数学期望理论及其应用
目录
1.摘要 (2)
2.数学期望理论简述 (3)
3.数学期望理论的应用 (5)
3.1在证明等式和不等式中的应用 (5)
3.2在投资理财问题中的应用 (7)
3.3在天气预测问题中的应用 (8)
3.4在求职决策问题中的应用 (8)
3.5在委托代理问题中的应用 (9)
3.6在法律纠纷问题中的应用 (10)
4.结语 (11)
5.参考文献 (12)
数学期望理论及其应用
吴庆安，合肥师范学院
摘要：数学期望是数学概率统计中一个重要的数字特征，在研究理论和解决实际问题方面有着广泛的应用。本文通过列举一些理论上和现今实际生活中相关的问题，同时利用数学期望的相关理论进行解决，从而达到理论联系实际的目的。
关键词：概率统计；数学期望；决策
The Mathematic Expectation Theory and its Application
Wu Qing An,He Fei Teacher’s College
Abstract:The mathematic expectation is an important digital characteristic in the probability statistics, which has the widespread application in the fundamental research and the actual problem solution aspect. This article through enumerates some theoretically the question which is related with the nowadays practical life, simultaneously carries on the solution using mathematic expectation's correlation theories, thus achieves the apply theory to reality the goal.
Key words:Probability statistics；Mathematic expectation；Decision-making
一、 数学期望理论简述
数学期望是概率论发展早期就形成的一个数字特征,也是其他诸如方差、高阶矩等数字特征的基础。它反映的是随机变量的平均取值，而随机变量又分为离散型随机变量和连续型随机变量，下面先简单介绍这两种随机变量的数学期望定义及相关性质。
1. 离散型随机变量的数学期望
1.1一维随机变量的数学期望
设X 是离散型随机变量，它的概率函数是
,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k
如果 1
k k k |x |p ∞=∑收敛，定义X 的数学期望为
∑∞==1)(k k
k p x X E
可以看出，离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。
1.2二维（n 维）随机变量的数学期望
若(ξ,η)是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为
i j ij p(ξ=a ,η=b )=p ,i,j =1,2L
又),(y x g 是实变量x,y 的单值函数,如果
11i
j ij i j |g(a ,b )|p ∞∞==<∞∑∑
则有二维随机变量(ξ,η)数学期望
11(,)i j ij
i j Eg g(a ,b )p ξη∞∞===∑∑
上述是二维随机变量的数学期望，对一般的n 维随变量可以进行推广也有相应的定理成立，在这里就不再多述了。
2. 连续型随机变量的数学期望
2.1一维连续型随机变量的数学期望
设x 是连续型随机变量，其密度函数为)(x f .如果|x |f(x)dx ∞
-∞? 收敛，定义连续随机变量x 的数学期望为
()E X x f(x)dx ∞
-∞=?
可以看出，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.
2.2二维（n 维）连续型随机变量的数学期望
若(ξ,η)是一个二维连续型随机变量，其密度函数为(,)p x y ，又(,)f x y 是二元函数，则随机变量ζ=(ξ,η)数学期望为
E ζ=Ef(ξ,η)f(x,y)p(x,y)dxdy ∞∞
-∞-∞=
??
这里也要求上述积分绝对收敛.
如同1.2中所述，上述仅对二维的情况进行了叙述，对于n 维的情况也同样可以推广得到相应的结论，在这里也不再多述.
3. 随机变量函数的数学期望
设已知随机变量x 的分布， 那么x 的某个函数g(X)的数学期望基本公式如下：
设x 是一个随机变量，)(X g Y =，则
k=1
,X ,X k k g(x )p E(Y)=E[g(X)]g(x)f(x)dx ∞
∞-∞
??=???∑?离散
连续 其中，当x 是离散时, x 的概率函数为()(), 1, 2, k K K P x P x x P k ==== ； 当x 是连续时x 的密度函数为f(x).
4. 条件数学期望
设随机变量X 在Y=yj 条件下的条件分布列为i j P ，又
∞<∑∞=j i i i p x
1
则称
i=1i
i j x p ∞∑
为X 在Y=yj 条件下的数学期望，简称条件期望，记为j E(X Y =y ).
5. 数学期望的性质
对于随机变量的数学期望有如下几点性质，这些性质在解决一些问题或是证明相关定理中有重要应用.
(1)若a ξb ≤≤,则ξE 存在,且有b E a ≤≤ξ.特别,若C 是一个常数,则EC=C .
(2)对于一二维离散型随机变量(ξ,η),若ξE ,ηE 存在,则对任意的实数
),(,,2121ηξk k E k k 存在且
ξξηξE k E k k k E 2121)(+=+
(3)又若ξ,η是相互独立的,则ξηE 存在且
ηξξηE E E ?=)(
以上是对数学期望基本定义和性质的一个简述，其中关于定理和相关性质的证明参见文献[1]。对这些理论知识的叙述是为了方便在后文例举问题中的应用，当然在整个概率统计中关于数学期望的定理和性质远不止这些，但在这里没有必要进行全面而详细的论述。下面重点来叙述数学期望在理论研究和实际生活中的广泛应用.
二、 数学期望应用例举
(一) 数学期望在证明等式或不等式中的应用
在数学分析中常常要证明一些等式或不等式，常用的方法是利用归纳法或中值定理等.在这里本文将根据等式和不等式的特点，构造相应的概率模型或引进适当的随机变量，利用随机变量的数学期望来证明等式或不等式.
例1 证明下列等式：
11
2n k n n k kC
n -==∑， （1） 2
11(1)2n k n n k k C n n -==+∑， （2）
分析：上面两个等式通常可以用排列组合的相关知识来进行证明，但从等式的形式可以看出，它们和概率论中二项分布公式有些相近，所以在这里我们可以先构造一个二项分布模型，利用数学期望，用概率方法来证明。
证明：先构造概率模型：
假设一门大炮在一定条件下向某个目标单独射击n 次，其每次射中目标的概率是p ，以X 表示其射中目标的次数，则X 服从二项分布，有
()(1),0,1,2,...,k k n k n p X k C p p k n -==-=
0(1)n
k k n k n k E X kC p p -=()=-∑
设
1,1,2,...,0,i X i n ?==?;?第i 次射击击中目标；第i 次射击未击中目标 Z 则
12...n X X X X =+++ ，,1,2,...,i E X p i n ()== 因而1n
i k E X E X np =()=()=∑，即1(1)n k k n k n k kC p p np -=-=∑ 若取12p =，有11
2n k n n k kC n -==∑，（1）式得证. 因为
np ,E (X)= D(np(p)X)=1-
所以
222E(X )D(X)=(np)+np(1-p)=np(np 1-p)E =(X)++
又因为
2
20(X )(1)n
k k n k n k E k C p p -==-∑ 所以
2
0(1)np(np 1-p)n k k n k n k k C p p -=-=∑+ 取12
p =，则有 220
1(1)22n
n k n k n n k C =+??= ???∑ 故 2
20(1)2n k n n k k C n n -==+∑
因此（2）式得证。
从以上的证明过程可以看出，在构造出适当的概率模型之后，可以利用数学期望，用概率方法进行证明。在证明（1）式过程中主要利用离散型随机变量数学期望的基本定义，再结合二项分布随机变量的数学期望公式(X)E np =得出最后等式；而（2）式的证明主要是利用了数学期望的性质（3），进行简单变换、推导，从而证明结论.
例2 对于可积函数()g x ，（()0g x >），试证明2()()()b b a a
dx g x dx b a g x ≥-??. 分析：这个不等式的证明在数学分析中可以利用中值定理来证明，但也可以引入适当的随机变量，用概率方法来证明，在证明过程中需要应用下面概率论中的一个定理，该定理的证明可参见文献[2].
定理：设ξ为(),,F p Ω上的随机变量，若()f x 为定义在某区间I 上的连续的下凸函数，则有()()f E Ef ξξ≤.若()f x 为I 上的上凸函数，则有
()()f E Ef ξξ≥.
证明：令[,]U a b ξ∈，()y g x =为严格正函数，则()g ηξ=为正随机变量.
考察(0,)+∞上的连续下凸函数1()f x x
=，对该函数运用上述定理，有11()()E E ηη
≤，从而1()()1E E ηη≥. 而
11()()()()E g x p x dx g x dx g x dx b a b a η∞∞∞-∞-∞
-∞===--???， 111111()()()()E p x dx dx dx g x g x b a b a g x η∞∞∞
-∞-∞
-∞===--???. 故 111()1()
g x dx dx b a b a g x ∞∞
-∞-∞≥--??
也即 21()()()g x dx dx b a g x ∞
∞
-∞-∞≥-?? 结论得证。
一般在数学分析的证明当中，最常用的方法是利用中值定理，但在某些情况下，比如说所给函数的条件比较有限，利用中值定理方法也可能不能很好或方便的解决，这个时候就需要其他的方法。而该题证明的主要思路是引进随机变量，从而构造随机变量函数结合上述定理，利用连续型随机变量数学期望的定义便可直接得出结论。因而，利用数学期望理论来解决此类问题有些时候会显得更加的方便和简洁，特别是在所给函数条件相对有限的情况下，此例所示的方法可供参考。
(二) 数学期望在实际生活中的应用
数学期望理论在实际生活中的应用主要体现在它是代表随机变量取值的平均值，因而可以利用其来进行决策优化，从而帮助主体采取最优化的决策来达到最优的结果。下面将例举相关几个方面的例子来说明数学期望在实际生活中的广泛应用。
1. 投资理财问题
投资理财的目的是利用手中闲散货币进行货币再生，即所谓的“钱生钱”。在现实生活中投资有很多种方式，如债券，股票，期货，保险，存入银行，房地产等等，这些都属于投资理财问题。在现今全球金融危机的新形势下如何有效的使货币增殖，某些方面可以利用数学期望来进行分析说明。
假设某公司现有闲散资金50万元欲进行投资增殖，通过市场调查发现可有如下两种途径，购买A 股票和投资B 房地产。由于金融危机的影响，若经济形势渐好，则A 股会增值40%；反之，若经济形势继续恶化，则A 股会降值30%，同时经济学家预言今后经济形势好转的概率为0.6。若投资B 房地产成功，则会获利35%，但若失败则会降值25%，同时投资房地产与市场清晰系数MCI(Market Clearance Index)有关。
在这里先说明一下市场清晰系数MCI 。MCI 是交易投资者对市场目前以及未来一段时期趋势的认知程度。一般的，不论交易者通过何种理论、何种方法，以及经验，只要能够完全辨别清楚市场目前的状态，以及能够准确判断在将来一段期间内的走势，便可以定义MCI=1；反之，如果完全不能辨别清楚市场目前的状态，以及不能够判断在一段期间内的走势，便定义MCI=0；显然01MCI <<。由此可见，MCI 可以看作是交易者对市场目前状态判断准确程度的概率值，因而对于投资者可以知道投资的期望收益。
那么该公司应如何投资，才能收益最大？
现在我们利用数学期望来进行分析：由已知条件可计算该公司购买A 股票的期望收益15040%0.65030%0.46E =??-??=万元，投资B 房地产的期望收益为25035%5025%(1)3012.5E MCI MCI MCI =??-??-=-万元。
现令
12613012.5
E E MCI ==- 有
0.6MCI ≈
所以，
若00.6MCI <<,有12E E >，即当市场系数小于0.6时，该公司应该购买A 股票；
若0.61MCI <<，有12E E <，即当市场系数大于0.6时，该公司应该投资B 房地产；
若0.6MCI =，有12E E =,即当市场系数等于0.6时，该公司可以选择任意一种方案。
投资理财是一种决策问题，因为每种方案都存在一定的风险，不同的方案是获利还是亏损是随机的，因而可以利用概率论中数学期望理论来进行分析，选择最大期望收益的方案。在现实的经济生活中，类似这样的投资决策问题都可以利用数学期望理论来说明。
2 最佳进货量问题
设某一超市经销的某种商品, 每周的需求量x 在10 至30 范围内等可能取值,的进货量也在10 至30 范围
进货量也在10 至30 范围
内等可能取值( 每周只在周前进一次货) 超市每销售一单位
商品可获利500 元, 若供大于求, 则削价处理, 每处理一单
位商品亏损100 元; 若供不应求, 可从外单位调拨, 此时一
单位商品可获利300 元。试测算进货量多少时, 超市可获得
最佳利润? 并求出最大利润的期望值。
分析: 由于该商品的需求量( 销售量) x 是一个随机变
量, 它在区间[10, 30]上均匀分布, 而销售该商品的利润值y
也是随机变量,它是x 的函数, 称为随机变量的函数。本问题
涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的最大
值。因此, 本问题的解算过程是, 先确定y 与x 的函数关系,
再求出y 的期望Ey, 最后利用极值方法求出Ey 的极大值点
及最大值。
先假设每周的进货量为a, 则
500a+300( x- a) , 当x≥a
500x- 100( a- x) , 当x< " a
=
200a+300x, 当x≥a
600x- 100a, 当x< " a
利润y 的数学期望为
Ey= 1
20
a
10 #(600x- 100a)dx+ 1
20
30
a $(300x+200a)dx
=- 7.5a2+350a+5250
dEy
da
=- 15a+350=0
a= 350
15
≈23.33
Ey 的最大值maxEy=- 7.5×( 70
)2+350×70
3
+5250≈9333.3
( 元)
由计算结果可知, 周最佳进货量为23.33( 单位) , 最大
利润的期望值为9333.3( 元) 。
2.求职决策问题
如今大学毕业生面对严峻的就业问题，大学生在求职应聘决策时应该首先分析各种相关因素，进而采取有利于自己获得比较满意的职位。下文中的例子将说明当同时面对多家应聘单位时，应该如何进行选择。
现在毕业生张某有三家欲面试单位，按时间顺序这三家单位分别记为A,B,C,从应聘简章上得知每家单位均提供不同的三种职位：优越，中等以及一般，每
在面试之后双方立即决定提供、接受或拒绝某种职位，同时签订合同。在应聘之前，张某根据自己在大学期间的学习成绩和能力以及综合素质水平预测自己获得优越、中等和一般这三种职位的可能性分别是0.2，0.3，0.4，另外有0.1的可能性是没有获得任何职位。若张某从经济收入的角度出发，应该如何对各家单位提供的职位做出最佳的选择？
分析：因为按照时间，张某面试的第一家单位是A，而在A单位面试选择三种职位时必须要考虑B、C两家单位的工资待遇，同样的在B单位面试时也要考虑C单位的工资待遇。那么现在我们先从C单位来考虑。
从单位各工资职位待遇不难计算出C单位的期望工资待遇为：
340000.230000.325000.42700
E=?+?+?=元再考虑B单位，由于B单位一般职位待遇只有2500元，低于C单位的平均待遇，因此在B单位面试时张某应只接受优越和中等两种职位，否则去C单位。这样决策时，B单位的期望工资待遇为：
239000.229500.327000.53015
E=?+?+?=元最后考虑A单位，因为A单位只有优越职位的工资待遇超过3015元，因此张某在A面试时只接受该单位的优越职位，否则去B单位。
在这样的分析之下，张某在面试时的整体思路应该是：先去A单位面试，若A提供优越职位就接受，否则去B单位；若B单位提供优越或中等职位，则接受，否则去C单位；无论C单位提供何种职位都应接受。
那么在这一思路下，张某的期望工资待遇为：
135000.230150.83112
E=?+?=元
从这个例子可以看出，往往在面对多家公司面试时，我们应该要考虑各家不同职位的不同工资待遇，进行期望分析得出期望工资并与各公司单位提供的各职位工资进行对比，寻出最佳的面试决策，从而获得称心的职位。对于只有单一面试单位也可以按照此例中的期望分析方法进行决策，决定接受哪种职位或不接受。因而，应用期望分析不仅可以提高就业几率，同时还可以提高工资的期望值。
3.委托代理问题
在经济生活中，委托代理是十分普遍的，例如股东和经理、老板和员工、总厂家和代理商等等，在此我们不妨以总厂家和代理商之间的这种委托代理关系为例。一般而言，厂家希望在支付给代理一定报酬的同时确保代理能够恪尽职守地完成任务，从而达到最大利润；而代理商则希望在获得一定薪酬的同时尽量少工作。那么，为了确保双方利益的平衡，应该采取怎样的策略呢？我们可以用双方利益的数学期望来进行分析。
一方面，如果不考虑外部因素的影响，厂家的利润会随着代理商的努力程度而增加；另一方面，如果代理商的努力程度一定，厂家的利润也会受到外界因素的影响，可以简单的综合为运气好和运气差两种情况。假设这两方面的影响概括如下：
否努力完成任务，而在其他情况下不能确定，代理商可能会不尽全力。从另一方面来讲，代理商也是为了获取薪酬，努力积极工作则会增加其成本。简单起见，记代理商努力工作的劳动成本为10万元，不努力工作的成本为0万元。因此，对于厂家来说，最有利的结果是代理商努力工作，因为此时厂家的期望利
润为
1200.5400.530
E=?+?=万元，而代理商不努力工作时厂家的期望利润为
2100.5200.515
E=?+?=万元。那么如何能保证代理商能够努力工作呢？我们可以考虑不同的报酬形式：第一，固定报酬12万元。第二，对代理商的努力作出奖励。假设计划如下：若利润不超过20万，报酬为0万元；若利润达到40万元，报酬为24万元。第三，分享利润。假设计划如下：当利润少于18万元时，工资为0万元；当利润高于18万元时，超过的部分作为代理商的奖励。
在这三种情况下，我们分别来考虑厂家和代理商的利润。
第一种情况下，代理商无论努力与否，所获薪酬均只有12万元，并且如果努力工作还要减去成本10万元，因此代理商不可能努力工作。同时，对于厂家来说，净利润只有(100.5200.5)123
?+?-=万元，而代理商努力工作时厂家的期望利润有(200.5100.5)1218
?+?-=万元。因此，固定工资必然会导致代理商
的工作效率低下，厂家的期望利润也很低。
第二种情况下，对代理商而言，当努力工作时，期望收入为00.5240.512
?+?=万元，减去劳动成本10万元，净利润为2万元。而如果不努力工作，厂家的期望利润只有15万元，代理商工资只能为0万元，所以代理商一定会努力工作。在这种情况下，厂家的期望利润为(200)0.5(4024)0.518
-?+-?=万元，较之第一种情况大为增加。
第三种情况，对代理商而言，当努力工作时，期望收益为(2018)0.5(4018)0.512
-?+-?=万元，减去劳动成本10万元，净收益为2万元。而不努力工作时期望收益为00.5(2018)0.51
?+-?=万元，没有劳动成本的付出，净收益为1万元。而对于厂家，期望收益总可以达到18万元，较之第一种也是非常有利的。
因而在这种委托代理关系中，委托方可以将自己的利益纳入到代理方的利益当中，利用数学期望来选择最佳的报酬方案，以解决双方的矛盾。
4.法律纠纷问题
在民事纠纷案件中，受害人如果将案件提交法院诉讼，其不仅要考虑胜诉的可能性，还应该考虑承担诉讼公费的问题。如果对案件进行理性的思考，一般的人往往会选择私下解决而不通过法院。
我们现在以一个民事纠纷为案例来说明，其中包含着数学期望的应用。
某施工单位A在施工工程中由于某种原因致使居民B受伤，使居民B遭受了20万元的经济损失。若将次案件提交诉讼，则诉讼费共需要0.8万元，并按所付责任的比例双方共同承担。而根据案件发生的情形以及外部因素的影响，法院最后的判决可能有三种情况：
（1）施工单位A承担事故100%责任，要向受害人B支付20万元的赔偿费，并支付诉讼费0.8万元；
（2）施工单位A承担70%的责任，要向受害人B支付14万元的赔偿费，并支付诉讼费0.56万元，另外0.24万元诉讼费由受害人支付；
（3）施工单位A承担50%的责任，要向受害人B支付10万元的赔偿费，并支付诉讼费0.4万元，另外0.4万元诉讼费由受害人支付。
居民B估计法院（1）、（2）、（3）三种判决的可能性分别为0.2，0.6，0.7，如果施工单位A想私下和解而免于诉讼，至少应向受害人B赔偿多少数额的赔偿费，才能使受害居民B从经济利益上考虑而选择私下和解？
分析与求解：若受害人B仅从经济利益考虑，那么施工单位A对受害人B的赔偿数额必须大于法院最后判决所定赔偿数额，并且要考虑诉讼费。
首先从受害人B的角度，我们不妨先看一下受害人通过法院诉讼所获的期望赔偿。设受害人B上诉可获赔偿为ξ（万元），则ξ的分布列为：
1200.2(140.24)0.6(100.4)0.214.176
E=?+-?+-?=万元从施工单位A的角度，我们可以看一下A的期望赔偿支付额。设A通过上诉途径应该支付给B的赔偿额为η（万元），有η的分布列：
2(200.8)0.2(140.56)0.6(100.4)0.214.976
E=+?++?++?=万元由上述分析和求解不难看出，若B从经济利益角度考虑，施工单位A应至少赔偿受害人14.176万元，B才有可能决定和A私下和解；但若从A的角度来看，私下和解赔偿给受害人B的数额应该不超过14.976万元，否则，私下和解对于施工单位A便失去了一定的意义。
在现实生活中像这样的民事纠纷案件很多，且几乎都要涉及经济赔偿的问题。从以上的分析可以看出，一般的人会选择私下和解而不提交法院，因为这
对双方都有利。当然本文在此并不是说任何案件都最好私下和解，大部分的案件还是必须要经过法律程序的，此处只作为一个民事纠纷案例来说明数学期望
在法律纠纷问题中的应用。
三、结语
本文主要谈论数学期望在理论和实际中的广泛应用，其整体结构顺序是由
数学期望理论向实际问题解决的逐步转变。
从上述所示个例可以看出，数学期望理论的应用相当的广泛，不论是从理
论证明和求解还是在实际生活中，都起到十分重要的工具作用。除上述具体实
例以外，期望理论还可应用于解决抽奖，彩票，通信，乘车或电梯上下站的选择，医学，农业决策，产品生产决策以及保险理赔等众多问题，鉴于篇幅本文
不再累举。
一般可以这样认为，当涉及概率统计和决策时，往往会利用到数学期望理论，因为我们很难去探究一些随机变量的变量分布，例如在经济决策性问题当中，而转用概率统计中的数学期望这一特征数字可使问题简化。但数学期望只
是代表随机变量的平均取值，在实际问题中往往也用到要结合概率统计中其他
数字特征才能更好的解决问题；只有将理论适当的应用，才能真正做到理论联系实际。
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数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用 数学与应用数学111 第四小组 引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞ == 1 )(k k k p x X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式 ∑∞ ==1 )())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将 介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。 下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法 ] 1[ 如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值， 这种方法就叫做变量分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。 例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的) 分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。
数学期望在生活中的应用
数学期望在生活中的应用 王小堂保亭中学 摘要：数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括决策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价值的应用。 关键词：随机变量，数学期望，概率，统计 数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 随机变量的数学期望值： 在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。） 单独数据的数学期望值算法： 对于数学期望的定义是这样的。数学期望 E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn) 很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。 1 决策方案问题 决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,…m)在每个影响因素Sj(j=1,2,…,n)发生的情况下，实施某种方案所产生
数学专业课程设置及介绍
数学（0701） 一、学科（专业）简介 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学，是现代科学和技术的基础，也被称为是“整理宇宙秩序”的一门科学。它的根本特点是从自然现象的量的侧面抽象出一般性的规律，预见事物的发展并指导人们能动地认识和改造世界。数学科学在经济、金融、信息、物理、工程计算等各领域都有广泛的应用，是一个范围广阔、分支众多、应用广泛的科学体系。该学科主要的研究领域有：基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计以及运筹学与控制论等。数学与信息科学学院拥有雄厚的师资队伍，拥有现代化的数学实验室和资料室。研究生主要就业于高等院校、科研院所以及金融保险业等。 二、培养目标 全面贯彻党的教育方针，培养德、智、体全面发展的高级专门人才。掌握本学科宽广的基础理论和系统的专门知识，具有勇于追求真理和愿献身科学、教育事业的高级专门人才。掌握科学研究的基本思路、方法和专业技能，具备系统、坚实的数学理论基础，能够用现代数学理论从事本专业的理论和应用研究，具有一定的创新能力和独立从事教学、科研工作或独立担负专门技术工作的能力。 三、研究方向简介 1．代数学 代数学是重要的基础学科。本方向包含三个分支：变换半群，李代数，Hopf代数。主要运用半群理论、同调理论、表示论、范畴理论、代数几何法、局部化法等方法研究变换半群的代数结构、Hopf代数分类、李代数导子和自同构等问题。 2．泛函分析 本方向综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间和有限维向量空间上的函数、几何体、算子和极值理论。它包括凸几何分析、调和分析、算子理论、不等式理论和特殊函数等研究方向。主要解决空间几何体的度量性质，空间函数包括一些特殊函数的极值性质，以及调和分析和算子理论在空间中的应用。
条件数学期望及其应用
条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical. Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为 },,{21 p p .又事件A 有0)( A P ，这时 ,2,1,) () }({)|(| i A P A x X P A x X P P i i A i 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 A i i i p x | 则称 A i i i p x A X E |]|[ ． 为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)( A P ，且X 在条件A 之
数学的发展与未来
数学的发展与未来 从国家安全、医学技术到计算机软件、通讯和投资决策，当今世界日益依赖于数学科学。不论是在证卷交易所里，还是在装配线上，越来越多的美国工人感到若不具备数学技能就无法开展工作。没有强大的数学科学资源，美国将不能保持其工业和商业优势。 --美国国家科学基金委员会1998报告 数学是从数数、测量等人类生活的实际需要中发展起来的。在数学形成为一门学问以前，数学一直融合在人们的日常生活与生产活动中。这可以说是数学发展的原始阶段。在数学形成为一门有组织的、独立的和理性的学科以后，便逐步地产生了脱离实际的问题。大家知道，数学是演绎的学问，有其自身发展的逻辑规律，不可能也没有必要每个数学定理和逻辑结果都要用实际进行检验。尽管在上个世纪以前，数学已在天文、物理等领域有不少极其重要的应用，但是数学研究离开普通大众的生活越来越远。从某种意义上讲，这是数学理论发展的一种内在的必然要求。当然与数学家的作为也不无关系。抽象数学理论的艰深，不仅非数学家难于了解，即便是数学家之间也常常难于相互理解。但是，数学归根到底是客观世界的一种反映。即便是从纯粹演绎推理的角度来看，数学也还是客观实际数量关系和逻辑关系的抽象与自然延伸，只不过数学研究有极大的超前性罢了，正是这种超前性，为人们改造物质世界提供了武器。随着数学研究的深入，数学为人类提供的服务越来越多，数学理论所包含的巨大物质力量不断显示出来。 众所周知，物理学是在牛顿力学的基础上建立起来的。没有微积分，就没有牛顿力学。19世纪提出的麦克斯韦方程组，不仅用数学概括了电磁相互作用的实验事实，而且推导出了电磁波（不久即为实验所证实），同时发现了光的本质，开拓了本世纪最重要的科技领域之一的无线电电子技术。同样，数学家欧拉和高斯的理论导致海王星首先在数学上发现，后来人类发明了望远镜，证实了这一数学发现。没有黎曼几何、张量分析，便没有爱因斯但的相对论，也就没有可能实
数学期望在生活中的应用原文
一、数学期望的定义及性质 （一）数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。 （二）数学期望的常用性质 1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）； 2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。 对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。 对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。
数学探究实验室方案
数学探究实验室装备方案 （初中） 2017年1月6日
目录 一、数学探究实验室建设的政策背景 (3) 二、数学探究实验室建设意义 (3) 三、数学探究实验室建设功能 (4) 四、数学探究实验室建设要求 (5) （一）专用教室建设要求 (5) （二）环境要求 (6) 五．基本配置与功能要求 (7) 1.数学实验室设备 (7) 2.多媒体及桌椅 (11) 3.数学文化及教具学具 (12) 4.教室装修 (13) 5.效果图：（如下） (14)
一、数学探究实验室建设的政策背景 根据国家颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》指出：“信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视。”强调“强化信息技术应用，提高教师应用信息技术水平，更新教学观念，改进教学方法，提高教学效果。鼓励学生利用信息手段主动学习、自主学习，增强运用信息技术分析解决问题能力。”教育部颁布的《数学课程标准（实验稿）》指出：现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响．提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合．鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现． 《数学课程标准》还指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。再从《数学新课程标准》内容来看，新增加了数学实习作业、“实践与综合应用”、直观几何、几何变换、概率统计等内容。而这些内容实践性与操作性都很强。数学实验室的设立，可以有效的落实这些新增内容，为教学提供很好的学习研究环境。同时新教材对数学实验也提出了新的要求。例如人教版新教材安排有“阅读与思考”、“探索与发现”、“实习作业”等内容。这些内容的完成同样离不开实验，要实验就必须建立自己的实验室。 二、数学探究实验室建设意义 义务教育数学课程标准多次强调让学生“动手实践、自主探索、发现创新”的数学教学理念。我们知道理、化、生学科都有自己的实验室，让学生在其中“动手实践、自主探索、发现创新”，数学能不能也像理、化、生一样建立起自己的实验室，让学生在其中“动手实践、自主探索、发现创新”呢？ 数学能不能实验？数学怎样实验？数学能实验什么？数学探究实验室是怎样的？数学探究实验室的仪器设备或者环境要求是怎样的？数学探究实验室的建立，成为了当今数学教学中的新趋势。 G·波利亚曾指出：“数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学”。著名的数学家弗赖登塔尔也曾指出：“要实验真正的数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂里。再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动”
条件数学期望及其应用
实用文档 文案大全条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it's application Abstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各 点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积 分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都 是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1设X是一个离散型随机变量，取值为},,{21?xx，分布列 为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP，这时 ,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi
为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有 ???Aiii px| 则称 ??． Aiii pxAXE|]|[ 为随机变量X在条件A下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2设X是一个连续型随机变量，事件A有0)(?AP，且X在条件A 之 实用文档 ??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf．若 X在条件A下的条件数学期望． 定义3设),(YX是离散型二维随机变量，其取值全体为 },2,1,),,{(??jiyx ii， 联合分布列为 ?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij， 在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若 ???jiii px|， 则 ??? jiiii pxyYXE|]|[ 为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望． 定义4 设),(YX是连续型二维随机变量，随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX，若 ??????dxyxpx YX)|(|， 则称
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法 ABSTRACT：
第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1利用数学期望的定义，即定义法[1] 定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)( 1i n i i x p x ∑=
注意：这里要求级数)( 1i n i i x p x ∑ = 绝对收敛，若级数 []2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 解设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得= ) (X E10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松
高中数学实验室建设方案
动态数学探究实验室Dynamic Mathematics Lab （高中版） 皓骏（广州）数学技术中心 Hawgent Technology Centre in Mathematics 推广中心联系人：廖老师 联系电话： QQ：376523142
团队介绍 Hawgent皓骏数学技术团队由数学、计算机、数学教育等学科领域的专业队伍和具有丰富一线教学经验的优秀数学教师共同组成。 Hawgent皓骏数学技术团队中的核心成员从20世纪90年代就开始了动态数学技术的理论研究、技术开发和教学应用等方面的工作。 Hawgent皓骏数学技术团队所开发的动态数学教学软件在国内外数学教育界、教育信息技术等领域都产生了广泛而重要的影响。 自2002年起，Hawgent皓骏数学技术团队陆续在北大附中、华南师大附中、广州四十七中等20多所中学开展了动态数学探究实验课程。 承担和参与了广州市景中实验中学、广东广雅中学、广州市执信中学等几十多所学校数学实验室的策划、设计、建设和应用工作。 出版或编写了《专题数学实验》（小学版、初中版、高中版）、《同步数学实验》（小学版、初中班、高中版）、《动态解析高考数学综合题》、《动态解析中考数学压轴题》、《技术帮你学数学：图形与变换》、《技术帮你学数学：研究与实验》、《技术帮你学数学：运动与关系》、《奇妙的曲线》、《形形色色的曲线》等专著十几种。 Hawgent皓骏数学技术团队的愿景： 让更多的人学好数学，喜欢数学。
目录 一、项目概述 (4) 1，项目名称 (4) 2，编制依据 (4) 3，建设规模 (4) 4，建设周期 (4) 5，设备清单 (4) 6，投资规模 (5) 二、建设依据 (5) 1，政策依据 (5) 2，现状分析 (6) 三、需求分析 (8) 1，本位要求 (8) 2，教学需求 (8) 3，可行性分析 (9) 4，建设思路 (10) 四、建设内容 (13) 1，数学设备 (13) 2，多媒体设备 (16) 3，通用设备 (19) 4，环境要求 (21) 5，基础设施 (21) 6，平面布置 (22) 7，效果设计 (24) 五、设计原则 (24) 1，先进性 (24) 2，标准化 (24) 3，安全性 (24) 4，可靠性 (25) 5，可扩展性 (25) 6，易操作性 (25) 7，经济性 (25) 8，实用性 (25) 六、项目意义 (25) 1，有助于国家课程理念的落实 (25) 2，有利于提高教学效率和质量 (26) 3，促进教育公平化的进一步发展 (26) 七、附录介绍 (27) 1，Hawgent皓骏动态数学软件 (27) 2，数学文化主题素材 (36)
数学期望的计算方法及其应用概要
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)= )(1 i n i i x p x ∑=
学期望不存在 [] 2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。 （1） 二点分布：X ~??? ? ??-p p 101 ，则()p X E = （2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1 )(= （4） 泊松分布：) (~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布： ),,(~M N n h X ,有N M n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望. 解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中 6,4,3N M n ===, 设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则 )32,3(~B Y ,23 2 3)(=?==np Y E 1.3 性质法
数学期望在经济生活中的应用
数学期望在经济生活中的应用 【摘要】数学期望是随机变量的重要数字特征之一。本文通过探讨数学期望在决策、利润、委托代理关系、彩票等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中的应用。 【关键词】随机变量数学期望经济应用 数学期望(mathematical expectation)简称期望．又称均值，是概率论中一项重要的数字特征．在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 一．决策方案问题 决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案A(i=1，2，?，m)在每个影响因素S(j=1．2，?，n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率，则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。 1．风险方案 假设某公司预计市场的需求将会增长。目前公司的员工都满负荷地工作着．为满足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的办法提高产量。假设公司预测市场需求量增加的概率为P，同时还有1-p的可能市 是合算的。然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的 期望大小。用期望值判断，有：E(A 1)=30(1-p)+34p，E(A 2 )=29(1-p)+42p， E(A 3)=25(1-p)+44p。事实上．若p=0.8，则E(A 1 )-33.2（万）， E(A 2)=39.4(万)，E(A 3 )=40.2(万)，于是公司可以决定更新设备，扩大生产。 若p=O.5，则E(A 1)=32(万),E(A 2 )=35.5(万)，E(A 3 )=34.5(万)，此时公司 可决定采取员工超时工作的应急措施。由此可见，只要市场需求增长可能性在50％以上．公司就应采取一定的措施，以期利润的增长。 2．投资方案 假设某人用10万元进行为期一年的投资．有两种投资方案：一是购买股票：二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济绝势，若经济形势
数学期望性质与应用举例
5.数学期望的基本性质 利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质： 设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则 性质1.E(c)=c； 性质2.E(aξ)=aE(ξ)； 性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a； 性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b； 性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)． 例3.5.7设随机变量X的概率分布为: P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5. 求E(X),E(3X+2)． 解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5 ∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知 E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3， E(3X+2)=3E(X)+2=11． 例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为: 求E(X),E(2X-1)． 解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知 =-1/6+1/6=0． ∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1． 我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.
4.1.2 数学期望的性质 （1）设是常数，则有。 证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。所以，。 （2）设是随机变量，是常数，则有 。 证若是连续型随机变量，且其密度函数为。 。 当是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。 （3）设都是随机变量，则有 。 此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即 。 （4）设是相互独立的随机变量，则 。 证仅就与都是连续型随机变量的情形来证明。设的概率密度分别为 和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有 。 由此得
数学期望和方差的应用
２ＱＱ２±：箜！塑工 －学术－理论现代衾案一 数学期望和方差的应用 陈奕宏张鑫 （武警广州指挥学院广东广州５１０４４０） 摘要：本文主要讨论随机变量的数学期望和方差的性质，利用随机变量的对称性可简化求数学期望和方差的计算过程： 关键词：对称性数学期望方差 在教学过程中，由于很多同学对概牢论巾的定义和性质认识不深刻，冈此对概率论巾的问题存在许多认识误区，进一步影响了计算、证明能力。 性质ｌ对随机变量ｘ和ｙ，则有Ｅ（ｎｎ簟Ⅸ＋Ｅｙ①性质２设随机变量ｘ和ｙ相互独立，贝咿育层陇ｎ＝Ｅｘ?Ｅｙ②定义ｌ设Ｘ是一个随机变量，若ＥＩ肛删Ｉｚ存在，则称其为Ｘ的方差，记为Ｄｘ。即 Ｄｘ＝坦Ｉｘ—Ｅｘ】２③显然可得：们，－ＥｌＸ一以】２ ＝Ｅ瞄２—２ｘＥＸ＋（踊２］ ＝麟ｚ一（删）：④性质３设随机变量ｘ和ｙ相互独立，则有层孵ｙ：净Ｅ孵?Ｅｙ２⑤证明：设随机变量Ｘ和ｙ的联合分布密度为ｍ砂），｜ｊｌ《为ｘ和ｙ相互独立，有 “ｒ，ｙ）＝＾（掌）。，ｒ（ｙ） ．’．Ｅ（ｘ２ｙ２）＝Ｊ一。Ｊ一。工２ｙ２“ｒ，ｊ，）ｄ膏咖 ＝ｅｅｘ２ｙ２以（ｒ）厂ｒ（ｙ）如咖 ＝Ｃｘ２＾（工）如Ｃｙ２加）咖 ：Ｅｘ２Ｅ】，２⑥性质４设随机变量ｘ和ｌ，，ｎ和西为常数，则有Ｅ（口Ｘ２＋６ｙ２）＝ｎ露ｘ２＋６曰ｙ２（Ｄ证明：设随机变量ｘ和ｌ，的联合分布密度为厂（ｘ，ｊ，），则有 Ｅ似ｘ２＋６ｙ２）＝Ｊ＋。Ｊ一。（口工２＋６ｊ，２）“ｒ，ｊ，）ｄ＿咖 ＝ｅ仁ｎｘ２ｆｌｘ，，Ｍｘｄｙ＋ｅ仁ｂ矿ｆＩｘ，ｙⅪｘｄｙ ，＋∞，＋∞ｒ十ｏ，＋∞ ＝ｎ＼一。＼一亭２ｆＩｘ，如ｄｘｄ，＋ｂ１．。１一。旷ｆＩｘ，，Ⅺｘｄｙ ＝口ｆ）２【ｅ№ｊ，）ｄｙ】ｄｒ拍ｅｊ，２【Ｃ“础）ｄｘ协 ＝口仁量２【ｅ，（Ⅵ）ｄｙＪｄｘ柏ｅｊ，２【Ｃ，（础）ｄｘ坳 ＝ｎ尽２以（ｒ）ｄｙ拍Ｄ２加）ｄｙ ＝口ＥＸ２＋西Ｅｙ２ 掣狮，＝∥茗引ｍ，＝驴㈣’翟引 求Ｅ伍２＋ｙ２）。 解：Ｅ（ｘ２＋ｙ２）＝Ｅｘ２＋Ｅｙｚ（南公式⑦） ＝Ｉ：一４ｒ３出＋炒．１２ｙ２（１＋ｙ）咖《 性质５设随机变量ｘ和ｙ卡Ｈ互独立，则有 Ｄ（ｘ的＝Ｄｘ?Ｄｙ＋（Ｅ幻２?Ｄｌ，＋（层ｙ）２?Ｄｘ⑧ 证明：ＯＤⅨｙ）＝层（ｘｙ）２一ＩＥ（ｘｙ）Ｊ２ ＝Ｅ（Ｘ２ｙ２）一（ＥＸ）２（Ｅ】，）２ 南公式⑤，所以 Ｄ（Ｘｎ＝ＥＸ２Ｅｙ２一（ＥＸ）２（Ｅ”２ ＝曰ｘ２Ｅｌ，２一（Ｅ的２ＥＰ＋（Ｅ的２（Ｅｌ，）２一（Ｅ抑２僻ｙ）２ ＝【层ｘ２一（ＥＸ）２】ＥＰ＋（Ｅｘ）２【（Ｅ】，）２一（日ｙ）２】 矗剪陋妒＋（雕净汗钮曙（联）辚苦帮 ＝ｎ碰Ｉｙ＋（ＥＹ）２Ｄｙ＋（Ｅｙ）２蹦 显然，若随机变量ｘ和ｙ独立，则可得Ｄ（ｘｎ＞Ｄｘ?Ｄｙ⑨例设随机变量ｘ和ｌ，相互独立，均服从Ⅳ（Ｏ，１）分布，ｆ＝ｘ—ｙ，叩＝ｘｙ，试求１）Ｄ叩；２）ｐ￡。。 解：１）方法一 ＯＸ和ｙ相互独立 ．‘．Ｄ即＝Ｄ（ｘｙ）＝Ｅ（ｘｌ，）２一【层（ｘ聊】２ ＝Ｅ（ｒ—ｌ，）２一（以Ｅ的２ ＝Ｅ舻ＥＰ（由公式⑤） ＝【脚“（Ｅ的２】【Ｄｙ；（Ｅ玢２】＝１ 方法二 ０Ｘ和ｙ相互独立 ．?．Ｄｑ＝Ｄ（ｘ】，）＝似Ｄｙ＋（Ｅ柳２Ｄｙ＋（目】，）２Ｄｘ＝ｌ（由公式⑧）２）ｏｐ。：』业 ｑ厩丽 又ＯｃｏＶ（ｆ，＇７）＝层【（ｆ—Ｅｆ）（＇７一露７７）ｊ ＝层（ｘ２ｙ）一Ｅ（ｘＰ）（把ｆ＝ｘ—ｙ，’７＝ｘｙ代人） 曲（南ｘ与ｒ鹃对称性）综上所述，本文主要讨论连续型随机变量的数字特征的性质，结合对随机变量的对称性可解决存概率论巾一些常见的求数［字特征的问题。 参考文献： …盛骤等编概率论与数理统计高等教育出版社２００１．１２口 现代企业教育ＭＯＤＥＲＮＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥＥＤＵＣＡＴＩＯＮ１１７ 万方数据
科学与工程计算国家重点实验室(中科院数学与系统科学研究所)
科学与工程计算国家重点实验室 简介 中国科学院科学与工程计算国家重点实验室（简称LSEC）是在已故著名数学家、中国计算数学的奠基人和开拓者冯康院士的倡导、并亲自筹备和组织下，由原中科院计算中心从事计算数学研究的部分课题组成的。实验室筹建于1990年，1993年10月经中科院验收后正式投入运行，1994年向国内外开放，1995年9月和 2005年3月两次通过国家验收。 实验室主要开展科学与工程计算中具有重要意义的基础理论研究，解决科学与工程领域中的重大计算问题，着重研究计算方法的构造、理论分析及实现。研究内容包括：动力系统与数值方法，研究各类保结构算法的理论、算法的构造和数值试验；有限元边界元方法，针对具有应用背景的椭圆边值问题及其它相关问题，提出适合于这些问题的有限元边界元新型高性能计算方法；非线性最优化，主要研究求解非线性规划的新算法以及算法的收敛性；计算流体力学,研究非定常不可压N-S方程和可压缩流的计算方法；并行计算方法和科学计算可视化；非均匀多孔介质中渗流问题的多尺度计算方法。 实验室主任是陈志明研究员。实验室学术委员会主任是中国工程院院士崔俊芝。 实验室建设以来在动力系统几何算法，非线性优化，有限元边界元，数理方程反问题，计算流体力学，并行算法，科学计算可视化等方面取得了大量的研究成果，十分突出的是关于哈密尔顿系统的辛几何算法的研究。其成果荣获“国家自然科学一等奖”。实验室在设备研制方面也取得了显著的成绩。 实验室现有科研人员19人，中科院院士2人（石钟慈、林群）,中国工程院院士1人（崔俊芝），其中研究员16人，此外，实验室还获得多项其它重要奖项，其中石钟慈院士在 2000年获“何梁何利科学与技术进奖”,林群院士获2001年获捷克科学院“数学科学成就荣誉奖”、2004年获“何梁何利科学与技术进奖”。实验室十分重视队伍建设和人才培养工作，尤其注重青年学术骨干的培养和引进。目前通过中科院“百人计划”已引进３位年轻的学科带头人，其中实验室主任陈志明研究员被国家科技部任命为９７３计划项目“高性能科学计算研究”首席科学家，一批优秀青年学术骨干脱颖而出，他们在各自的研究领域取得了可喜的成果，并因此获得了荣誉。例如，袁亚湘研究员曾获1995年首届“冯康科学计算奖”、1996年度“中国青年科学家奖”、“国家杰出青年科学基金”、1998年度“全国十大杰出青年”称号；2005年度“北京市科学技术一等奖”；张林波研究员曾获1995年度“中科院青年科学家二等奖”、1997年度“中科院优秀青年”奖、2000年度“国家科技进步奖二等奖”；白中治研究员获得1998年度“中科院自然科学三等奖”、1999年度“中科院青年科学家二等奖”、“中科院优秀青年”称号、2005年度“国家杰出青年科学基金”；许学军研究员获2000年度“钟家庆数学奖”；陈志明研究员获2000年度“国家杰出青年科学基金”、2001年度“第四届冯康科学计算奖”、2003年度“第七届中科院杰出青年”称号、2004年度“新世纪百千万人才工程国家级人选”、2005年度“海外青年学者合作研究基金”；周爱辉研究员获2004年度“国家杰出青年科学基金”。
数学期望在生活中的运用
数学期望的性质及其在实际生活中的应用 ●数学期望的概念： 在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。 ●数学期望的定义 E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi). 则： E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn) E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。 ●数学期望的应用： 例一、某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元。设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元； 五等奖1000个，奖金各10元。每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润。 E（X）＝10000×＋5000×＋ 0 ＝0.5（元） 每张彩票平均可赚 2－0.5－0.3＝1.2（元）， 因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 100000×1.2＝120000（元） 小结：通过计算期望，我们可以得到单张彩票的平均利润，从而得出总共的创收利润。 例二、某投资者有10万元资金，现有两种投资方案供选择：一是购买股票;二是存人银行。买股票的收益主要取决于经济形势，假设经济形势分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。在股市投资10万元，以一年计算，若形势好可获利40 000元;若形势中等可获利10 000元;若形势不好则会损失20 000元。如果存人银行，假设年利率为8%，即一年可得利息8 000元。又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%。试问该投资者想获得最高收益期望应选择哪种投资方案? 分析： 购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。购买股票在经济形势好和中等的情况下是合算的，但是如果经济形势不好，则采取存人银行的方案比较好。因此，要辨别哪一种方案更优，就必须计算购买股票的收益期望，然后与存入银行的收益进行比较来判断。 如果购买股票，其收益的期望值E=40000×0.3+10000×0.5+(-20000)×0.2=13000(元);如
暨庆祝中国科学院应用数学研究所成立三十周年
ISAM’2009 暨庆祝中国科学院应用数学研究所成立三十周年 出席会议名单 院士嘉宾 1 周毓麟北京应用物理与计算数学研究所 2 王梓坤北京师范大学数学系 3 郭柏灵北京应用物理与计算数学研究所 4 陈木法北京师范大学数学系 5 彭实戈山东大学数学院 境外嘉宾（按照姓名汉语拼音排） 1. 白志东新加坡国立大学、东北师范大学 2. 陈礴英国华威大学 3. 陈振庆美国华盛顿大学 4. 堵丁柱美国德州大学，达拉斯 5. 方开泰北京师范大学－香港浸会大学联合国际学院 6. 胡耀忠美国堪萨斯大学 7. 李文博美国Dalaware大学 8. 任尚智香港理工大学 9. 邵启满香港科技大学 10. 孙捷新加坡国立大学 11. 孙玮加拿大康考迪亚大学 12. 徐佩美国西北大学 13. 尹红霞美国明尼苏达州大学 14.周晓文加拿大Concordia大学 15.朱会灿美国Google公司 16.朱力行香港浸会大学
17.梁华美国Rochester 大学 18.宋仁明美国Illinois at Urbana-Champaign大学 19.郑伟安美国加州大学欧文分校、华东师范大学 20.陈夏美国Tennessee大学 国内嘉宾（按照姓名汉语拼音排） 1.陈家鼎北京大学 2.崔恒建北京师范大学 3.杜恒生北京 4.董新汉湖南师范大学数学与计算机科学学院 5.高付清武汉大学数学与统计学院 6.高随祥中科院研究生院 7.葛渭高北京理工大学 8.郭汉英中科院理论物理研究所 9.郭军义南开大学 10.郭懋正北京大学数学科学学院 11.郭田德中科院研究生院 12.郭永江北京邮电大学 13.何成国家自然科学基金委员会 14.侯振挺中南大学 15.胡迪鹤武汉大学数学与统计学院 16.胡晓予中科院研究生院 17.黄正海天津大学数学系 18.计雷中科院科技政策与管理科学研究所 19.江松北京应用物理与计算数学研究所 20. 酒全森首都师范大学数学科学学院 21.雷天刚国家自然科学基金委员会 22.黎勇中科院心理研究所 23.李飞北京工商大学商学院 24.李元广州大学
数学期望及其应用
数学期望及其应用 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
本科生毕业论文 题目: 数学期望的计算方法与实际应用 专业代码: 070101 原创性声明 本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指导教师签名: 日期 目录
摘要 数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。 本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。 关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用 Abstract Mathematical expectation or expectations, also known as average, is very important digital features in the theory of probability, and it represents the overall average value random variables. Mathematical expectation is very big, widely applied in all fields in actual life. In real life, there are a lot of problems can be directly or indirectly solved by using the mathematical expectation. Its meaning is to use mathematical model to carry on the analysis of practice of abstracting