双曲线及其标准方程(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册

第二单元双曲线

一、内容和内容解析

（一）内容

双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质

本单元内容结构图如下：

（二）内容解析

1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.

2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.

3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.

4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.

5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质

二、目标及其解析

（一）单元目标

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．

2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．

3．了解双曲线的简单应用．

4．理解数形结合思想．

（二）目标解析

达成上述目标的标志是:

1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．

2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．

3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．

三、教学问题诊断分析

1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。

破解方法：在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。

2.解析几何的学习对运算能力的要求颇高.对学生而言，代数运算是主要“拦路虎”之一。解题过程中，许多学生都是因为不能顺利完成代数运算而导致失败.

破解方法：把握双曲线这个单元运算的特点，本单元的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以先用几何眼光观察，分析清楚几何图形的要素及其基本关系，再用代数语言表达，而且在运算过程中时刻注意利用图形的几何特征及图形间的关系来简化运算.在本单元教学中，提高运算能力不能仅从代数角度人手，还要努力提高学生的几何图形分析能力，即是要在落实数形结合思想上下功夫.

本单元教学难点：双曲线的形成以及渐近线的发现.

四、教学支持条件分析

1.帮助学生深人理解双曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究双曲线的几何性质，并能解决有一实际应

用问题，通过解题感悟解析几何中蕴含的数学思想.教学中应注意教材例题的的教学功能，使学生认识到认真解答这些题目的重要性，必要时可以对有关题目进行适当的变式拓展，使利用坐标法研究几何问题具有程序性和普适性.

2.硬件支持是导学案和信息技术作图软件，如果是pad智慧课堂更好.

五、课时分配设计

本单元共3课时，具体分配如下：

第1课时，双曲线及其标准方程

第2课时，双曲线的简单几何性质（1）

第2课时，双曲线的简单几何性质（2）

六、课时教学设计

第一课时双曲线及其标准方程

（一）教学内容：双曲线及其标准方程

（二）教学目标

1.掌握双曲线的标准方程及其求法

2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题

3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分

（三）教学重点及难点 1.重点

用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 2.难点

双曲线的标准方程及其求法. （四）教学过程

情景导入：双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

问题1：我们知道，平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆，那么平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？

师生活动：（1）教师利用信息技术作图展示，让学生观察交点的轨迹，抽象出双曲线的概念

12121212如图，在直线上取两个定点,，是直线上的动点。在平面内，取定点,，以点为圆心、线段为半径作圆，在以为圆心、线段为半径作圆。

我们知道，当点在线段上运动时，如果＜,那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果＞，两圆不相交，不存在交点轨迹。

l A B P l F F F PA F PB

P

AB F F AB M F F AB

12（2）教师追问：如图，在＞的条件下，让点在线段外运动，

这时动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？

F F AB P AB M M

（3）学生观察思考后回答，教师补充完善双曲线概念，学生填写到学案上

（4）教师追问：在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<12|F F |,则点的轨迹是怎样的?让学生观察动态图形，得出结论，进而强调双曲线中a>c

结论:①当2a 等于|12F F |时,动点的轨迹是以12F F 、为端点的两条方向相反的射线(包括端点). ②当2a 大于|12F F |时,动点的轨迹不存在.

③当2a 等于零时,动点轨迹为线段12F F 的垂直平分线.

设计意图：通过实际问题，引导学生类比思考，引出双曲线的定义。发展学生数学抽象，直观想象的核心素养。

问题2：类比求椭圆标准方程的过程，你能建立适当的坐标系，得出双曲线的方程吗？

师生活动：（1）学生在学案上作答，教师巡视查看情况；先做完的学生提交自己的过程展示，师生共同评价.

以F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，此时双曲线的焦点分别为F1（−c,0）,F2（c,0）

设P(x,y)是双曲线上一点，则||PF1|−|PF2||=2a,

因为|PF1|=√(x+c)2+y2,|PF2|=√(x−c)2+y2,

所以√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2=±2a①

由①得2222

√(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2=±2a整理得√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2=±2c

a

x.②

且②与①右边同时取正号或负号，①+ ②整理得√(x+c)2+y2=±(a+c

a

x)③

将③式平方再整理得c 2−a2

a2

x2−y2=c2−a2④因为c>a>0，所以c2−a2>0

设c2−a2=b2且b>0,则④可化为x2

a2−y2

b2

=1(a>0，b>0)

步骤程序化：建立直角坐标系→写出满足条件的点的集合→转化为代数方程→化简整理为与椭圆标椎方程相似的形式→出现b2→得双曲线的标椎方程

（2）教师追问：你能在y轴上找到一点B，使|OB|=b吗？学生在图形中探讨后回答，

教师点评

（3）教师追问：若以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平

面直角坐标系，如图所示，此时；双曲线的标准方程是什么？学生回答后，教师强

调与第一个方程的关系，使学生理解它们之间的内在联系.学生填写学案上的表格，

总结双曲线的两种标椎方程：

F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)

设计意图：类比椭圆的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程。发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养.

问题3：你能结合椭圆与双曲线的定义和标椎方程，找到它们有哪些相同和不同吗？

师生活动：（1）学生填写导学案表格，教师强调①a,b,c三个字母的关系，椭圆中，a是“老大”，双曲线中，c是“老大”，②如何由方程判断焦点的位置

（2）教师可以随机举例，由方程求焦点坐标的小问题，让学生快速回答，例如：求下列曲线的焦点坐标

①x 2

20−y2

16

=1.②y2

20

−x2

16

=1.③x2

20

+y2

16

=1.④y2

20

+x2

16

=1.

设计意图：与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分,发展类比思维.问题4：你能根据所给条件，求出对应的双曲线的标准方程吗？

师生活动：【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点在x轴上,a=2√5,经过点A(-5,2);

(2)经过两点A(-7,-6√2),B(2√7,3).

（1）教师点拨：第一问设双曲线方程为

x 2

a 2

−

y 2b 2

=1(a>0,b>0),代入点的坐标,解方程即可得到；第二问可设双

曲线方程为mx 2

-ny 2

=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到. 学生独立做到学案上，做完后展示答案.

解:(1)设双曲线方程为x 2

a 2−y 2

b 2=1(a>0,b>0),则a=2√5,25

a 2−4

b 2=1,解得b 2=16,则双曲线的标准方程为x 2

20−y 2

16=1. (2)设双曲线方程为mx 2-ny 2

=1,则有{49m -72n =1,28m -9n =1,解得{m =1

25,n =175,

则双曲线的标准方程为x 225−y 275=1. （2）教师点评后，总结一般方法：求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a ,b 的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx 2

+ny 2

=1(mn<0),通过解方程组即可确定m ,n ,避免了讨论,从而简化求解过程. （3）跟踪训练，学生在学案上迅速作答

【跟踪训练1】 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)焦点在x 轴上,经过点P (4,-2)和点Q (2√6,2√2); (2)过点P (3,15

4

),Q (-163

,5)且焦点在坐标轴上.

设计意图：通过典例解析，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法，跟踪训练使学生尽快掌握求双曲线的标准方程的方法，检测学生的计算能力. 问题5：对于下面的实际问题 ，你能利用今天学习的知识解决吗？

【例2】已知,两地相距800，在地听到爆炸声比在地晚2，

且声速为340m /,求炮弹爆炸点的轨迹方程。

A B m A B s s

师生活动：（1）教师用ppt 展示例题，画图分析后，学生在学案上作答，教师点评，强调这里是双曲线的一支，方程后面必须加上x 的范围

-=⨯=======-=-=≥-

=≥2222

2

解：建立平面直角坐标系，使,两点在上，并且原点与线段的中点重合。设炮弹爆炸点的坐标为（,），则3402680即2680,340又800，所以2800，

400,44400

因为680＞0所以点的轨迹是双曲线的右支，因此340

所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为

1(340)

115600

44400

A B x AB P x y PA PB a a AB c c b c a PA PB P x x y x

（2）教师点评完后，如果课堂时间合适，让学生立刻做跟踪训练2，根据学生读题的情况提示

【跟踪训练2*】“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A ,B ,C ),A 在B 的正东方向,相距6千米,C 在B 的北偏西30°方向,相距4千米,P 为航天员着陆点.某一时刻,A 接收到P 的求救信号,由于B ,C 两地比A 距P 远,在此4秒后,B ,C 两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A 处发现P 的方位角. 解:因为|PC|=|PB|,所以P 在线段BC 的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|, 所以P 在以A ,B 为焦点的双曲线的右支上.

以线段AB 的中点为坐标原点,AB 的垂直平分线所在直线为y 轴,正东方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.则A (3,0),B (-3,0),C (-5,2√3). 所以双曲线方程为x 2

4−

y 25

=1(x>2),BC 的垂直平分线方程为x-√3y+7=0.

联立两方程解得x=8(舍负),y=5√3, 所以P (8,5√3),k P A =tan ∠P Ax=√3,所以∠P Ax=60°, 所以P 点在A 点的北偏东30°方向.

设计意图：通过此类例题，实现用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题的教学目标.提升学生数学建模能力，发展学生数学建模，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 问题6：本节课你学习到了什么知识？数学思想方法？

师生活动: 教师引导学生回顾本节课学习的内容，在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，进一

步引导学生以思维导图的形式总结本节课

设计意图:一方面引导学生反思本节课的重点，另一方面教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”.

（五）目标检测设计

方式一：一张小卷子，当堂检测，限时训练，带*的题目根据实际情况选用，有线上互动的可以学生直接提交评价

1.已知两定点F

1(-5,0),F

2

(5,0),动点P满足|PF

1

|-|PF

2

|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为( D)

A.双曲线和一条直线

B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条直线

D.双曲线的一支和一条射线

2.已知双曲线x2

a2−y2

b2

=1(a>0,b>0),F

1

,F

2

为其两个焦点,若过焦点F

1

的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长

|AB|=m,则△ABF

2

的周长为(C)

A.4a

B.4a-m

C.4a+2m

D.4a-2m

3.已知方程x2

1+m +y2

m-2

=1表示双曲线,则m的取值范围是(D)

A.(-1,+∞)

B.(2,+∞)

C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

D.(-1,2)

4*. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=1

2

,

tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双

曲线方程.

5*.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;

(2)以椭圆x2

8+y2

5

=1长轴的端点为焦点,且经过点(3,√10);

(3)a=b,经过点(3,-1).

设计意图：当堂检测学生对这节课的学习情况和对知识的理解程度，便于下一节的教学设计.方式二（布置作业）：

1.今日积累（总结回顾课堂内容）

2.教科书第121页练习第3,4题写到作业本上.

3.自学下一节：双曲线的几何性质

设计意图:一方面引导学生反思本节课的重点，另一方面教给学生如何总结，如何自学，为下节课“以学定教”做准备.

双曲线及其标准方程(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册

第二单元双曲线 一、内容和内容解析 （一）内容 双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质 本单元内容结构图如下： （二）内容解析 1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题. 2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比. 3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用. 4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.

5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质 二、目标及其解析 （一）单元目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． 4．理解数形结合思想． （二）目标解析 达成上述目标的标志是: 1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程． 2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质． 3．能解决与双曲线有关的简单应用问题． 三、教学问题诊断分析 1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。 破解方法：在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。

2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程学案含解析新人教B版

2．6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 必备知识·自主学习 导思 1.双曲线的定义是什么？ 2．双曲线的标准方程有哪些？ 1.双曲线的定义 如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且2a ＜|F 1F 2|，则平面上满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F 1，F 2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F 1F 2|称为双曲线的焦距． (1)如何理解“绝对值”？ 提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支． (2)把“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”或常数为0，结果如何？ 提示：①若将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F 1F 2|”改为“大于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x 轴 y 轴 标准方程 x 2a 2 －y 2 b 2 =1 (a>0,b>0) y 2 a 2 －x 2 b 2 ＝1 (a>0,b>0) 图形

焦点坐标 F 1(-c,0),F 2(c,0) F 1(0,-c),F 2(0,c) a,b,c 的关系式 a 2 +b 2 =c 2 如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？ 提示：焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．( ) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( ) (3)双曲线x 2 a 2 －y 2 b 2 ＝1的焦点在x 轴上，且a>b.( ) 提示：(1)×.双曲线中b 2＝c 2－a 2，椭圆中b 2＝a 2－c 2. (2)×.因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C 点的轨迹是两条射线． (3)×.在双曲线x 2 a 2 －y 2 b 2 ＝1中，焦点在x 轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b. 2．(教材例题改编)设动点M 到点A ()0，－5 的距离与它到点B ()0，5 的距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x 2 9 －y 2 16 ＝1 B ．y 2 9 －x 2 16 ＝1 C ．y 2 9 －x 2 16 ＝1()y>0 D ．x 2 9 －y 2 16 ＝1()x>0 【解析】选C.因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|， 所以M 点轨迹是焦点在y 轴上的双曲线的上半支， 其中a ＝3，c ＝5，所以b 2＝ c 2－a 2 ＝4， 所以M 点轨迹方程为y 29 －x 2 16 ＝1() y>0 . 3．已知圆C ：x 2＋y 2 －6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________. 【解析】令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点．

新教材人教A版高中数学选择性必修一教案设计-双曲线的简单几何性质

3.2.2双曲线的简单几何性质 学习目标核心素养 1.掌握双曲线的简单几 何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线 及离心率的意义．(难点) 1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想 象、数学运算核心素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置 关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑 推理核心素养. (1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质． (2)用多媒体展示几组焦点在x轴、y轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美． (3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？ 1．双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a＞0，b＞0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a＞0，b＞0)图形 性 质 范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a) 轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率e＝ c a>1

渐近线 y ＝± b a x y ＝± a b x 思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ [提示] 渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同． 2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2. 3．直线与双曲线的位置关系 将y ＝kx ＋m 与x 2a 2－y 2 b 2＝1联立消去y 得一元方程(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2(m 2＋b 2)＝0. Δ的取值 位置关系 交点个数 k ＝± b a 时 相交 只有一个交点 k ≠± b a 且Δ＞0 有两个交点 k ≠± b a 且Δ＝0 相切 只有一个交点 k ≠± b a 且Δ＜0 相离 没有公共点 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 2 4＝1的焦点在y 轴上． ( ) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条． ( ) [提示] (1)× (2)√ (3)× 2．若等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A ．y 218－x 2 18＝1 B ．x 218－y 2 18＝1

人教版高中数学选择性必修第一册3.2.1 第一课时 双曲线及其标准方程 课件(共38张PPT)

人教版高中数学选择性必修第一册3.2.1 第一课时双曲线及其标准方程课件（共38 张PPT） (共38张PPT) 3．2双曲线 3．2.1双曲线及其标准方程 第一课时双曲线及其标准方程(1) [学习目标] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 必备知识自主探究 关键能力互动探究 课时作业巩固提升 问题1双曲线的定义中有怎样的限制条件？ 问题2双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有怎样的区别与联系？[预习自测] 1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为() A．椭圆B．两条射线

C．双曲线D．线段 解析：||MF1|－|MF2||＝4，且|F1F2|＝6，又4|F1F2|，点的轨迹为． 7．若|MF1|－|MF2|＝2a,0<2a<|F1F2|，则点M的轨迹为． 两条射线 不存在 双曲线的一支 [例1](1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹是 () A．一条射线B．双曲线右支 C．双曲线D．双曲线左支 分析：利用定义，2a＝|F1F2|时动点P的轨迹为射线，又少“绝对值”，故只有一条． [解析]因为|PF1|－|PF2|＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是一条射线． A (2)已知平面内的两点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||MF1|－|MF2||＝1的点M的轨迹是() A．椭圆B．双曲线 C．一条线段D．两条射线

分析：利用定义，0<2a<|F1F2|时，动点M轨迹为双曲线． [解析]由题意得||MF1|－|MF2||＝1，且|F1F2|＝4，因为1<4，符合双曲线的定义，所以点M的轨迹是双曲线． B 在双曲线的定义中，注意三个关键点：(1)在平面内；(2)差的绝对值；(3)存在定值且定值小于两定点间距离．在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线． 1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B 解析：根据双曲线的定义，乙甲，但甲乙，只有当2a<|F1F2|，且a≠0时，动点M的轨迹是双曲线． 双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴x轴y轴 焦点坐标_____________ _________________ a，b，c的关系式_____________ (－c,0)，(c,0)

(完整版)双曲线及其标准方程教学设计方案

三、学习者特征分析 高一学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的数形结合能力方面尚需进一步培养.通过前面的学习，学生已经掌握了椭圆的定义和基本性质.多数学生对数学学习有一定的兴趣，因此能够积极主动参与自主学习，合作探究，讨论交流，但由于学生各方面能力发展不够均衡，仍有小部分学生这方面能力需要加强.教学中我采用模拟图像、制作科学小视频、自主学习、合作探究、讨论交流，分组展示、质疑的教法和学法，尽可能的增加学生的课堂参与程度，真正做到学生是课堂的主人，教师是课堂的组织者、设计者、引导者。课前教师注意教学活动的设计，备好各层次学生可能出现的问题，课堂上认真关注学生的活动，将时间、空间还给学生，注重师生交往的有效化，做好适时引导点拨。另外，课上采用多媒体辅助教学，增强课堂直观性，增加课堂容量。 四、教学过程 探究点1 双曲线的定义 问题1：椭圆的定义？： 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.； 问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？ 即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹 ”是什么？ 看图分析动点M 满足的条件： ①如图(A)， a F F MF MF 2221==- ②如图(B)， a F F MF MF 2112==-即a MF MF 221-=- 由①②可得： a MF MF 221=-（非零常数） 上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支. 双曲线定义 平面内与两个定点21F F ，的距离的差的绝对值等于非零常数（小 于21F F )的点的轨迹叫做双曲线.

第2章 2.6.1 双曲线的标准方程-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义

2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程 学 习目标核心素养 1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解 决实际问题．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养． 2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养． 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容． 1．双曲线定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． 思考1：双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？ [提示]若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P 的轨迹不存在．

思考2：定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？[提示]此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴y轴 标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a＞0，b＞0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式c2＝a2＋b2 [提示]双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．思考4：如何确定双曲线标准方程的类型？ [提示]焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． () (2)在双曲线标准方程x2 a2－ y2 b2＝1中，a>0，b>0且a≠b．() (3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b．() [答案](1)×(2)×(3)× [提示](1)×差的绝对值是常数，且0＜2a＜|F1F2|才是双曲线． (2)×当a＝b时，方程也表示双曲线，故该说法错误． (3)×在双曲线中a与b的大小关系不确定． 2．双曲线x2 15－y 2＝1的焦距为()

双曲线的标准方程 教学设计-高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册

《双曲线的标准方程》的教学设计学校 教学目标 知识与技能：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程. 过程与方法：通过定义及标准方程的探究，使学生掌握类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力.培养学生的核心素养。情感态度价值观：学生亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的严谨性，培养学生对待知识的科学态度，勇于探索和创新的精神。 教材分析 1、教材的地位与作用 本节课选自人教b版高中数学选修2-1第二章第三节。双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一.与椭圆相比，双曲线知识更加丰富、方法更加灵活，能力要求更高.学习双曲线不仅是对椭圆知识和方法的巩固、深化和提高.为进一步学习抛物线，奠定良好的基础.双曲线是一种重要的模型，在日常生产、生活和科学技术上应用广泛。因此，本节课十分重要，不仅知识上具有承前启后的作用，而且还具备现实意义。 2.设计理念 新课标提出在数学教学中，应该培养学生的数学抽象、数学建模、数学逻辑、逻辑推理、直观想象、数据分析六大核心素养。所以本节课课前我利用班级优化大师推送微课视频和习题，让学生预习并做简单课前测试，学生发现问题带着困惑走进课堂，更有针对性地进行学习。课上我借助微视频多媒体技术进行引入，创造问题情境，让学生们在实际问题中抽象出数学模型，培养学生的数学抽象和建模能力。 学习者 分析 本节课之前学生已经学习了直线、圆和椭圆，对曲线和方程的思想有一定的理解，对坐标法解决问题有了认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，能利用数形结合、类比推理的思想方法研究圆锥曲线. 高二学生有一定的分析问题、解决问题的能力，具备小组交流合作协同学习能力.

高中数学_双曲线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

人教A版选择性必修第一册《双曲线及其标准方程》 教学设计 一.教学目标 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 5.提高数学能力：通过类比椭圆，发现和提出数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作探究论证数学结论。 6.发展数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养。 二、教学的重点和难点 重点：双曲线的几何特征，双曲线的标准方程，坐标化的基本思想。难点：双曲线形成，标准方程的推导与化简，坐标法的应用。 三、教法、学法分析 根据这节课的特点和学生的认知水平，本节课的教法与学法定为：引导发现,问题串教学, 由浅入深、层层递进，将教材还原成生动活 泼的思维创造活动，启发学生积极思考，勇于探索，从而使学生产生浓厚的学习兴趣，体现学生的主体地位.在学法的选择上，采用自主探究法、实验操作、观察发现法、合作交流法、归纳总结法. 四、教学过程 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：

导入 实验探究如图，A、B是两个定点，P在AB线段外 运动，在平面内取定点F1，F2，以F1为 圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为 圆心、线段PB为半径作圆，M为两圆交 点。 |F1F2| > |AB| 问（1）若｜F1 F2|＜｜AB|, 当点P在 线段AB上运动时，那么两圆相交，其交 点M的轨迹是什么？ 通过观察 几何画板 演示，观 察：哪些 量不变？ 动点在运 动过程中 满足什么 几何条 件？ 判断出动 点轨迹为 椭圆. 通过几何画 板演示，为椭圆、 双曲线之间的内 在关系留下伏笔 学生观察： （2）若｜F1 F2|＞｜AB|. 让点P在线段AB外运动， 问：这时交点M满足什么几何条件？ 两圆的交点M的轨迹是什么形状？ 通过观察 几何画板 演示， 哪些量不 变？ 动点在运 引导学生类比椭 圆的生成过程思 考双曲线的生成 过程，进而找到 双曲线满足的几 何条件，培养学 生的数学抽象能 力.

22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--3.2.1 双曲线及其标准方程

3.2.1 双曲线及其标准方程 课标解读课标要求素养要求 1.了解双曲线的定义和标准方程. 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简 单的实际问题. 3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分. 1.数学抽象——能够抽象出双曲线的定义. 2.逻辑推理——能运用定义推导出双曲线的 标准方程. 3.数学运算——能够掌握双曲线标准方程的 求法. 4.数学建模——能运用双曲线解决实际问题. 自主学习·必备知识 教材研习 教材原句 1.双曲线的定义： 一般地，把平面内与两个定点F1,F2，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的①焦距. 2.双曲线的标准方程： 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 ②x 2 a2−y2 b2 =1(a>0,b>0)③y2 a2 −x2 b2 =1(a>0,b>0) 焦点F1(−c,0),F2(c,0)F1(0,−c),F2(0,c) a,b,c的关系④c2=a2+b2 自主思考 1.已知F1(−5,0),F2(5,0)，动点P满足|PF1|−|PF2|=8，则P点的轨迹是什么？ 提示因为F1F2|=10>8，所以P点的轨迹是双曲线的一支. 2.已知F1(−5,0)，F2(5,0)，动点P满足PF1|−|PF2|=0，则动点P的轨迹是什么？ 提示此时动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 3.焦点在x轴上的双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有什么不同？ 提示①形式不同，双曲线等号的右边是“-”，而椭圆是“+”；②标注不同，双曲线标注a> 0,b>0，椭圆标注的是a>b>0；③a,b,c的关系不同，在双曲线中c2=a2+b2，而椭圆中a2=b2+c2. 名师点睛 1.双曲线定义中的限制条件 若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线（包括端点）.若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则此时动点的轨迹不存在. 2.双曲线中一些常用的结论

抛物线(单元教学设计)高中数学人教A版2019选择性必修第一册

“抛物线”单元教学设计 一、内容和内容解析 （一）内容 1.抛物线及其标准方程 2.抛物线的简单几何性质 本单元内容结构图如下： 抛物线的几何情境 抛物线的几何特征 抛物线的标准方程抛物线的实际应用 抛物线的简单几何性质 范围、对称性、 顶点、离心率 （二）内容解析 内容本质：本单元是在抛物线的几何情境中，抽象出抛物线的几何特征，然后建立其标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决简单的实际问题. 蕴含的思想与方法：本单元最重要的、最根本的数学思想方法是数形结合与坐标法.当然，在解决问题的过程中，数形结合、转化与化归、分类整合等思想方法也发挥着重要作用.

知识点上下位关系：本单元是在学习了直线与圆的方程、椭圆、双曲线的基础上学习的，特别是抛物线与椭圆、双曲线同属圆锥曲线，其研究路径与椭圆、双曲线大致相同，是椭圆与双曲线知识的延续. 育人价值：本单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严密精准地分析问题与解决问题，有助于发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等方面的素养. 教学重点：抛物线的概念、标准方程与简单几何性质. 二、目标和目标分析 （一）单元目标 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.了解抛物线的简单应用. （二）目标解析 达成上述目标的标志是： 1.通过实例（抛物运动轨迹、探照灯反射镜面、卫星接收天线），知道抛物线在生产生活中有广泛应用. 2.通过实际绘制抛物线的过程认识抛物线的几何特征，给出椭圆的定义.能类比椭圆、双曲线的方法，通过建立适当的坐标系，得到抛物线的标准方程.能在直观认识抛物线的图形特点的基础上，用抛物线的标准方程推导出抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.能用抛物线的定义、标准方程及简

双曲线及其标准方程(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)

3.2.1双曲线及其标准方程 教学设计 本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排： 第三章圆锥曲线的方程 课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质 所在位置教材第118页教材第121页 新教材 内容 分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用 拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义， 感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系， 建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何 性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握 标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关 系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与 方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具 有的程序化、普适性特点。 核心素养培 养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运 算的核心素养；通过对双曲线的定义理解， 培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运 算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关 系的判定，培养逻辑推理的核心素养。 教学主线双曲线的标准方程、几何性质 学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养． 2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.

重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程 难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题 （一）新知导入 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 （二）双曲线及其标准方程 知识点一双曲线的定义 【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． ◆双曲线的定义

2019-2020年高中数学(北师大版)选修1-1教案：第2章 教材解读：双曲线

2019-2020年高中数学（北师大版）选修1-1教案：第2章教材解 读：双曲线 一、知识精讲 1、正确理解双曲线的定义 一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a<|F1F2|，因为当2a=|F1F2|时，其轨迹是以F1和F2为端点的两条射线，而当2a> |F1F2|时，其轨迹不存在。 2、准确把握双曲线的标准方程 （1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。 （2）两种双曲线的异同：①相同点：形状、大小相同，都有a>0，b＞0，c=a+b； ②不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。 （3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上标准方程中x项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y项的系数为正。 （4）与椭圆标准方程的不同： ①双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“－”号； ②双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其判断方法不同：对于双曲线和来说，如果x 项为正的，则焦点在x轴上；x项的分母是a；如果y项为正的，则焦点在y轴上；y项的分母是a，a不一定大于b，这和椭圆有明显的不同。 ③双曲线有两个顶点，离心率e>1；而椭圆有四个顶点，离心率e<1；椭圆标准方程中a=b+ c，而双曲线中c=a+b。 3、对双曲线的简单几何性质的加强理解 （1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上；椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据。同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当e 从接近1逐渐增大时，的值就从接近于0逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大。 （2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。 因为y=±x±＝0－＝0，所以把标准方程－＝1（a>0，b＞0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。

3.3.1抛物线及其标准方程教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

抛物线的简单几何性质 抛物线的实际应用 抛物线的标准方程 抛物线的几何特征与概念 范围、对称性、顶点、 离心率 3.3.1抛物线及其标准方程 教学设计 抛物线的研究是类比椭圆、双曲线的研究方法进行的.先抽象抛物线的几何特征，然后通过坐标法建立它的标准方程，再利用方程研究它的几何性质，并利用这些性质解决简单的实际问题.整体研究框架如下： 通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法. 二、学情分析 抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 三、教学目标 1.能通过实验探究 ，理解抛物线的定义； 2.类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并解决简单的问题； 3.体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养. 四、教学重难点 1.理解抛物线定义 2.推导抛物线的标准方程 五、教学过程

1导入新课 世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜 “中国天眼”--500m口径抛物面射电望远镜的轴截 面是一个开口向上的抛物线的一部分。 2抛物线定义的形成 2.1尺规作图，观察抛物线的形成过程 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上， 一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的 一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等 于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一 点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把 绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线． 问题1：你能发现点P满足的几何条件吗？ 设计意图：类比椭圆和双曲线的学习，制定研究路线图。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。 2.2几何画板演示，观察抛物线的特征 探究：动点 M到定点 F的距离与动点 M到定直线 l （不过点 F）的距离相等时，点 M的轨迹是什么？ ，分别表示什么呢？ 问题2：MH MF 设计意图：引导学生关注动点到定点与到定直线的距离，从而可以用几何特征表述抛物线的定义. 问题3：说到抛物线，你能联想到哪些抛物线形状的图形呢？ 设计意图：让学生联想生活、科研和生产中的抛物线，并引导学生联想二次函数，产生思维冲突. 3类比探究，建立方程 问题4：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 【活动预设】 （1）分组合作探究；

高中数学人教A版选择性必修第一册第三章探究与发现：双曲线的渐近线、二次函数与抛物线-教学设计

问题1我们利用信息技术直观给出了 b y x a =±是双曲线 22 22 1 x y a b -= 的渐近线，如何证明呢？ 追问1如何理解渐近线？我们学过的哪些图像中存在渐近现象呢？

反比例函数、指数函数、对数函数甚至正切函数的图像均存在 渐近现象。反比例函数在每一象限内是递减的，当x 正无穷大时，y 恒正逐渐接近0；对于指数函数y =2x ，当x 接近负无穷时，y 值恒正逐渐接近0. 它们的共性是，几何角度，曲线图像与渐近线逐渐接近，永不相交；代数角度，当x 趋近于某个数，一般为无穷时，y 接近某个定值，但y 取不到这个值。 追问2 如何研究双曲线的渐近线呢？ 在第一象限内，x 、y 均为正，所以方程可变形为 2 2b y x a a = -，这样就可以直观的看出x 与y 变化趋势的相关性了。 追问3 如何衡量一条直线与一条曲线的接近程度呢？ 要通过距离来衡量。在直线方程的学习过程中，涉及到 了几种重要的距离公式. 以指数函数为例，只需要 取图像上任意一点，研究该点到渐近线的距离就可以了。由于特殊性，可用点的纵坐标的大小来衡量接近的程度. 方案1：

在双曲线第一象限的图像上取点M ，作MQ 垂直于y = b a x ，用MQ 的长度来 表示双曲线与直线的距离。需用到点到直线的距离公式。 设M 横坐标为x 0,从减少变量的角度来考虑，代入双曲线方程得M 的纵坐标是 220b x a a -而后利用点到直线的距离公式可得：22 002 2 ||bx b x a MQ a b --= +. 需要研究函数22(0)y x x a x =-->的单调性.变形为： 22222 2 22)()x x a x x a x x a x x a --+---=+-（2 22 a x x a = +- 分子的部分是定值，分母是递增的，因此原函数是单调递减的。 当x 无穷大时，分母无限大，y 值就无限小且趋于0.由于分子 不为0，所以y 取不到0. 当x 0无限变大时，对应M 向右无限运动时，MQ 无限变小趋于0，也就说明双曲线与直线越靠右越接近，但不能相交. 方案2： 利用纵向距离也可以值得研究。作MN 平行于渐近线交于N ，由于MN 与MQ 成定倍数关系，因此可以替代MQ 进行研究。

新教材2022版人教A版数学选择性必修第一册学案：3.2.1 双曲线及其标准方程(含解析)

3.2双曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 素养目标·定方向 课程标准学法解读 1．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境 中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推 导过程． 2．掌握双曲线的定义，标准方程及几何图形． 1．结合教材实例掌握双曲线的定义．(数学抽 象) 2．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用 待定系数法求双曲线的标准方程．(数学运算) 3．通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推 导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数 学运算、逻辑推理) 必备知识·探新知 知识点1 双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__绝对值__等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}． 3．焦点：两个__定点F1，F2__． 4．焦距：__两焦点间__的距离，表示为|F1F2|． 思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a＜|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ 提示：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨 迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)点M在双曲线的右支上．

知识点2 双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 __x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)__ __y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)__ 焦点 __(－c,0)，(c,0)__ __(0，－c )，(0，c )__ a ， b ， c 的关系 c 2＝__a 2＋b 2__ 关键能力·攻重难 题型探究 题型一 双曲线定义的应用 典例1 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2 16 ＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离． (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． [分析] (1)直接利用定义求解． (2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|． [解析] (1)设|MF 1|＝16， 根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6， 即|MF 2|－16＝±6． 解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22． (2)由x 29－y 2 16＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5． 由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，

【新教材教案】3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线及其标准方程 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和 标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。 从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 重点：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 难点：双曲线的标准方程及其求法. 多媒体

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、 通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。究方法研究双曲线的有关问题。 我们知道，平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 121如图，在直线上取两个定点,，是直线上的动点。在平面内，取定点,，以点为圆心、线段为半径作圆，在以为圆心、线段为半径作圆。 l A B P l F F F PA F PB 12如图，在＞的条件下，让两圆的交点的轨迹是什么形状？ F F AB M 1.双曲线的定义

【新教材精创】3.2.2 双曲线的简单几何性质(2) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质 (2) 本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习双曲线的简单几何性质 学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点,是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定 细解析几何观念,提高学生的数学素质。 坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章, 运动变化 和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现, 重点:直线与双曲线的位置关系. 难点:直线与双曲线的位置关系. 多媒体

x≤-a或x≥a y∈R

例4．如图,双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分,已知塔的总高度为137.5m ,塔顶直径为90m ,塔的最小直径(喉部直径)为60m ,喉部标高112.5m ,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程（ 精确到1m ） 解:设双曲线的标准方程为 ()22 22 10,0x y a b a b -=>>,如图所示: AB 为喉部直径,故30a m =,故双曲线方程为 22 2 1900x y b -=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m , 其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=, 故()45,25M , 故 22 24525 1900b -=,所以2500b =, 故双曲线方程为 22 1900500 x y -=. 例5．已知点(,)M x y 到定点() 5,0F 的距离和它到定直线l:16 5 x = 的距离的比是 5 4 ,则点M 的轨迹方程为? 解:设点(,)M x y ,由题知 45 =MF d ,22(5)4 1655 x y x -+=-, 即2 2 2(5)16 1625()5 x y x -+= -.整理得: 221169x y -=.

人教A版高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程》教学设计新部编版

精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan 教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期] 任教课科： _____________ 任教年级： _____________ 任教老师： _____________ xx市实验学校

精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan 人教 A 版高中数学选修 1-1《双曲线及其标准方程》 教课方案 一设计思想： 本课为分析几何内容，充足表现认识析法的应用．学好观点是本课的关键，在协助媒体的采用上我选择了实物投影和课件共用．让学生疏组着手实 验，领会双曲线的图形形成，借助于几何画板再一次演示双曲线的形成，课 件表现图表类比，对照椭圆与双曲线的异同．本课将经过让学生着手演示， 动口表达，动脑编题等方式，充足调换学生的思想，形成以学生为主体的课 堂氛围． 二教材分析： 本内容选自人教 A 版一般高中课程标准实验教科书选修2-1第2章第3节双曲线的第一课时，双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的办理 方法是先学习椭圆，再学习双曲线，这充足考虑了密切联系知识系统和由易到难的教课要求，切合学生的学习，在新课程教材中持续保存，前面有椭圆 知识及学习方法的铺垫，后边有抛物线学习的综合增强，有益于学生掌握和 稳固． 本课的主要学习内容有：①研究轨迹（双曲线）②学习双曲线的观点③推导双曲线标准方程④学习标准方程的简单求法 三学情分析： 学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的相关问题及研究方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有近似性，知识的正迁徙作用可在本节课中充足 显示．也就是说，学生在经过先期分析几何的系统学习，已初步掌握认识析 法思想和分析研究的能力，学习本课已具备必定的基础．在学习过程，较椭 圆而言，从直观图形轨迹到抽象观点的形成，中间一些细节问题的办理要求 学生有更仔细入微的分析和更强的意会性，所以学生归纳起来有更高的难 度．特别是关于为何需要加绝对值， c 与 a 的有怎么样大小关系，为何是这样的等等．此外，与椭圆除了自己内容的差别以外，初中所学的“反比率