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双曲线方程知识点总结_公式总结 双曲线方程 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程： . ⑴①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或. ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为 如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑴直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

双曲线及其标准方程解答

2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点 在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”

高中数学双曲线公式总结大全

高中数学双曲线公式总结大全 圆锥曲线公式：椭圆 1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b² 2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b² 参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π) 圆锥曲线公式：双曲线 1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b². 2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b². 参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数) 圆锥曲线公式：抛物线 参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0 直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0) 离心率 椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。 圆锥曲线公式知识点总结 圆锥曲线椭圆双曲线抛物线 标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0) 范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞) y∈[-b,b] y∈R y∈R 对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)

双曲线中的四线一方程

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双曲线的简单几何性质

2．3.2 双曲线的简单几何性质 学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 知识点一 双曲线的范围、对称性 思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？ (2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 答案 (1)有限制，因为x 2 a 2≥1，即x 2≥a 2，所以x ≥a 或x ≤－a . (2)关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 梳理 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)，y ∈R .双曲线y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0)中要求x ∈R ，y ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)． (2)双曲线的对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为原点． 知识点二 双曲线的顶点 思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？ (2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？ 答案 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点． (2)是，只有两个顶点．双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上． 梳理 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(－a,0)，(a,0)；双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0) 的顶点坐标为(0，－a )，(0，a )． 知识点三 渐近线与离心率 (1)渐近线：直线y ＝±b a x 叫做双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线．

双曲线方程公式大全

双曲线方程公式大全 双曲线方程是形如 $y=ax^2+bx+c$ 的方程,其中 $a,b,c$ 是常数,$x$ 是双曲线上的点的坐标。以下是双曲线方程的一些常用公式: 1. 椭圆方程式:当 $b=0$ 时,双曲线方程退化为椭圆方程式 $y=ax^2$,其中 $a$ 是椭圆的长轴比例系数。 2. 双曲线的离心率:当 $b>0$ 时,双曲线的离心率 $e$ 是 $c/a$,当 $b<0$ 时,双曲线的离心率 $e$ 是 $c/a$。 3. 双曲线的离心率公式:当 $b>0$ 时,$e=frac{c}{a}+frac{b}{2a}$,当 $b<0$ 时,$e=frac{c}{a}-frac{b}{2a}$。 4. 双曲线的向量长度公式:当 $b>0$ 时,$L=frac{sqrt{1+4e^2}}{2ae}$,当 $b<0$ 时,$L=frac{sqrt{1-4e^2}}{2ae}$。 5. 双曲线的切线公式:当 $b=0$ 时,双曲线没有切线,但是可以定义一条平行于 $x$ 轴的切线,其斜率为 $-c/a$。 6. 双曲线的切线公式:当 $b>0$ 时,$y=ax^2$,当

$b<0$ 时,$y=-ax^2$。 7. 双曲线的顶点坐标公式:当 $b=0$ 时,双曲线的顶点坐标为$(x_0,y_0)$,当 $b>0$ 时,顶点坐标为 $(esqrt{b^2/4a},0)$,当$b<0$ 时,顶点坐标为 $(-esqrt{b^2/4a},0)$。 8. 双曲线的斜率公式:当 $b>0$ 时,$y_0=ax_0^2+bx$,当 $b<0$ 时,$y_0=-ax_0^2-bx$。 9. 双曲线的二阶导数公式:当 $y''(x)$ 存在 时,$y''(x)=2ax^3+2bx^2+2cx$,其中 $a,b,c$ 是常数。 10. 双曲线的阶乘公式:当 $b=0$ 时,$y=ax^2$,当 $b不等于0$ 时,$y=ax^2(1+(2b/a)x)$。 这些是双曲线方程的一些常用公式,但是还有很多其他的公式和数学方法可以用来求解双曲线。

双曲线知识点大全

双曲线知识点大全 双曲线知识点大全 一、概念 双曲线是一个经典的曲线图形，它是由一组不断扩张的线段形成的。从数学的角度来说，双曲线是一种函数图形，被广泛应用于航空、航天和现代物理学等领域。它具有很多独特的性质和应用，是数学中的一个重要研究方向。 二、基本特征 双曲线是一个非常特殊的曲线，它有很多独特的特性。以下是一些基本特征： 1. 双曲线可以看作是一条在平面上不断扩张的线段。它与圆、椭圆等图形不同，没有固定的中心。 2. 在双曲线上，每个点的曲率都是相同的。这表明双曲线具有一定的对称性。 3. 双曲线有两个对称轴，分别称为中心线和准线。这些对称轴可以帮助我们更好地理解和计算双曲线。

4. 双曲线的离心率是大于1的实数。这意味着双曲线在图形上的形态比椭圆更“长”一些。 三、基本方程式 双曲线的一般式方程为：x²/x² − x²/x² = 1 （x、x>0） 其中，x和x是两个常数，决定了双曲线的形状和大小。当x=x时，这个方程将会变成一个标准的双曲线方程。 四、基本图形 通过对双曲线的方程进行一定的调整，可以得到不同的双曲线图形。以下是一些基本的双曲线图形： 1. 标准双曲线：x²/x² − x²/x² = 1 （x=x） 2. 带有轴对称的双曲线：x²/x²− x²/x²= −1 3. 带有更加半轴对称的双曲线：x²/x² − x²/x² = x 四、双曲线的用途 双曲线在现代物理学和航空航天等领域有着广泛的应用。以下是一些例子：

1. 空气动力学：双曲线可以被用来描述空气中的运动方式，从而预测飞机和导弹等的飞行路线和速度。 2. 物理：双曲线可以被用来描述特殊相对论和广义相对论中的时空结构，从而帮助科学家更好地理解自然界。 3. 数学：双曲线是一种经典的函数图形，研究它不仅可以帮助我们更好地理解数学本身，还能发掘出很多新的数学应用。 总之，双曲线是一种非常特殊的曲线，具有很多独特的性质和应用。对于研究者来说，了解双曲线的知识点是非常有益的，它们将可以帮助我们更好地理解宇宙和自然界。

双曲线的标准方程

双曲线的标准方程 双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。 1. 双曲线的定义 双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。 双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。 因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。 2. 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程通常写作： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)

这里的a和b分别是椭圆的半轴。 对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到： -y^2/a^2 + x^2/b^2 = c 这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线： y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 这里的a和b是椭圆的半轴。 3. 双曲线的几何性质 双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示： (1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。 (2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。 (3) 双曲线对称于其两条渐近线。

(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。 (5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。 (6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。 4. 双曲线的代数性质 双曲线也有许多有趣的代数性质，例如： (1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。 (2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。 (3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。 (4) 不同的双曲线是正交的。 (5) 双曲线的面积公式为：

高中数学 教学设计 双曲线的定义和标准方程

双曲线的定义及标准方程 一、教材分析 1、教材的地位与作用 本内容选自人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1 ，新课程在必 修学完直线与圆后，把圆锥曲线放在了选修内容里，体现了新课程对知识掌握是螺旋式上升 的要求，也体现了圆锥曲线的重要性。双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为第二种 圆锥曲线来学习是教材一贯的传统安排．本节内容的学习前有椭圆的铺垫引领，后有抛物线 的巩固加强，在整个圆锥曲线的学习中占据承前启后的重要地位.它是学好圆锥曲线的关键 之一，能让学生进一步掌握求曲线方程的方法，并对后面由方程讨论曲线性质，从而借助形 和数的对应关系，形数互化来讨论问题产生积极的影响.这也是深化解析几何的基本思想和 方法，从而提升学生分析问题、解决问题的能力. 2、学生状况分析 学生经过解析几何的较系统学习，已初步掌握解析法和具备解析研究能力，并学习了椭 圆的相关知识，基本掌握了椭圆的相关问题及研究方法.本节在在数学思想和方法上没有新 内容，知识的正迁移作用可以在本节课中凸现．学生对解决双曲线一般问题已具备一定的基 础.另外，学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺 乏发现问题和提出问题的意识。 根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个 教学目标。 3、教学目标 （1）知识与技能：掌握双曲线定义、相关概念及标准方程，能根据简单条件写出双曲线 的标准方程. （2）过程与方法：经历双曲线轨迹的探索过程并与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学 生观察、类比、分析、运算、推理、归纳和探索等能力.通过求双曲线方程 提高学生进一步运用坐标法解决几何问题的能力. （3）情感态度与价值观：在类比探究、师生互动过程中激发学生的求知欲，培养学生积 极参与、相互交流的主体意识，养成学生敏锐发现问题并按规律及时解决 问题的严谨治学态度. 4、教学重点、难点 重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。 难点：双曲线标准方程的推导。 二、教学方法与教学手段 1、教学方法 《新课程标准》的理念是“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交

高中数学-双曲线知识点

高中数学-双曲线知识点 高中数学-双曲线知识点 双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1$（其中 $a>0,b>0$）或 $\frac{y^2}{b^2}- \frac{x^2}{a^2}=1$（其中 $a>0,b>0$）。双曲线是平面内与两 定点 $F_1,F_2$ 的距离的差的绝对值是常数（小于$|F_1F_2|$）的点$M$ 的轨迹。这两个定点$F_1,F_2$ 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注意：在 $|F_1F_2|>2a$ 的条件下，差的绝对值表示双曲 线的一支（含 $F_2$ 的一支）；当 $|F_1F_2|=2a$ 时，表示两 条射线；当 $|F_1F_2|<2a$ 时，不表示任何图形；当 $2a=|F_1F_2|$ 时，表示 $F_1F_2$ 线段的中垂线焦点坐标。 双曲线的焦点位置为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 或 $F_1(0,- c),F_2(0,c)$，其中 $c^2=a^2+b^2$，$c$ 最大，$a,b$ 不确定。 双曲线的顶点为$A_1(-a,0),A_2(a,0)$ 或$A_1(0,-a),A_2(0,a)$，双曲线只有两个顶点。

双曲线的实轴长为 $2a$，其中 $a$ 叫做半实轴长；虚轴长为 $2b$，其中 $b$ 叫做虚半轴长。双曲线的离心率为 $e=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}$，其中 $c>a$。$a$ 的取值范围为 $e>1$，离心率越大，双曲线的开口就越阔。 双曲线的准线方程为 $x=-\frac{c^2}{a}$ 或 $y=- \frac{c^2}{a}$，对应着左准线和上准线（相对于左焦点 $F_1(-c,0)$ 和上焦点 $F_1(0,-c)$）。双曲线的离心率也可以表示为 $\frac{d}{MF}=e$，其中 $d$ 表示到定直线 $l$ 的距离，$MF$ 表示到定点 $F$ 的距离。 相对于下焦点F2(c,0)，对应着右准线x=a2/c；对应着下准线M(x,y)，定义为y=a2l2/c。在双曲线ab的两顶点A1,A2上，过点M的两条直线分别为MF1=a+ex和MF2=a-ex，其中e为离心率，满足x^2/a^2-y^2/b^2=1.作Y轴的平行线经过顶点A1,A2的坐标为x=±a，作X轴的平行线经过顶点B1,B2的坐标为y=±b。这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程分别为y=±x或（xy=ab），这两条直线就是双曲线的渐近线。双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

双曲线知识点

双曲线：注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中 靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点 坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴

(完整)双曲线的方程及其几何性质

双曲线的标准方程及其几何性质 一、双曲线的标准方程及其几何性质。 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线. (3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。 （4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2。双曲线的标准方程：22 a x -22 b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线; 22a y -22b x =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2 的系数的符号，焦点在系 数正的那条轴上。 4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。 （1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．

（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线． (3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(1 1(y y k -+ ，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且 212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出． 二、例题选讲 例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲 线方程为 ( ） A ．x 2 －y 2 ＝1 B ．x 2 －y 2 ＝2 C ．x 2 －y 2 ＝错误! D ．x 2 －y 2 ＝错误! 解析：由题意，设双曲线方程为x 2 a 2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ， ∴错误!＝错误!，∴a 2 ＝2。∴双曲线方程为x 2 －y 2 ＝2. 答案：B 例2、根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程． （1)过点)2,3(-P ，离心率2 5= e ． （2）1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且︒=∠6021PF F ， 31221=∆F PF S ． 解:（1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下． 如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 由25 =e ，得4522=a c ． ① 由点)2,3(-P 在双曲线上，得 12922=-b a ．②， 又222c b a =+，由①、②得12 =a ,4 12=b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上,设122 22=-b y a x 为所求． 同理有4522=a c ，19222=-b a ,222c b a =+．解之，得 2 17 2- =b （不合,舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上,所求双曲线方程为1422=-y x ． (2）设双曲线方程为122 22=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a c e ，由双曲线的定义,得c a PF PF ==-221．由

高二数学选修1-1_教材解读：双曲线

双曲线 教材解读 一、知识精讲 1、正确理解双曲线的定义 一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a<|F 1F 2|，因为当2a=|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1和F 2为端点的两条射线，而当2a> |F 1F 2|时，其轨迹不存在。 2、准确把握双曲线的标准方程 （1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。 （2）两种双曲线的异同：①相同点：形状、大小相同，都有a>0，b ＞0，c 2=a 2+b 2； ②不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。 （3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的系数为正；双曲线的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的系数为正。 （4）与椭圆标准方程的不同： ①双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“－”号； ②双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其判断方法不同：对于双曲线 12222=-b y a x 和122 22=-b x a y 来说，如果x 2项为正的，则焦点在x 轴上；x 2项的分母是a 2；如果y 2项为正的，则焦点在y 轴上；y 2项的分母是a 2，a 不一定大于b ，这和椭圆有明显的不同。 ③双曲线有两个顶点，离心率e>1；而椭圆有四个顶点，离心率e<1；椭圆标准方程中a 2=b 2+ c 2，而双曲线中c 2=a 2+b 2。 3、 对双曲线的简单几何性质的加强理解 （1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上；椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据。同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个

双曲线的标准方程及性质

+ 2 热身练习 第十六讲 双曲线的标准方程及性质 1. 短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，焦点到椭圆的最短距离是 3，则满足条件的椭圆方程 是 ． x 2 2. 若方程 a 2 - 4 + y 2 = 3a 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 a 的取值范围 ． x 2 y 2 3. 已知 P 为椭圆 = 1 上一点， F 、F 为两焦点，若∠ = ，则∆F PF 的面积 为 ． 25 9 1 2 F 1PF 2 90 1 2 4. 已知 P 点在圆(x -1)2 为 ． + y 2 = 1 上移动， Q 点在椭圆 x 9 + y 2 4 = 1 上移动， 则 PQ 的最小值 5. 已知椭圆 x + y 9 4 = 1，过点 P (0，3)引直线l 顺次和椭圆交于 A 、 B （ A 在 B 、 P 之间）两点， → → 若 AP = λPB ，则λ的取值范围为 ． 知识梳理 2 2

例题解析 一、双曲线的定义及应用 在平面内到两定点F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫双曲线．这两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合P＝{M | | |MF1|-|MF2| | ＝2a}，|F1F2|＝2c. (3)坐标形式：| (x－c)2＋y2- (x＋c)2＋y2| ＝2a ①若a c ，则集合P 为空集．

1 2 1 2 x 2 【例 1】若 + y 2 = 1 - k -1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，那么它的半焦距 c 的取值范围是 （ ） A. (1， + ∞) B. （0，2） C. (2， + ∞) D. （1，2） 【例 2】已知 F 1 (-5, 0), F 2 (5, 0) ， 一曲线上的动点 P 到 F 1, F 2 距离之差为 6， 则双曲线的方程 为 . 【例 3】已知 B (-5,0), C (5,0) 是∆ABC 的两个顶点，且sin B - sin C = 3 sin A ，求顶点 A 的轨迹 5 方程. 【例 4】圆 C ：(x + 3)2 + y 2 = 1和圆 C ：(x - 3)2 + y 2 = 9 ，动圆 M 同时与圆C 及圆C 相外切， 求动圆圆心 M 的轨迹方程. 【例 5】双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 ，它的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，直线l 过 F 2 且与 直线 F F 的夹角为α，且tan α= 21 ， l 与线段 F F 的垂直平分线的交点为 P ，线段 PF 与双 1 2 2 1 2 2 曲线的交点为Q ，且 PQ : QF 2 = 2 :1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程. k - 2 3

双曲线及其标准方程

§ 9. 6双曲线 1.双曲线的概念 平面内动点P与两个定点Fi、F2(|FiF2|二2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c),则点P的轨迹叫_________________ •这两个定点叫双曲线的___________ ,两焦点间的距离叫_________ . 集合p 二{Ml |MFi| —|MF2|h 2a}, |FiF21二2c,其中a> c 为常数且a>0, c>0: ⑴当 ________ 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a二c时，P点的轨迹是________________ ; ⑶当 ________ 时，P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程X1 2 y J尹芦I (a>0, b>0) y2 x2 1訂孑| (a>0, b>0) 图形 性 质 范囤x> a 或x〈一a, y € R x€ R, y<— a 或y > a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点Ai (— a, 0), A2 (a, 0)Ai (0, — a), A2 (0, a) 渐近线7二土bx y 二土ax 1 双曲线中a, b, c的关系 双曲线屮有一个重要的RtA OAB(如右图)， 它的三边长分别是a. b、c.易见凸a2+ b2, c i 若记 / AOB 二0,贝U e二i二. a cos 0 2 双曲线的定义用代数式表示 为| —|MF川二2a,其中 2a< |FiF21,这里要注意两点： (1)距离Z差的绝对值. (2)2a<| FiF21.

这两点与椭圆的定义有本质的不同： ①当MFi|— |MF21 = 2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支;

双曲线及其标准方程

2．3.1双曲线及其标准方程 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题． 知识点一双曲线的定义 思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下 笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． 梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距； (2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在； (3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支； (4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线． 知识点二双曲线的标准方程 思考1双曲线的标准方程的推导过程是什么？ 答案(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)． (3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a.① (4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝ a2(c2－a2)． 令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)．② (5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略)