矩形、梯形法计算定积分的黎曼和

钦州学院数学与计算机科学学院

数 学 实 验 报 告

实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 [实验题目及内容]

实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分?

++-=

b

a

x x

x f 32.0)(2

的黎曼和；

（2）通过10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的

速度。

内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作

[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）

将AB 边n 等分，过这些分点作E B '的垂线，将抛物线32.0)(2

++-=x x x f 和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分?

++-=

b

a

x x

x f 32.0)(2

黎曼和即面积。当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的

面积之和可近似代替定积分?

++-=b

a

x x

x f 32.0)(2

黎曼和。因此可通过计算梯形或矩形

面积求出定积分?

++-=

b

a

x x

x f 32.0)(2

的黎曼和。

定积分dx x f b

a

?)(在数值上等于以曲线)(x f y =和三直线0=y 、a x =、b x =所围

成的曲边梯形的面积。解决的办法是分割后再求和：设想将区间],[b a 分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。）

利用几何画板作图：

图1.

图2.矩形分割法

图3.梯形分割法

[实验结果]（通过数学表达式、 列表或图形图像的方式显示实验结果。） （1）

图4.矩形法

图4.通过矩形法得出定积分()dx x x b

a ?++-32.02

的值为22.10687。

（2）

图5. 梯形法

图5.通过梯形法得出定积分()dx x x b

a ?++-32.02

的值也是22.10687。

（3）当梯形法和矩形法中A x 、B x 的取值相同时，现在取55562

.0-=A x ，5052979

=B x ，

当n 变化时，I y 、)()(A B x g x g -的变化情况如下表1：

表1：

通过比较10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值，可得出梯形法比矩形法更逼近定积分的速度。

[结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析； 对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延； 给出自己的意见和合理建议。）

（1） 由表1看出：几何画板矩形法和梯形法画出的图形得到的定积分

()

dx x x

b

a

?++-32.02

的结果都是22.10687。小长方形面积的和（即黎曼和）I y 的

值都是随着n 的增大而变大并逐渐逼近于定积分()dx x x b

a

?++-32.02

的值。梯形

法比矩形法计算出的黎曼和I y 的值更加逼近定积分的值，梯形法求面积的误差比矩形法小。

（2） 矩形法作图：作图过程步骤（6）中作直线E B '与作线段E B '的区别，作直线作E

B '的结果就是上面所得出的实验结果。如果是作线段E B '，则当点E 的迭代点在开口向下的抛物线32.0)(2

++-=x x x f 上方时与垂线j 没有交点，如图6所示，部分图形显示不出来，这可以区别于上述图4所示，此时作图过程中若是构造四边形

FC B A '内部面积，则结果有偏差，原因是在抛物线外的点的矩形面积没有算进来；

如果是用n

x x x f A

B A -?

)(计算四边形面积，则结果没有影响。

图6.

（3）梯形法作图：作图步骤（6）中无论是作直线E B '还是作线段E B '都没有上述矩形法的偏差，因为梯形总是在抛物线内侧，其面积可以全部计算出来。

（4）除了几何画板之外，还可以利用Visual Basic 求解或者Matlab 计算面积。

[求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。） 1.矩形法计算定积分32.0)(2

++-=

?

x x

x f b

a

的黎曼和的步骤如下：

（1）将参数选项“其他（斜率，比…）”单位的精确度设为十万分之一。定义坐标系，隐藏

网格。

（2）新建函数32.0)(2

++-=x x x f ，并绘制函数)(x f 的图像。

（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标A x 、B x ；计算)(A x f 和)(B x f ；以A x 为横坐标，以)(A x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点C ；以B x 为横坐标，以)(B x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点D 。作线段AC 和BD 。 （4）新建参数2=n ，计算1-n 、n

1。

（5）以点A 为中心，以

n

1为标记比对点B 进行缩放得象点B '。

（6）求出点B '的横坐标B x '，计算)(B x f '；以B x '为横坐标，以)(B x f '为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点E ；作直线E B '。

（7）过点C 作E B '的垂线j ，并作j 和E B '的交点F 。

（8）隐藏直线j 和直线E B '（暂不隐藏点F ）；作线段F B '和CF ，构建四边形FC B A '内

部，并由n

x x x f A

B A -?

)(计算四边形FC B A '的面积。将C 、F 、E 、D 四点隐藏。

（9）新建参数0=s ，计算+s n

x x x f A

B A -?

)(。

（10）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标G x ，以G x 为横坐标，以+s 四边形EC B A '的面积为纵坐标，绘制点H 。

（11）依次选定参数2=n 、0=s 、点A 、点G 和1-n ，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为1-n 、+s n

x x x f A

B A -?

)(、点B '、点H 。选择“完整迭代”；在【结构】下

拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。

（12）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。求出点I 的纵坐标I y ，I y 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。 （13）新建函数x x

x

x g 32

115

1)(2

3

++

-

=，)(x g 即32.0)(2

++-=x x

x f 的原函数。

计算出)()(A B x g x g -的值，这个值就是定积分()dx x x b

a

?++-32.02

的黎曼和。

2.类似的利用梯形法计算定积分32.0)(2

++-=

?

x x

x f b

a

的黎曼和步骤如下：

（1）将参数选项“其他（斜率，比…）”单位的精确度设为十万分之一。定义坐标系，隐藏网格。

（2）新建函数32.0)(2

++-=x x x f ，并绘制函数)(x f 的图像。

（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标A x 、B x ；计算)(A x f 和)(B x f ；以A x 为横坐标，以)(A x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点C ；以B x 为横坐标，以)(B x f 为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点D 。作线段AC 和BD 。 （4）新建参数2=n ，计算1-n 、n

1。

（5）以点A 为中心，以

n

1为标记比对点B 进行缩放得象点B '。

（6）求出点B '的横坐标B x '，计算)(B x f '；以B x '为横坐标，以)(B x f '为纵坐标，绘制出曲线)(x f 上的点E ；作直线E B '、线段CE 。

（7）构建四边形EC B A '内部，并由

[]n

x x x f x f A B B A 2)()()(-+'计算四边形EC B A '的面积。

（8）新建参数0=s ，计算+

s []n

x x x f x f A B B A 2)()()(-+'。

（9）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标G x ，以G x 为横坐标，以+s 四边形EC B A '的面积为纵坐标，绘制点H 。

（10）依次选定参数2=n 、0=s 、点A 、点G 和1-n ，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为1-n 、+

s []n

x x x f x f A B B A 2)()()(-+'、点B '、点H 。选择“完整迭代”；在

【结构】下拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。

（11）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。求出点I 的纵坐标I y ，I y 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。 （12）新建函数x x

x

x g 32

115

1)(2

3

++

-

=，)(x g 即32.0)(2

++-=x x

x f 的原函数。

计算出)()(A B x g x g -的值，这个值就是定积分()dx x x b

a

?++-32.02

的黎曼和。

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

勒贝格积分

勒贝格积分 将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。 概念简述 定义：设f (x) 是E ∈ L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈ L(E) ，如果对任意ε > 0，必然存在E 的分划D，使 S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε， 这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。 它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分； 后者是对函数定义域进行划分。 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说: 假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后 计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1) 即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加 以归类。 积分介绍 积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路 程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将 小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。 勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如 计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数： Y=1，当X是无理数； Y=0，当X是有理数。 求该函数覆盖的面积。

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别 摘要 本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。 关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分

1、定义 1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义 1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间 [][][]n n x x x x x x ,,,12110- 1x ? 2x ? n x ? 2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ??-ξξ..,,1 3）()i i n i x f ?∑=ξ1 4）取极限令{}i x T ?=max —T 的细度，若()i n i i T x f ?∑=→1 0lim ξ存在 ()()∑?=→?=n i i i T b a x f dx x 1 0lim ξ 1.2勒贝格积分定义 设()x f 在有限可测集E 上有界 1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 n i i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一 个L-分划 2）设{}n E E E D 21=，{}' '2 '1'D n E E E =均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈?存在j i j E E t s D E ?∈' ..称D 比'D 细（D D 是'的加细） 3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b i i E x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i n i i mE b f D s ∑==1' ,在划分D 下()x f 的小和

不定积分计算的各种方法论文.doc

不定积分计算的各种方法 广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬 【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。 【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 一、引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 二、不定积分的概念 定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为

?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。 在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数， 而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 三、不定积分的计算方法 1.直接积分法 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表： （1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1.

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σf(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中Δ Xi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。 勒贝格积分 将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。概念简述 定义：设f (x) 是E ∈L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈L(E) ，如果对任意ε> 0，必然存在E 的分划D，使S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε， 这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。 它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说: 假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1)

即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块 上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。 积分介绍 积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25，25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数： Y=1，当X是无理数； Y=0，当X是有理数。 求该函数覆盖的面积。 黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。 用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。 [0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度+ 无理数集的长度。 所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。这就解释了上述计算结果。 由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。

定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L

设计采用梯形法和辛普生法求定积分的程序

河北工业大学计算机软件技术基础（VC）课程设计报告 学院信息工程学院院班级通信101 姓名崔羽飞学号 102117 成绩 __ ____ 一、题目： 设计采用梯形法和辛普生法求定积分的程序 二、设计思路 1、总体设计 1）分析程序的功能 本题目的功能是对梯形法和辛普森法，在不同区间数下计算所得的定积分的值，进行精度比较。 2）系统总体结构： 设计程序的组成模块，简述各模块功能。 该程序共分为以下几个模块 模块一：各函数原型的声明。 模块二：主函数。 模块三：各函数的定义。 包括两个数学函数y1=1+x*x、y2=1+x+x*x+x*x*x的定义和两个函数指针double integralt(double ,double ,int ,double(*f)(double)) double integrals(double ,double ,int ,double(*f)(double)) 的定义。 2、各功能模块的设计：说明各功能模块的实现方法 模块一：对各种函数进行声明。 模块二：求梯形法和辛普森法，在不同区间数下计算所得的定积分的值。 模块三：将各函数写出来。 3、设计中的主要困难及解决方案 在这部分论述设计中遇到的主要困难及解决方案。 1）困难1：函数指针的应用。解决方案：仔细阅读课本，以及与同学之间的讨论，和向老师求助。 2）困难2：将程序分成不同的.cpp文件。解决方案：与同学讨论。 4、你所设计的程序最终完成的功能 1）说明你编制的程序能完成的功能 在数学上求一个函数与x轴在一定范围内所围的面积即求定积分，对梯形法和辛普森法求定积分的比较。 2）准备的测试数据及运行结果

(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 数学系1302班第五组 07 樊萌 12 韩鸿林 19 兰星 21 李鸿燕 45 王堃 51 武相伶 54 许小亭 57 杨莉

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<==Λ10,其中令(){}i i x x x f M ?∈=,sup ,(){}i i x x x f m ?∈=,inf ,i i i x x x -=?+1,()11-=-=∑i i n i i x x m s ()11 -=-=∑i i n i i x x M S ,若有 dx s dx S b a b a ??= 则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积. 2、勒贝格积分定义：, 0>?δ,作M y y y m n =<<=Λ10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i Λ,2,1=若i n i i mE y ∑=-→110 lim δ存在,则()x f 勒贝格可积. 3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f =+ ， ()(){}0,m in x f x f -=- ,则有()()()x f x f x f -+ -= ,若()dx x f E +? ,()dx x f E _ ?不同时为∞,则 ()x f 在E 上的积分确定且 ()()()dx x f dx x f dx x f E E E -+??? -=. 4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i Λ2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E n i i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为 ()i n i i E mE c dm x f ∑?==1 ,若()∞

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

分类号O172.2 编号2012010644 毕业论文 题目 学院 姓名 专业 学号 研究类型 指导教师 提交日期

原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年月日 论文指导教师签名：

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 摘要：介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系. 关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数. The Differences and Relations Between the Riemann Integral and Lévesque Integral Abstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Lévesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classes of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Lévesque integral are given. Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented. Keywords:Riemann integral; Lévesque integral; measurable function; integral function

第一题.矩阵法,梯形法积分

梯形法数值积分 A ．算法说明： 梯形法数值积分采用的梯形公式是最简单的数值积分公式，函数()f x 在区间[a,b]上计算梯形法数值积分表达式为： ()[()()]2b a b a f x dx f a f b -≈+? 由于用梯形公式来求积分十分粗糙，误差也比较大，后来改进后提出了复合梯形公式：b a h n -=,其中，n 为积分区间划分的个数；h 为积分步长。 在MATLAB 中编程实现的复合梯形公式的函数为：Combine Traprl. 功能：复合梯形公式求函数的数值积分。 调用格式：[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps). 其中，f 为函数名； a 为积分下限； b 为积分上限； eps 为积分精度； I 为积分值； Step 为积分划分的区间个数 B ．流程图

C．复合梯形公式的原程序代码： function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps) % 复合梯形公式求函数f在区间[a,b]上的定积分 %函数名：f %积分下限：a %积分上限：b %积分精度：eps %积分值：I %积分划分的子区间个数：step if(nargin==3) eps=1.0e-4; %默认精度为0.0001 end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1 h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 %第年n次的复合梯形公式积分 x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点 x1=x+h I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; D．应用举例 复合梯形法求数值积分应用举例，利用复合梯形法计算定积分 dx x ? - 4 221 1 流程图

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

矩形、梯形法计算定积分的黎曼和

钦州学院数学与计算机科学学院 数 学 实 验 报 告 实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 [实验题目及内容] 实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 的黎曼和； （2）通过10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的 速度。 内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作 [问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明） 将AB 边n 等分，过这些分点作E B '的垂线，将抛物线32.0)(2 ++-=x x x f 和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 黎曼和即面积。当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的 面积之和可近似代替定积分? ++-=b a x x x f 32.0)(2 黎曼和。因此可通过计算梯形或矩形 面积求出定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 的黎曼和。 定积分dx x f b a ?)(在数值上等于以曲线)(x f y =和三直线0=y 、a x =、b x =所围 成的曲边梯形的面积。解决的办法是分割后再求和：设想将区间],[b a 分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。） 利用几何画板作图：

勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别

勒贝格积分的若干简介 我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。 首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]： ⑴R 积分与极限可交换的条件太严。 ⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。 ⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。 ⑷缺乏单调收敛。 鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。 在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。 下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。 关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较 1.1勒贝格积分的定义[3]: 定义1：设)(x f 是n R E ?()∞

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

大学微积分1方法总结

第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：

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原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年月日 论文指导教师签名：

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 摘要：介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系. 关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数. The Differences and Relations Between the Riemann Integral and Lévesque Integral Abstract: In this paper, the definitions of the Riemann integral and Lévesque integral are introduced, Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classes of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Lévesque integral are given. Meanwhile, the example corresponding to each conclusion is also resented. Keywords: Riemann integral; Lévesque integral;measurable function; integral function