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高中数学选修一用空间向量研究距离问题导纲,习题,解析

1.4.4 用空间向量研究距离问题

班级：_________ 姓名：__________小组：__________

【学习目标】

1.通过研读P33-34例6上方的内容，理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导．；

2.通过研读P34-35的内容，了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想，并能用空间向量方法解决空间距离问题．

【重点难点】

重点：理解运用向量方法求空间距离的原理；

难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法．

【导学流程】

一、基础感知1 研读P33-P34例6上方的内容

空间距离的向量求法

分类图示向量求法

点线距u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，AP

→

＝a，AP

→

在直线l上的投影向量为AQ

→

＝(a·u)u，则PQ＝|AP

→|2－|

→|2＝．

线线距转化为与距在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．

点面距设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α，PQ⊥α，AP

→

在直线l上的投影向量为AQ

→

，则P点到平面α的距离

PQ＝．

线面距

（前提是线面平行）转化为与距

如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，

将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．

面面距

（前提是面面平行）转化为与距

如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，

可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．

二、基础感知2 研读P34-P35例6 问题1：在空间直角坐标系中，求点到直线距离的思路是什么？

问题2：在空间直角坐标系中，求直线到平面距离的思路是什么？

问题3：通过例6和类比用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，总结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”？

[思考1]已知空间中点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且AB＝23，那么实数x的值是()．

A.4或0

B.4

C.3或－4

D.－3或4

[思考2]在空间直角坐标系中，点P(1，－2，5)到坐标平面Oxy的距离为()．

A.2

B.1

C.5

D.3

[思考3]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，

∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．

[思考4] 课本P35练习1、2、3

思路小结：

(1)用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：

①不必找点在直线上的垂足以及垂线段．

②在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．

③直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．

(2)用向量法求点到平面的距离的主要方法：

①作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．

②在三棱锥中用等体积法求解．

二、探求未知

你有哪些疑惑？或是新的发现？

【合作学习】

两两合作：核对并讨论问题基础感知1的答案

小组合作：1. 核对并讨论基础感知2的答案 2.学习过程中发现的疑惑

1.4.4 用空间向量研究距离问题限时训练

班级：_________ 姓名：__________小组：__________

题型选填题（84分）主观题（14分）卷面分（2分）总分（120分）

得分

一．选择题

1、已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1，－1)，C(0，－1,2)，那么点C到直线AB的距离为()

3 B.

2 C.

3 D.

2、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，若E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()

A. 65

5 B.

5 C.

5 D.

3、若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()

2 B.

4 C.

2 D.

4、在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为()

A. 2

B. 1

C. 3

2 D. 3

二．填空题

5、棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是线段BB1、B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为.

6、如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N之间的距离为.

7、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求平面AB1C与平面A1C1D间的距离为.

三．解答题

8、如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AA′⊥平面ABCD，AB⊥AC，AB＝AC ＝AA′＝1.

(1) 求证：DC′⊥平面ACD′；

(2) 求点B到平面ACD′的距离．

高中数学选修一用空间向量研究距离问题导纲,习题,解析

1.4.4 用空间向量研究距离问题班级：_________ 姓名：__________小组：__________ 【学习目标】 1.通过研读P33-34例6上方的内容，理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导．； 2.通过研读P34-35的内容，了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想，并能用空间向量方法解决空间距离问题．【重点难点】重点：理解运用向量方法求空间距离的原理；难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法．【导学流程】一、基础感知1 研读P33-P34例6上方的内容空间距离的向量求法分类图示向量求法点线距u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，AP → ＝a，AP → 在直线l上的投影向量为AQ → ＝(a·u)u，则PQ＝|AP →|2－| AQ →|2＝．线线距转化为与距在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．点面距设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α，PQ⊥α，AP → 在直线l上的投影向量为AQ → ，则P点到平面α的距离 PQ＝．线面距（前提是线面平行）转化为与距如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．面面距（前提是面面平行）转化为与距如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．二、基础感知2 研读P34-P35例6 问题1：在空间直角坐标系中，求点到直线距离的思路是什么？问题2：在空间直角坐标系中，求直线到平面距离的思路是什么？问题3：通过例6和类比用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，总结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”？ [思考1]已知空间中点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且AB＝23，那么实数x的值是()． A.4或0 B.4 C.3或－4 D.－3或4 [思考2]在空间直角坐标系中，点P(1，－2，5)到坐标平面Oxy的距离为()． A.2 B.1 C.5 D.3 [思考3]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3， ∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． [思考4] 课本P35练习1、2、3 思路小结： (1)用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： ①不必找点在直线上的垂足以及垂线段． ②在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． ③直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确． (2)用向量法求点到平面的距离的主要方法： ①作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． ②在三棱锥中用等体积法求解．二、探求未知你有哪些疑惑？或是新的发现？【合作学习】两两合作：核对并讨论问题基础感知1的答案小组合作：1. 核对并讨论基础感知2的答案 2.学习过程中发现的疑惑

2021届高考数学专题突破利用空间向量求空间距离(解析版)

2021届高考数学立体几何突破性讲练 09利用空间向量求空间距离一、考点传真：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．二、知识点梳理：空间距离的几个结论 (1)点到直线的距离：设过点P 的直线l 的方向向量为单位向量n ，A 为直线l 外一点，点A 到直线l 的距离d ＝ |P A →|2－|P A →·n | 2. (2)点到平面的距离：设P 为平面α内的一点，n 为平面α的法向量，A 为平面α外一点，点A 到平面α的距离d ＝|P A →·n | |n | . (3)线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离．三、例题：例 1.(2018天津)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =， CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===． (1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (2)求二面角E BC F --的正弦值； (3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长．【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ， (0,2,0)C ，(2,0,2)E ，(0,1,2)F ，(0,0,2)G ，3 (0,,1)2 M ，(1,0,2)N ． N A B C D E F G M

高中数学(人教A版)选择性必修一课后习题：空间向量基本定理(课后习题)【含答案及解析】

空间向量基本定理课后篇巩固提升必备知识基础练 1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-1 2a +1 2b +c B.1 2a +12b +c C.-1 2a -12b -c D.-12 a -12 b +c 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12 a -12 b - c . 2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1 B.1,1 2 C.12,12 D.12 ,1 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12 .故选C . 3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.2 3a +1 2b -2 3c B.2 3a -1 2b +2 3c C.-1 3a +1 2b -2 3c D.1 3a +1 2b -1 3c

新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

一、选择题 1．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =， 13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（） A ． 10 B ． 6 C ． 10 D ． 15 2．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243 A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（） A ．3 B ．5 C ．9 D ．21 3．已知在平行六面体中 ,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（） A ．52 B ．9 C 85 D 734．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）

A ．306 B ．6 C ． 3 D ． 6 5．已知向量{} ,,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（） A ．a b +，a ，a b - B ．a b +，b ，a b - C ．a b +，c ，a b - D ．a b +，2a b -，a b - 6．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,H E 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面 α相交于一条线段，则该线段的长度是（） A ． 14 4 B ． 114 C ． 142 D ． 112 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（）

人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)

一、选择题 1．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，1BC α⊥，点E 、F 分别为1AA 、 1CC 的中点，112C G GD =，若α 平面ABCD m =，α平面EFG n =，则直线m 与直线n 所成角的正切值为（） A ． 22 7 B ． 32 7 C ． 42 7 D ． 62 7 2．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（） A ． 12 B ． 22 C ． 3 D ． 55 3．若(),,0OA m n =，40, ,OB p n ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，则m p +的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 4．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面 11A BC 所成的角的大小为（） A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 5．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，

点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（） A ．43 - B ． 43 C ．13 - D ． 13 6．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝ 1 2 AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( ) A 6 B 3 C 6 D ． 23 7．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（） A ．[ ,]63 ππ B ．[ ,]43 ππ C ．[ ,]62 ππ D ．[ ,]42 ππ 8．已知在平行六面体中 ,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（） A ．52 B ．9 C 85 D 739．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（） A ．2123,θθθθ<< B ．2123 ,θθθθ>< C ．2123 ,θθθθ D ．2123 ,θθθθ>> 10．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面， 14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（）

高二数学专题练习用空间向量研究距离、夹角问题(附解析答案)

用空间向量研究距离、夹角问题基础过关练题组一用空间向量求空间的距离问题 1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=√2,E,F分别是面A1B1C1D1,面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为() B.√5 2C.√6 2 D.3 2 2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为() C.8 3D.10 3 3.(2020山东济南第二中学高二上月考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD 的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N之间的距离为.

4.(2020河北唐山第二中学高二上期中)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),则点G 到平面D1EF的距离为.深度解析 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M 在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=√6,AB=4. (1)求证:M为PB的中点; (2)求点C到平面BDP的距离d. 题组二用空间向量求空间角的问题 6.(2020广东深圳实验学校高二上期中)设平面α与平面β的夹角为θ,若平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cosθ=() A.n1·n2 |n1||n2|B.|n1·n2| |n1||n2| C.|n1||n2| n1·n2D.|n1||n2| |n1·n2| 7.(2020山西大学附属中学高二阶段测试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成角的余弦值为()

2021学年高中数学1.4.2用空间向量研究距离夹角问题含解析人教A版必修一.doc

八用空间向量研究距离、夹角问题 (25分钟·50分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( ) A. B. C. D.1 【解析】选C.因为平面α⊥平面β,且AC⊥l,BD⊥l,故AC⊥平面β,BD⊥ 平面α,依题意建立坐标系如图所示,在Rt△ACD中,可得CD=,故A(0,0,1), B(1,,0),C(0,0,0),D(0,,0), 则=(0,0,1),=(1,,0),=(0,,0).设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则⇒ 令y=1,可得n=(-,1,0), 故所求距离d===.故选C. 2.两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为( ) A.45° B.60° C.90° D.135° 【解析】选A.cos===, 即=45°.所以两平面的夹角为45°.

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角θ的正弦值为( ) A. B. C. D. 【解析】选B.设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1), A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 所以=(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·=-x+y=0,n·=-x+z=0,令x=1,可得n=(1,1,1), 所以sin θ=|cos|==. 4.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选B.建立空间直角坐标系如图,设AB=1, 则A(0,0,0),B(0,1,0), P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0). 可知平面PAB的一个法向量为n1=(1,0,0). 设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z), 则得令x=1,则z=1.

选择性必修第一册 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)---距离问题

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (1)------距离问题 1.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 3.素养养成：直观想象、数学抽象、数学运算. 重点：理解运用向量方法求空间距离的原理. 难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法. 一、情境导学位于马来西亚吉隆坡的石油双塔(Petronas Twin Towers)曾经是世界最高的摩天大楼，而且目前仍是世界最高的双塔楼，其空中天桥更是别具一格，贯通双塔。天桥的长度代表了双塔之间的最短距离，思考一下，空间中还有哪些距离问题？回答：_______________________________________________________________________. 二．复习巩固投影向量 ,a b c 1.设向量在方向上的投影向量为则 c =——————————； cos ,, a b a b a b ⋅=<>借助数量积 () cos ,__________.b c a a b b =<>= 2. 特别的，当b 为单位向量u 时， a 在单位方向向量u 上的投影向量为()c a u u =⋅，其长度为c =_______________.

三、自主探究（理解教材）问题引入思考：如图所示正方体，如何求点B 到直线AC 1的距离？如何求点 B 到平面AE C 1的距离？ _______________________________________________________________________________________________________________. 新知探究 1.点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点.设AP a =,则向量AP 在直线l 上的投影向量()AQ a u u =⋅，点P 到直线l 的距离为PQ =________________. 2.点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为PQ =________________. 微微一练 1.已知空间中三个点()()()2,3,21,2,10,0,1C B A ，，，则点A 到直线BC 的距离为 . 2.如图，已知正方体棱长为1，以D 为原点，DA,DC,DD 1分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，若求得平面A 1BC 1的一个法向量为)1,1,1(=n ，则原点D 到平面A 1BC 1的距离为 . 思考：平行线距离、线面距离以及平行平面的距离怎么求呢？_______________________. 四、典例精析与迁移【典例6】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1B 1的中点，F 为线段AB 的中点. （1）求点B 到直线AC 1的距离；（2）求直线FC 到平面AEC 1的距离.

新教材高中数学第一章空间向量与立体几何用空间向量研究距离夹角问题练习人教A版选择性必修第一册

用空间向量研究距离、夹角问题基础练巩固新知夯实基础 1．已知向量a ＝(1,0,－1),则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1,－1,0) C ．(0,－1,1) D ．(－1,0,1) 2.已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ,E 为AA 1的中点,则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A. 1010 B.15 C.31010 D.35 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 ( ) A.12 B.23 C.33 D.22 4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在AC 1上且AM →＝12 MC →1,N 为B 1B 的中点,则|MN → | 为( ) A. 21 6 a B.6 6 a C. 156 a D. 153 a 5.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A. 32 B.22 C.223 D.233 6．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0),n ＝(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为__________． 7.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,BC ＝AA 1＝1,则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为__________. 8.如图所示,在多面体A 1B 1D 1－DCBA ,四边形AA 1B 1B ,ADD 1A 1,ABCD 均为正方形,E 为B 1D 1的中点,过A 1,D ,E 的平面交CD 1于F . (1)证明：EF ∥B 1C . (2)求二面角E －A 1D －B 1的余弦值. 能力练

1.4.2.1 用空间向量研究距离问题(同步检测)(附答案)—高二上学期数学选择性必修第一册

1.4. 2.1 用空间向量研究距离问题（同步检测）一、选择题 1.已知直线l 的方向向量n ＝(1,0,2)，点A(0,1,1)在直线l 上，则点P(1,2,2)到直线l 的距离为( ) A. 305 B ．30 C.30 10 D ．230 2.若三棱锥P-ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是( ) A. 66 B.63 C.36 D.33 3.已知△ABC 的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AB ＝1， BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( ) A.27 B ．2357 C.357 D ．1 5.若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A.2a B ．3a C. 23a D ．3 3 a 6.如图，ABCD-EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP ―→＝34AB ―→＋12AD ―→＋ 2 3AE ―→ ，则P 到AB 的距离为( ) A.34 B ．45 C.56 D ．35 7.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，点E 为CC 1的中点，则直线AC 1到平面BED 的距离为( ) A ．2 B ． 3 C. 2 D ．1 二、填空题 8.已知向量n ＝(1,0，－1)与直线l 垂直，且直线l 经过点A(2，3,1)，则点P(4,3,2)到直线l 的距离为________ 9.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD 中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC 的距离为________ 10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点F ，G

新教材人教A版数学选择性必修第一册学案-1.4.2-第一课时用空间向量研究距离问题-含解析

1．4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第一课时用空间向量研究距离问题新课程标准解读核心素养 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题数学抽象、直观想象 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用直观想象、数学运算 “距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等．数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的． [问题] (1)到目前为止，你学习过哪些“距离”？ (2)以上这些“距离”的定义有什么共同点？ (3)在空间中任意两个图形之间的距离怎样定义的？应怎样计算空间距离问题？知识点一点P 到直线l 的距离如图，直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点．设AP ―→ ＝a ，则向量AP ―→在直线l 上的投影向量AQ ―→ ＝(a ·u )u .在Rt △APQ 中，由勾股定理，得点P 到直线l 的距离为PQ ＝ |AP ―→|2－|AQ ―→ |2＝ a 2－（a ·u ）2．已知直线l 过定点A (2，3，1)，且n ＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P (4，3，2)到直线l 的距离为( )

A.322 B. 22 C.102 D. 2 解析：选A P A ―→＝(－2，0，－1)，|P A ―→ |＝5，|P A ―→·n ||n | ＝22，则点P 到直线l 的距离 d ＝ |P A ―→|2－ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪P A ―→· n |n |2 ＝5－12＝32 2 . 知识点二点P 到平面α的距离如图，已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则n 是直线l 的方向向量，且点P 到平面α的距离就是AP ―→在直线l 上的投影QP ―→ 的长度．因此PQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP ―→·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪AP ―→·n |n |＝|AP ―→·n ||n |．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在α内，则P (－2，1，4)到α的距离为( ) A ．10 B ．3 C.8 3 D.103 解析：选D ∵AP ―→ ＝(－1，2，4)，∴P (－2，1，4)到α的距离为|AP ―→·n ||n |＝ |（－1，－2，4）·（－2，－2，1）|3＝10 3 . 点到直线的距离 [例1] 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离． [解] ∵AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3， ∴A ′(0，0，3)，C (1，2，0)，B (1，0，0)， ∴A ′C ―→＝(1，2，－3)．取a ＝BC ―→ ＝(0，2，0)，

新高考新教材1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2)教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) 本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决计算空间角问题。在向量坐标化的基础上，将空间中线线角、线面角及二面角问题，首先转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间角问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。 1.教学重点：理解运用向量方法求空间角的原理 2.教学难点：掌握运用空间向量求空间角的方法多媒体

一、情境导学地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26' .黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气) 点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来. 问题：空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些? 答案：线线角、线面角、二面角; 传统方法和向量法. 二、探究新知 1.利用向量方法求两异面直线所成角若两异面直线l 1,l 2 所成角为θ,它们的方向向量分别为a ,b ,则有 cos θ=|cos |= |a ·b | |a ||b | . 特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是(0,π 2],而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 1.若异面直线l 1,l 2 的方向向量分别是a =(0,-2,-1),b =(2,0,4),则异面直线 l 1 与l 2 的夹角的余弦值等于( ) A.-2 5 B.2 5 C.-2√5 5 D.2√55 解析因为a ·b =-4,|a |=√5,|b |=2√5,所以cos θ=|cos |=|a ·b |a ||b ||= 通过生活中的现实情况，帮助学生回顾空间角的概念，并提出运用向量解空间角的问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想