求轨迹方程的五种方法

求轨迹方程的五种方法

1.参数方程法：利用参数方程表示曲线上任意一点的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数。

2. 一般式法：将曲线的一般式y=ax^2+bx+c和y=k(x-h)^2+v表示成标准式，然后进行配凑，求得曲线的轨迹方程。

3.隐式方程法：将曲线的形状表示成一些等式或者不等式，通过解方程或者判断不等式的不等关系确定曲线的轨迹方程。

4.极坐标方程法：对于极坐标系下的曲线，可通过极坐标方程

r=f(θ)来表示其轨迹方程。

5.向量函数法：将曲线表示为向量函数，即曲线上的任意一点p处的位置矢量可以表示为一个向量f(t)，则曲线的轨迹方程可以表示为

r(t)=f(t)。

轨迹方程的五种求法例题

轨迹方程的五种求法例 题 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 λ=MQ MN ，即 λ=-MQ ON MO 2 2， λ=+--+2 2 22)2(1y x y x ．整理得 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．若 1=λ，方程化为45= x ，它表示过点)0,4 5 (和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，1 3122-+λλ为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PB AP λ，∴ .2121,212311++=++= y y x x 解得2 1 23,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2 3 23()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方 程为),3 1 (32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法

求轨迹方程的常用方法(经典)

求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )() ()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ???=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆5 92 2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（ ）【答案】：B A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092 2=+y x D 、5 3622y x + 【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得15 4922=+y x ,选B 2. 圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是

高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结

高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结 一、直接法 若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节. 二、定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、

双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程． 三、代入法 若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.

四、参数法 若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.

点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法 若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.

轨迹方程求解常用方法

圆锥曲线补充（1） 轨迹方程求解常用方法 一．定义法 如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （2） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3） 抛物线：到定点与定直线距离相等。 例1一动圆与圆O ：12 2=+y x 外切，而与圆C ：0862 2 =+-+x y x 内切，那么动圆的 圆心M 的轨迹是： A ：抛物线 B ：圆 C ：椭圆 D ：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R ，则有? ? ?-=+=1||1 ||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D 。 例 2 已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045 ==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭 圆的定义。令椭圆方程为 12 '22 '2=+ b y a x ，则34,5'''=?==b c a ，则轨迹方程为 19 252 2=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 练习：1. 点M 到点F （4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。 【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。 2.已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中， 1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13 42 2-≠<=+x x y x .

轨迹方程的求法

轨迹方程的求法 一、直接法求轨迹方程的一般步骤：“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系； 2、设动点坐标(),x y ； 3、限制条件列出来（如一些几何等量关系）； 4、代入：用坐标代换条件，得到方程(),0f x y =； 5、化简（最后要剔除不符合条件的点）. 例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 巩固训练1：平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程. 巩固训练2：已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它 们的斜率之积是4 9 -，求点M 的轨迹方程. 巩固训练3：已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=：，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程.

二、定义法：如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻：（1）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制. 例2、（1）求与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程. （2）已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 巩固训练1：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2 21:42F x y ⎛ ⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的 垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程. 巩固训练2：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2 211:24F x y ⎛ ⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的 垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程. 巩固训练3：在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，求点M 的轨迹方程.

求点的轨迹方程常用方法

求点的轨迹方程的常用方法 一.直接法. 1.设点 ()()1,0,1,0A B -，直线,AM BM 相交于点,M 且它们的斜率之积为2，求点M 轨迹方程. 2.已知动点(),P x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点P 轨迹方程. 二.定义法 3. y 轴及y 轴右侧的点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1，求点M 轨迹方程. 4. 已知动圆M 过定点()4,0P -，且与圆22:80C x y x +-=相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 5.已知椭圆2 214 x y +=的左、右焦点12,;F F P 是椭圆上一个动点，如果延长1F P 到Q ，使2,PQ PF =那么动点Q 的轨迹方程. 6. 已知ABC ∆的顶点 ()()4,0,4,0,A B -C 为动点，且满足5sin sin sin ,4B A C +=求顶点C 轨迹方程. 三.相关点法（代入法） 7.已知点()4,0D ,在圆224x y +=上任取一点P ，求线段PD 的中点M 的轨迹方程. 8.在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 做x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点M 在DP 的延长线上，且3,2 DM DP =当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.

9.已知椭圆2 214 x y +=的焦点12,;F F P 是椭圆上一个动点，12F PF ∠的外角平分线,l 点2F 关于直线l 的对称点为Q ，2F Q 交l 于点,R 求动点R 的轨迹方程. 四.参数法 10.已知动圆222:42640,M x y bx by b ++-+-=求动圆圆心M 的轨迹方程. 11.已知动圆22:6cos 4sin 0,M x y x y ββ++-=求动圆圆心M 的轨迹方程. 高考实战 （2013年）1.已知动圆P 与圆()22:11M x y ++=外切，且与圆()22:19N x y -+=相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程. （2014年）2.已知点()2,2P ,圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. （2017年）3.在椭圆2 2:12 x C y +=上任取一点M ，过点M 做x 轴的垂线段MN ，N 为垂足，点P 满足2,NP NM =求点P 的轨迹方程. （2013年）4.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆P 在x 轴上，截得线段长为P 在y 轴上，截得线段 长为求点P 的轨迹方程.

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法 一、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =u u u r u u u r ·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ． 二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有 2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．2 2 5b a c =-=∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为 22 1(0)16925 x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得00313 3x x y y -++? =????=?? ，，00323x x y y =+??=?， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2 00y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24 34(0)3 y x x y =++≠． 四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r ·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐

常见轨迹方程的求法

动点轨迹方程的常见求法 一、待定系数法； 它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。 例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴比双曲线的 半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。 解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为22a x +22 b y = 1，双曲线的方程为22 m x －22n y = 1。 Θ2c = 213 , ∴c = 13 . Θa – m = 4 , m c : n c = 7 3 , ∴a = 7 , m = 3 . Θ b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 . ∴椭圆方程为492x +36 2 y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得： ∴椭圆方程为492y +36 2 x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。 二、直译解析法； 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴， 建立直角坐标系如右图： 则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y), ∠PAB = α , 则∠PBA =2αΘ3 -x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2)(1)(2x y x y -- = 222y x xy -- ∴y = 0 (0

常见轨迹方程的求法

常见轨迹方程的求法

动点轨迹方程的常见求法 一、待定系数法； 它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。 例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半 长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。 解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为 22a x +22b y = 1，双曲线的方程为22 m x －22n y = 1。 2c = 213 , ∴c = 13 . a – m = 4 , m c : n c = 7 3 , ∴a = 7 , m = 3 . b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 . ∴椭圆方程为492x +36 2 y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得： ∴椭圆方程为492y +36 2 x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。 二、直译解析法； 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 建立直角坐标系如右图：则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y), ∠PAB = α , 则∠PBA =2α 3 -x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2) (1) (2x y x y -- = 2 22y x xy -- ∴y = 0 (0

求点的轨迹方程的六种常见方法

求点的轨迹方程的六种常见方法 点的轨迹方程是描述点在运动过程中所经过的路径的数学方程。在数 学和物理等领域，有许多方法可以推导和描述点的轨迹方程。下面介绍六 种常见的方法。 一、直角坐标系方法 直角坐标系方法是最常见的一种方法，通常用于平面分析。在直角坐 标系下，点的位置可以用横坐标x和纵坐标y来表示。如果已知点的坐标 与时间的关系，可以通过方程联立或者曲线拟合的方法得到点的轨迹方程。 二、参数方程方法 参数方程方法是一种将点的位置用参数表示的方法。通过引入参数t，点的坐标可以用关于t的函数表示，如x=f(t)和y=g(t)，这样就可以得 到点的轨迹方程。参数方程方法适用于描述直线、圆和其他曲线的方程。三、极坐标系方法 极坐标系方法是一种将点的位置用极径r和极角θ来表示的方法。 通过引入极径和极角的关系表达式，可以得到点的轨迹方程。例如，对于 圆的方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是关于极角θ的函数。 四、矢量方程方法 矢量方程方法是一种用矢量表示点的位置的方法。通过引入位置矢量 r(t)，可以得到点的轨迹方程。位置矢量r(t)通常用分量表示，如 r=(x,y,z)。矢量方程方法适用于描述曲线在三维空间中的轨迹。 五、微分方程方法

微分方程方法是一种通过点的运动规律和动力学方程来推导轨迹方程 的方法。通过对点的位置向量或者其分量进行微分，并代入运动规律方程，可以得到点的轨迹方程。微分方程方法适用于描述受力作用下点的运动。六、变分原理方法 变分原理方法是一种通过极小化或者极大化一些物理量来推导轨迹方 程的方法。通过对点的位置或路径的泛函进行变分，可以得到使泛函取得 极值的轨迹方程。变分原理方法适用于描述光的传播、质点在介质中的传 播等问题。 综上所述，点的轨迹方程可以通过直角坐标系方法、参数方程方法、 极坐标系方法、矢量方程方法、微分方程方法和变分原理方法等六种常见 方法推导和描述。不同的方法适用于不同的情况和问题，选择合适的方法 可以更方便地求解轨迹方程。

求与圆有关的轨迹方程的方法及例题

求与圆有关的轨迹方程 ［概念与规律］ 求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。 （2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲 线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M （x, y），已知曲线上的点为N （x o, y o）, 求出用x，y表示x o, y o的关系式，将（x o，y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 ［讲解设计］重点和难点 例1 已知定点A (4, 0)，点B是圆x2+y2=4上的

动点，点P分AB的比为2: 1，求点P的轨迹方程 例2自A (4, 0)引圆x2+y2=4的割线ABC ,求弦BC中点P的轨迹方程

例3 已知直角坐标平面上的点Q （2, 0）和圆C : x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数・c 0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。（1994年全国高考文科题） 例4 如图，已知两条直线l i：2x-3y+2=0，I2: 3x- 2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l i，I2都相交，并且l i与I2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。（1983年全国高考题）

练习与作业 1．已知圆C1：（x+1）2 + y2=1 和C2：（x-1）2 + （y-3）2=10，过原点O的直线与C i交于P，与C2交于Q,求PQ线段的中点M的轨迹方程。

求与圆有关的轨迹方程的方法及例题

求与圆有关的轨迹方程 [概念与规律] 求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是： 设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0）， 求出用x，y表示x0，y0的关系式， 将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。 （3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 [讲解设计]重点和难点 例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。

例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。

例3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。（1994年全国高考文科题） 例4 如图，已知两条直线l1：2x-3y+2=0，l2：3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l1，l2都相交，并且l1与l2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。（1983年全国高考题）

练习与作业 1．已知圆C1：（x+1）2 + y2=1和C2：（x-1）2 +（y-3）2=10，过原点O的直线与C1交于P，与C2交于Q，求PQ线段的中点M的轨迹方程。

求曲线轨迹方程的常用方法

高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 昕 省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化〞将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考察考生对曲线的定义、性质等根底知识的掌握，还充分考察了各种数学思想方法与一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和条件的在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下：（1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质. （2）定义法：假设动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义〔如椭圆、双曲线、抛物线、圆等〕，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法. （4）参数法：假设动点的坐标〔x，y〕中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程. （5）几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法.

（6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：〔直接法〕 如图，设B 〔x ，y 〕，由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2+［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+=〔x ≠0〕 法二：〔定义法〕 设B 〔x ，y 〕，如上图，因为B 是OA 的中点 所以∠OBC=90︒, 那么B 在以OC 为直径的圆上， 故B 点的轨迹方程是2211()24 x y -+=〔x ≠0〕. 法三：〔代入法〕 设A 〔1x ，1y 〕，B 〔x ，y 〕，

轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q 2,0和圆C ：,动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数如图,求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线． 解析：设Mx ,y ,直线MN 切圆C 于N ,则有 ,,即 ,, ．整理得,这就是动点M 的轨迹方程．若,方程化为,它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1,方程化为,它表示以为圆心,为半径的圆． 二、代入法 若动点Mx,y 依赖已知曲线上的动点N 而运动,则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2,已知抛物线,定点A 3,1,B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有BP :PA =1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线． 解析：设,,由题设,P 分线段AB 的比,,∴,,解得, 又点B 在抛物线上,其坐标适合抛物线方程,∴,,整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3,若动圆与圆外切且与直线x =2相切,则动圆圆心的轨迹方程是 A ,,,,,,,,,,,,,,B 12 2 =+y x MQ ()0>λλλ=MQ MN λ=-MQ ON MO 2 2λ=+--+2 222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(2 22222=++--+-λλλλx y x 1=λ45= x )0,4 5 (2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(22-λλ1 3122-+λλ12 +=x y ),(),,(11y x B y x P 2== PB AP λ.2121,212311++=++= y y x x 2 1 23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2 3 23()2123( 2+-=-x y ),3 1 (32)31(2-=-x y 4)2(2 2 =++y x 012122 =+-x y 012122 =-+x y

轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)

轨迹方程的六种求法整理 求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考. 求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法 把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。 1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =·，求点P 的轨迹。26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程； （2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得 代入 二、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 1、 若动圆与圆4)2(2 2 =++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹 方程是

解析几何求轨迹方程的常用方法

解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律符合我们的*种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否符合我们熟知的*些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔*，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的*个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标*，y 与该参数t 的函数关系*＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔*，y 〕＝0。 4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外*一点P'的运动引发的，而该点的运动规律，〔该点坐标满足*曲线方程〕，则可以设出P 〔*，y 〕，用〔*，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。 例2：ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y +=部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.