轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)

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轨迹方程的几种求法整理(例题+答案)

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轨迹方程的六种求法整理

求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.

求轨迹方程的一般方法：

直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t 的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等

一、直接法

把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。

已知点，动点满足，求点的轨迹。，

2.已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.

解：（1）设

二、定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

1、若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是

解：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距

离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4

为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B）．

2、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为

解：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支

3、在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程．

解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，

为重心，则有．

点的轨迹是以为焦点的椭圆，

其中．．

所求的重心的轨迹方程为．

注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.

4、设Q是圆x2+y2=4上动点另点A（。0）。线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ

上．∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

5、已知ΔABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程

解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2,

∴椭圆方程为,

又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,

因此点C的轨迹方程是：(─2

点评：本题在求出了方程以后讨论x的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性

6、一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

解析：（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，

将圆方程分别配方得：，，

当与相切时，有①

当与相切时，有②

将①②两式的两边分别相加，得，

即③

移项再两边分别平方得：

④

两边再平方得：，

整理得，

所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。

（法二）由解法一可得方程，

由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，∴，，∴，，

∴，

∴圆心轨迹方程为。

三、相关点法

此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

1、已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

2、双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。

解：设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴

∴已知双曲线两焦点为，

∵存在，∴

由三角形重心坐标公式有，即。

∵，∴。

3、已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有

即所求重心的轨迹方程为：。

4、（2001上海，3）设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是。

解析：设P（x0，y0）∴M（x，y）

∴ ∴2x＝x0，2y＝y0∴－4y2＝1x2－4y2＝1

5、已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．

解：设，，由重心公式，得

又在抛物线上，．③

将①，②代入③，得，

即所求曲线方程是．

四、参数法

如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来．若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．

1、已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．

解：如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系．

设点，则由题意，得．

由点斜式得直线的方程分别为．

两式相乘，消去，得．这就是所求点M的轨迹方程．

评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.

2、设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得所以椭圆方程为．

(2)设点解方程组得由和得

其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．

3、已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q 求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；

解设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－

m,0),A2(m,0),则A1P的方程为 y= ①

A2Q的方程为 y=－②

①×②得 y2=－③

又因点P在双曲线上，故

代入③并整理得=1 此即为M的轨迹方程

4、设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知

OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)

直线AB的方程为x=my+a

由OM⊥AB，得m=－

由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0

所以y1y2=－4pa, x1x2=

所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2

所以

故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

解法二设OA的方程为，代入y2=4px得

则OB的方程为，代入y2=4px得

∴AB的方程为，过定点，

由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

解法三设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为，

代入y2=4px得

则OB的方程为，代入y2=4px得

由OM⊥AB，得

M既在以OA为直径的圆……①上，

又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），

①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

5、过点A（－1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点.若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R 的轨迹方程；

解：要求点R的轨迹方程，注意到点R的运动是由直线l的运动所引起的，因此可

以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关系．然而，点R与直线l 并无直接联系．与l有直接联系的是点P、Q，通过平行四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解题的关键．

由已知，代入抛物线C：y2=4x的方程，消x得：

∵ 、Q∴ 解得

设，M是PQ的中点，则由韦达定理可知：

将其代入直线l的方程，得

∵ 四边形PFQR是平行四边形，

∴ 中点也是中点.

∴

又∴ ．∴ 点R的轨迹方程为

6、垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程

解：点参数法设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),

设Q(x,y),则有,消去t得：y2=16(x–)

点评：本题采用点参数，即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应分析动点运动的原因，找出影响动点的因素，据此恰当地选择参数

7、过双曲线C：x2─y2/3=1的左焦点F作直线l与双曲线交于点P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求M的轨迹方程

解：k参数法当直线l的斜率k存在时，取k为参数，建立点M轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ的中点N(x0,y0), l: y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依题意k≠3, ∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2),

∴x=2x0=x1 +x2=4k2/(3─k2), y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),

∴, 消去k并整理，得点M的轨迹方程为：

当k不存在时，点M(─4,0)在上述方程的曲线上，故点M的轨迹方程为：点评：本题用斜率作为参数，即k参数法，k是常用的参数设点P、Q的坐标，但没有求出P、Q的坐标，而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上去处理，是处理解析几何综合题的常见技巧

8、（06辽宁,20）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

( = 1 \* ROMAN I ) 证明线段是圆的直径;

( = 2 \* ROMAN II )当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。

解析：( = 1 \* ROMAN I )证明1:

整理得:

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则

即整理得:

故线段是圆的直径

( = 2 \* ROMAN II )解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

当y=p时,d有最小值,由题设得.

五、交轨法

一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．

1、已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．

解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是

以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．

2、自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程.

解：设P（x1，y1）、R（x，y），则Q（－，y1）、F（，0），

∴OP的方程为y=x，

①

FQ的方程为y=－y1（x－）.

②

由①②得x1＝，y1＝，代入y2＝2x，可得y2＝－2x2+x.

六、待定系数法

当曲线（圆、椭圆、双曲线以及抛物线）的形状已知时，一般可用待定系数法解决.

1、已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点不在一条直线上，且，，，

．

（1）求点轨迹方程；

（2）过作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距

离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆方程．

解：（1）设，由知为中点，易知．

又，则．

即点轨迹方程为；

（2）设，中点．

由题意设椭圆方程为，直线方程为．

直线与点的轨迹相切，，解得．

将代入椭圆方程并整理，得，

，

又由题意知，即，解得．故所求的椭圆方程为．

2、已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=,椭圆C2的方程为=1(a＞b＞0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.

.解：由e=,可设椭圆方程为=1,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则

x1+x2=4,y1+y2=2,

又=1,两式相减，得=0,

即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化简得=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,

代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0.

有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=,得，解得b2=8.

故所求椭圆方程为=1.

3、已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.

（１）求此椭圆的离心率；

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.

讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为得

, 根据韦达定理，得

∴线段AB的中点坐标为（）.

由已知得故椭圆的离心率为 .

（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为设关于直线的对称点为

解得

由已知得

故所求的椭圆方程为 .

轨迹方程的五种求法例题

轨迹方程的五种求法例 题 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 λ=MQ MN ，即 λ=-MQ ON MO 2 2， λ=+--+2 2 22)2(1y x y x ．整理得 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．若 1=λ，方程化为45= x ，它表示过点)0,4 5 (和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，1 3122-+λλ为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PB AP λ，∴ .2121,212311++=++= y y x x 解得2 1 23,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2 3 23()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方 程为),3 1 (32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法

轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求;其过程是建系设点;列出几何等式;坐标代换;化简整理;主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q 2;0和圆C ：122=+y x ;动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ如图;求动点M 的轨迹方程;说明它表示什么曲线． 解析：设Mx ;y ;直线MN 切圆C 于N ;则有 λ=MQ MN ;即λ=-MQ ON MO 22;λ=+--+2222)2(1 y x y x ．整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ;这就是动点 M 的轨迹方程．若1=λ;方程化为45= x ;它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1;方程化为2222222 )1(3112-+=+-λλλλy x ）－（;它表示以)0,1 2(22-λλ为圆心;13122 -+λλ为半径的圆． 二、代入法 若动点Mx;y 依赖已知曲线上的动点N 而运动;则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件;从而求得动点M 的轨迹方程;此法称为代入法;一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线12+=x y ;定点A 3;1;B 为抛物线上任意一点;点P 在线段AB 上;且有BP :PA =1:2;当点B 在抛物线上变动时;求点P 的轨迹方程;并指出这个轨迹为哪种曲线． 解析：设),(),,(11y x B y x P ;由题设;P 分线段AB 的比2==PB AP λ;∴ .2121,212311++=++=y y x x 解得2 123,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上;其坐标适合抛物线方程;∴ .1)2 323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),3 1(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法

轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.

例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若?AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。 设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ， 其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 ) 2(92)2() 1(172)2(3||,17||)0,2 (),0,2(22=+-=++==- A A A A px p x px p x AN AM p N p M 得 由所以 由①，②两式联立解得 p x A 4= 。再将其代入①式并由p>0解得??????====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形，所以A x p >2，故舍去???==2 2A x p ∴p=4,x A =1 由点B 在曲线段C 上，得 42||=- =p BN x B 。

人教版《高中数学》必会基础题型—《求轨迹方程的常用方法》(专题汇编含答案)

求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。 二：用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例2：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？

轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)

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轨迹方程的六种求法整理 求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考. 求轨迹方程的一般方法： 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t 的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法 把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。

高三数学轨迹方程50题及答案

求轨迹方程 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求. (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程. （5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 一、选择题： 1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线 2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线 3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x - 4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线 6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1) 7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2= 21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<4 1) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y 1 B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y 1 C 、(x －2)2－(y+4)2=16 D 、(x －2)2+4(y+4)2=16 12、椭圆C 与椭圆 14 )2(9)3(2 2=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、 22(2)(3)149x y +++= B 、22 (2)(3)194x y --+= C 、 22(2)(3)194x y +++= D 、22 (2)(3)149 x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4 92 2y x + =1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( ) A.14922=+y x B.14922=+x y 2222

求轨迹方程的几种常用方法

求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1．直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -， B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 2．代入法（或利用相关点法）： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。 解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ， 一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ① 另一方面，M 分AB 的比为12 ，

∴1022133122130121312 a x a a x b y b y b ?+??==??+?=???????=+??==?+?? ② ②代入①得：223()(3)362 x y +=，即221164x y +=。 评注：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时，要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3．几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。 例3：如图，已知两定点A （6,0-），B （2,0），O 为原点，动点P 与线段AO 、BO 所张的角相等，求动点P 的轨迹方程。 解：设P (,)x y ，由题APO BPO ∠=∠，由三角形角平分线定理有|||||||| PA AO PB BO =， 3=， 整理得2260x y x +-=，当0x =时，0y =，P 和O 重合，无 意义，∴0x ≠， 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有00APO BPO ∠=∠=， ∴0y =（6x <-或2x >）也满足要求。 综上，轨迹方程为22 60x y x +-=（0x ≠）或0y =（6x <-或2x >）。 评注：本例利用平面几何的知识（三角形的角平分线定理进行解题），方便了求轨迹的方程。 4．参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使(,)x y 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。

轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 【2 】 一.直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其进程是建系设点,列出几多么式,坐标代换,化简整顿,重要用于动点具有的几何前提比较显著时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2,0）和圆C ：12 2 =+y x ,动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ （如图）,求动点M 的轨迹方程,解释它表示什么曲线． 【解析】：设 M （x,y ）,直线 MN 切圆 C 于 N,则有 λ=MQ MN ,即 λ =-MQ ON MO 2 2 , λ =+--+2 2 22)2(1y x y x ．整顿得 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ,这就是动点M 的轨迹方程．若1=λ,方程化 为45= x ,它表示过点)0,4 5 (和x 轴垂直的一条直线;若λ≠1,方程化为2222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（,它表示认为)0,12(22-λλ圆心,1 3122-+λλ为半径的圆． 二.代入法 若动点M （x,y ）依附已知曲线上的动点N 而活动,则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或知足的几何前提,从而求得动点M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情形． 例2 已知抛物线12 +=x y ,定点A （3,1）,B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP:PA=1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设 ),(),,(11y x B y x P ,由题设,P 分线段AB 的比 2== PB AP λ,∴.2121,212311++=++= y y x x 解得2 1 23,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上,其坐标合适抛物线方程,∴.1)2 3 23()2123(2+-=-x y 整顿得点P 的轨迹方程为 ),3 1 (32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．

求曲线轨迹方程的五种方法

求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为（x，y）， 则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得 2) 2 x- -=2a + 2(y )0 2 0( 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则 |x+4|-2 2 -=2 x+ (y )2 当x≥-4时，x+4-2 2 -=2化简得 x+ (y )2

当时，y 2=8x 当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、 代入法 如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。 例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线19 1622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。 解：设P （x 0，y 0），G （x ，y ），则有 ??? ????++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即???==y y x x 3300，代入 191622=-y x 得19 91692 2=-y x 即116 922 =-y x 由于G 不在F 1F 2上，所以y ≠0 四、 参数法

轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)

轨迹方程的六种求法整理 求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考. 求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法 把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。 1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =·，求点P 的轨迹。26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程； （2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得 代入 二、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 1、 若动圆与圆4)2(2 2 =++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹 方程是

求轨迹方程的常用方法例题及变式

求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ， )0,2(x N ),(R y x ∈ ∴ 12 03 22230-=--⋅--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3 ,1(P 它也满足方程01364=-+y x ， 所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的 斜率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:22=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹

求轨迹方程的十种技法

篇一：高中数学求轨迹(guǐjì)方程的六种常用技法 求轨迹方程的六种常用(chánɡ yònɡ)技法 轨迹方程的探求是解析几何中的根本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不擅长提醒问题的内部规律及知识之间的互相联络，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进展无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对进步学生的解题才能、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述(chǎnshù)探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据条件及一些根本(jīběn)公式如两点间间隔公式，点到直线的间隔公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．线段AB?6，直线(zhíxiàn)AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是4 ，求点M 的轨迹方程。 9 解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，那么 A(?3,0),B(3,0)，设点M的坐标为(x,y)，那么直线AM的斜率kAM? yy(x3)，直线BM的斜率kAM?(x?3) 由有x?3x?3 yy4 (x3) x?3x?39 x2y2 化简，整理得点M的轨迹方程为1(x3) 94 练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的间隔与到直线x?4的间隔之比为2，那么点P的轨迹方程是。 2．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x?2y?4交于A、B两点，P是l上满足PA?PB?1的点，求点 2 2 P的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的间隔相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要纯熟掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是纯熟掌握平面几何的一些性质定理。 例2．假设B(?8,0),C(8,0)为?ABC的两顶点，AC和AB两边(liǎngbiān)上的中线长之和是30，那么?ABC的重心轨迹方程是_______________。 解：设?ABC的重心(zhòngxīn)为G(x,y)，那么由AC和AB两边上的中线长之和是30可得 2 BG?CG30?20，而点B(?8,0),C(8,0)为定点，所以(suǒyǐ)点G的轨迹为以B,C 为焦点的椭圆。所 3

求动点轨迹方程的几种方法

求动点轨迹方程的几种方法 由运动轨迹求解方程是解析几何中的一个重要问题。 一、直接法 通过给定固定点满足的几何条件列出方程，然后将坐标代入并，化简得到期望的轨迹方程。这种方法称为直接法。 例1、已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。 解析：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。 （1）当x≤3时，方程变为，化简得。 （2）当x>3时，方程变为，化简得。 故所求的点P的轨迹方程是或。 二、定义法 通过对给定动点所满足的几何条件进行简化变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而得到轨迹方程。这种方法叫做定义法。 例2、已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解析：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。 。 ∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支， c=4，a=2，b2=12。

故所求轨迹方程为。 三、待定系数法 从题意可以知道曲线的类型，将方程设为曲线方程的一般形式，利用题意给出的条件得到所需的待定系数，进而得到轨迹方程。这种方法称为待定系数法。 例3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线 y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。 解析：设双曲线方程为。将y=x－1代入方程整理得。 你从维耶塔定理得到的。同时，联立方程被求解。 ∴此双曲线的方程为。 四、参数法 选取合适的参数，分别用参数表示动点的坐标，得到动点轨迹的参数方程，然后消去参数得到动点轨迹的一般方程。这种方法称为参数法。 例4、过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 解析：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。 设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。 由 消去k得。

轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程(de)求法 一、直接法 按求动点轨迹方程(de)一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有(de)几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2,0）和圆C ：122=+y x ,动点M 到圆C (de)切线长与MQ (de)比等于常数()0>λλ（如图）,求动点M (de)轨迹方程,说明它表示什么曲线． 解析：设M （x ,y ）,直线MN 切圆C 于N ,则有 λ=MQ MN ,即 λ=-MQ ON MO 2 2, λ=+--+2 222)2(1y x y x ．整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ,这就是动 点M (de)轨迹方程．若1=λ,方程化为45= x ,它表示过点)0,4 5 (和x 轴垂直(de)一条直线；若λ≠1,方程化为2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（,它表示以)0,12(22 -λλ为圆心,1 3122-+λλ为半径(de)圆． 二、代入法 若动点M （x,y ）依赖已知曲线上(de)动点N 而运动,则可将转化后(de)动点N (de)坐标入已知曲线(de)方程或满足(de)几何条件,从而求得动点 M (de)轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点(de)情况． 例2 已知抛物线12+=x y ,定点A （3,1）,B 为抛物线上任意一点,点P 在线段AB 上,且有BP :PA =1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P (de)轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线．

解析：设),(),,(11y x B y x P ,由题设,P 分线段AB (de)比2== PB AP λ,∴ .2121,212311++=++= y y x x 解得2 1 23,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上,其坐标适合抛物线方程,∴ .1)2 3 23()2123(2+-=-x y 整理得点 P (de)轨迹方程为),3 1 (32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动(de)规律满足某种曲线(de)定义,则可根据曲线(de)定义直接写出动点(de)轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线(de)方程,在高考中常填空、选择题(de)形式出现． 例3 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切,则动圆圆心(de)轨迹方程是 （A ）012122=+-x y （B ）012122=-+x y （C ）082=+x y （D ）082=-x y 解析：如图,设动圆圆心为M ,由题意,动点M 到定圆圆心（－2,0）(de)距离等于它到定直线x =4(de)距离,故所求轨迹是以（－2,0）为焦点,直线 x =4为准线(de)抛物线,并且p =6,顶点是（1,0）,开口向左,所以方程是 )1(122--=x y ．选（B ）． 例4 一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为 （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线(de)一支 （D ）椭圆

高三数学轨迹方程50题及答案

高(Gao)三数学轨迹方程50题及答案 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数(Shu)法、交轨法，待定(Ding)系数法。 (1)直(Zhi)接法(Fa) 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求. (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程. （5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 一、选择题： 1、方程y=表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线 2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线 3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y= 4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线 6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1) 7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2= B 、x 2+y 2= C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<4 1 ) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探究是分析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考取的常有题型之一。学生解这种问题时，不擅长揭露问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是排列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，以致许多学生丧失期心，功亏一篑，所以，在平常教课中，总结和概括探究轨迹方程的常用技法，对提升学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文经过典型例子论述探究轨迹方程的 常用技法。 1．直接法 依据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点知足的等量关系式，进而求得轨迹方程。 例 1． 已知线段 AB 6 ，直线 AM , BM 订交于 M ，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程。 9 解：以 AB 所在直线为 x 轴， AB 垂直均分线为 y 轴成立坐标系，则 A( 3,0), B(3,0) ，设点 M 的坐标 为 ( x, y) ，则直线 AM 的斜率 k AM y ( x 3) ，直线 BM 的斜率 k AM y ( x 3) 由已知有 x 3 x 3 y y 4 ( x 3) x 3 x 3 9 化简，整理得点 M 的轨迹方程为 x 2 y 2 1(x 3) 9 4 练习： 1 ．平面内动点 P 到点 F (10, 0)的距离与到直线 x 4 的距离之比为 2 ，则点 P 的轨迹方程 是 。 2．设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x 2 2y 2 4 交于 A 、 B 两点， P 是 l 上知足 PA PB 1的点，求点 P 的轨迹方程。 3. 到两相互垂直的异面直线的距离相等的点 , 在过此中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法 经过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要娴熟掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直均分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是娴熟掌握平面几何的一些性质定理。 例 2．若 B( 8,0), C (8,0) 为 ABC 的两极点， AC 和 AB 两边上的中线长之和是 30 ，则 ABC 的重心轨 迹方程是 _______________ 。 解：设 ABC 的重心为 G (x, y) ，则由 AC 和 AB 两边上的中线长之和是 30 可得 BG CG 2 30 20，而点 B( 8,0), C (8,0) 为定点，所以点 G 的轨迹为以 B, C 为焦点的椭圆。 所 3 以由 2a 20, c 8 可得 a 10,b a 2 c 2 6 x 2 y 2 1(y 0) 故 ABC 的重心轨迹方程是 36 100 练习： 4．方程 2 ( x 1)2 ( y 1) 2 | x y 2| 表示的曲线是 （ ）