三角形定义

三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的边:组成三角形的线段

顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．

三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．

按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．

三角形的主要线段：角平分线、中线、高．

三角形具有的特性:稳定性．

三角形的高:从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段．

三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．

三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

线段:三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．

锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．

三角形的面积：（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

三角形三边关系

1.三角形两边之和大于第三边．

2。在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

3。三角形的两边差小于第三边．

4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．

三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．

三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．

三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．

若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．

探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．

全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

三角形全等的符号:“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．

对应顶点、对应边、对应角:把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．

全等三角形的性质和注意：1：全等三角形的对应边相等

性质2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等

②全等三角形的周长相等，面积相等

③平移、翻折、旋转前后的图形全等

关于全等三角形的性质应注意以下两点：

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．

②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．

全等三角形的5种判定方法:

（1）判定定理1：SSS-三条边分别对应相等的两个三角形全等．

（2）判定定理2：SAS-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

（3）判定定理3：ASA-两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：AAS-\\两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）判定定理5：HL-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

全等三形的判定是结合全等三角形的证明线段相的重要工具．在判定三角形全等，关键是选择恰当的判定条．在应用全等三角形的判定时要注意三的共边和公角，必要时添适当辅助构造三角．

第16讲 三角形的概念

第十六讲 三角形的概念 一：知识点精析： 1、三角形定义：三条线段首位顺次相接而成的封闭图形叫做三角形；三条边，三个内角 2、三角形的分类：（1）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；（2）按边分类 3、主要性质：（1）边：①三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②在同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角，（2）角：①三角形的内角和等于180°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④在同一个三角形中，等角对等边，大角对大边，小角对小边。 4、三角形的重要线段：（1）中线：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心；重心分每条中线为2:1两部分；（2）角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心：内心到三角形三边的距离想等；（3）高：三角形的三条高交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 5、线段的垂直平分线：又叫做线段的中垂线。线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之亦成立；三角形三边的中垂线交于一点，这个点叫做三角形的外心；外心到三角形三个顶点的距离相等。 6、特殊的三角形：直角三角形，等腰三角形，等边三角形。 二、典型例题: 1、c b a ，，为三角形的三边长，化简c b a c b a c b a c b a -+-+-----++，结果是_________ 2、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成cm cm 2112、两部分，则这个等腰三角形底边的长为__________ 3、（1）ABC ?中，三个内角的度数均为整数，且C B A ∠<∠<∠,A C ∠=∠74，求B ∠的度数________;（2）三角形的三个内角分别为γβα、、，γβα≥≥，γα2=，则β的取值范围________ 4、如图所示，已知123∠+∠=∠，求证：?=∠+∠+∠+∠180D C B A 5、一个三角形的周长是偶数，其中的两边长分别是4和1997，则满足上述条件的三角形个数是_________ 6、周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？ 7、如图，P 是ABC ?内一点，求证：PC PB AC AB +>+

三角形定义

三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的边:组成三角形的线段 顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 三角形的主要线段：角平分线、中线、高． 三角形具有的特性:稳定性． 三角形的高:从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段． 三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 线段:三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 三角形的面积：（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 三角形三边关系 1.三角形两边之和大于第三边． 2。在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3。三角形的两边差小于第三边． 4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．

三角形的定义

三角形的定义 在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°,这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。 三角形的内角和 在欧几里德的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。（注：在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180度也有可能小于180，此时的三角形也从平面也变为了球面或者伪球面） 证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》 如何证明三角形的内角和等于180° 方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180° 方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180° 例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° 证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E ∵AB∥CE（已知） ∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等) ∵∠BCD=180° ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质） ∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换） 三角形分类 (1)按角度分 a.锐角三角形：三个角都小于90度。（三个角都为锐角，等边三角形也是锐角三角形。） b.直角三角形（简称Rt△）： ①直角三角形两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.； ④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和③相反）；

三角形知识点总结

三角形知识点总结 一、根底知识 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.〔三角形有三条边，三个角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点〕 2、三角形的表示 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。 注意：〔1〕三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；〔2〕三角形是一个封闭的图形；〔3〕△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义 3、三角形的分类：〔1〕按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 〔2〕按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 4、三角形的主要线段的定义： 〔1〕三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 如图：〔1〕AD是△ABC的BC上的中线.〔2〕BD=DC= BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的部且交于三角形部一点〔重心〕 ③中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 〔2〕三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 如图：〔1〕AD是△ABC的∠BAC的平分线.〔2〕∠1=∠2= ∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的部且交于三角形部一点〔心〕 ③角平分线上的点到角的两边距离相等 〔3〕三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形的三条高的交点在三角形部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点〔垂心〕 ③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种〔因为高底不一样〕〔4〕三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段 如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE⊥BC于D；BD=DC 注意：①三角形的中垂线是直线； ②三角形的三条中垂线交于一点〔外心〕 小总结：心：三条角平分线的交点,也是三角形切圆的圆心. 性质：到三边距离相等. 外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质：到三个顶点距离相等. 重心：三条中线的交点. 性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍. 垂心：三条高所在直线的交点.

三角形的知识点归纳总结

三角形的知识点归纳总结 三角形是平面几何中最基本的图形之一，它有着丰富的性质和知识点。下面将对三角形的知识点进行归纳总结。 一、基本概念 1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的边由三个非共线的点确定。 2. 三角形的元素：三角形有三条边和三个顶点，三角形的三个内角和为180度。 3. 三角形的分类：根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等多种类型。 二、边长关系 1. 三角形边长的关系：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2. 等边三角形：等边三角形的三边长度相等。 3. 等腰三角形：等腰三角形的两边长度相等，两个底角也相等。 4. 直角三角形：直角三角形有一个内角是90度，满足勾股定理。 5. 锐角三角形：锐角三角形的三个内角都小于90度。 6. 钝角三角形：钝角三角形的一个内角大于90度。 三、角度关系

1. 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180度。 2. 等角三角形：等角三角形的三个内角相等。 3. 外角和定理：三角形的一个内角的外角和等于180度。 4. 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角都是锐角，且最小的内角对应最小的边。 5. 钝角三角形的性质：钝角三角形的一个内角是钝角，且最大的内角对应最长的边。 四、重要定理 1. 三角形的中线定理：三角形的三条中线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等，且等于中线的一半。 2. 三角形的高线定理：三角形的三条高线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等。 3. 三角形的角平分线定理：三角形的三条角平分线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等。 五、面积公式 1. 三角形面积的计算：三角形的面积可以使用海伦公式或底边高公式进行计算。 2. 海伦公式：设三角形的边长为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S等于sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。 3. 底边高公式：设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S等于1/2 * b * h。

人教版四年级数学下册重点知识：三角形相关概念

人教版四年级数学下册重点知识：三角形相关概 念 人教版四年级数学下册重点知识：三角形相关概念 1、三角形的定义：由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连或重合)，叫三角形。 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。重点：三角形高的画法。 3、三角形的特性：1、物理特性：稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。 4、边的特性：任意两边之和大于第三边。 5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。 6、三角形的分类： 按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。 按照边长短来分：三边不等的△，等腰△(等边三角形或正三角形是特殊的等腰△)。 等边△的三边相等，每个角是60度。(顶角、底角、腰、底的概念) 7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 10、每个三角形都至少有两个锐角;每个三角形都至多有1个直角;每个三角形都至多有1个钝角。 11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 12、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。 13、等边三角形是特殊的等腰三角形 14、三角形的内角和等于180度。四边形的内角和是360有关度数的计算以及格式。 15、图形的拼组：两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。 16、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 17、用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。 18、用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形。一个大的等腰的直角的三角形。 19、密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。 小数的加减法： 1、计算法则：相同数位对齐(小数点对齐)，按照整数计算方法进行计算，得数的小数点要和横线上的小数的小数点对齐。结果是小数的要依据小数的性质进行化简。

三角形的概念及其应用

三角形的概念及其应用 三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。 在这篇文章中，我们将探讨三角形的概念以及它在不同领域中的应用。 一、三角形的定义和分类 三角形是一个由三条线段组成的图形，它的特点是任意两边之和大 于第三边。根据边长和角度的不同，三角形可以分为以下几类： 1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形。它的三个内角都是60度。 2. 等腰三角形：至少有两条边长度相等的三角形。等腰三角形的两 个底角相等。 3. 直角三角形：其中一个角度是直角（90度）的三角形。直角三角 形的两条边垂直相交。 4. 钝角三角形：其中一个角度大于90度的三角形。 5. 锐角三角形：所有角度都小于90度的三角形。 二、三角形的性质 除了基本的定义和分类，三角形还有许多重要的性质： 1. 内角和性质：三角形的所有内角之和等于180度。这意味着无论 三角形的形状如何，三个内角的度数之和都是不变的。

2. 外角和性质：三角形的外角等于与之相对的内角的补角。也就是说，三角形的三个外角之和等于360度。 3. 角平分线：三角形的内角平分线将相应内角分为两个相等的角。 这些角平分线交汇于三角形的内心。 4. 边平分线：三角形的边平分线将相应的角分为两个相等的角。 5. 三角不等式：三角形中的任意两边之和大于第三边。这个性质对 于判断三条线段能否构成三角形非常重要。 三、三角形的应用 1. 测量与建筑：三角形的性质被广泛应用于测量和建筑领域。例如，通过测量一座建筑物的高度与角度，我们可以使用三角函数来计算出 其实际高度。 2. 导航与地理：三角形的概念在导航和地理测量中也起着重要的作用。通过测量两个地点之间的角度和距离，我们可以确定它们的相对 位置。 3. 电子工程：在电子工程领域，三角形的性质被用于设计和分析电路。例如，使用三角函数可以计算电路中的电流和电压。 4. 计算机图形学：三角形广泛应用于计算机图形学中的三维建模和 渲染。三角形网格是建立三维模型的基本单元。 5. 科学研究：在物理学、工程学和其他科学领域中，三角形的概念 被广泛用于建模、分析和求解问题。

三角形的基本概念与性质

三角形的基本概念与性质 三角形是几何学中常见的形状，具有许多有趣的性质和应用。本文 将介绍三角形的基本概念和其性质，从而帮助读者更好地理解和应用 三角形。 一、基本概念 1. 三角形的定义 三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大 于第三条线段的长度。三角形由三个顶点和三条边构成。 2. 三角形的分类 根据三角形内部角的不同，三角形可以分为三种类型：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。 （1）直角三角形：其中一个角为90度，其他两个角之和为90度。 （2）锐角三角形：三个角均小于90度。 （3）钝角三角形：其中一个角大于90度，其他两个角之和小于90度。 3. 三角形的命名和符号 为了便于讨论和计算，三角形常常使用字母和符号进行命名和表示。常见的表示方法有： （1）按照顶点的字母顺序进行命名，如三角形ABC。

（2）用大写字母表示角，如∠A表示角A，用小写字母表示边， 如边a表示边BC。 二、三角形的性质 1. 内角和性质 三角形的三个内角之和始终等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。 2. 外角性质 三角形的一个内角的补角等于另外两个外角的和，即∠A' = ∠B + ∠C，∠B' = ∠A + ∠C，∠C' = ∠A + ∠B。 3. 等边三角形 等边三角形的三条边相等，三个内角也都相等，且均为60度。 4. 等腰三角形 等腰三角形的两条边相等，两个对角也相等。 5. 直角三角形 直角三角形中，边长分别为a、b、c，其中c为斜边（最长的一条边），满足勾股定理：a² + b² = c²。 6. 相似三角形 若两个三角形有相同的形状但尺寸不同，则它们称为相似三角形。 7. 正弦定理

三角形概念总结

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短； （2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边. ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条咼在三角形外; ③三角形三条高所在直线交于一点. （而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在 三角形知识要点 1.三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组 成的图形叫做三角形。： 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC用符号表示为△ ABC三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形； （3）△ ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义. 2、（1）三角形按边分类： z r底边和腰不相等的等腰三角形 （等腰三角形 三角形j ［等边三角形 L不等边三角形 （2）三角形按角分类： '直角三角形 三角形J f f锐角三角形 ,斜三角形｛ 钝角三角形 3、三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边•三角形的任意两边之差小于第三边。4、和三角形有关的线段： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段 表示法：1、AD是厶ABC的BC上的中线. 1 2、BD=DC= BC. 2 3、AD是.：ABC的中线； 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点 ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与之间的线段 表示法：1、AD是厶ABC的/ BAC的平分线. 1 2、 / 仁/ 2= / BAC. 2 3、AD平分N BAC 交BC于D 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; （3）三角形的高 三角形的高：从三角形的 足之间的线段叫做三角形的高， 表示法：1、AD是厶ABC的BC上的高。 2、AD 丄BC 于D。 3、 / ADB= / ADC=90°。 4、AD是厶ABC的高。 向它的 __________ 作垂线，顶点和垂注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

三角形的定义性质

定义 由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°,这个是个准确的数!）的封闭图形叫做三角形 三角形的内角和 三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。 三角形分类 (1)按角度分 a.锐角三角形：三个角都小于90度。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。 b.直角三角形（简称Rt 三角形）： ⑴直角三角形两个锐角互余； ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.； ⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）； c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形)。 d.证明全等时可用HL方法 （2）按角分 a.锐角三角形：三个角都小于90度。 b.直角三角形：有一个角等于90度。 c.钝角三角形：有一个角大于90度。 （锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形） （3）按边分 不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。 常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等 三角形的性质

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。 6.一个三角形最少有2个锐角。 7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。 8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。 9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系 （a^2+b^2=c^2。） 那么这个三角形就一定是直角三角形。 10.三角形的外角和是360°。 11.等底等高的三角形面积相等。 12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。 **13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的 3/4。 **14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。 15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 16.全等三角形对应边相等，对应角相等。 17.三角形的重心在三条中线的交点上。 **18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。 （包括等边三角形）三角形的边角之间的关系 （1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠

三角形的基本概念和性质

三角形的基本概念和性质 三角形是几何学中最基本的图形之一，它有着丰富的性质和巧妙的 应用。本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和 应用三角形相关知识。 1. 三角形的定义 三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每两条线段之间的夹角 都是锐角、直角或钝角。三角形的三条线段被称为边，每个角的三边 被称为角的边。 2. 三角形的分类 根据三角形的边长和角度的大小，我们可以将三角形分为以下几类： a) 根据边长：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。 - 等边三角形：三条边的长度都相等。 - 等腰三角形：至少两条边的长度相等。 - 普通三角形：三条边的长度都不相等。 b) 根据角度大小：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 - 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 - 直角三角形：恰好有一个直角的三角形。 - 钝角三角形：至少有一个角是钝角的三角形。

3. 三角形的重要性质 三角形有许多重要的性质，其中一些性质如下： a) 三角形的内角和为180度：对于任意三角形，其内角和等于180度。 b) 三角形边长之和：三角形的任意两边之和大于第三边。即对于三角形的边长a、b、c，满足a + b > c、a + c > b和b + c > a。 c) 等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的两个角相等，等腰三角形的高线是底边的垂直平分线。 4. 三角形的重要定理 a) 正弦定理：对于任意三角形ABC，其边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则有以下关系： sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c b) 余弦定理：对于任意三角形ABC，其边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则有以下关系： c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C) 5. 三角形的应用举例 三角形的应用广泛，例如在测地学、三角测量和建筑等领域有着重要的应用。下面以测量高楼的高度为例，说明三角形的应用：

三角形的基本概念

三角形的基本概念 三角形的概念： 如图，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 三角形的主要线段： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线． 在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的中线是一条线段． 从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)．这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线． 三角形的稳定性： 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的这个性质在生产和生活中应用很广，需要稳定的东西都制成三角形的形状． 10.2. 三角形的特性与表示三角形有下面三个特性： ①三角形有三条线段； ②三条线段不在同一条直线上； ③首尾顺次连接． 以上三点表明三角形是封闭图形，如图就不是三角形． “三角形” 用符号“∆” 表示，顶点是C B A ,,的三角形记作“ABC ∆” ，读作“三角形ABC ” ． 10.3. 三角形的分类及角边关系 10.3.1. 三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类： ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形 角形底和腰不相等的等腰三 等腰三角形不等边三角形三角形 三角形按角的关系可以如下分类： ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧⎩⎨⎧) ()() (形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形．它是两条直角边相等的直角三角 形． 注意：一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角． 10.3.2. 三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形． ②当已知两边时，可确定第三边的范围． ③证明线段不等关系． 10.3.3. 三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180． 推论： ①直角三角形的两个锐角互余．

3.三角形及其有关概念

3、三角形及其有关概念 【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5 4. S S ABE ∆⋅ 基础。 5. 例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B 分析： 因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B

∴︒<<︒045∠B 又∵∠A 为锐角，() ∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90 ∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。 例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。 解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° AF BE F EBC FAB ABE //，∠∠，∠∠∴== 又∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝∠ABE ∴∠F ＝∠FAB ，∴AB ＝BF 又∵AB ＋FB ＞AF ，即2AB ＞AF