4 D.－3 3.如图，在三棱锥O-ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD →＝2DQ →．若记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝( ) A.16a ＋13b ＋13c B.13a ＋13b ＋13c C.13a ＋16b ＋13c D.13a ＋13b ＋16c 4.已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A .P(2,3,3) B.P(－2,0,1) C .P(－4,4,0) D.P(3，－3,4) 5.如图，在大小为45°的二面角A EF D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( ) A. 3 B. 2 C .1 D.3－2 6.已知正方体ABCD A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值 范围是( ) A .(0,1) B.[0,1) C .[0,1] D.[－1,1] 7.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为π4，B 为斜足．平面α上的动点P 满足∠PAB ＝π6，则 点P 的轨迹为( ) A .圆 B.椭圆 C .双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

高考数学复习典型题型专题讲解与练习54 空间向量及其线性运算

高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题54 空间向量及其线性运算 题型一 空间向量共线的判定 1．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈AB B ．P ∉AB C ．点P 可能在直线AB 上 D ．以上都不对 【答案】A 【解析】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以(1)OP n OA nOB =-+，即()OP OA n OB OA -=-， 即AP nAB =，所以AP 与AB 共线． 又AP ，AB 有公共起点A ， 所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 故选：A. 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A ．AB BC AC +=B ．AB BC AC -= C ．AB BC =D ．AB BC = 【答案】C 【解析】对于空间中的任意向量，都有 AB BC AC +=，说法A 错误； 若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，

选项B错误； AB BC =，则A、B、C三点共线，选项C正确； AB BC =，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选 项D错误； 本题选择C选项. 3．AB与CD共线是直线AB∥CD的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据向量共线的定义，可知若AB与CD共线，则它们所在的直线可能平行，也 可能重合； 若AB∥CD，则AB与CD共线； 根据充分条件和必要条件的概念，可知AB与CD共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B 4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断EF与AD BC +是否共线. 【答案】证明见解析. 【解析】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG， ∵E、F分别为AB、CD的中点. ∴ 11 , 22 GF AD EG BC ==. 又∵E、F、G三点共面， ∴ 1 () 2 EF GF EG AD BC =+=+，即EF与AD BC +共线.