轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 【2 】

一.直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求,其进程是建系设点,列出几多么式,坐标代换,化简整顿,重要用于动点具有的几何前提比较显著时．

例1已知直角坐标平面上点Q （2,0）和圆C ：12

2

=+y x ,动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ

（如图）,求动点M 的轨迹方程,解释它表示什么曲线．

【解析】：设

M （x,y ）,直线

MN

切圆

C

于

N,则有

λ=MQ

MN ,即

λ

=-MQ

ON

MO 2

2

,

λ

=+--+2

2

22)2(1y

x y x ．整顿得

0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ,这就是动点M 的轨迹方程．若1=λ,方程化

为45=

x ,它表示过点)0,4

5

(和x 轴垂直的一条直线;若λ≠1,方程化为2222

222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（,它表示认为)0,12(22-λλ圆心,1

3122-+λλ为半径的圆．

二.代入法

若动点M （x,y ）依附已知曲线上的动点N 而活动,则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或知足的几何前提,从而求得动点M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情形．

例2 已知抛物线12

+=x y ,定点A （3,1）,B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP:PA=1:2,当点B 在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程,并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设

),(),,(11y x B y x P ,由题设,P

分线段AB 的比

2==

PB AP λ,∴.2121,212311++=++=

y y x x 解得2

1

23,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上,其坐标合适抛物线方程,∴.1)2

3

23()2123(2+-=-x y 整顿得点P 的轨迹方程为

),3

1

(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．

三.界说法

若动点活动的纪律知足某种曲线的界说,则可依据曲线的界说直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空.选择题的情势消失．

例3 若动圆与圆4)2(2

2

=++y x 外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是 （A ）012122

=+-x y （B ）012122

=-+x y （C ）082

=+x y （D ）082

=-x y

【解析】：如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M 到定圆圆心（－2,0）的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以（－2,0）为核心,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,极点是（1,0）,启齿向左,所以方程是)1(122

--=x y ．选（B ）．

例4 一动圆与两圆12

2

=+y x 和01282

2

=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为 （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆

【解析】：如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有

.

1,2,

1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差

为1,由双曲线界说知,其轨迹是以O.C 为核心的双曲线的左支,选（C ）． 四.参数法

若动点P （x,y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x.y 关于另一变量的参数方程,再化为通俗方程．

例5设椭圆中间为原点O,一个核心为F （0,1）,长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程;（2）设经由原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q,点P 在该直线上,且

12-=t t OQ

OP ,当t 变化时,求点P 的轨迹方程,并解释轨迹是什么图形．

【解析】：（1）设所求椭圆方程为).0(122

22

＞＞b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪

⎨⎧==-,

,

122t b

a b a 解得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-． (2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(2121

21t t y t x 由12

-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,

2

,

2,222

2

t

y t x t y t x 或

个中t ＞1．消去t,得点P 轨迹方程为)22(222

>=

x y x 和)2

2

(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222

=在直线2

2=x 右侧的部分和抛物线y x 222

-=在直线22-=x 在侧的部分． 五.交轨法

一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其进程是选出一个恰当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标合适的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程． 例6 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求

直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．

【解析】：PA 和QB 的交点M （x,y ）随A.B 的移动而变化,故可设)1,1(),,(++t t B t t A ,则PA ：

),2)(2(2

2

2-≠++-=

-t x t t y QB ：

).1(1

1

2-≠+-=

-t x t t y 消去t,得

.082222=+-+-y x y x 当t=－2,或t=－1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的

轨迹方程是.082222

2

=+--+-y x x y x

以上是求动点轨迹方程的重要办法,也是常用办法,假如动点的活动和角度有显著的关系,还可斟酌用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何办法,都要留意所求轨迹方程中变量的取值规模．

轨迹方程的五种求法例题

轨迹方程的五种求法例 题 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 λ=MQ MN ，即 λ=-MQ ON MO 2 2， λ=+--+2 2 22)2(1y x y x ．整理得 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程．若 1=λ，方程化为45= x ，它表示过点)0,4 5 (和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，1 3122-+λλ为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PB AP λ，∴ .2121,212311++=++= y y x x 解得2 1 23,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2 3 23()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方 程为),3 1 (32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法

轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.

例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若?AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。 设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ， 其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 ) 2(92)2() 1(172)2(3||,17||)0,2 (),0,2(22=+-=++==- A A A A px p x px p x AN AM p N p M 得 由所以 由①，②两式联立解得 p x A 4= 。再将其代入①式并由p>0解得??????====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形，所以A x p >2，故舍去???==2 2A x p ∴p=4,x A =1 由点B 在曲线段C 上，得 42||=- =p BN x B 。

轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 ，即 ， ．整理得，这就是动点 M 的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设，由题设，P 分线段AB 的比，∴ 解得.又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 12 2 =+y x MQ ()0>λλλ=MQ MN λ=-MQ ON MO 2 2λ=+--+2 222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45= x )0,4 5 (2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(22-λλ1 3122-+λλ12 +=x y ),(),,(11y x B y x P 2== PB AP λ.2121,212311++=++= y y x x 2 1 23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2 3 23()2123( 2+-=-x y ),3 1 (32)31(2-=-x y 4)2(2 2 =++y x

求曲线轨迹方程的五种方法

求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为(x, y)， 则A( 2x，0)，B(0，2y)，由|AB|=2a 得 (2x 0)2(0 2y)2=2a 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M (2, 0)的距离之 差等于2,则点P的轨迹是( ) A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M (2, 0)的距离等于这点到直线 x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为(x，y)，贝S |x+4卜(x 2)2 y2=2

当x>-4 时，x+4- , (x 2)2 y2=2 化简得

当时，y 2=8x 当 X V -4 时，-x-4- .. （x 2）2 y 2 =2 无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程， 明显, 解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义 法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、代入法 如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （ a , b ）,而Q （ a, b ） 又在某已知曲线上，则可先列出关于 x 、y 、a 、b 的方程组，利用X 、 y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程， 此法称为代入法。 2 仝1上运动，则厶F 1F 2P 9 的重心G 的轨迹方程是 _____________________ 解：设 P （X 。，y 。），G （x ，y ），则有 由于G 不在F 1F 2上，所以卄0 四、参数法 x 1(x 4 X 。） y 1(0 0 y o ) x 2 2 y 1得 9x 2 16 9 16 即9x2 2 y 1 16 即x 3x ，代入 y 。3y 磴1 9 P 在以F i 、F 2为焦点的双曲线 2 x 16

轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

轨迹方程的求法 、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5） 交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点一、知识复习 例1：点P（—3, 0）是圆x2+y2- 6x—55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P, 求圆心M的轨迹方程。

例2、如图所示，已知P(4, 0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠ 解：设AB 的中点为 R 坐标为(x,y),则在Rt △ ABP 中,|ARl=IPR|. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △ OAR 中，|AR|2=|AO|2—|OR|2=36 —(χ2+y 2) 又 ∣AR ∣=∣PR ∣= (χ^4)Ly 2 所以有(x — 4)2+y 2=36 — (x 2+y 2),即 x 2+y 2 — 4x —10=0 设Q(x,y), R(x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点，所以X i =宁,y 1=号, 代入方程x 2+y 2— 4x — 10=0,得 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. APB=90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程? 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时, Q 点即在所求的轨迹上运动? —10=0 ,X 4 -4

例3、如图,直线L i和L2相交于点M, L-L2,点N ?L i.以A, B为端点的曲线段C上 的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若厶AMN为锐角三角形,∣AM∣= 17 , IANl = 3,且∣BN∣=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程. ??. P=4,X A=1 解法一：如图建立坐标系，以I i为X轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以∣2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。 2 设曲线段C的方程为y =2PX(P ?0),(X Am XmX B,y ?0)， 其中X A,X B分别为A，B的横坐标, P=IMNl 所以M ^-,0), N(-,0) 2 2 由| AM I hf I7,∣ AN | = 3 得(XA -p)2 2P X A =17 2 (X A -夕)2 2PX A =9 2 (1) 由①，②两式联立解得 4 X A Z P O 因为△ AMN是锐角三角形，所以 再将其代入①式并由p>0解得「 "P = 2 I X A= 2 P = 4或」 X A =1 P = 2 JXA = 2 2 XA,故舍去

《求动点轨迹方程的五种方法》

求动点轨迹方程的五种方法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ， 则有 λ=MQ MN ， 即 λ=-MQ ON MO 2 2， λ=+--+2222)2(1 y x y x ． 整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这就是动点M 的轨迹方程． 若1=λ，方程化为45=x ，它表示过点)0,4 5(和x 轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为222 2222 ) 1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心， 13122-+λλ为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P

在线段AB 上，且有BP :P A =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 解：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2== PB AP λ， ∴ .2 121,212311++=++=y y x x 解得2123,232311-=-= y y x x . 又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程， ∴ .1)2 323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为 ),3 1(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （A ）012122=+-x y （B ）012122=-+x y （C ）082=+x y （D ）082=-x y 解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是 )1(122--=x y ．选（B ） ．

轨迹方程求解常用方法

圆锥曲线补充（1） 轨迹方程求解常用方法 一．定义法 如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （2） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3） 抛物线：到定点与定直线距离相等。 例1一动圆与圆O ：12 2=+y x 外切，而与圆C ：0862 2 =+-+x y x 内切，那么动圆的 圆心M 的轨迹是： A ：抛物线 B ：圆 C ：椭圆 D ：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R ，则有? ? ?-=+=1||1 ||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D 。 例 2 已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045 ==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭 圆的定义。令椭圆方程为 12 '22 '2=+ b y a x ，则34,5'''=?==b c a ，则轨迹方程为 19 252 2=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 练习：1. 点M 到点F （4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。 【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。 2.已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中， 1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13 42 2-≠<=+x x y x .

轨迹方程的求法

轨迹方程的求法 一、直接法求轨迹方程的一般步骤：“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系； 2、设动点坐标(),x y ； 3、限制条件列出来（如一些几何等量关系）； 4、代入：用坐标代换条件，得到方程(),0f x y =； 5、化简（最后要剔除不符合条件的点）. 例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 巩固训练1：平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程. 巩固训练2：已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它 们的斜率之积是4 9 -，求点M 的轨迹方程. 巩固训练3：已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=：，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程.

二、定义法：如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻：（1）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制. 例2、（1）求与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程. （2）已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 巩固训练1：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2 21:42F x y ⎛ ⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的 垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程. 巩固训练2：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2 211:24F x y ⎛ ⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的 垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程. 巩固训练3：在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，求点M 的轨迹方程.

求轨迹的五种方法

一、直接法 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。 例：（06全国Ⅰ）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。 求：点M的轨迹方程； 解: 椭圆方程可写为: y2a2 + x2b2 =1 式中a>b>0 , 且a2－b2 =33a =32 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ y24 =1 (x>0,y>0). y=21－x2 (01,y>2) 二、代入法（相关点法） 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。 例二（03全国）如图，从双曲线上一点Q引直线的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。 分析：从题意看动点P的相关点是Q，Q在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。 解：设动点P的坐标为（x,y），点Q的坐标为（x1,y1）， 则N点的坐标为（2x—x1,2y—y1） ∵N在直线x+y=1上, ∴2x—x1+2y—y1=2 ① 又∵PQ垂直于直线x+y=2 ∴即x—y + y1—x1=0 ②

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法 一、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =u u u r u u u r ·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ． 二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有 2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．2 2 5b a c =-=∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为 22 1(0)16925 x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得00313 3x x y y -++? =????=?? ，，00323x x y y =+??=?， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2 00y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24 34(0)3 y x x y =++≠． 四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r ·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐

常见轨迹方程的求法

动点轨迹方程的常见求法 一、待定系数法； 它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。 例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴比双曲线的 半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。 解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为22a x +22 b y = 1，双曲线的方程为22 m x －22n y = 1。 Θ2c = 213 , ∴c = 13 . Θa – m = 4 , m c : n c = 7 3 , ∴a = 7 , m = 3 . Θ b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 . ∴椭圆方程为492x +36 2 y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得： ∴椭圆方程为492y +36 2 x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。 二、直译解析法； 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴， 建立直角坐标系如右图： 则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y), ∠PAB = α , 则∠PBA =2αΘ3 -x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2)(1)(2x y x y -- = 222y x xy -- ∴y = 0 (0

轨迹方程的五种求法

轨迹方程的五种求法 一、 直接法：直接根据等量关系式建立方程 ? uur uuu 例1 :已知点A( 2,0, B(3,0)，动点P(x, y)满足PA-PB x 2 ，则点P 的轨迹是( ) A ?圆 B.椭圆 C ?双曲线 D ?抛物线 uuu uuu uun UUJI 2 222 解析：由题知 PA ( 2 x, y) , PB (3 x, y)，由 PA PB x ,得(2 x)(3 x) y x ,即 y x 6, ??? P 点轨迹为抛物线?故选 D . 二、 定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程. 例2 :在厶ABC 中，BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为 39，求△ ABC 的重心的轨迹方程. 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为 2 BM | |CM 39 26 . 3 ? M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆， 其中 c 12, a 13 . ? b . a 2 —』5. y 轴建立直角坐标系，如图 1 , M 为重心，则有 、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例3 :已知A ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y 又??? A(x ), y °)在抛物线 y x 2 上, ? 四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量 与AP 的交点M 的轨迹方程. 解：如图2，以线段AA 所在直线为x 轴，以线段AA 的中垂线为y 轴建立直角坐 ?所求△ ABC 的重心的轨迹方程为 169 25 1(y 0) ? 解：设G(x, y) , A(x 0, y °)，由重心公式, 3 1 x 3 Y Q 3 x 0 y 。 3x 3y ? 2, 将①，②代入③，得3y (3x 2)2 (y 0)，即所求曲线方程是 3x 2 4x 3(y 0) ? 例4 :已知线段AA 2a ，直线I 垂直平分AA 于O ,在I 上取两点P, P ,使其满足 uuur , OP-OP 4 ,求直线AP UUU D 上运动，求△ ABC 的重心G 的轨迹方程. y 0 把x , y 联系起来

常见轨迹方程的求法

常见轨迹方程的求法

动点轨迹方程的常见求法 一、待定系数法； 它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。 例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半 长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。 解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为 22a x +22b y = 1，双曲线的方程为22 m x －22n y = 1。 2c = 213 , ∴c = 13 . a – m = 4 , m c : n c = 7 3 , ∴a = 7 , m = 3 . b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 . ∴椭圆方程为492x +36 2 y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得： ∴椭圆方程为492y +36 2 x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。 二、直译解析法； 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 建立直角坐标系如右图：则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y), ∠PAB = α , 则∠PBA =2α 3 -x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2) (1) (2x y x y -- = 2 22y x xy -- ∴y = 0 (0

轨迹方程的常见求法

轨迹方程的常见求法 1、直译解析法；该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例1设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆4222=+y x 交于B A 、两点，P 是l 上满足1=∙的点，求点P 的轨迹方程。 2、定义法；若动点轨迹直接符合已知圆锥曲线定义，则可直接利用定义写出其方程。 例2、已知定点A （0，7）、B （0，-7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程. 例3、已知圆O ：2216x y +=及点A(2, 0)，求过A 且与圆O 相切的诸圆圆心P 的轨迹方程。

3、相关点法；若动点P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点P 1(x 1,y 1)而运动，且x 1, y 1可用x, y 表示，则将P 1(x 1,y 1)代入已知曲线，求出P 点的轨迹方程。此法也称代入法或转移法。 例4、定点A(3,0)为圆221x y +=外一定点，P 为圆上任一点，（除出圆与x 轴的交点）, ∠POA 的平 分线交PA 于点Q, 求出Q 点的轨迹方程。 例5．如图所示，过椭圆E ：12 322=+y x 上任一点P ，作右准线l 的垂线PH ，垂足为H 。延长PH 到Q ，使HQ=PH,(>0)λλ（1）当P 点在E 上运动时，求点Q 的轨迹G 的方程；（2）当λ取何值时，轨迹G 是焦点在平行于y 轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆'E 上，并写出椭圆的方程；（3）当λ取何值时，轨迹G 是一个圆？判断这个圆与椭圆'E 的右准线'l 的位置关系。

求轨迹方程的常用方法例题及变式

求轨迹方程的常用方法： 题型一 直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ， )0,2(x N ),(R y x ∈ ∴ 12 03 22230-=--⋅--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2 3 ,1(P 它也满足方程01364=-+y x ， 所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。 变式1 已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。 （1） 求动点M 的轨迹C 的方程； （2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的 斜率。 题型二 定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。 例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:22=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹

轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

轨迹方程的求法之蔡仲巾千创作 一、知识复习 轨迹方程的求法罕见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法 （5）交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P （－3，0）是圆x2+y2－6x －55=0内的定点，动圆M 与已知圆相切，且过点P ，求圆心M 的轨迹方程。 例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内 的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x,y)，则在R t△ABP 中，|AR|=|PR|. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt△OAR 中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R 是PQ 的中点，所以x1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x2+y2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+⋅ -++x y x －10=0 整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. 例3、如图, 直线L1和L2相交于点M, L1L2, 点N L1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L2的距 离

与到点N 的距离相等. 若AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。 设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ， 其中xA,xB 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 由①，②两式联立解得 p x A 4 = 。再将其代入①式并 由p>0 解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====22 14A A x p x p 或 因为△AMN是锐角三角形，所以A x p >2，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ∴p=4,xA=1 由点B 在曲线段C 上，得 42||=- =p BN x B 。 综上得曲线段C 的方程为)0,41(82 >≤≤=y x x y 解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为 轴，M 为坐标原点。 作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E 、D 、F 设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0) 依题意有 例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x ，设长为2的线段AB 在直线λ上移动，求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程． 解：PA 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而变更，故可设)1,1(),,(++t t B t t A ， 则PA ：),2)(2(222-≠++-= -t x t t y QB ：).1(1 1 2-≠+-=-t x t t y 消去t ，得.082222=+-+-y x y x

求轨迹方程的十种技法

求轨迹方程的十种技法 春晖中学 冯志华 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1 已知动点M 到定点A （1，0）与到定直线L ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 解设M （x,y ）是轨迹上任意一点，作MN ⊥L 由 ｜MA ｜＋｜MN ｜＝4，得|3|22)1(-++-x y x 当x ≧3时上式化简为 y 2=－12(x-4) 当x ≦3时上式化简为 y 2=4x 所以点M 的轨迹方程为 y 2 =－12(x-4) (3≦x ≦和y 2=4x (0≦x ≦3). 其轨迹是两条抛物线弧。 2定义法 圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。 例2 在相距离1400米的A 、B 两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？ 解 因为炮弹爆炸点到A 、B 两哨所的距离差为3×340=1020米，若以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线 12510 2700225102=--y x 上． 3 转移法 若轨迹点P （x ,y ）依赖于某一已知曲线上的动点Q （x 0, y 0），则可先列出关于x 、y, x 0、y 0的方程组，利用x 、y 表示出x 0、y 0，把x 0、y 0 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程。

轨迹问题方法与例题大全

轨迹问题 一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系 二、求轨迹的一般方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 三、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。 3．求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 四、例题分析： （一）、直接法题型： 1、在平面直角坐标系xOy 中，点)0 , 4(A 、)0 , 1(B ，动点P 满足||6=⋅．求点P 的轨迹C 的方程． 2、（2009湖南）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F （3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和，求点P 的轨迹C ； 3、（2009海南）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1 （1）求椭圆C 的方程‘ （2）若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP e OM =（e 为椭圆C 的离心率） ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

轨迹方程的求法

轨迹方程的求法 刘安锋 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1、知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：2 2 1x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0l l >（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 λ=MQ MN ，即 22 MO ON MQ l -=， ∴ 222 2 1(2)x y x y l +-=-+． 整理 得 22 2 (1 )(1)4 x y x l l l l - +--++， 这就是动点M 的轨迹方程． 若1=λ，方程化为45= x ，它表示过点)0,4 5 (和x 轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为22222222131(1)x y l l l l ++=--（－），它表示以22 2(,0)1 l l -为圆心，2 2 131 l l +-为半径的圆． 二、代入法（相关点法） 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已 知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2、已知抛物线12 +=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 解：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PB AP λ， ∴ .2121,212311++=++= y y x x 解得2 1 23,232311-=-=y y x x . 又点B 在抛物线12 +=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2 3 23()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),3 1 (32)3 1 (2 -=-x y 其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此 法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 、若动圆与圆4)2(2 2=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )