求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法：

题型一 直接法

此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。

例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。

解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈

AN AM ⊥

∴1-=⋅AN AM k k ∴12

0322230-=--⋅--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2

3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。

变式1

已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。

（1） 求动点M 的轨迹C 的方程；

（2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜

率。

题型二 定义法

圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。

例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2

2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。

42=a

∴2=a ，4=c ∴1222=-=a c b 故动圆圆心M 的轨迹方程为112

42

2=-y x 变式2

在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，

求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为

重心，则有239263

BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，

其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．

∴所求ABC △的重心的轨迹方程为22

1(0)16925

x y y +=≠ 题型三 相关点法

此法的特点是动点),(y x M 的坐标取决于已知曲线C 上的点)','(y x 的坐标，可先用y x ,来表示','y x ，再代入曲线C 的方程0),(=y x f ，即得点M 的轨迹方程。

例3 如图，从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程

分析：从题意看动点P 的相关点是Q ，Q 在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。 解：设动点P 的坐标为),(y x ，点Q 的坐标为),(11y x ，则点N 的坐标为)2,2(11y y x x -- N 在直线2=+y x 上，

∴22211=-+-y y x x …①

又 P Q 垂直于直线2=+y x ，

∴11

1=--x x y y ，即011=-+-x y y x …② 由①②解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-+=-+=123211212311y x y y x x …③ 又点Q 在双曲线122=-y x 上，∴12

121=-y x …④

③代入④，得动点P 的轨迹方程为01222222=-+--y x y x

变式3已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．

解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②

又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200

y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠， 即所求曲线方程是2434(0)3

y x x y =++≠．

题型四 参数法

选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标y x ,，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。

例4已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使有向线段OP OP '，

满足4OP

OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，，

则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭

，． 由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta

=+=--，． 两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．

这就是所求点M 的轨迹方程．

变式4设椭圆方程为142

2

=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点B A ，，O 是坐标原点，l 上的动点P 满足)(21+=，点N 的坐标为)2

1,21(，当l 绕点N 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||的最小值与最大值.

分析：（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出2121,y y x x ++，进而表示出点P 坐

标，用消参法求轨迹方程；（2）将||表示成变量x 的二次函数。

解：（1）法一：直线l 过点)1,0(M ，当l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y 。设),(11y x A ，),(22y x B ，由题设可列方程为

⎪⎩

⎪⎨⎧=++=1412

2y x kx y 将①代入②并化简得：032)4(2

2=-++kx x k ， 所以⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=++-=+2212

2148

42k y y k k x x 于是)(21+=)2,2(2121y y x x ++=)44,4(22k

k k ++-= 设点P 的坐标为),(y x ，则

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+-=22

444k y k k x 消去参数k 得042

2=-+y y x …③

当直线l 的斜率不存在时，B A ，的中点坐标为原点)0,0(，也满足方程③，

所以点P 的轨迹方程为0422=-+y y x 。

法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A ，),(22y x B 在椭圆上，所以 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=+141422222121y x y x ④—⑤得：0)(4

122212

221=-+-y y x x 所以0))((41))((21212121=-++-+y y y y x x x x ① ② ④ ⑤

当21x x ≠时，有0)(412

1212121=--+++x x y y y y x x …⑥ 并且⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=21212121122x x y y x y y y y x x x …⑦ 将⑦代入⑥并整理得042

2=-+y y x …⑧

当21x x =时，点B A ，的坐标分别为)2,0(、)2,0(-， 这时点P 的坐标为)0,0(，也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为14

1

)21(1612

2

=-+y x 。 （2）由点P 的轨迹方程知1612≤x ，即4

141≤≤-x 所以222)21()21(||-+-=y x NP 22441)21(x x -+-=12

7)61(32++-=x ， 故当41=x 时，||NP 取得最小值，最小值为41； 故当6

1-

=x 时，||NP 取得最小值，最小值为621；

求曲线轨迹方程的五种方法

求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为(x, y)， 则A( 2x，0)，B(0，2y)，由|AB|=2a 得 (2x 0)2(0 2y)2=2a 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M (2, 0)的距离之 差等于2,则点P的轨迹是( ) A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M (2, 0)的距离等于这点到直线 x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为(x，y)，贝S |x+4卜(x 2)2 y2=2

当x>-4 时，x+4- , (x 2)2 y2=2 化简得

当时，y 2=8x 当 X V -4 时，-x-4- .. （x 2）2 y 2 =2 无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程， 明显, 解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义 法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、代入法 如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （ a , b ）,而Q （ a, b ） 又在某已知曲线上，则可先列出关于 x 、y 、a 、b 的方程组，利用X 、 y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程， 此法称为代入法。 2 仝1上运动，则厶F 1F 2P 9 的重心G 的轨迹方程是 _____________________ 解：设 P （X 。，y 。），G （x ，y ），则有 由于G 不在F 1F 2上，所以卄0 四、参数法 x 1(x 4 X 。） y 1(0 0 y o ) x 2 2 y 1得 9x 2 16 9 16 即9x2 2 y 1 16 即x 3x ，代入 y 。3y 磴1 9 P 在以F i 、F 2为焦点的双曲线 2 x 16

轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)

轨迹方程的六种求法整理 求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考. 求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法 把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。 1. 已知点(20)(30)A B -，， ，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，求点P 的轨迹。26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程； （2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得 代入 二、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 1、 若动圆与圆4)2(2 2 =++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹 方程是

高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

高考数学中求轨迹方程的常见方法 一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2 x PB PA =?，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解：),3(),,2(y x y x --=---= ，2)3)(2(y x x + ---=?∴ 226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所 以P 的轨迹为抛物线，选D. 二、定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 例2 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>， 2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4|| 2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中， 1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13 42 2-≠<=+x x y x . 三、代入法 当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法. 例3 如图，从双曲线1:2 2 =-y x C 上一点Q 引直线 2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程. 解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --.Θ N 在直线 上， .22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得 ,11 1 =--x x y y 即011=-+-x y y x .②

轨迹方程的求法

轨迹方程的求法 一、直接法求轨迹方程的一般步骤：“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系； 2、设动点坐标(),x y ； 3、限制条件列出来（如一些几何等量关系）； 4、代入：用坐标代换条件，得到方程(),0f x y =； 5、化简（最后要剔除不符合条件的点）. 例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 巩固训练1：平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程. 巩固训练2：已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它 们的斜率之积是4 9 -，求点M 的轨迹方程. 巩固训练3：已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=：，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程.

二、定义法：如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻：（1）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制. 例2、（1）求与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程. （2）已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 巩固训练1：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2 21:42F x y ⎛ ⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的 垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程. 巩固训练2：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2 211:24F x y ⎛ ⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的 垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程. 巩固训练3：在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，求点M 的轨迹方程.

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法 一、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =u u u r u u u r ·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ． 二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有 2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．2 2 5b a c =-=∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为 22 1(0)16925 x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得00313 3x x y y -++? =????=?? ，，00323x x y y =+??=?， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2 00y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24 34(0)3 y x x y =++≠． 四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r ·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐

求轨迹方程的几种常用方法

求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1．直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -， B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 2．代入法（或利用相关点法）： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。 解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ， 一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ① 另一方面，M 分AB 的比为12 ，

∴1022133122130121312 a x a a x b y b y b ?+??==??+?=???????=+??==?+?? ② ②代入①得：223()(3)362 x y +=，即221164x y +=。 评注：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时，要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3．几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。 例3：如图，已知两定点A （6,0-），B （2,0），O 为原点，动点P 与线段AO 、BO 所张的角相等，求动点P 的轨迹方程。 解：设P (,)x y ，由题APO BPO ∠=∠，由三角形角平分线定理有|||||||| PA AO PB BO =， 3=， 整理得2260x y x +-=，当0x =时，0y =，P 和O 重合，无 意义，∴0x ≠， 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有00APO BPO ∠=∠=， ∴0y =（6x <-或2x >）也满足要求。 综上，轨迹方程为22 60x y x +-=（0x ≠）或0y =（6x <-或2x >）。 评注：本例利用平面几何的知识（三角形的角平分线定理进行解题），方便了求轨迹的方程。 4．参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使(,)x y 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。

轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 【2 】 一.直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其进程是建系设点,列出几多么式,坐标代换,化简整顿,重要用于动点具有的几何前提比较显著时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2,0）和圆C ：12 2 =+y x ,动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ （如图）,求动点M 的轨迹方程,解释它表示什么曲线． 【解析】：设 M （x,y ）,直线 MN 切圆 C 于 N,则有 λ=MQ MN ,即 λ =-MQ ON MO 2 2 , λ =+--+2 2 22)2(1y x y x ．整顿得 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ,这就是动点M 的轨迹方程．若1=λ,方程化 为45= x ,它表示过点)0,4 5 (和x 轴垂直的一条直线;若λ≠1,方程化为2222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（,它表示认为)0,12(22-λλ圆心,1 3122-+λλ为半径的圆． 二.代入法 若动点M （x,y ）依附已知曲线上的动点N 而活动,则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或知足的几何前提,从而求得动点M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情形． 例2 已知抛物线12 +=x y ,定点A （3,1）,B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP:PA=1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设 ),(),,(11y x B y x P ,由题设,P 分线段AB 的比 2== PB AP λ,∴.2121,212311++=++= y y x x 解得2 1 23,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上,其坐标合适抛物线方程,∴.1)2 3 23()2123(2+-=-x y 整顿得点P 的轨迹方程为 ),3 1 (32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．

求轨迹方程的常用方法及试

求轨迹方程的常用方法及试

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求轨迹方程的常用方法 一、求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律， 即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )() () (0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ?? ?=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通 方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以 该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示）。出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。 二、常用方法及例题 1.用定义法求曲线轨迹（也叫待定系数法） 如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。 【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 圆：到定点的距离等于定长 （2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （4） 抛物线：到定点与定直线距离相等 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045 ==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭 圆的定义。令椭圆方程为 12 '22 '2=+ b y a x ，则34,5'''=?==b c a ， 则轨迹方程为19 2522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。

求轨迹方程的常用方法例题及变式

求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ， )0,2(x N ),(R y x ∈ ∴ 12 03 22230-=--⋅--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3 ,1(P 它也满足方程01364=-+y x ， 所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的 斜率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:22=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹

轨迹方程的求法及典型例题含答案

轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有〔1〕直接法；〔2〕定义法；〔3〕待定系数法〔4〕参数法〔5〕交轨法；〔6〕相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P〔－3，0〕是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。

例2、如下图，P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，那么在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+⋅ -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.

例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 假设∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。 设曲线段C 的方程为)0,(),0(22 >≤≤>=y x x x p px y B A ， 其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 ) 2(92)2() 1(172)2(3||,17||)0,2 (),0,2(22=+-=++==- A A A A px p x px p x AN AM p N p M 得 由所以 由①，②两式联立解得 p x A 4= 。再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形，所以A x p >2，故舍去⎩⎨⎧==2 2A x p ∴p=4,x A =1 由点B 在曲线段C 上，得 42||=- =p BN x B 。 综上得曲线段C 的方程为)0,41(82 >≤≤=y x x y 解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为

求轨迹方程的常用方法(经典)

求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨ ⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆5 92 2y x + =1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（ ）【答案】：B A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092 2=+y x D 、53622y x + 【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得15 492 2=+y x ,选B 2. 圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是 A 04 1 22 2 =- --+y x y x B 0122 2=+-++y x y x

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。 解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，则 ，设点的坐标为，则直线的斜率 ，直线的斜率 由已知有 化简，整理得点的轨迹方程为 练习： 1．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是。 2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是（） A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_______________。

解：设的重心为，则由和两边上的中线长之和是可得 ，而点为定点，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆。 所以由可得 故的重心轨迹方程是 练习： 4．方程表示的曲线是（） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线 3．点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足， 且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。 例3．椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。 解：设过点的直线交椭圆于、，则有 ①② ①②可得 而为线段的中点，故有 所以，即 所以所求直线方程为化简可得 练习： 5．已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。

轨迹方程的-几种求法整理(例题+答案)

轨迹方程的-几种求法整理(例题+答案) LT

（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 解：（1）设.4,1)1(||||),(2 2 2 x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 二、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 1、 若动圆与圆4) 2(22 =++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨 迹方程是 解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是) 1(122 --=x y ．选（B ）．

2、一动圆与两圆1 22 =+y x 和0 12822 =+-+x y x 都外切，则 动圆圆心轨迹为 解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有 . 1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双 曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支 3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的 椭圆， 其中1213c a ==，．2 2 5b a c =-=∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为2 2 1(0)16925 x y y +=≠． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 4、设Q 是圆x 2 +y 2 =4上动点另点A （3。0）。线段AQ 的垂 直平分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45)，当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹方程．

求轨迹方程问题—6大常用方法

求轨迹方程问题—6大常用方法 知识梳理： （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹 中点的轨迹方程为： （） A、B、C、D、=1

轨迹方法的 求法

求轨迹方程的常见方法（待定系数法，直接法，相关点法） 一：（直接法求轨迹方程） 例1. 例1. 已知曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差 都是1，求曲线C 的方程（24,0y x x =≠） 变式练习：已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2.一条曲线也在l 的上方， 它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.21((0))8y x x = ≠ 例2.（05江苏）如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点） ，使得PM =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 变式练习1：已知⊙O 的方程是x +y -2=0, ⊙O ’的方程是x 2+y 2-8x +10=0,由动点P 向⊙O 和 ⊙O ’所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 . 变式练习2：由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°， 则动点P 的轨迹方程为 . （该类型题目是需要通过转化与化归的思想，转化成动点与定点之间的关系） （转移法（相关点法）求轨迹方程） 例3.求直线043=--y x 关于点()1,2-P 对称的直线方程. 方法（一）：待定系数法 方法（二）转移法（相关点法）

练习1：动点P 在曲线122+=x y 上运动，求点P 与定点()1,0-的连线的中点M 的轨迹方 程. 练习2：与曲线032:21=++m y x C 关于点()2,1对称的曲线方程2C 过定点()1,2，求（1） m 的值； （2）求曲线2C 的方程. 练习3：设曲线F 的方程为0),(=y x f . （1） 求曲线F 关于点),(b a M 对称的曲线方程. （2） 求曲线关于直线2=+x y 对称的曲线方程. 练习4: 已知点()()2,1,0,2-B A ，点C 在直线032=-+y x 上移动，求三角形ABC ∆重 心G 的轨迹方程.(6x+3y-3=0())43≠ x 练习5：在平行四边形ABCD 中，已知顶点Ｄ在直线013:=+-y x l 上移动，求ＡＢ的中 点Ｐ的轨迹方程．()80153≠=--x y x 且 练习６：已知定点()0,4A 和圆422=+y x 上的动点Ｂ，若动点Ｐ满足OP OB OA 2=+，求点Ｐ的轨迹方程．（()1122 =+-y x 练习７：已知()1,2-A ，()O B ,1,1-为坐标原点，动点Ｍ满足,OB n OA m OM +=其中 ,,R n m ∈且222 2=-n m ，求点Ｍ的轨迹方程． 练习８：已知()()3,1,1,3-B A ，Ｏ为坐标原点，若点Ｃ满足,OB b OA a OC +=其中 ,1=+b a 求点Ｃ的轨迹方程．