求轨迹方程的六种方法
中学数学解题方法讨论
-------求轨迹方程的方法
道县五中 周昌雪
内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法；若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。
曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。
求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中找出动点P （x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式(),0f x y =，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。、交轨法等求之。
求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法
由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。求轨迹在求出轨迹方程后必须说明轨迹的形状。
一、
用待定系数法求轨迹方程
曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。
例1 已知椭圆2
2
51470x y +=和直线:90l x y -+=，在直线l 上任取一点P ，过P 且以已
知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。
解 已知椭圆的焦点()()123,0F 30F -和，，从而设所求椭圆的方程为22
2219
x y a a +=-。若过l 上的P 点，且椭圆长轴最短，由平面几何知识与椭圆相切。把直线方程代入椭圆方程，利用判别式
等于0，得2
45a =，从而椭圆方程为
22
14536
x y +=.
例2 已知双曲线C 的两个焦点为12,F F ，直线L 过点2F ，
与线段12F F 夹角为,α且 tan α=
2
，与线段12F F 垂直平分的交点为P ，线段2PF 与双曲线的交点为Q ，且22PQ QF =，求双曲线方程。
解 取12F F 所在直线为x 轴，12F F 的中垂线为Y 轴建立直角坐标系，设双曲线方程为
22
2
21x y a b
-=，设()()12,0,,0F c F c -,
由题意直线L 的方程为)y x c =
-，令0x =，得点P 的坐标为0,2⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，又2
2P Q Q F =，
由定比分点坐标公式可得点Q 坐标2,36c ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
. 因为点Q 在双曲线上，所以22
22
4211936c c a b
-=， ① 又2
2
2
c a b =+, ② 由①、②消去c ，化简整理得
42
1641210b b a a ⎛⎫⎛⎫
--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得b a =③
又由已知有ab =④
由③、④得a=1,b=,则所求双曲线方程为2
2
13
y x -=。 又由对称性知，双曲线2
2
13
x y -=也适合。
故所求双曲线方程为22
13y x -=或22
13
x y -=
二、用直译法求轨迹方程
直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论。
例3 已知直角任何坐标平面上的点Q(2,0)和圆O:x 2
+y 2
=1，动点M 到圆O 的切线长与MQ 的
比等于常数λ(λ>0)。求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
解 设直线MN 切圆于点N ，则动点M 组成的集合是P={M ∣∣MN ∣=λMQ }.
设M(x,y)=
()()2
222214140x y x λ
λλ-+-++=
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故这个方程为所求，当λ=1时，它表示一条直线，当λ≠1时，它表示一个圆。
例4 求与y 轴相切，并且和圆2
2
40x y x +-=外切的圆的圆心的轨迹方程.
解 由2
2
40x y x +-=,有()2
22
22x y -+=.
设动圆的圆心P （x,Y ）,由题意记A （2，0），则2PA x =+,2x =+,化
简得2
44y x x =+,当0x ≥时，2
8;y x =当x ﹤0时,y=0.
综上，所求圆心的轨迹方程为2
8y x =(x ≥0)或y=0(x <0)
三、
用定义法求轨迹方程
若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之。
例5 如图所示，直线1l 和2l 相交于M ，12l l ⊥,点1N l ∈，以A 、B 为端点的曲线C 上的任一点
到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，AM =3AN =,且6AB =，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。
M N 1l
解 如图所示，建立坐标系，以1l 和2l 为轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，点 O 为坐标原点建立直角坐标系。
依题意知：曲线段C 是以点 N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点，设曲线段C 的方程为y 2
=2px(p>0,x A ≤x ≤x B ,y>0)
其中
P=｜MN ｜,M(-2P ,0),N(2
P
，0),
由AM =,3AN =得
2
2
217,2922A A A A p p x px x px ⎛⎫⎛
⎫++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
联立解得1,4 2.2A A x p x P ====或
△AMN 是锐角三角形，2
A P
x ∴>,舍去2,2A x P == 1,4A x P ∴== 又点B 在双曲线段上C 上，所以42
B P x BN =-=，因此所求的曲线段
C 的方程为y 2
=8x(1≤x ≤
4,y>0)
例6 已知圆C ()2
2
125x y ++=内一点A （1，0），Q 点为圆C 上任意一点，线段CQ 连线交于
点M ，求点M 的轨迹方程。
解 连结AM ，点M 在线段AQ 的垂直平分线上,则AM=MQ,
55
CM MQ CM MA +=∴+=
故点M(x,y)到点C （-1，0）和点A （1，0）的距离之和是常数5，且5>2，所以点P 的轨迹是一个以A 、C 为焦点的椭圆，
∵2a=5, 2c=2, ∴2
2
2
21
4
b a
c =-=
, ∴点M 的轨迹方程为
22
1252144
x y +=. 四、
用代入法求轨迹方程
当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法。
例7 抛物线x 2
=4x 的焦点为F ，过点M(0,-1)作直线l 交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF
为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程。
解 设R(x,y)，平行四边形FARB 的对角线的点为P(x 0,y 0)，F(0,1)由中点坐标公式得
001
,22
x y x y +==
, 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)则x 1≠x 2, 且x 12
=4y 1,x 22
=4y 2，，相减得x 12
-x 22
=4(y 1-y 2), 从而02
AB x k =，又A 、P 、B 、M 四点共线，且001PM y k x +=，由K AB =K PM 得x 02
=2(y 0+1)
把001,22
x y x y +=
=
代入并整理得x 2
=4y+12 注：动点是直线被方程圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程，这事实上就是中点弦问题的处理方法。
五、
用参数法求轨迹方程
若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法。
例9 给出定点A(a,0)(a ＞0)和直线l :x=-1,B 是直线l 上的动点,∠BOA 的平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 的关系
解 设B(-1,t)，C(x,y)
，则OB =C 分BA 所成的比为
11BC OB
x y CA OA a a x y a
λ+-===∴==--
消去t 并整理得点C 的轨迹方程为(1-a)x 2
-2ax+(1+a)y 2
=0(0≤x ＜a) 当a=1时，轨迹方程为y 2
=x(0≤x ＜a)，它表示抛物线段；
当a1≠时，轨迹方程可化为 2
22
221111a x y a a a a a ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭+=⎛⎫
⎪--⎝⎭
(0≤x ＜a). 故当a ＞1时，方程表示双曲线一支上的弧段，当0＜a ＜1时，表示方程椭圆弧段。
例10 已知点P 在直线x=2上移动，直线l 通过原点且和OP 垂直，通过点 A （1，0）及点P 的直线m 和直线l 相交于Q ，求点Q 的轨迹方程。
解 如右图所示，设OP 所在直线的斜率为k ，则点P 的坐标为（2由l OP ⊥，得直线的方程为x+ky=0. ① 易得直线m 的方程为y=2k(x-1). ②
因为点Q （x,y ）是直线l 和直线m 的交点，
X
所以由①②联立，消去k ，得点Q 的轨迹方程为2x2+y2-2x=0(x ≠1). Q
六、
用交轨法求轨迹方程 m
如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程。“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。
例11 设点A 和B 为抛物线2
4(0)y px p =>上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB 、OM ⊥AB ，求点M 的轨迹，并说明它表示什么曲线。
解 设M(x,y)，直线AB 方程为y=kx+b ，把它代入y 2
=4px ，消去x 得ky 2
-4py+4pb=0，从而
124pb
y y k
=
，因此2122b x x k =. 由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0，即b=-4kp ，所以y=kx+b=k(x-4p), 又OM ⊥AB,故x k y
=-
. 消去k 得点M 的轨迹方程x 2
+y 2
-4px=0(x ≠0).
例12 已知点O 、点B 为二定点，1OB =,点P 是线段OB 上一点，分别以OP 、OB 为斜边在线段OB 的同一侧作等腰三角形OCP 和ODB 。设PD 、BC 相交于点Q ，当P 在线段OB 上移动时求点Q 的轨迹方程。
解 以OB 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立如右图所示的直角坐标系，设点P(t,0)(0＜t ＜1), 则C ,22t t ⎛⎫
⎪⎝⎭, 又D 112,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
, ∵ BC 的方程为(1)2t
y x t =
--, ① PD 的方程为1
()12y x t t
=-- ②
由①②得32(1),2(1)
t t
x y t t =
=++,
由以上两式消去t ，得x-3y= 0, 当0t →时，0x →；当1t →时,34x →则0＜x ＜3
4
故点Q 的轨迹方程为x-3y=0(0＜x ＜
34
), 同理当△ODB 位于x 轴下方时，点Q 的轨迹方程为x+3y=0(0＜x ＜34
)
参考文献
1．《考试报》 2006年11月14日，张贤胜《轨迹方程的求法归纳》2．全日制普通高中教材《数学》（第二册上）
3．《中学数学教学参考》2002.10 《怎样求曲线方程》
4.《学海导航》（二年级上）
5.《世纪金榜》2006年第一轮复习
求曲线轨迹方程的常用方法
高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 张昕 陕西省潼关县潼关高级中学714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下：（1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程 的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性 质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系 数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方 程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法. （4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方 程，消去参数来求轨迹方程. （5）几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法.
（6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示范讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+= （x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点 所以∠OBC= 90?, 则B 在以OC 为直径的圆上， 故B 点的轨迹方程是2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法三：（代入法） 设A （1x ，1y ），B （x ，y ），
求轨迹方程的六种方法
中学数学解题方法讨论 -------求轨迹方程的方法 道县五中 周昌雪 内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法；若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。 曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。 求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中找出动点P （x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式(),0f x y =，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。、交轨法等求之。 求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法 由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。求轨迹在求出轨迹方程后必须说明轨迹的形状。 一、 用待定系数法求轨迹方程 曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。 例1 已知椭圆2 2 51470x y +=和直线:90l x y -+=，在直线l 上任取一点P ，过P 且以已
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )() ()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ???=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆5 92 2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（ ）【答案】：B A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092 2=+y x D 、5 3622y x + 【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得15 4922=+y x ,选B 2. 圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结 一、直接法 若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节. 二、定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、
双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程． 三、代入法 若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.
四、参数法 若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.
点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法 若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.
轨迹方程求解常用方法
圆锥曲线补充（1） 轨迹方程求解常用方法 一．定义法 如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （2） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3） 抛物线：到定点与定直线距离相等。 例1一动圆与圆O ：12 2=+y x 外切，而与圆C ：0862 2 =+-+x y x 内切，那么动圆的 圆心M 的轨迹是： A ：抛物线 B ：圆 C ：椭圆 D ：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R ，则有? ? ?-=+=1||1 ||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D 。 例 2 已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5 sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045 ==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭 圆的定义。令椭圆方程为 12 '22 '2=+ b y a x ，则34,5'''=?==b c a ，则轨迹方程为 19 252 2=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 练习：1. 点M 到点F （4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。 【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。 2.已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中， 1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13 42 2-≠<=+x x y x .
求点的轨迹方程常用方法
求点的轨迹方程的常用方法 一.直接法. 1.设点 ()()1,0,1,0A B -，直线,AM BM 相交于点,M 且它们的斜率之积为2，求点M 轨迹方程. 2.已知动点(),P x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点P 轨迹方程. 二.定义法 3. y 轴及y 轴右侧的点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1，求点M 轨迹方程. 4. 已知动圆M 过定点()4,0P -，且与圆22:80C x y x +-=相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 5.已知椭圆2 214 x y +=的左、右焦点12,;F F P 是椭圆上一个动点，如果延长1F P 到Q ，使2,PQ PF =那么动点Q 的轨迹方程. 6. 已知ABC ∆的顶点 ()()4,0,4,0,A B -C 为动点，且满足5sin sin sin ,4B A C +=求顶点C 轨迹方程. 三.相关点法（代入法） 7.已知点()4,0D ,在圆224x y +=上任取一点P ，求线段PD 的中点M 的轨迹方程. 8.在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 做x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点M 在DP 的延长线上，且3,2 DM DP =当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.
9.已知椭圆2 214 x y +=的焦点12,;F F P 是椭圆上一个动点，12F PF ∠的外角平分线,l 点2F 关于直线l 的对称点为Q ，2F Q 交l 于点,R 求动点R 的轨迹方程. 四.参数法 10.已知动圆222:42640,M x y bx by b ++-+-=求动圆圆心M 的轨迹方程. 11.已知动圆22:6cos 4sin 0,M x y x y ββ++-=求动圆圆心M 的轨迹方程. 高考实战 （2013年）1.已知动圆P 与圆()22:11M x y ++=外切，且与圆()22:19N x y -+=相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程. （2014年）2.已知点()2,2P ,圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. （2017年）3.在椭圆2 2:12 x C y +=上任取一点M ，过点M 做x 轴的垂线段MN ，N 为垂足，点P 满足2,NP NM =求点P 的轨迹方程. （2013年）4.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆P 在x 轴上，截得线段长为P 在y 轴上，截得线段 长为求点P 的轨迹方程.
常见轨迹方程的求法
动点轨迹方程的常见求法 一、待定系数法； 它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。 例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴比双曲线的 半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。 解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为22a x +22 b y = 1，双曲线的方程为22 m x －22n y = 1。 Θ2c = 213 , ∴c = 13 . Θa – m = 4 , m c : n c = 7 3 , ∴a = 7 , m = 3 . Θ b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 . ∴椭圆方程为492x +36 2 y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得： ∴椭圆方程为492y +36 2 x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。 二、直译解析法； 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴， 建立直角坐标系如右图： 则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y), ∠PAB = α , 则∠PBA =2αΘ3 -x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2)(1)(2x y x y -- = 222y x xy -- ∴y = 0 (0 求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1．直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -， B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 2．代入法（或利用相关点法）： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。 解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ， 一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ① 另一方面，M 分AB 的比为12 ， ∴1022133122130121312 a x a a x b y b y b ?+??==??+?=???????=+??==?+?? ② ②代入①得：223()(3)362 x y +=，即221164x y +=。 评注：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时，要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3．几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。 例3：如图，已知两定点A （6,0-），B （2,0），O 为原点，动点P 与线段AO 、BO 所张的角相等，求动点P 的轨迹方程。 解：设P (,)x y ，由题APO BPO ∠=∠，由三角形角平分线定理有|||||||| PA AO PB BO =， 3=， 整理得2260x y x +-=，当0x =时，0y =，P 和O 重合，无 意义，∴0x ≠， 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有00APO BPO ∠=∠=， ∴0y =（6x <-或2x >）也满足要求。 综上，轨迹方程为22 60x y x +-=（0x ≠）或0y =（6x <-或2x >）。 评注：本例利用平面几何的知识（三角形的角平分线定理进行解题），方便了求轨迹的方程。 4．参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使(,)x y 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。 求轨迹方程的常用方法 一、求轨迹方程的一般方法： 1,待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义,那么可先设出轨迹方程,再根据条件, 待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法. 2,直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断, 但点P满足的等量关系易于建立,那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系, 再用点P的坐标〔x, y〕表示该等量关系式,即可得到轨迹方程. 3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,那么可寻求引发动点P运动的某 个几何量t ,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x, y与该参数t 的函数关系x = f 〔t〕, y = g 〔t〕,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F 〔x, y〕 =0. 4 .代入法〔相关点法〕：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的, 而该点的运动规律,〔该点坐标满足某曲线方程〕,那么可以设出P 〔x, y〕,用〔x, y〕表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入曲线方程,即可得到动点P的 轨迹方程. 5 .几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质〔如线段的垂直平分线,角平分线的性质等〕,可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单. 6:交轨法：在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程〕,该法经常与参数 法并用. 二、求轨迹方程的考前须知： 1 . 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律, 即P 点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. 2 .轨迹方程既可用普通方程F〔x,y〕 0表示,又可用参数方程x f〔t〕〔t为参数〕 y g〔t〕 来表示,假设要判断轨迹方程表示何种曲线,那么往往需将参数方程化为普通程的某些解为坐标的点不在轨迹上〕,又要检验是否丢解.〔即轨迹上方程. 3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解, 〔即以该方 的某些点未能用 常见轨迹方程的求法 动点轨迹方程的常见求法 一、待定系数法； 它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。 例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半 长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。 解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭圆方程为 22a x +22b y = 1，双曲线的方程为22 m x －22n y = 1。 2c = 213 , ∴c = 13 . a – m = 4 , m c : n c = 7 3 , ∴a = 7 , m = 3 . b 2 = a 2－c 2 = 36 , n 2 = c 2－ m 2 = 4 . ∴椭圆方程为492x +36 2 y = 1，双曲线的方程为92x －42y = 1 ； 如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得： ∴椭圆方程为492y +36 2 x = 1，双曲线的方程为92y －42x = 1 。 二、直译解析法； 该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。 例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB 成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 建立直角坐标系如右图：则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y), ∠PAB = α , 则∠PBA =2α 3 -x y = K PB = tg(π－2α) = - tg2α =αα212tg tg -- = 2) (1) (2x y x y -- = 2 22y x xy -- ∴y = 0 (0 求点的轨迹方程的六种常见方法 点的轨迹方程是描述点在运动过程中所经过的路径的数学方程。在数 学和物理等领域，有许多方法可以推导和描述点的轨迹方程。下面介绍六 种常见的方法。 一、直角坐标系方法 直角坐标系方法是最常见的一种方法，通常用于平面分析。在直角坐 标系下，点的位置可以用横坐标x和纵坐标y来表示。如果已知点的坐标 与时间的关系，可以通过方程联立或者曲线拟合的方法得到点的轨迹方程。 二、参数方程方法 参数方程方法是一种将点的位置用参数表示的方法。通过引入参数t，点的坐标可以用关于t的函数表示，如x=f(t)和y=g(t)，这样就可以得 到点的轨迹方程。参数方程方法适用于描述直线、圆和其他曲线的方程。三、极坐标系方法 极坐标系方法是一种将点的位置用极径r和极角θ来表示的方法。 通过引入极径和极角的关系表达式，可以得到点的轨迹方程。例如，对于 圆的方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是关于极角θ的函数。 四、矢量方程方法 矢量方程方法是一种用矢量表示点的位置的方法。通过引入位置矢量 r(t)，可以得到点的轨迹方程。位置矢量r(t)通常用分量表示，如 r=(x,y,z)。矢量方程方法适用于描述曲线在三维空间中的轨迹。 五、微分方程方法 微分方程方法是一种通过点的运动规律和动力学方程来推导轨迹方程 的方法。通过对点的位置向量或者其分量进行微分，并代入运动规律方程，可以得到点的轨迹方程。微分方程方法适用于描述受力作用下点的运动。六、变分原理方法 变分原理方法是一种通过极小化或者极大化一些物理量来推导轨迹方 程的方法。通过对点的位置或路径的泛函进行变分，可以得到使泛函取得 极值的轨迹方程。变分原理方法适用于描述光的传播、质点在介质中的传 播等问题。 综上所述，点的轨迹方程可以通过直角坐标系方法、参数方程方法、 极坐标系方法、矢量方程方法、微分方程方法和变分原理方法等六种常见 方法推导和描述。不同的方法适用于不同的情况和问题，选择合适的方法 可以更方便地求解轨迹方程。 解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律符合我们的*种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否符合我们熟知的*些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔*，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的*个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标*，y 与该参数t 的函数关系*＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔*，y 〕＝0。 4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外*一点P'的运动引发的，而该点的运动规律，〔该点坐标满足*曲线方程〕，则可以设出P 〔*，y 〕，用〔*，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。 例2：ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y +=部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 专题：求曲线轨迹方程的常用方法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一，本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 一、直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 二、定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解．这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征． 1.常见的轨迹: (1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线. (2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆. (4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线. (5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线 平行的两条直线. 三、点差法 四．相关点法（代入法）： 相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点随的变化而变化； ③在变化过程中和满足一定的规律。 A. 圆 B. 两条平行线 C. 抛物线 D. 双曲线 五、参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。 评述：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可利用平面几何知识推出等量关系，求方程可以用直接法，如本题中，推出，从而利用根与系数的关系建立方程。 六．交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。 总结归纳 1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐 求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是4 9 ，求点M 的轨迹方程。 解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3 AM y k x x =≠- 由已知有 4 (3)339 y y x x x •=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22 1(3)94 x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。 2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。 解：设ABC ∆的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得 求轨迹方程的六种常用方法 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是 4 9 ，求点M 的轨迹方程。 解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为 (,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM y k x x = ≠-+，直线BM 的斜率(3)3 AM y k x x =≠- 由已知有 4 (3)339 y y x x x ∙=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22 1(3)94 x y x -=≠± 练习： 1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。 2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2 2 24x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹 方程是_______________。 解：设ABC ∆的重心为(,)G x y ，则由AC 和AB 两边上的中线长之和是30可得 2 30203 BG CG +=⨯=，而点(8,0),(8,0)B C -为定点，所以点G 的轨迹为以,B C 为焦点的椭圆。 所以由220,8a c ==可得10,6a b === 故ABC ∆的重心轨迹方程是 22 1(0)10036 x y y +=≠ 练习： 4．方程|2|x y =++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线 3．点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有〔1〕直接法；〔2〕定义法；〔3〕待定系数法〔4〕参数法〔5〕交轨法；〔6〕相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P〔－3，0〕是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。 例2、如下图，P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，那么在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+⋅ -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 假设∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。 设曲线段C 的方程为)0,(),0(22 >≤≤>=y x x x p px y B A ， 其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 ) 2(92)2() 1(172)2(3||,17||)0,2 (),0,2(22=+-=++==- A A A A px p x px p x AN AM p N p M 得 由所以 由①，②两式联立解得 p x A 4= 。再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形，所以A x p >2，故舍去⎩⎨⎧==2 2A x p ∴p=4,x A =1 由点B 在曲线段C 上，得 42||=- =p BN x B 。 综上得曲线段C 的方程为)0,41(82 >≤≤=y x x y 解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为求轨迹方程的几种常用方法
高中数学考前归纳总结求轨迹方程的常用方法
常见轨迹方程的求法
求点的轨迹方程的六种常见方法
解析几何求轨迹方程的常用方法
专题：求曲线轨迹方程的常用方法
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程题型全归纳
轨迹方程的求法及典型例题含答案