例谈轨迹方程的几种常见求法

例谈轨迹方程的几种常见求法

石阡县第三高级中学 张军

求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数的方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因此也是历届高考考查的重要内容之一。一般地，求轨迹方程有直接和间接两种方式，本文将以例题的形式浅谈轨迹方程的几种常见求法：

一、直接法

当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(),x y 后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点,x y 间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程。这种求轨迹方程的方法称为直接法，这是探求轨迹刚才最基本的方法。

例1.在平面直角坐标系xoy 中，点P 到点()3,0F 的距离的4倍与它到直线2x =的距离的3倍之和记为d .当点p 运动时，d 恒等于点p 的横坐标与18之和.求点p 的轨迹C .

解 设点p 的坐标为

(),x y ， 则

32d x =+- 由题设知，18d x =+，即

3218x x +-=+ ①

当2x >时，由①得

162x =-， 化简得22

13627

x y +=. 当2x ≤时，由①得

3x =+， 化简得

2

12y x =.

故点p 的轨迹C 是由椭圆22

1:13627

x y C +=在直线2x =的右侧部分与抛物线22:12C y x =在直线2x =的左侧部分(包括它与直线x ＝2的交点)所组成的曲线(如图所示)。

评注：本题考查了求轨迹方程的基本方法及两点间的距离公式、点到直线的距离等基础知识，同时也考查了绝对值的运算。直接法是求轨迹方程最常用也是最基本的方法之一，它的步骤是：①建系；②设点；③列式；④化简；⑤证明。

二、定义法

当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），我们可以直接根据定义写出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法。

例2.已知圆()221:31C x y ++=和圆()2

22:39C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.

解 如图所示，

设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根

据两圆外切的条件，得

11MC AC MA -=，22MC BC MB -=. ∵

MA MB =， ∴

1122MC AC MC BC -=-， 即212MC MC -=.

这表明动点M 与两定点2C 、1C 的距离的差是常数2，

根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与2C 的距离大，与1C 的距离小)，这里1,3a c ==，则28

b =，设点M 的坐标为(),x y ，其轨迹方程为

()2

2108y x x -=<. 评注：如果在题设中有关于到两个定点距离之和为定值；到两个定点距离之差（或差的绝对值）为定值；到定点和到定直线的距离相等等，可以考虑利用圆锥曲线的定义直接写出所求曲线的轨迹方程。

三、代入法

代入法又称为转移法或相关点法，若动点(),P

x y 依赖于已知曲线上的另一动点(),Q x y ''的运动而运动，且点Q 的坐标x '、y '可以用点P 的坐标x 、y 来表示，则可利用点Q 在已知曲线上，其坐标满足曲线方程，将x '、y '代入已知曲线方程而求得动点P 的轨迹方程。

例 3.设点P 为双曲线2

214

x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为

解 设()00,P x y ，(),M x y ，则00,22

x y x y ==，∴002,2x x y y ==， P 在2214x y -=上，∴2

24414

x y -=⇒2241x y -=为所求轨迹方程。 评注：本题考查了随某点运动而运动的动点的轨迹方程的求法，其关键是寻找所求点与已知曲线上的动点之间的关系，在这里是借助了线段的中点坐标公式来建立两动点之间的关系的。用代入法求轨迹方程常用的策略是中点坐标公式、定比分点坐标公式、三角形重心、对称性等。

四、参数法

如果轨迹动点(),P x y 的坐标之间的关系不易找到，

可以考虑将,x y 用一个或几个参数来表示，消去参数得到轨迹方程，此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。

例4.设抛物线()220y px p =>的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任意一点，PQ l ⊥于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程。

分析：涉及抛物线的动点，可以设点的坐标为参数，对抛物线，根据其方程可以设出含有一个参数的点的坐标，如抛物线22y px =上的点可以设为2,2y y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，也可以设为()22,2pt pt ，后者较为简单。 解 设抛物线22y px =上点()22,2P pt pt

()0t ≠，直线OP 的方程为

1y x t =，又,22p Q pt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线QF 的方程22p y t x ⎛⎫=-- ⎪⎝

⎭，它们的交点(),M x y 由方程组122y x t p y t x ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩

确定。消去t ，得2

22p y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ∴交点M 的轨迹方程为2

22p y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.

轨迹方程的五种求法例题

轨迹方程的五种求法例 题 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 λ=MQ MN ，即 λ=-MQ ON MO 2 2， λ=+--+2 2 22)2(1y x y x ．整理得 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．若 1=λ，方程化为45= x ，它表示过点)0,4 5 (和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，1 3122-+λλ为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PB AP λ，∴ .2121,212311++=++= y y x x 解得2 1 23,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2 3 23()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方 程为),3 1 (32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法

轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求;其过程是建系设点;列出几何等式;坐标代换;化简整理;主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q 2;0和圆C ：122=+y x ;动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ如图;求动点M 的轨迹方程;说明它表示什么曲线． 解析：设Mx ;y ;直线MN 切圆C 于N ;则有 λ=MQ MN ;即λ=-MQ ON MO 22;λ=+--+2222)2(1 y x y x ．整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ;这就是动点 M 的轨迹方程．若1=λ;方程化为45= x ;它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1;方程化为2222222 )1(3112-+=+-λλλλy x ）－（;它表示以)0,1 2(22-λλ为圆心;13122 -+λλ为半径的圆． 二、代入法 若动点Mx;y 依赖已知曲线上的动点N 而运动;则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件;从而求得动点M 的轨迹方程;此法称为代入法;一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线12+=x y ;定点A 3;1;B 为抛物线上任意一点;点P 在线段AB 上;且有BP :PA =1:2;当点B 在抛物线上变动时;求点P 的轨迹方程;并指出这个轨迹为哪种曲线． 解析：设),(),,(11y x B y x P ;由题设;P 分线段AB 的比2==PB AP λ;∴ .2121,212311++=++=y y x x 解得2 123,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上;其坐标适合抛物线方程;∴ .1)2 323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),3 1(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法

求轨迹方程的一般方法

求轨迹方程的一般方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【变式】：已知圆 的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与 这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。 二：用直译法求轨迹方程 例2：一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？ 【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即 2| || |=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？ 三：用参数法求轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。 例3．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

求轨迹方程的常用方法(经典)

求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )() ()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ???=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆5 92 2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（ ）【答案】：B A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092 2=+y x D 、5 3622y x + 【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得15 4922=+y x ,选B 2. 圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是

轨迹方程求解常用方法

圆锥曲线补充（1） 轨迹方程求解常用方法 一．定义法 如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （2） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3） 抛物线：到定点与定直线距离相等。 例1一动圆与圆O ：12 2=+y x 外切，而与圆C ：0862 2 =+-+x y x 内切，那么动圆的 圆心M 的轨迹是： A ：抛物线 B ：圆 C ：椭圆 D ：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R ，则有? ? ?-=+=1||1 ||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D 。 例 2 已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045 ==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭 圆的定义。令椭圆方程为 12 '22 '2=+ b y a x ，则34,5'''=?==b c a ，则轨迹方程为 19 252 2=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 练习：1. 点M 到点F （4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。 【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。 2.已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中， 1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13 42 2-≠<=+x x y x .

求点的轨迹方程常用方法

求点的轨迹方程的常用方法 一.直接法. 1.设点 ()()1,0,1,0A B -，直线,AM BM 相交于点,M 且它们的斜率之积为2，求点M 轨迹方程. 2.已知动点(),P x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点P 轨迹方程. 二.定义法 3. y 轴及y 轴右侧的点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1，求点M 轨迹方程. 4. 已知动圆M 过定点()4,0P -，且与圆22:80C x y x +-=相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 5.已知椭圆2 214 x y +=的左、右焦点12,;F F P 是椭圆上一个动点，如果延长1F P 到Q ，使2,PQ PF =那么动点Q 的轨迹方程. 6. 已知ABC ∆的顶点 ()()4,0,4,0,A B -C 为动点，且满足5sin sin sin ,4B A C +=求顶点C 轨迹方程. 三.相关点法（代入法） 7.已知点()4,0D ,在圆224x y +=上任取一点P ，求线段PD 的中点M 的轨迹方程. 8.在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 做x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点M 在DP 的延长线上，且3,2 DM DP =当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.

9.已知椭圆2 214 x y +=的焦点12,;F F P 是椭圆上一个动点，12F PF ∠的外角平分线,l 点2F 关于直线l 的对称点为Q ，2F Q 交l 于点,R 求动点R 的轨迹方程. 四.参数法 10.已知动圆222:42640,M x y bx by b ++-+-=求动圆圆心M 的轨迹方程. 11.已知动圆22:6cos 4sin 0,M x y x y ββ++-=求动圆圆心M 的轨迹方程. 高考实战 （2013年）1.已知动圆P 与圆()22:11M x y ++=外切，且与圆()22:19N x y -+=相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程. （2014年）2.已知点()2,2P ,圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. （2017年）3.在椭圆2 2:12 x C y +=上任取一点M ，过点M 做x 轴的垂线段MN ，N 为垂足，点P 满足2,NP NM =求点P 的轨迹方程. （2013年）4.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆P 在x 轴上，截得线段长为P 在y 轴上，截得线段 长为求点P 的轨迹方程.

轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)

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轨迹方程的六种求法整理 求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考. 求轨迹方程的一般方法： 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t 的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法 把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法 一、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =u u u r u u u r ·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ． 二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有 2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．2 2 5b a c =-=∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为 22 1(0)16925 x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得00313 3x x y y -++? =????=?? ，，00323x x y y =+??=?， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2 00y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24 34(0)3 y x x y =++≠． 四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r ·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐

例谈轨迹方程的几种常见求法

例谈轨迹方程的几种常见求法 石阡县第三高级中学 张军 求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数的方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因此也是历届高考考查的重要内容之一。一般地，求轨迹方程有直接和间接两种方式，本文将以例题的形式浅谈轨迹方程的几种常见求法： 一、直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(),x y 后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点,x y 间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程。这种求轨迹方程的方法称为直接法，这是探求轨迹刚才最基本的方法。 例1.在平面直角坐标系xoy 中，点P 到点()3,0F 的距离的4倍与它到直线2x =的距离的3倍之和记为d .当点p 运动时，d 恒等于点p 的横坐标与18之和.求点p 的轨迹C . 解 设点p 的坐标为 (),x y ， 则 32d x =+- 由题设知，18d x =+，即 3218x x +-=+ ① 当2x >时，由①得 162x =-， 化简得22 13627 x y +=. 当2x ≤时，由①得 3x =+， 化简得 2 12y x =.

故点p 的轨迹C 是由椭圆22 1:13627 x y C +=在直线2x =的右侧部分与抛物线22:12C y x =在直线2x =的左侧部分(包括它与直线x ＝2的交点)所组成的曲线(如图所示)。 评注：本题考查了求轨迹方程的基本方法及两点间的距离公式、点到直线的距离等基础知识，同时也考查了绝对值的运算。直接法是求轨迹方程最常用也是最基本的方法之一，它的步骤是：①建系；②设点；③列式；④化简；⑤证明。 二、定义法 当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），我们可以直接根据定义写出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法。 例2.已知圆()221:31C x y ++=和圆()2 22:39C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 解 如图所示， 设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根 据两圆外切的条件，得 11MC AC MA -=，22MC BC MB -=. ∵ MA MB =， ∴ 1122MC AC MC BC -=-， 即212MC MC -=. 这表明动点M 与两定点2C 、1C 的距离的差是常数2， 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与2C 的距离大，与1C 的距离小)，这里1,3a c ==，则28 b =，设点M 的坐标为(),x y ，其轨迹方程为 ()2 2108y x x -=<. 评注：如果在题设中有关于到两个定点距离之和为定值；到两个定点距离之差（或差的绝对值）为定值；到定点和到定直线的距离相等等，可以考虑利用圆锥曲线的定义直接写出所求曲线的轨迹方程。

常见轨迹方程的求法

动点轨迹方程的常见求法 一、待定系数法； 它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。 例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴比双曲线的 半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。 解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为22a x +22 b y = 1，双曲线的方程为22 m x －22n y = 1。 Θ2c = 213 , ∴c = 13 . Θa – m = 4 , m c : n c = 7 3 , ∴a = 7 , m = 3 . Θ b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 . ∴椭圆方程为492x +36 2 y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得： ∴椭圆方程为492y +36 2 x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。 二、直译解析法； 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴， 建立直角坐标系如右图： 则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y), ∠PAB = α , 则∠PBA =2αΘ3 -x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2)(1)(2x y x y -- = 222y x xy -- ∴y = 0 (0

求轨迹方程的几种常用方法

求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1．直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -， B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 2．代入法（或利用相关点法）： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。 解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ， 一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ① 另一方面，M 分AB 的比为12 ，

∴1022133122130121312 a x a a x b y b y b ?+??==??+?=???????=+??==?+?? ② ②代入①得：223()(3)362 x y +=，即221164x y +=。 评注：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时，要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3．几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。 例3：如图，已知两定点A （6,0-），B （2,0），O 为原点，动点P 与线段AO 、BO 所张的角相等，求动点P 的轨迹方程。 解：设P (,)x y ，由题APO BPO ∠=∠，由三角形角平分线定理有|||||||| PA AO PB BO =， 3=， 整理得2260x y x +-=，当0x =时，0y =，P 和O 重合，无 意义，∴0x ≠， 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有00APO BPO ∠=∠=， ∴0y =（6x <-或2x >）也满足要求。 综上，轨迹方程为22 60x y x +-=（0x ≠）或0y =（6x <-或2x >）。 评注：本例利用平面几何的知识（三角形的角平分线定理进行解题），方便了求轨迹的方程。 4．参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使(,)x y 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。

常见轨迹方程的求法

常见轨迹方程的求法

动点轨迹方程的常见求法 一、待定系数法； 它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。 例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半 长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。 解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为 22a x +22b y = 1，双曲线的方程为22 m x －22n y = 1。 2c = 213 , ∴c = 13 . a – m = 4 , m c : n c = 7 3 , ∴a = 7 , m = 3 . b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 . ∴椭圆方程为492x +36 2 y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得： ∴椭圆方程为492y +36 2 x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。 二、直译解析法； 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 建立直角坐标系如右图：则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y), ∠PAB = α , 则∠PBA =2α 3 -x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2) (1) (2x y x y -- = 2 22y x xy -- ∴y = 0 (0

轨迹方程求轨迹方程的的基本方法

轨迹方程 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？ 【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切. 建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5 ∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为 =1 ① 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x－

)2+ y2=1 ② 由①、②可解得 ，∴r= 故所求圆柱的直径为 cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是 、 ，其中 是抛物线 的焦点，两点A（-3，2）、B（1，2）都在该双曲线上．（1）求点 的坐标；（2）求点 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线． 【解析】（1）由 得

，焦点 （-1，0）． （2）因为A、B在双曲线上， 所以 ， ． ①若 ，则 ，点 的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当y＝0时， 与 重合；当y＝4时，A、B均在双曲线的虚轴上．故此时 的轨迹方程为x＝-1（y≠0，y≠4）． ②若 ，则 ，此时， 的轨迹是以A、B为焦点，

， ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为 ，（y≠0，y≠4） 故 的轨迹是直线x＝-1或椭圆 ，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 例2、已知ΔABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程 【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2 , ∴椭圆方程为

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是4 9 ，求点M 的轨迹方程。 解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3 AM y k x x =≠- 由已知有 4 (3)339 y y x x x •=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22 1(3)94 x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。 2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。 解：设ABC ∆的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得

轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5） 交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P （－3，0）是圆x 2+y 2－6x －55=0内的定点，动圆M 与已知圆相切，且过点P ，求圆心M 的轨迹方程。 例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点， A 、 B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°， 求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+⋅ -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点 N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与 到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 ,

轨迹方程的-几种求法整理(例题+答案)

轨迹方程的-几种求法整理(例题+答案) LT

（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点. 解：（1）设.4,1)1(||||),(2 2 2 x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 二、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 1、 若动圆与圆4) 2(22 =++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨 迹方程是 解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是) 1(122 --=x y ．选（B ）．

2、一动圆与两圆1 22 =+y x 和0 12822 =+-+x y x 都外切，则 动圆圆心轨迹为 解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有 . 1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双 曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支 3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的 椭圆， 其中1213c a ==，．2 2 5b a c =-=∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为2 2 1(0)16925 x y y +=≠． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 4、设Q 是圆x 2 +y 2 =4上动点另点A （3。0）。线段AQ 的垂 直平分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45)，当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹方程．