(完整版)高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解

高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解

一、选择题 1．已知a n ＝

1

n ＋1＋n

，数列{a n }的前n 项和为S n ，已计算得S 1＝2－1，S 2＝3－1，

S 3＝1，由此可猜想S n ＝( )

A.n －1

B.n ＋1－1

C.n ＋1－2

D.n ＋2－2 [答案] B

2．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1

2k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( )

A ．S k ＋1

2(k ＋1)

B ．S k ＋12k ＋1－1

k ＋1

C ．S k ＋12k ＋1－1

2k ＋2

D ．S k ＋12k ＋1＋1

2k ＋2

[答案] C [解析] S k ＋1＝

1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1

k ＋1

＋

1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－1

2k ＋2

.

3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.

2°假设n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即k 2＋k

D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 [答案] D

[解析]没用归纳假设．

4．将正整数排成下表：

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

……

则在表中数字2010出现在()

A．第44行第75列

B．第45行第75列

C．第44行第74列

D．第45行第74列

[答案] D

[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．

又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D.

5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()

A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立

C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立

D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

[答案] D

[解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．

对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．

对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.

6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()

A ．(8n －1)个

B ．(8n ＋1)个 C.1

7

(8n －1)个 D.1

7(8n ＋1)个 [答案] C

[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n 个图挖去

1＋8＋82＋…＋8n －

1＝

8n －1

7

个． 7．观察下式：

1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52

……

据此你可归纳猜想出的一般结论为( ) A ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *) B ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2(n ∈N *) C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) [答案] D

[解析] 观察可见第n 行左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2，故选D.

8．(2010·天津滨海新区五校)若f (x )＝f 1(x )＝x

1＋x ，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)

＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝( )

A ．n B.9n ＋1 C.n n ＋1 D ．1 [答案] A

[解析] 易知f (1)＝12，f (2)＝23，f (3)＝34，…，f (n )＝n n ＋1；由f n (x )＝f n －1(f (x ))得，f 2(x )＝x

1＋2x ，

f 3(x )＝

x 1＋3x ，…，f n (x )＝x 1＋nx ，从而f 1(1)＝12，f 2(1)＝13，f 3(1)＝14，…，f n (1)＝1

n ＋1

，，

所以f (n )＋f n (1)＝1，故f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝n .

9．(2010·曲阜一中)设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是

( )

A ．[1

2，2)

B ．[1

2，2]

C ．[1

2，1]

D ．[1

2，1)

[答案] D

[解析] 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝f 2(1)＝⎝⎛⎭⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝f 3(1)＝⎝⎛⎭⎫123，…，a n ＝f (n )＝f n (1)＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴S n

＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝12[1－(1

2)2]1－12

＝1－(12

)n

， ∵n ∈N *，∴1

2

≤S n <1.

10．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1、A 1A 2，A 2A 3是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的圆弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA 3为半径画圆弧……这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度l n 为( )

A ．(3n 2＋n )π

B ．(3n 2－n ＋1)π C.(3n 2＋n )π2

D.(3n 2－n ＋1)π2

[答案] A

[解析] 由条件知CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 对应的中心角都是

2π

3

，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为2π3，2π3×2，2π3×3…，据题意，第一圈长度为2π

3(1＋2＋3)，

第二圈长度为2π3(4＋5＋6)，第n 圈长度为2π3[(3n －2)＋(3n －1)＋3n ]，故L n ＝2π

3(1＋2＋3＋…

＋3n )＝2π3·3n (1＋3n )

2

＝(3n 2＋n )π.

二、填空题

11．(2010·浙江金华十校模考)已知2＋2

3＝22

3，3＋

3

8＝3

3

8，4＋

4

15＝

44

15，…，若6＋

a

t＝6

a

t，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则

a＋t＝________.

[答案]41

[解析]注意分数的分子、分母与整数的变化规律，2→分子2，分母3＝22－1,3→分子

3，分母8＝32－1,4→分子4，分母15＝42－1，故猜想a＝6，t＝62－1＝35，再验证6＋6

35

＝6

6

35成立，∴a＋t＝41.

[点评]一般地，n＋

n

n2－1

＝

n3

n2－1

＝n

n

n2－1

，(n∈N*)成立．

例如，若15＋

a

t＝15

a

t成立，则t＋a＝239.

12．考察下列一组不等式：

23＋53>22·5＋2·52

24＋54>23·5＋2·53

2

5

2＋5

5

2>2

2·5

1

2＋2

1

2·5

2

将上述不等式在左右两端仍为两

项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．

[答案]a m＋n＋b m＋n>a m b n＋a n b m(a，b>0，a≠b，m，n>0)

13．(2010·浙江杭州质检)观察下列等式：

(x2＋x＋1)0＝1；

(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1；

(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1；

(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1；

可以推测(x2＋x＋1)4的展开式中，系数最大的项是________．

[答案]19x4

[解析]观察其系数变化规律：

(x2＋x＋1)1为1,1,1

(x2＋x＋1)2为1,2,3,2,1

(x2＋x＋1)3为1,3,6,7,6,3,1

故由此可推测(x2＋x＋1)4系数中最大的为6＋7＋6＝19，故系数最大项是19x4.

14．(2010·南京调研)五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数

为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为________．

[答案] 4

[解析] 根据规则，五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8，第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8，第三轮报出的数依次为8,4,2,8,6，故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3外，从第三位同学开始报出的数依次按6,8,8,4,2,8循环，则第2010个被报出的数为4.

[点评] 数字2010比较大，不可能一个一个列出数到第2010个数，故隐含了探寻其规律性(周期)的要求，因此可通过列出部分数，观察是否存在某种规律来求解．明确了这一特点解决这类问题就有了明确的解题方向和思路．

三、解答题

15．已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，…，

(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；

(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －2

2

. (2)a 1＝x 2－x 1＝a ，

a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－1

2a ，

a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝1

4a ，

由此推测a n ＝(－12)n －

1a (n ∈N *)．

证法1：因为a 1＝a >0，且

a n ＝x n ＋1－x n ＝x n ＋x n －12－x n ＝x n －1－x n 2＝－12(x n －x n －1)＝－1

2a n －1(n ≥2)，

所以a n ＝(－12

)n －

1a .

证法2：用数学归纳法证明：

(1)当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝(－1

2

)0a ，公式成立．

(2)假设当n ＝k 时，公式成立，即a k ＝(－12

)k －

1a 成立．那么当n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k 2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12(－12)k －1a ＝(－12)(k ＋1)－

1a ，公

式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n ∈N *，公式a n ＝(－12

)n －

1a 成立．

16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n

2x 的图象上．

(1)求a 1，a 2，a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；

(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．

[分析] (1)将点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 的坐标代入函数f (x )＝x ＋a n

2x 中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；

(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.

[解析] (1)∵点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n

2x 的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋1

2a n . 令n ＝1得，a 1＝1＋1

2a 1，∴a 1＝2；

令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋1

2a 2，∴a 2＝4；

令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋1

2a 3，∴a 3＝6.

由此猜想：a n ＝2n . 用数学归纳法证明如下：

①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立． ②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立， 则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋1

2a n (n ∈N *)，

故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋1

2

a k .

两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－1

2a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k .

由归纳假设得，a k ＝2k ，

故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)． 这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立． 由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．

(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，

(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以b 100＝68＋24×80＝1988， 又b 5＝22，所以b 5＋b 100＝2010.

[点评] 由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1或S k 与S k ＋1间的关系，使命题得证．

17．(2010·南京调研)已知：(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．

(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝a 2

2n －3

，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)

3

.

[解析] (1)当n ＝5时，

原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －

2 b n ＝a 2

2n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2)

①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，

右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．

②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)

3成立

那么，当n ＝k ＋1时，

左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)

3＋k (k ＋1)

＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝

k (k ＋1)(k ＋2)

3

＝

(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]

3

＝右边．

故当n＝k＋1时，等式成立．

综上①②，当n≥2时，T n＝n(n＋1)(n－1)

3.

高中数学选择性必修二 精讲精炼 4 4 归纳法(精练)(含答案)

4.4 数学归纳法(精练) 【题组一 增项问题】 1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明等式(1)(2)()213 (21)n n n n n n ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-() N n * ∈， 从k 到1k +左端需要增乘的代数式为( ) A ．21k + B ．()221k + C ． 21 1 k k ++ D ． 23 1 k k ++ 【答案】B 【解析】当n k =时，左端为()()()1232k k k k +++⋅⋅⋅ 当1n k =+时，左端为()()()()2322122k k k k k ++⋅⋅⋅+⋅+ 因为()()()()()()()()23221221232221k k k k k k k k k k ⎡⎤++⋅ ⋅⋅+⋅+=+++⋅⋅ ⋅⋅+⎣⎦ 所以从k 到1k +左端需要增乘的代数式为()221k +，故选：B. 2．(2021·全国高二专题练习)用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2 ＋…＋a 2n ＋1 ＝22 1(1)1n a a a +-≠-”．在验证n ＝1 时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2 ＋a 3 D ．1＋a ＋a 2 ＋a 3 ＋a 4 【答案】C 【解析】由21n a +知，当1n =时，等式的左边是231a a a +++.故选：C. 3．(2021·全国)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成( ) A ．假设当()* 21n k k N =+∈时成立，再推出当23n k =+时成立 B ．假设当() * 21n k k N =-∈时成立，再推出当21n k =+时成立 C ．假设当()* n k k N =∈时成立，再推出当1n k =+时成立 D ．假设当()1n k k =≥时成立，再推出当2n k =+时成立 【答案】B 【解析】第二步假设当() * 21n k k =-∈N 时成立，再推出当()21121n k k =+-=+时成立.故选：B.

(完整版)高中数学归纳法练习

数学归纳法习题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋12n －1 ＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________． 2.用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当 n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________． 3.已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3 ＋…＋12k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( ) A ．S k ＋12(k ＋1) B ．S k ＋12k ＋1－1k ＋1 C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2 D ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2 3.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1) ；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 4.用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n ＋1)＝n(n ＋1)2 (n ∈N)。 2.n ∈N ，试比较2n 与(n ＋1)2的大小，并用证明你的结论。 5.已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，用数学归纳法证明你的结论．

6 .数列{a n }的通项公式a n ＝ 1 12 () n (n∈N)，设f(n)＝(1－a 1 )(1－a 2 )…(1 －a n )，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。 7 . 8.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．

2020年高考数学一轮复习考点 数学归纳法必刷题含解析

考点34 数学归纳法 1．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列{}n a ，12a =，且2 11n n n a a a +=-+对任意n N * ∈恒成立． （1）求证：112 211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)； （2）求证：11n n a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 （1）①当1n =时，22 21112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立. ②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立 下证：当1n k =+时，1 12211k k k k a a a a a a +-+=+成立。 因为()2 11211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+= ()()11221112 211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++- 即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立 由①、②可知，112 211n n n n a a a a a a +--=+(n *N ∈)成立。 （2）（ⅰ）当1n =时，2 21 221311a >=-=++成立， 当2n =时，()2 322222 172131112a a a a a =-+=-+=>?>++成立， （ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11k k a k +>+成立 下证：当1n k =+时，() 1 211k k a k ++>++成立. 因为()() 2211112 111111k k k k k k k k k a a a a a k k k k +++++-+==-+>++=++ 要证() 1 211k k a k ++>++， 只需证() 1 2111k k k k k k +++>++

(完整版)高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解

高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1．已知a n ＝ 1 n ＋1＋n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，已计算得S 1＝2－1，S 2＝3－1， S 3＝1，由此可猜想S n ＝( ) A.n －1 B.n ＋1－1 C.n ＋1－2 D.n ＋2－2 [答案] B 2．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1 2k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( ) A ．S k ＋1 2(k ＋1) B ．S k ＋12k ＋1－1 k ＋1 C ．S k ＋12k ＋1－1 2k ＋2 D ．S k ＋12k ＋1＋1 2k ＋2 [答案] C [解析] S k ＋1＝ 1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1 k ＋1 ＋ 1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－1 2k ＋2 . 3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立. 2°假设n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即k 2＋k

[解析]没用归纳假设． 4．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… 则在表中数字2010出现在() A．第44行第75列 B．第45行第75列 C．第44行第74列 D．第45行第74列 [答案] D [解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行． 又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D. 5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是() A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 [答案] D [解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误． 对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误． 对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()

(完整版)数学归纳法练习题

数学归纳法练习题 一、选择题 1. 用数学归纳法证明12 1 *11(,1)1n n a a a a n N a a ++-++++=∈≠-L ,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 2 1a a ++ D. 2 3 1a a a +++ 2. 用数学归纳法证明11111111 1234212122n n n n n - +-++-=+++ -++L L *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( ) A. 121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 11 2122 k k -++ 3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,n n x y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成( ) A. 假设* 21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确; B. 假设*21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确; C. 假设* ()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确; D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确. 二、填空题 4. 数列{}n a 中,111 ,21 n n n a a a a += =+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是 5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为 6. 用数学归纳法证明“当* 2 3 51 ,12222 n n N -∈+++++L 时是31的倍数”时,1n =时的原式是 ,从k 到1 k +时需添加的项是 三、解答题 7. 求证:对于整数0n ≥时,2 211112n n +++能被133整除. 8. 若* n N ∈,求证:2 3sin cos cos cos cos 2 222 2sin 2n n n α α αααα = L . 9. 若* n N ∈,且2n ≥,求证: 1111312224 n n n +++>++L . 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-* n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明. 11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39n f n n =+?+ 对于任意* n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.

高中数学归纳法例题

高中数学归纳法例题 高中数学归纳法例题 一、引子 在高中数学中，归纳法是一种常用的证明方法，被广泛应用于数列、不等式等领域。而归纳法的核心思想就是从已知条件出发，逐渐推出更一般的结论。本文将介绍几个典型的数学归纳法例题，帮助读者深入理解归纳法的应用。 二、例题 1. 证明对于任何正整数 n，都有：1+3+5+…+(2n-1) = n²。 首先可以验证 n=1 时结论成立。假设对于 n=k 时结论成立，即 1+3+5+…+(2k-1) = k²，那么考虑 n=k+1 的情况。根据归纳假设， 1+3+5+…+(2k-1) 等于 k²，再加上 (2k+1)，所以有： 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1) =k²+(2k+1) =(k+1)² 因此，结论得证。

2. 证明对于任何正整数 n，都有：2³+4³+…+(2n)³ = (n(n+1))²。 当 n=1 时，2³ = 2×2 = 4, (1(1+1))² = 2² = 4，结论成立。假设当 n=k 时结论成立，即2³+4³+…+(2k)³ = (k(k+1))²，我们来考虑 n=k+1 的情况。根 据归纳假设，2³+4³+…+(2k)³ = (k(k+1))²，再加上 (2(k+1))³，则有： 2³+4³+…+(2k)³+(2(k+1))³ =(k(k+1))²+(2(k+1))³ =(k+1)[k(k+1)+2(k+1)²]² =(k+1)(k+2)²² =(k+1)((k+1)+1)² =((k+1)(k+2))² 也就是 (n(n+1))²，因此结论得证。 3. 证明对于任意自然数 n，都有：1³+2³+…+n³ = (1+2+…+n)²。 当 n=1 时，1³ = 1, (1)² = 1，结论成立。假设当 n=k 时结论成立，即 1³+2³+…+k³ = (1+2+…+k)²，我们来考虑 n=k+1 的情况。根据归纳假设，1³+2³+…+k³ = (1+2+…+k)²，那么有：

数学人教A选修45素材：教材习题点拨 41数学归纳法 含解析

教材习题点拨 “思考”：如果用数学归纳法证明某命题对于全体正整数都成立，应取n 0为何值？为什么？ 答：n 0＝1.第一个正整数为1. 习题4.1 1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2， 那么当n ＝k ＋1时，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2， 就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)(2)可知等式对任何的n ∈N ＋都成立． 2．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×2×3 6＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，就是12＋22＋32＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1) 6. 则当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝ k (k ＋1)(2k ＋1) 6 ＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26 ＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6 ＝ (k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1] 6 . 就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)(2)，可知等式对于任何的n ∈N ＋都成立． 3．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，就是1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2， 则当n ＝k ＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] ＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)(3k ＋4) ＝[k (k ＋1)＋(3k ＋4)](k ＋1)＝(k 2＋4k ＋4)(k ＋1)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2. 就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)(2)，可知等式对于任何的n ∈N ＋都成立． 4．证明：(1)当n ＝1时，x 2－ 1＋y 2－ 1＝x ＋y 能被x ＋y 整除． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，就是x 2k － 1＋y 2k －1能被x ＋y 整除． 则当n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－1 ＋y 2(k ＋1)－1 ＝x 2k ＋ 1＋y 2k ＋ 1＝x 2k ＋ 1＋y 2k ＋ 1－x 2y 2k － 1＋x 2y 2k － 1＝x 2(x 2k

近年年高考数学一轮复习课时分层训练39数学归纳法理北师大版(2021年整理)

2019年高考数学一轮复习课时分层训练39 数学归纳法理北师大版编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮复习课时分层训练39 数学归纳法理北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮复习课时分层训练39 数学归纳法理北师大版的全部内容。

课时分层训练（三十九) 数学归纳法 A组基础达标 一、选择题 1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是（） A．1 B．2 C．3 D．4 C[∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n〉2n＋1不成立； n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立； n＝3时,23＝8，2×3＋1＝7，2n>2n＋1成立． ∴n的第一个取值应是3.］ 2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k（k≥1且k∈N ＋ )时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于（）A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 B［本题证的是对n＝1,3，5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．] 3．在数列｛a n}中，a1＝错误!，且S n＝n（2n－1）a n,通过求a2，a3，a4，猜想a n的表达式为（） 【导学号:79140216】 A. 1 （n－1）(n＋1) B.错误! C. 1 （2n－1 （2n＋1））D．错误! C[由a1＝错误!，S n＝n(2n－1)a n求得a2＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!。 猜想a n＝ 1 （2n－1）（2n＋1 ).] 4．对于不等式错误!＜n＋1（n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，错误!＜1＋1，不等式成立． （2)假设当n＝k（k∈N＋）时，不等式k2＋k＜k＋1成立，当n＝k＋1时，错误!＝错误! ＜错误!＝错误!＝（k＋1）＋1.

高中数学数学归纳法综合测试题(带答案)

高中数学数学归纳法综合测试题（带答案） 选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(nN*，n1)时，第一步应验证不等式() A．1＋122 B．1＋12＋13＜2 C．1＋12＋13＜3 D．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B [解析] ∵nN*，n＞1，n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B. 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(nN*，a1)，在验证n＝1时，左边所得的项为() A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案] B [解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B. 3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(nN*)，那么f(n＋1)

－f(n)等于() A.12n＋1 B.12n＋2 C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2 [答案] D [解析] f(n＋1)－f(n) ＝1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12(n＋1) －1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1 ＝12n＋1－12n＋2. 4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(kN*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得() A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是() A．假设n＝k(kN*)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立

高中数学数学归纳法的应用检测试题(附答案)

高中数学数学归纳法的应用检测试题（附答案）

高中数学数学归纳法的应用检测试题（附答案）题目高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用 高考要求 数学归纳法是高考考查的重点内容之一类比与猜想是应用 数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 重难点归纳 (1)数学归纳法的基本形式 设P(n)是关于自然数n的命题，若 1P(n0)成立(奠基) 2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 (2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 典型题例示范讲解 例1试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,nN*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn 命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式 知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，

不应只证明一种情况 技巧与方法本题中使用到结论 (ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞akc+cka 证明 (1)设a、b、c为等比数列，a= ,c=bq(q＞0且q1) an+cn= +bnqn=bn( +qn)＞2bn (2)设a、b、c为等差数列， 则2b=a+c猜想＞( )n(n2且nN*) 下面用数学归纳法证明 ①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2， ②设n=k时成立，即 则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞ (ak+1+ck+1+akc+cka)= (ak+ck)(a+c) ＞( )k( )=( )k+1 也就是说，等式对n=k+1也成立 由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立 例2在数列{an}中，a1=1，当n2时，an,Sn,Sn－成等比数列 (1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{an}所有项的和 命题意图本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识

高中数学数学归纳法检测试题(有答案)

高中数学数学归纳法检测试题（有答案）

高中数学数学归纳法检测试题（有答案） 数学归纳法及其应用举例 一、选择题(共49题，题分合计245分) 1.用数学归纳法证明:1+ + +…+ 1)时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是 A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 2.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分 成的部分为f(n),则下列猜 想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2 中,正确的是 A.①与② B.①与③ C.②与③ D.只有③ 3.某个命题与自然数m有关,若m=k(kN)时该命题成立,那么可以推得m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命题不成立,那么可推得 A.当m=6时该命题不成立 B.当m=6时该命题成立 C.当m=4时该命题不成立 D.当m=4时该命题成立 4.设f(n)= (nN),那么f(n+1)-f(n)等于 A. B. C. + D. - 5.用数学归纳法证明1+a+a2+…+ = (nN,a1)中,在验证n=1时,左式应为 A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

12.用数字归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是 A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 13.用数学归纳法证明当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除的第二步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为 A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+52k125 C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+25 14.用数学归纳法证明+ + +……+ = (nN)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是 A. B. C. D. 15.利用数学归纳法证明不等式 ,(n2,nN)的过程中,由n=k 变到n=k+1时,左边增加了 A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 16.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中，n=k＋1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为 A.(5k-2k)＋45k-2k B.5(5k-2k)＋32k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-35k 17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为 A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.kf(k) 18.已知一个命题P(k),k=2n(nN),若n=1,2,…,1000时,P(k)

2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第5节数学归纳法选用含解析

第5节数学归纳法(选用) 考试要求 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 知识梳理 1。数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0（n0∈N＊）时命题成立；（2)（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n ＝k＋1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 2。数学归纳法的框图表示 ［常用结论与易错提醒] 1。数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法. 诊断自测 1。判断下列说法的正误。 （1）用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验

证n＝1时,左边式子应为1＋2＋22＋23.（） (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(） (3）用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.() (4）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项。() 解析对于（2），有些命题也可以直接证明；对于(3）,数学归纳法必须用归纳假设；对于(4),由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项. 答案(1）√(2）×（3）×（4)× 2。（选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时，第一步检验n等于（） A.1 B.2 C。3 D.4 解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3。答案C 3。已知f（n)＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则(） A.f(n)中共有n项,当n＝2时，f（2)＝错误!＋错误! B.f（n）中共有n＋1项,当n＝2时，f(2)＝错误!＋错误!＋错误! C.f(n）中共有n2－n项,当n＝2时,f（2）＝错误!＋错误! D。f（n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时,f（2)＝错误!＋错误!＋错误!解析f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时,错误!＝错误!，错误!＝错误!，故f(2）＝错误!＋错误!＋错误!. 答案D

高中数学专题练习《数学归纳法》含详细解析

4.4* 数学归纳法 基础过关练 题组一 用数学归纳法证明等式 1.(2019福建莆田一中高二期中)用数学归纳法证明等式1+a+a 2 +…+a n-1=1−a n 1−a (a ≠1,n ∈N *),在验证n=1成立时,等式左边需计算 的项是( ) A.1 B .1+a C.1+a+a 2 D.1+a+a 2+a 3 2.用数学归纳法证明1+2+3+4+…+(2n-1)+2n=2n 2+n(n ∈N *),当n=k+1(k ∈N *)时,等式左边应在n=k 时的基础上加的项是( ) A.2k+1 B.2k+2 C.(2k+1)+(2k+2) D.1 3.用数学归纳法证明1-12+13-1 4+…+ 1 2n -1-12n = 1 n+1+ 1 n+2 +…+1 2n (n ∈N *)时,第 一步应验证的等式是 . 4.(2019安徽亳州二中高二月考)用数学归纳法证明: 1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4) 2 (n ∈N *).

题组二 用数学归纳法证明不等式 5.用数学归纳法证明1+12+1 3+…+ 12n -1 1)时,第一步应验证的 不等式是( ) A.1+1 2 <2 B.1+12+1 3 <2 C .1+12+1 3 <3 D .1+12+13+1 4 <4 6.用数学归纳法证明“2n >n 2+1对于n ≥n 0的正整数n 成立”时,第一步证明中的起始值n 0应取( ) A.1 B .2 C .3 D .5 7.对于不等式√n 2+n ≤n+1(n ∈N *),某学生的证明过程如下:①当n=1时,√12+1≤1+1,不等式成立. ②假设当n=k(k ∈N *)时,不等式成立,即√k 2+k ≤k+1,则当n=k+1时,√(k +1)2+(k +1)=√k 2+3k +2<√k 2+3k +2+(k +2)=√(k +2)2=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.上述证法中( ) A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k 到n=k+1的推理不正确 8.已知数列{b n }的通项公式为b n =2n,求证:对任意的n ∈N *,不等式 b 1+1b 1 · b 2+1b 2 ·…· b n +1b n >√n +1都成立. 题组三 用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题

高中数学专题复习数学归纳法的解题应用知识点例题精讲

数学归纳法的解题运用 【高考能力要求】 数学归纳法是证明与自然数有关的问题，在近年的高考题中，一般不作单独的考题，而是以应用为主，且常与数列、函数、不等式、导数等结合起来进行考查，主要考查归纳、猜想、证明的数学思想方法，若出现在押轴题中则往往难度较大，分值为7分左右。涉及的主要解题方法是先求出它的前几项,找出其规律、归纳出其共有形式(如问题的一般规律、结构特征等)，才能作出正确的猜想,然后用数学归纳法加以证明.其解题模式是:归纳⇒猜想⇒证明。在用数学归纳法证明时，要注意正确掌握数学归纳法原理和证明步骤，特别在证明不等式时要注意结合不等式证明的放缩法、分析法等方法。 【例题精讲】 【例1】已知函数)(x f 满足1)1(),0,,()()(=≠∈+=f b R b a b x af x xf ，且使 x x f =)(成立的实数x 是唯一的。 （1） 求函数)(x f 的解析式、定义域、值域； （2） 如果数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12) (++= n a f n S n n ，试求此数列的通项公式。 分析：（1）由1)1(=f 及x x f =)(有唯一解建立关于b a ,的方程组，解出b a ,即可；（2）利用n n n S S a -=++11将已知条件转化为1+n a 与n a 的递推关系式，从而猜想出 n a 的表达式并用数学归纳法加以证明。 解：（1）a x b x f -= )(，∵ b a f =-⇒=11)1( ① 由x x f =)(得 02=--b ax x 有唯一解，∴ 042=+=∆b b ② 由①②得 1,2-==b a ，∴x x f -= 21 )(，其定义域为{}2|≠x x ，值域为{}0|≠y y

高中数学《数学归纳法》同步检测试卷与答案解析

选择性必修二《4.4 数学归纳法》同步检测试卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题 1．用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋ d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( ) A ．a 1＋(k －1)d B ． C ．ka 1＋ d D ．(k ＋1)a 1＋ d 2．已知f(n)＝ ，则( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝ ＋ B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝ ＋＋ C ．f(n)中共有n 2 －n 项，当n ＝2时，f(2)＝ ＋ D ．f(n)中共有n 2 －n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝ ＋＋ 3．用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 (n ∈N * )时，若记f(n)＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f(k ＋1)－f(k)等于( ) A ．3k －1 B ．3k ＋1 C ．8k D ．9k 4．证明等式12 ＋22 ＋32 ＋…＋n 2 ＝ (n ∈N * )时，某学生的证明过程如下： ①当n ＝1时，12 ＝ ，等式成立； ②假设n ＝k(k ∈N * )时，等式成立， 即12 ＋22 ＋32 ＋…＋k 2 ＝ ，则当n ＝k ＋1时， 12 ＋22 ＋32 ＋…＋k 2 ＋(k ＋1)2 (1) 2n n -1() 2 k k a a +(1)2k k -(1) 2 k k +2 111 1 12 n n n n +++++12131213141213121314 (1)(21)6 n n n ++123 6 ⨯⨯(1)(21) 6 k k k ++

2023年新高考数学一轮复习7-6 数学归纳法(知识点讲解)含详解

专题7.6 数学归纳法（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养． 【知识点展示】 数学归纳法 1.证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N * ) 时命题成立． (2)(归纳递推)假设n ＝k(k≥n 0，k ∈N * )时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 2.数学归纳法的框图表示 【常考题型剖析】 题型一：利用数学归纳法证明不等式 例1.（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,n n n n b c c n N c +=+ ∈，证明*12(2) ,2 n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+> ∈

例2.（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列{}n a 满足：11a =，且2 11n n n a a na n +=-++，（n 为正 整数）． (1)计算：2a ，3a ，4a 的值； (2)猜测{}n a 的通项公式，并证明； (3) 设n b 问是否存在使不等式12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2n ≥的正整数均成立 的最大整数p ，若存在请求出，若不存在，请说明理由． 例3．（2017·浙江·高考真题）已知数列{}n x 满足：11x =，()() 11ln 1n n n x x x n N * ++=++∈ 证明：当*n N ∈时， （I ）10n n x x +<<； （II ）1 122 n n n n x x x x ++-≤； （III ） 1 21122 n n n x --≤≤. 【总结提升】 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 题型二：归纳、猜想、证明 例4.（2022·全国·高二课时练习）数列{}n a 中，11a =，n S ，1n S +，12S 成等差数列，分别计算2S ，3S ，4S 的值，猜想n S 的表达式为______． 例5.（2020·全国·高考真题（理））设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ． 例6.（2014·广东·高考真题（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2 1234n n S na n n +=--，n N *∈， 且315S =. （1）求1a 、2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.

【含五套高考卷】高三数学一轮复习：课时分层训练39 数学归纳法

课时分层训练(三十九) 数学归纳法 (对应学生用书第242页) A组基础达标 (建议用时：30分钟) 一、选择题 1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C [∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立； n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立； n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立． ∴n的第一个取值应是3.] 2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 B [本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．] 3．在数列{a n}中，a1＝1 3 ，且S n＝n(2n－1)a n，通过求a2，a3，a4，猜想a n的表达式为( ) 【导学号：97190218】 A． 1 －＋ B． 1 ＋ C． 1 －＋ D． 1 ＋＋ C [由a1＝1 3 ，S n＝n(2n－1)a n求得a2＝ 1 15 ＝ 1 3×5 ，a3＝ 1 35 ＝ 1 5×7 ，a4＝ 1 63 ＝ 1 7×9 .猜想a n＝ 1 －＋ .] 4．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式k2＋k＜k＋1成立，当n＝k＋1时，＋2＋k＋1＝k2＋3k＋2＜2＋3k＋＋＋＝＋2＝(k＋1)＋1. ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确

江苏专用高考数学一轮复习考点34数学归纳法必刷题含解析

江苏专用高考数学一轮复习考点34数学归纳法必刷题含解析 1．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列{}n a ，12a =，且2 11n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立． （1）求证：112 211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)； （2）求证：11n n a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 （1）①当1n =时，22 21112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立. ②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立 下证：当1n k =+时，1 12211k k k k a a a a a a +-+=+成立。 因为()2 11211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+= ()()11221112 211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++- 即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立 由①、②可知，112 211n n n n a a a a a a +--=+(n *N ∈)成立。 （2）（ⅰ）当1n =时，2 21 221311a >=-=++成立， 当2n =时，()2 322222 172131112a a a a a =-+=-+=>⨯>++成立， （ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11k k a k +>+成立 下证：当1n k =+时，() 1 211k k a k ++>++成立. 因为()() 2211112 111111k k k k k k k k k a a a a a k k k k +++++-+==-+>++=++ 要证() 1 211k k a k ++>++， 只需证()1 2111k k k k k k +++>++ 只需证：() 1 21k k k k ++>，

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题14 数学归纳法(50题竞赛真题强化训练)解析版

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题14 数学归纳法 （50题竞赛真题强化训练） 一、解答题 1．（2021·全国·高三竞赛）已知()111 123 n a n n +=++++ ∈N .证明：当2n ≥时，2231223 n n a a a a n n ⎛⎫>++ + + ⎪⎝⎭. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 （1）当2n =时，左边2 2 2 19 124 a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭；右边2131222222a =⋅+=+=； 因为 9 24 >，所以，所证不等式成立. （2）假设(2)n k k =≥时不等式成立，即2 231 223 k k a a a a k k ⎛⎫>++ ++ ⎪⎝⎭成立. 当1n k =+时， 2 22 1 2 12111(1)k k k k a a a a k k k +⎛⎫=+=++ ⎪+++⎝⎭ 1232 12111223 1(1)k k a a a a k k k k k +⎛ ⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭>++++++ ⎪++⎝⎭ 2 3 12 11223 1(1)k k a a a a k k k k +⎛⎫=+ ++ ++- ⎪ ++⎝⎭ 22 312 1223 1(1)k k a a a a k k k k k k +++⎛⎫=+++++ ⎪++⎝⎭ 22 312 223 1(1)k k a a a a k k k k k k ++⎛⎫>+++++ ⎪++⎝⎭ 2 3 1122 3 11 k k a a a a k k k +⎛⎫=+ ++ ++ ⎪ ++⎝⎭， 所以，当1n k =+时，不等式也成立. 由（1）､（2）可知，当,2n n +∈≥N 时，所证不等式成立. 2．（2019·全国·高三竞赛）设032 π α<<.证明： tan 99tan α α >. 【答案】见解析 【解析】 【详解】