高考数学第一章空间向量与立体几何4-1第1课时空间中点直线和平面的向量表示练习含解析新人教A版选择性

第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示

学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．

知识点一 空间中点的位置向量

如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →

来表示．我们把向量OP →

称为点P 的位置向量．

知识点二 空间中直线的向量表示式

直线l 的方向向量为a ，且过点A .如图，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使

OP →＝OA →

＋t a ，① 把AB →

＝a 代入①式得 OP →＝OA →＋tAB →

，②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 思考 直线的方向向量是不是唯一的？

答案 直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．

知识点三 空间中平面的向量表示式 1．平面ABC 的向量表示式

空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →

.③ 我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式． 2．平面的法向量

如图，若直线 l ⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以 a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P |a ·AP →

＝0}．

思考 平面的法向量是不是唯一的？

答案 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．

1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( √ )

2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( × ) 3．直线的方向向量是唯一的．( × )

一、直线的方向向量

例1 (1)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A (0，y ，3)和B (－1,2，

z )两点，则y －z 等于( )

A ．0

B ．1 C.3

2 D ．3

答案 A

解析 ∵A (0，y ，3)和B (－1,2，z )，AB →

＝(－1,2－y ，z －3), ∵直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－1,3) ，故设AB →

＝k m . ∴－1＝2k ,2－y ＝－k ，z －3＝3k . 解得 k ＝－12，y ＝z ＝3

2.

∴y －z ＝0.

(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线 BC 1 的一个方向向量为________．

答案 (不唯一)(0,0,1) (0,1,1)

解析 ∵DD 1∥AA 1，AA 1—→

＝(0,0,1)，直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；

BC 1∥AD 1，AD 1→

＝(0，1,1), 故直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．

反思感悟 理解直线方向向量的概念

(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一．

跟踪训练1 (1)(多选)若M (1,0，－1)，N (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(1,1,3) C ．(3,1,1) D ．(－3,0,1)

答案 AB

解析 ∵M ，N 在直线l 上，∴MN →

＝(1,1,3)，

故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l 的一个方向向量．

(2)从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长|AB →

|＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(18,17，－17)

B. (－14，－19,17)

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫6，72，1

D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－112，13

答案 A

解析 设B 点坐标为 (x ，y ，z ) ，则 AB →

＝λa (λ>0)，即(x －2，y ＋1，z －7)＝λ(8,9，－12) ，因为|AB →|＝34，即64λ2＋81λ2＋144λ2

＝34，得λ＝2，所以x ＝18，y ＝17，z ＝－17.

二、求平面的法向量

例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．

解 因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．

如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则D (0，3，0)，P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，

32，12，C (1，3，0)， 于是AE →＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，32，12.AC →＝(1，3，0)．

设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·AC →＝0，

n ·AE →＝0，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋3y ＝0，

32

y ＋1

2z ＝0，所以⎩⎨

⎧

x ＝－3y ，z ＝－3y ，

令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.

所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 延伸探究

本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量？ 解 如图所示，建立空间直角坐标系，

则P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →

＝(1，3，－1)，即直线PC 的一个方向向量． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为D (0，3，0)，所以PD →

＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·PC →＝0，

n ·PD →＝0，

即⎩⎨

⎧

x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，

所以⎩⎨

⎧

x ＝0，

z ＝3y ，

令y ＝1，则z ＝ 3.

所以平面PCD 的一个法向量为(0,1，3)． 反思感悟 求平面法向量的方法与步骤

(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →

； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·AC →＝0，

n ·AB →＝0，

并求解；

(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为

0)便可得到平面的一个法向量．

跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．

解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →

＝(1，－1,0)． 则有⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·AB →＝0，

n ·BC →＝0，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

－2x ＋y ＋3z ＝0，

x －y ＝0，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3z ，

x ＝y .

令z ＝1，则x ＝y ＝3.

故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．

1．若A ( －1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1)

答案 A

解析 因为AB →

＝(2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线l 的一个方向向量．

2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若a ∥b ，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10 D ．6和10 答案 A

解析 由题意得2－4＝－3x ＝5

y

，且x ≠0，y ≠0，所以x ，y 的值分别是6和－10.

3．若n ＝(2，－3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )

A ．(0，－3,1)

B ．(2,0,1)

C ．(－2，－3,1)

D ．(－2,3，－1) 答案 D

解析 求与n 共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．

4．(多选)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是( )

A.AB →

B.AA 1—→

C.B 1B —→

D.A 1C 1—→ 答案 BC

5．已知平面α经过点O (0,0,0)，且e ＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________． 答案 x ＋2y －3z ＝0

解析 由题意得e ⊥OM →，则OM →

·e ＝(x ，y ，z )·(1,2，－3)＝0， 故x ＋2y －3z ＝0.

1．知识清单： (1)直线的方向向量． (2)平面的法向量． 2．方法归纳：待定系数法．

3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．

1．已知向量a ＝(2, －1,3)和b ＝(－4,2x 2

,6x )都是直线l 的方向向量，则x 的值是( ) A ．－1 B ．1或－1 C ．－3 D ．1

答案 A

解析 由题意得a ∥b ，所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x 2

＝2，

6x ＝－6，解得x ＝－1.

2．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( ) A. (4,2，－2) B. (2,0,4) C. (2，－1，－5) D. (4，－2，－2)

答案 D

解析 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行， 又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，故选D.

3．在菱形ABCD 中，若PA →

是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A.PA →⊥AB → B.PC →⊥BD → C.PC →⊥AB →

D.PA →⊥CD →

答案 C

解析 ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴BD ⊥PA . 又AC ⊥BD ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∴PC ⊥BD .

故选项B 成立，选项A 和D 显然成立．故选C.

4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1,1，－1) B ．(1，－1,1) C ．(－1,1,1) D ．(－1，－1，－1)

答案 D

解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →

＝(－1,0,1)．

设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩

⎪⎨

⎪⎧

－x ＋y ＝0，

－x ＋z ＝0，

取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.

故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．

5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是( )

A ．平面AB

B 1A 1的一个法向量为(0,1,0) B ．平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)

C ．平面B 1C

D 1的一个法向量为(1,1,1) D ．平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1) 答案 AC

解析 ∵AD →

＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ， ∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴A 正确；

∵CD →＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD →

＝－1≠0， ∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴ B 不正确；

∵B 1C —→＝(0,1，－1)，CD 1—→＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B 1C —→＝0，(1,1,1)·CD 1—→

＝0，B 1C ∩CD 1＝C ， ∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴C 正确；

∵BC 1—→＝(0,1,1)，而BC 1—→

·(0,1,1)＝2≠0， ∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即D 不正确．

6．已知平面ABC ，且A (1,2，－1)，B (2,0，－1)，C (3，－2,1)，则平面ABC 的一个法向量为________．

答案 (2,1,0)(答案不唯一)

解析 AB →＝(1，－2,0)，AC →

＝(2，－4,2)， 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －2y ＝0，2x －4y ＋2z ＝0，

令y ＝1，得x ＝2，z ＝0，

故平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,0)．

7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案

π2或π

3

解析 由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →

＝0，

即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝1

2.

∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3

.

8.在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：

①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的是________．(填序号) 答案 ①②③

解析 DD 1—→＝AA 1—→＝(0,0,1)，故①正确；BC 1—→＝AD 1—→＝(0,1,1)，故②正确；直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →

＝(0,1,0)，故③正确；向量AC 1—→

的坐标为(1,1,1)，与平面B 1CD 不垂直，∴④错．

9．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2, －2)． (1)写出直线BC 的一个方向向量；

(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内的任意一点，试写出

x ，y ，z 满足的关系式．

解 (1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，

∴BC →

＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量． (2)由题意AM →

＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC →

⊥平面α，AM ⊂α， ∴BC →⊥AM →，

∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0.

∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.

10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →

是平面A 1D 1F 的法向量．

证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， D 1F —→＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12，－1，A 1D 1—

→＝(－1,0,0)．

∵AE →·D 1F —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝12－1

2＝0，

又AE →·A 1D 1—→

＝0， ∴AE →⊥D 1F —→，AE →⊥A 1D 1—→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，

∴AE →

是平面A 1D 1F 的法向量．

11．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交

答案 C

解析 因为AB →

＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)， 所以AB ∥平面yOz .

12．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．(1，－1,1) B.⎝

⎛⎭⎪⎫1，3，32

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32

答案 B

解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →

·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →

·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝⎝

⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →

·n ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.

13．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( ) A ．(1，－4,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1

4

，－1，12

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

4，1，－12

D ．(0，－1,1)

答案 D

解析 因为PM →

＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足

⎩⎨⎧

n ·a ＝0，

n ·PM →

＝0，

把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D.

14．若A ⎝

⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.

答案 2∶3∶(－4)

解析 由已知得，AB →＝⎝

⎛⎭⎪⎫1，－3，－74， AC →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2，－1，－74， ∵a 是平面α的一个法向量，

∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ，

∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭

⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．

15．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，

AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥DB →

.其中正确的是________．(填序号)

答案 ①②③

解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，

∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．

又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，

则③正确，由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误．

16.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，

且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12

，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．

解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，

则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.

向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即

⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－12x ，

z ＝12x . 取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，

故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．

数学第一章空间向量与立体几何1-1第1课时空间向量及其线性运算练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第1课时 空间向量及其线性运算 学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律． 知识点一 空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB → ，其模记为|a |或|AB → |. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 思考 空间中的两个向量是不是共面向量？ 答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a ＋ b ＝OA →＋ AB → ＝OB → 减法 a － b ＝OA → －OC →＝CA → 数乘 当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ → ； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；

当λ＝0时，λa ＝0 运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ； 分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0. 1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ ) 3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC → 是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ ) 一、向量概念的应用 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等 C ．若向量AB →，C D →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD → D ．相等向量其方向必相同 答案 D 解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反 B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | C ．空间向量的加法满足结合律 D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC 解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝

新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题 含解析

选择性必修第一册全册课后练习题 本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！ 第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 - 1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 - 1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 - 1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 - 1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 - 1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 - 1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 - 1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 - 1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 - 章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 - 2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 - 2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 - 2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 - 2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 - 2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 - 2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 - 2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 - 2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 - 2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 - 2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 - 2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 - 2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 - 2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 - 章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 - 3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 - 3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 - 3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 - 3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 - 3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 - 3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 - 3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 - 章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -

高考数学第一章空间向量与立体几何4-1第1课时空间中点直线和平面的向量表示练习含解析新人教A版选择性

第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量． 知识点一 空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP → 来表示．我们把向量OP → 称为点P 的位置向量． 知识点二 空间中直线的向量表示式 直线l 的方向向量为a ，且过点A .如图，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 OP →＝OA → ＋t a ，① 把AB → ＝a 代入①式得 OP →＝OA →＋tAB → ，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 思考 直线的方向向量是不是唯一的？ 答案 直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 知识点三 空间中平面的向量表示式 1．平面ABC 的向量表示式 空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC → .③ 我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式． 2．平面的法向量 如图，若直线 l ⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以 a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P |a ·AP → ＝0}．

思考 平面的法向量是不是唯一的？ 答案 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取． 1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( √ ) 2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( × ) 3．直线的方向向量是唯一的．( × ) 一、直线的方向向量 例1 (1)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A (0，y ，3)和B (－1,2， z )两点，则y －z 等于( ) A ．0 B ．1 C.3 2 D ．3 答案 A 解析 ∵A (0，y ，3)和B (－1,2，z )，AB → ＝(－1,2－y ，z －3), ∵直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－1,3) ，故设AB → ＝k m . ∴－1＝2k ,2－y ＝－k ，z －3＝3k . 解得 k ＝－12，y ＝z ＝3 2. ∴y －z ＝0. (2) 在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线 BC 1 的一个方向向量为________． 答案 (不唯一)(0,0,1) (0,1,1) 解析 ∵DD 1∥AA 1，AA 1—→ ＝(0,0,1)，直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)； BC 1∥AD 1，AD 1→ ＝(0，1,1), 故直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．

空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

空间向量与立体几何 【知识要点】 1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算： ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立． ②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )； 分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ． (2)空间向量的基本定理： ①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ． ②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ． ③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ． (3)空间向量的数量积运算： ①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉； ②空间向量的数量积的性质： a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥ b ?a ·b ＝0； |a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜． ③空间向量的数量积的运算律： (λ a )·b ＝λ (a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ； 分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示： ①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)． ②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 a ＋ b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件： a ∥ b (b ≠0)?a ＝λ b ?a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )； a ⊥b ?a ·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ;||,||232 221232221b b b a a a ++==++==??b b b a a a

高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)

第一章空间向量与立体几何单元过关基础A 版 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5- 【答案】A 【解析】 【分析】 关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数． 【详解】 关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ． 【点睛】 本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题． 2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（ ） A ．1D 的坐标为(1,0,0) B ．1D 的坐标为(0,1,0) C ．13B B 293 D ．13B B 14【答案】D

【分析】 根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】 由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ， 13B B ==. 故选：D. 【点睛】 本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题. 3．空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3345A B 、，，，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．()234， ， B ．()134，， C ．()235，， D ．()245， ， 【答案】A 【解析】 点()()1,2,3345A B 、， ，， 由中点坐标公式得中得为：132435,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，即()234，，. 故选A. 4．已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是⎫ ⎪⎪⎝⎭ C ．AB 与BC D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)- 【答案】D 【分析】 根据向量的相关性质判断. 【详解】 对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；

第一章 空间向量与立体几何章末测试(解析版) 高二数学新教材选择性必修第一册(人教A版)

第一章 空间向量与立体几何章末测试 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分） 1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( ) A ．1- B ．1 C D ．73 【答案】A 【解析】如图所示 由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅= E 是棱AB 中点 12PE PA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC 故选：A 【点睛】 本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型. 2．（2020·宜昌高二期末）已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ） A ．9 B ．﹣9 C ．﹣3 D ．3 【答案】B

【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面， (2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=， 272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ . 故选:B. 3．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个 C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等 【答案】C 【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错. B 项，空间基底有无数个, 所以B 错. D 项中因为基底不唯一，所以D 错. 故选C . 4．（2020·全国高二课时练习）若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l α C ．l α⊥ D ．l 与α相交 【答案】C 【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-， 平面α的法向量为()3,6,9n =--， ∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥． 故选C ． 5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16 B ．14 C ．16- D ．14 -

新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1空间向量及其运算精讲含解析新人教A版选择性必修第一册

空间向量及其运算

考点一概念的辨析 【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中,假命题是（）A．同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】A.向量是有向线段,不能比较大小.真命题. B.两向量相等：方向相同,模长相等.起点相同,则终点也相同.真命题. C.零向量：模长为0的向量.真命题. D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D. 【一隅三反】 1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若向量,a b共线,则,a b所在的直线平行； ②若向量,a b所在的直线是异面直线,则,a b一定不共面；

③若三个向量,a b c ，两两共面,则,a b c ，三个向量一定也共面； ④已知三个向量,a b c ，,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道,两向量共线有可能两向量所在的直线重合,所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内,所以此命题错误；对于③：若三个向量 ,,a b c 两两共面,这三个向量有可能不共面,所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道,这三 个向量要不共面才可以,所以此命题错误,所以选A 2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行； ②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面； ④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行或重合；所以①错； ②因为向量是可以自由移动的量,因此即使a 、b 所在的直线是异面直线,a 、b 也可以共面；所以②错； ③若a 、b 、c 三向量两两共面,因为两平面的关系不确定,因此a 、b 、c 三向量不一定共面；所以③错； ④若三向量a 、b 、c 共面,若向量p 不在该平面内,则向量p 不能表示为p xa yb zc =++,所以④错. 故选：A. 考法二 空间向量的线性运算 【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且2AF FD =,E 为BC 中点,则EF 等于（ ）

新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1-1共线向量与共面向量练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第2课时 共线向量与共面向量 学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面． 知识点一 共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a ＝λb . 2．直线的方向向量 在直线l 上取非零向量a ,我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 思考1 对于空间向量a ,b ,c ,若a ∥b 且b ∥c ,是否可以得到a ∥c ? 答案 不能．若b ＝0,则对任意向量a ,c 都有a ∥b 且b ∥c . 思考2 怎样利用向量共线证明A ,B ,C 三点共线？ 答案 只需证明向量AB →,BC → (不唯一)共线即可． 知识点二 共面向量 1．共面向量 如图,如果表示向量a 的有向线段OA → 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b . 思考 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,存在有序实数对(x ,y ),满足关系OP →＝OA → ＋ xAB →＋yAC → ,则点P 与点A ,B ,C 是否共面？ 答案 共面. 由OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,可得AP →＝xAB →＋yAC →,所以向量AP →与向量AB →,AC → 共面,故点P 与点A ,B ,C 共面．

新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

一、选择题 1．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =， 13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所 成角的正弦值等于（ ） A ． 10 B ． 6 C ． 10 D ． 15 2．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243 A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（ ） A ．3 B ．5 C ．9 D ．21 3．已知在平行六面体中 ,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（ ） A ．52 B ．9 C 85 D 734．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）

A ．306 B ．6 C ． 3 D ． 6 5．已知向量{} ,,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A ．a b +，a ，a b - B ．a b +，b ，a b - C ．a b +，c ，a b - D ．a b +，2a b -，a b - 6．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,H E 分 别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面 α相交于一条线段，则该线段的长度是（ ） A ． 14 4 B ． 114 C ． 142 D ． 112 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（ ）

2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--空间向量及其线性运算

2022版人教A 版高中数学选择性必修第一册--第一章 空间向 量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 基础过关练 题组一 空间向量的基本概念 1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是 ( ) ①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0;③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是相等向量;④在空间四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是相反向量;⑤在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模一定相等的向量一共有3个. A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列说法正确的是 ( ) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 3.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列向量相等的是 ( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗

题组二 空间向量的加法与减法运算 4.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列各式的运算结果为向量B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是 ( ) ①A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;④B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 5.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则选项中为正确命题的是 ( ) A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量 B.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量 C.OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量 D.1 2 (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )与12 (OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )是一对相反向量 6.已知四边形ABCD ,O 为空间任意一点,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( ) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形 7.(2020北京陈经纶中学高二上期中)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AD =AA 1=1,AB =2,则|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 8.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ,b ,c 表示) 题组三 空间向量的数乘运算 9.(2021山东泰安一中等六校阶段性联考)如图,在三棱锥O -ABC 中,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (深度解析)

高中数学第一章空间向量与立体几何 空间直角坐标系课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

第一章 1.3 1.3.1 A级——基础过关练 1．已知点A(－3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( ) A．(－3,－1,－4) B．(－3,－1,4) C．(3,1,4) D．(3,－1,－4) 【答案】A 【解析】关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以A(－3,1,4)关于x轴的对称点坐标为(－3,－1,－4)． 2．在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q 的坐标为( ) A．(0,2,0) B．(0,2,3) C．(1,0,3) D．(1,2,0) 【答案】B 【解析】由于垂足Q在Oyz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQ⊥Oyz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1,2,3),所以y＝2,z＝3,可得Q(0,2,3)． 3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知点B1(1,0,3),D(0,2,0),则点C1的坐标为( ) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,3,1) D．(3,2,1) 【答案】A 【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1,2,3)． 4．在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A的坐标是( )

A ．(－1,－1,－1) B ．(1,－1,1) C ．(1,－1,－1) D ．(－1,1,－1) 【答案】C 【解析】依据空间点的坐标定义可知,点A 的坐标是(1,－1,－1)． 5．如图,在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,棱长为2,E 是B 1B 上的点,且|EB |＝2|EB 1|,则点E 的坐标为( ) A ．(2,2,1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43 【答案】D 【解析】因为EB ⊥Oxy 平面,而B (2,2,0),故设E (2,2,z )．又因为|EB |＝2|EB 1|,所以|BE |＝23|BB 1|＝43,故点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43． 6．(2021年绵阳月考)在空间直角坐标系中,已知点A (－1,1,3),则点A 关于xOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．(1,1,－3) B ．(－1,－1,－3) C ．(－1,1,－3) D ．(－1,－1,3) 【答案】D 【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A (－1,1,3)关于xOz 平面的对称点的坐标为(－1,－1,3)．故选D ． 7．(多选)如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝5,AD ＝4,AA 1＝3,以直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则( )

空间中点、直线和平面的向量表示(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修第一册

第1课时空间中点、直线和平面的向量表示 （一）教学内容 空间中点、直线和平面的向量表示 （二）教学目标 1.会将空间中的点、直线、平面用规范的向量语言表示出来，通过学会空间中的点、直线、平面的向量表示再来研究空间的直、平面的平行、垂直的关系； 2.通过恰当选取几何体中的一个向量基底，加深理解向量基本定理，能够用向量规范表示空间中的点、直线、平面，体悟数学“元”思想，发展学生的数学抽象等数学核心素养. （三）教学重点及难点 1.重点 空间中点、直线和平面的向量表示 2.难点 恰当选取基底及求平面的法向量 （四）教学过程 引导语：前几节课，我们已经把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的立体几何问题.在这个过程中，你有没有发现利用空间向量解决立体几何问题的关键是什呢？我们看下面的问题：问题1：形成空间几何图形的基本元素是什么？ 师生活动： （1）教师给出问题，提醒学生回顾立体几何初步的的内容

（2）学生独立思考后回答，空间几何图形的基本元素为点、直线、平面 （3）教师点评 教师追问：空间几何图形的基本元素点、直线、平面是不能进行运算的，你有什么办法能让不能运算的这些要素对应到另一个可运算的领域中？ （1）教师给出问题，提示学生回顾平面解析几何及平面向量的的研究方法进行思考 （2）学生阅读教科书 P结合教师提示独立思考后回答问题，教师点评； 26 （3）教师总结，先用规范的向量语言表示空间中的点、直线、平面，再在向量领域中通过代数运算解决元素之间的位置关系和度量问题. 设计意图：通过组成空间图形要素的提炼，引出点、直线、平面的向量表示. 这样我们得到,空间向量解决立体几何问题的关键是点、直线、平面的向量表示. 首先，让我们一起来研究 问题2.如何用向量表示空间中的一个点P？ 师生活动： （1）教师提出问题，并展示ppt，如图1，提示学生阅读教科 书 P后观察思考， 26 （2）学生代表投影展示所得答案；（图1） （3）师生辨析学生展示结果，教师总结：首先，在空间中取一点O为“基”点；其次，空间中任意一点P的位置由向量OP来表示,这样当向量OP确定时,点P相对于O点的方向和距离是确定的.即点P的位置确定.因此，我们把向量OP称为点P的位置向量. 设计意图：通过空间内点P的向量表示OP，即为点P的位置，结合GGB的操

新教材高考数学第一章空间向量与立体几何2第1课时空间向量基本定理练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第1课时 空间向量基本定理 学习目标 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 . 知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ， z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 思考 零向量能否作为基向量？ 答案 不能. 零向量与任意两个向量a ，b 都共面． 知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i ，j ，k }表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k 使得a ＝ x i ＋y j ＋z k . 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交 分解． 1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．( × ) 2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．( √ ) 3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．( √ ) 4．对于三个不共面向量a 1，a 2，a 3，不存在实数组(x ，y ，z )，使0＝x a 1＋y a 2＋z a 3.( × ) 一、空间的基底 例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC → ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC → }能否作为空间的一个基底． 解 假设OA →，OB →，OC → 共面． 则存在实数λ，μ使得OA →＝λOB →＋μOC → ， ∴e 1＋2e 2－e 3＝λ(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋μ(e 1＋e 2－e 3)

新教材高中数学第一章空间向量与立体几何4-1空间中直线平面的平行练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第2课时 空间中直线、平面的平行 学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 知识点一 线线平行的向量表示 设u 1,u 2分别是直线l 1,l 2的方向向量,则 l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ,使得u 1＝λu 2. 知识点二 线面平行的向量表示 设u 是直线 l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l ⊄α,则 l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0. 知识点三 面面平行的向量表示 设n 1 ,n 2 分别是平面α,β的法向量,则 α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ,使得n 1＝λn 2 . 思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？ 答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路 (1)转化为线线关系,然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定． 1．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0),平面α的法向量为n ＝(2,1,－1),则( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l ∥α或l ⊂α 答案 D 2．若平面α∥β,且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12,则平面β的法向量可以是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，14 B ．(2,－1,0) C ．(1,2,0) D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，1，2 答案 A 3．若两个不同平面α,β的法向量分别为u ＝(1,2,－1),v ＝(－4,－8,4),则平面α,β的位置是________． 答案 α∥β

解析 ∵u ＝－1 4 v ,∴α∥β. 一、证明线线平行 例1 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝3,AD ＝4,AA 1＝2,点M 在棱BB 1上,且BM ＝2MB 1,点S 在 DD 1上,且SD 1＝2SD ,点N ,R 分别为A 1D 1,BC 的中点．求证：MN ∥RS . 证明 方法一 如图所示,建立空间直角坐标系, 根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43,N (0,2,2),R (3,2,0),S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23. 则MN →,RS → 分别为MN ,RS 的方向向量, 所以MN →＝⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－3，2，23,RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23, 所以MN →＝RS →,所以MN →∥RS → ,因为M ∉RS , 所以MN ∥RS . 方法二 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→ ＝c , 则MN →＝MB 1—→＋B 1A 1—→＋A 1N —→＝1 3c －a ＋12b , RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝1 2b －a ＋13c . 所以MN →＝RS →,所以MN →∥RS → . 又R ∉MN ,所以MN ∥RS . 反思感悟 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形． 证明 以点D 为坐标原点,分别以DA →,DC →,DD 1—→ 为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体