评课：直角坐标系中曲线的参数方程

评课：直角坐标系中曲线的参数方程

1、从教学目标上分析：

突出教学目标，教学手段（讨论式教学模式）是紧密围绕教学目标。

2、从处理教材上分析：

教材处理和教法选择上突出了重点，突破难点，抓住了关键。但在引入课题时，所举的例（糖衣运动的轨迹）不是很实际，让学生无法展开联想。

3、从教学程序上分析：

【1】看教学思路设计：

（1）、符合教学内容实际与学生实际。

（2）、教学设计是具备新教学特点—具备独创性。

（3）、教学思路、层次是清晰的。

（4）教师所作的教案设计在课堂上是有很好的效果。

【2】看课堂结构安排：

（1）、整个课堂是结构是严谨、内容之间环环相扣、过渡清晰自然。

（2）、时间分配是合理。让学生思考问题的效率高。

（3）、教师与学生互动的时间安排是合理的，及时的为学生点播，指引学生换另一种思维方式来解题。

（4）、学生的个人活动时间与学生集体活动时间安排是很得当。

（5）、优差生的时间分配是合理。

（6）、教师无脱离教学内容、做别的事情。

4、从教学手段和方法上分析：

（1）该班的学生都是数学基础比较好的学生，而本节课使用的教学手段和方法是合适的，也可以这样说是量体裁衣，优选活用。

（2）教学方法多样化：先以老师提问，学生思考，后回答，采用了学生的思维方式进行教学，为学生展现出了新的思维与方式方法来解题。

（3）教学方法是具有改革和创新---讨论式教学法。

（4）现代化教学（PPT）与现代化教育手段是相互呼应。

5、从教师教学的基本功分析：

（1）、看板书：板书设计科学合理，依纲扣本，条理性强，字迹工整美观，板画娴熟。

（2）、看教态：教师课堂上的教态庄重，富有感染力。仪表端庄，举止从容，态度热情。

（3）、看语言：上课期间讲解问题时准确清楚，说普通话，精当简炼，生动形象具有启发性。而且教学语言的语调要高低适宜，快慢适度，抑扬顿挫，富于变化。（4）、看操作：教师在运用教具时很熟练程度。

6、从教学效果上分析：

本节课，教师主要采用的是讨论式教学法，教师采用了的教学模式（讨论式教学模式），这样的教学方法符合了新教改的在课堂中“学生为主，教师为主”，这样教学效率高，学生思维活跃，气氛热烈。通过这样的教学方式让学生受益面大，同时使得不同程度的学生在原有基础上都有进步。在一节课当中教师轻松的让知识、能力、思想情操目标达成。在本节课当中，教师还设计了一分钟左右来让学生总结本节课的主要内容，更能促进学生的总结和思考问题的能力这样更能让教师及时的发现自己的缺点，得以及时纠正。本节效利用40分钟，学生学得轻松愉快，积极性高，当堂问题当堂解决，学生负担合理。

【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念

【高中数学】高中数学知识点：参数方程的概念参数方程的概念： 一般地，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确认的点m（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称作这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称作参变数，缩写参数。相对于参数方程而言，轻易得出点的座标间关系的方程叫作普通方程． 参数方程和普通方程的互化： 在参数方程与普通方程的互化中，必须并使x，y的值域范围保持一致．否则，互化就是不等价的。 （1）参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种： ①代入法：利用解方程的技巧谋出来参数t，然后代入解出参数； ②三角法：利用三角恒等式消去参数； ③整体窭元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上解出． (2)普通方程化为参数方程需要引入参数． 例如：①直线的普通方程就是2x-y+2=0，可以化成参数方程 ②在普通方程xy=1中，令 可以化成参数方程 关于参数的几点说明： (1)参数就是联系变数x，y的桥梁，可以就是一个存有物理意义或几何意义的变数，也可以就是没显著实际意义的变数． (2)同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不同． (3)在实际问题中要确认参数的值域范围． 参数方程的几种常用方法： 方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化成普通方程的方法需为题目的特点而的定，必须挑选恰当的方法消参，并必须特别注意由于消参后引发的范围管制消失而导致的增解问题．常用的消参技巧大加减消参，代人消参，平方消参等．

方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程，要熟记曲线参数方程的形式及参数的意义． 方法3参数方程问题的化解方法：化解参数方程的一个基本思路就是将其转变为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式展开解题． 方法4利用圆的渐开线的参数方程求点：利用参数方程求解点时只需将参数代入方程就可求得。 方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式 ，可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点代人参数方程求出r值再代人参数方程的表达式．

高中数学同步备课 曲线的参数方程 3参数方程和普通方程的互化

3．参数方程和普通方程的互化 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致． 把曲线的普通方程化为参数方程 [例1] 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)2 3＋(y －2)2 5＝1,x ＝3cos θ＋1,(θ为参数)； (2)x 2 －y ＋x －1＝0,x ＝t ＋1,(t 为参数)． [解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)2 3＋(y －2)2 5 ＝1,得y ＝2＋5sin θ. ∴⎩⎨ ⎧ x ＝3cos θ＋1， y ＝5sin θ＋2 (θ为参数)． 这就是所求的参数方程． (2)将x ＝t ＋1代入x 2 －y ＋x －1＝0, 得y ＝x 2 ＋x －1＝(t ＋1)2 ＋t ＋1－1＝t 2 ＋3t ＋1, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝t 2 ＋3t ＋1 (t 为参数)． 这就是所求的参数方程． 普通方程化为参数方程时的注意点 (1)选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同,得到的参数方程是不同的．如本例(2),若令x ＝tan θ(θ为参数),则参数方程 为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan θ，y ＝tan 2 θ＋tan θ－1 (θ为参数)．

1.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2＋y 2 －x ＝0的参数方程为 ______________． 解析：由题意得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14,圆心⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，0在x 轴上, 半径为1 2 , 则该圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋1 2 cos α，y ＝1 2sin α(α为参数),注意α为圆心角,θ为圆弧所对的圆周角, 则有α＝2θ,故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋1 2 cos 2θ，y ＝1 2sin 2θ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2 θ，y ＝sin θcos θ (θ为参数)． 答案：⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝cos 2 θ， y ＝sin θcos θ(θ为参数) 将参数方程化为普通方程 [例2] 将下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨ ⎧ x ＝1－t ， y ＝1＋2t (t 为参数)； (2)⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝5cos θy ＝4sin θ－1(θ为参数)． [思路点拨] (1)可采用代入法,由x ＝1－t 解出t,代入y 的表达式； (2)采用三角恒等变换求解． [解] (1)由x ＝1－t 得 t ＝1－x,将其代入y ＝1＋2t 得y ＝3－2x.因为t ≥0,所以x ＝1－t ≤1, 所以参数方程化为普通方程为y ＝3－2x(x≤1)． 方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)． (2)由⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝5cos θy ＝4sin θ－1 得⎩⎪⎨⎪ ⎧ cos θ＝x 5 ① sin θ＝y ＋1 4 ②, ①2 ＋②2 得x 225＋(y ＋1) 2 16 ＝1(－5≤x≤5,－5≤y≤3)． 将参数方程化为普通方程的三种方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数；

高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程)

数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ???x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)

数学中的参数方程与曲线绘制技巧

数学中的参数方程与曲线绘制技巧数学中的参数方程是描述曲线的一种常用方法，通过给定参数的取值范围来确定曲线上的点。在数学与工程学科中，参数方程被广泛应 用于曲线绘制、物理模型建立等领域。本文将介绍数学中的参数方程 以及相关的曲线绘制技巧。 一、参数方程的基本概念 参数方程是一种用参数来表示自变量与因变量之间关系的方程。一般形式为： x = f(t) y = g(t) 其中，x和y分别表示平面直角坐标系中的横纵坐标，t为参数，f(t)和g(t)为参数的函数。 二、参数方程的绘制方法 1. 确定参数范围 在进行曲线绘制之前，首先要确定参数t的取值范围。根据具体情况，选择使得曲线完整呈现的参数范围。 2. 计算曲线上的点坐标 根据给定的参数方程，计算参数t对应的x和y的值，得到曲线上的点坐标。

3. 绘制曲线 将计算得到的点依次连接起来，并绘制出曲线。可以使用数学绘图工具、图形软件或者编程语言来完成曲线绘制。 三、常见的参数方程和曲线类型 1. 抛物线 参数方程：x = t, y = t^2 2. 圆 参数方程：x = r*cos(t), y = r*sin(t) 3. 椭圆 参数方程：x = a*cos(t), y = b*sin(t) 4. 螺旋线 参数方程：x = cos(t)*t, y = sin(t)*t 5. 心形线 参数方程：x = 16*sin^3(t), y = 13*cos(t) - 5*cos(2*t) - 2*cos(3*t) - cos(4*t) 四、曲线绘制技巧 1. 参数范围选择

根据需要绘制的曲线形状，选择适当的参数取值范围，保证曲线的 完整性。 2. 曲线平滑处理 如果参数方程得到的曲线有锯齿状或较为粗糙，可以通过增加参数 的步长或者增加计算点的数量来获得更加平滑的曲线。 3. 参数方程与直角坐标系之间的转换 有些情况下，给定的曲线是由直角坐标系方程得到的，需要将其转 换为参数方程进行绘制。这时可以通过直角坐标与参数方程之间的关 系进行转换。 五、应用领域 参数方程在数学和科学工程领域有着广泛的应用。例如在物理模型 建立中，利用参数方程可以描述复杂的曲线和轨迹；在计算机图形学中，参数方程被用来绘制各种曲线和曲面；在工程仿真中，参数方程 可以描述物体的运动轨迹等等。 六、总结 参数方程是描述曲线的一种常用方法，通过给定参数的取值范围来 确定曲线上的点。参数方程在数学和工程学科中被广泛应用于曲线绘 制和物理模型建立等方面。掌握参数方程的概念和绘制技巧，对于深 入理解曲线的特性以及解决实际问题具有重要意义。通过对参数方程 与曲线绘制技巧的学习，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，拓展数学的应用领域。

评课：直角坐标系中曲线的参数方程

评课：直角坐标系中曲线的参数方程 1、从教学目标上分析： 突出教学目标，教学手段（讨论式教学模式）是紧密围绕教学目标。 2、从处理教材上分析： 教材处理和教法选择上突出了重点，突破难点，抓住了关键。但在引入课题时，所举的例（糖衣运动的轨迹）不是很实际，让学生无法展开联想。 3、从教学程序上分析： 【1】看教学思路设计： （1）、符合教学内容实际与学生实际。 （2）、教学设计是具备新教学特点—具备独创性。 （3）、教学思路、层次是清晰的。 （4）教师所作的教案设计在课堂上是有很好的效果。 【2】看课堂结构安排： （1）、整个课堂是结构是严谨、内容之间环环相扣、过渡清晰自然。 （2）、时间分配是合理。让学生思考问题的效率高。 （3）、教师与学生互动的时间安排是合理的，及时的为学生点播，指引学生换另一种思维方式来解题。 （4）、学生的个人活动时间与学生集体活动时间安排是很得当。 （5）、优差生的时间分配是合理。 （6）、教师无脱离教学内容、做别的事情。 4、从教学手段和方法上分析： （1）该班的学生都是数学基础比较好的学生，而本节课使用的教学手段和方法是合适的，也可以这样说是量体裁衣，优选活用。 （2）教学方法多样化：先以老师提问，学生思考，后回答，采用了学生的思维方式进行教学，为学生展现出了新的思维与方式方法来解题。 （3）教学方法是具有改革和创新---讨论式教学法。 （4）现代化教学（PPT）与现代化教育手段是相互呼应。 5、从教师教学的基本功分析： （1）、看板书：板书设计科学合理，依纲扣本，条理性强，字迹工整美观，板画娴熟。 （2）、看教态：教师课堂上的教态庄重，富有感染力。仪表端庄，举止从容，态度热情。 （3）、看语言：上课期间讲解问题时准确清楚，说普通话，精当简炼，生动形象具有启发性。而且教学语言的语调要高低适宜，快慢适度，抑扬顿挫，富于变化。（4）、看操作：教师在运用教具时很熟练程度。

坐标系与参数方程导学案

坐标系与参数方程 1 ．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π?? ??? , 则|CP | = ______. 2 ．在极坐标系中,点(2, 6 π )到直线ρsin θ=2的距离等于_________. 3 ．在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ =的直 线与曲线2 3 x t y t ?=??=??(t 为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 4 ．设曲线C 的参数方程为2 x t y t =??=?(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________ 5 ．在平面直角坐标系xoy 中,若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ??==???? =-=??为参数过椭圆()?为参数的右顶点,则常数 a 的值为________. 6．已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=??=? (β为参数)上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 7．平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为???=+=t y t x 21 (t 为参数),曲线C 的参数方程为???==θ θtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. 8.在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为 ,sin 4θρ=22)4 cos( =-π θρ(I)求1C 与2C 交点的极坐标; (II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312 x t a t R b y t ?=+? ∈?=+??为参数, 求,a b 的值. 9．在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为(2, )4 π , 直线的极坐标方程为cos()4 a π ρθ- =,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y α α =+??=?,(α为参数),试判断直线与圆的位置关 系. 10．已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+?? =+? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

极坐标与参数方程知识讲解

极坐标与参数方程知识 讲解 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

参数方程和极坐标系 一、 知识要点 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ??==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：

θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程 为参数）ααα(.sin ,cos 00? ??+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线： θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θ θec a y b x s tg ==） 5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线： pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0） 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． 极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方 向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋

参数方程

17 参数方程 知识梳理 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ????x ＝f （t ），y ＝g （t ）.并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫做这条曲线的参数方程，其中变数t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为???? ?x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为 ? ????x ＝a ＋r cos θ y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为 ? ????x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为 ?????x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)． 要点整合 1．极坐标方程与参数方程互化时，以普通方程(直角坐标方程)为联系达到相互转化． 2．在利用参数方程求解具体问题时，注意参数的几何意义和范围． 3．数形结合思想是求有关参数方程的最值问题的高效方法． 题型一．参数方程化为普通方程(或极坐标方程) 例1.已知曲线C 1的参数方程为? ????x ＝4＋5cos t ， y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)． [解] (1)将?????x ＝4＋5cos t ， y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.

参数方程教案

参数方程教案 第一节 曲线的参数方程 【教学目标】 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 【教学重点与难点】 重点：曲线参数方程的探求及其有关概念； 难点：是弹道曲线参数方程的建立． 【教学过程】 一． 复习： 1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？ 曲线方程的概念：(1)曲线C 上任一点的坐标（x,y ）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C 上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C 的方程，而这条曲线C 就称作这个方程f(x,y)=0的曲线． 2．写出圆心在原点，半径为r 的圆O 的方程，并说明求解方法． ⊙O 的普通方程是：x 2 +y 2 =r 2 ； ⊙O 的参数方程是： ⎩⎨ ⎧==θ θ sin cos r y r x （θ为参数） 这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x 、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式．

二．新课： 1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y ，都是某个变数t 的函数 ⎩⎨ ⎧==) () (t g y t f x )(*，并且对于t 的每个允许值，由方程组)(*所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(*就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 之间关系的变量t 叫做参变数，简称参数。 2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。 我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？ （1）建系：建立适当的直角坐标系； 以炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。 （2）设标，设炮弹发射后t 秒时的位置为M(x ，y)． (3)列式：即找出x 与y 之间的关系。 怎样把x 、y 之间的关系联系起来呢。 这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动．炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动．显然在x 、y 分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x 、y 都与时间t 有关． 在水平方向的初速度是v 0cos α，在竖直方向的初速度是v 0sin α. 水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v 0cos α; 在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动．所以y=v 0sin α·t-2 1gt 2 这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t 表示出来了，即把x 、y 都表示成了t 的函数，t 应该有一个确定的范围？ 令y=0，得t=0或t = g v α sin 20， ∴0≤t ≤ g v αsin 20。

坐标系与参数方程 坐标系

坐标系与参数方程 坐标系 1.平面直角坐标系 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ· x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用下，点 P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)如图所示，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系. 对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ). (2)极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ或⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程

概念方法微思考 1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？ 提示 不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点. 2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？ 提示 平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π 3.( √ ) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( × ) 题组二 教材改编 2.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 2 B.ρ＝ 1cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 4 C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 2

坐标系与参数方程-知识点总结

坐标系与参数方程-知识点总结

坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 (,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=⎧⎨=⎩ 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(,)2r π ,半 径为r 的圆 =2sin (0)r ρθθπ≤< 圆心为(),r π,半径为r 的圆 32cos ()2 2 r ππ ρθθ=-≤<

平面曲线的参数方程教案(1)

平面曲线的参数方程教案(1) 一、引言 在平面几何中，我们通常使用直角坐标系来描述和分析平面上的图形和曲线。但是，对于一些特殊的曲线，直角坐标系的描述方式可能会非常复杂或者不够直观。为了更方便地描述这些曲线，我们可以使用参数方程的方法。 二、参数方程的概念 参数方程是一种曲线的坐标表示方式，其中曲线上的每个点都可由参数的取值确定。我们可以通过给定参数的取值范围，将参数方程对应的曲线表示出来。 三、参数方程的表示形式 一般来说，参数方程可以表示为： x = f(t) y = g(t) 其中，`x`和`y`分别表示平面上的坐标，`t`表示参数的取值。 四、参数方程的图像

通过给定参数的取值范围，我们可以求出参数方程对应的曲线上的一系列点。将这些点连线，就可以得到参数方程对应的图像。在绘制图像时，可以选择适当的参数取值范围，使得曲线上的点足够密集，以得到更加准确的图像。 五、常见的参数方程曲线 1. 抛物线：参数方程为`x = t`，`y = t^2`，其中`t`为参数的取值范围。 2. 圆：参数方程为`x = r * cos(t)`，`y = r * sin(t)`，其中`r`为圆的半径，`t`为参数的取值范围。 3. 椭圆：参数方程为`x = a * cos(t)`，`y = b * sin(t)`，其中`a`和`b`分别为椭圆的长半轴和短半轴，`t`为参数的取值范围。 六、课堂练 1. 绘制参数方程`x = cos(t)`，`y = sin(t)`对应的图像，并分析该曲线的特点。 2. 设计一个参数方程，绘制一个你喜欢的图形，并解释该图形的特点。 七、总结

平面直角坐标系中的曲线与函数

平面直角坐标系中的曲线与函数 一、曲线与函数的概念 在平面直角坐标系中，曲线是由一组点构成的集合，这些点在坐标 系中的位置满足特定的条件。而函数则是一种特定的关系，它将一个 自变量的取值映射到一个因变量的取值。 二、曲线的表示方式 1. 隐式表示法 隐式表示法是指通过方程的形式来表示曲线。例如，二次曲线的方 程可以是Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数。 2. 参数表示法 参数表示法是指通过参数方程的形式来表示曲线。例如，对于圆的 参数方程可以是x = rcosθ，y = rsinθ，其中r为半径，θ为参数。 3. 显式表示法 显式表示法是指通过解出其中一个变量，将曲线表示为一个变量关 于另一个变量的函数。例如，直线的显式表示法可以是y = kx + b，其 中k和b为常数。 三、函数的性质与图像 1. 定义域与值域

函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指函数的所有可能 取值范围。 2. 奇偶性 函数的奇偶性描述了函数的对称性。若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数称为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数称为奇函数。 3. 单调性 函数的单调性描述了函数图像的上升或下降趋势。若对于任意x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数称为严格增函数；若对于任意x1 < x2，有 f(x1) > f(x2)，则函数称为严格减函数。 4. 极值与拐点 函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而拐点 则是函数图像由凹变凸或由凸变凹的转折点。 5. 对称轴与零点 对称轴是函数图像的对称轴线，它使得函数图像关于该轴对称。零 点是函数在坐标系中与x轴相交的点，即函数取值为0的点。 四、曲线与函数的应用 1. 曲线的面积与弧长 曲线的面积是指曲线与x轴之间的面积，可以通过定积分计算得到。曲线的弧长是指曲线在坐标系中的弯曲长度，可以通过定积分或参数 方程计算得到。

高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)

高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解） 1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{ x = 2+t 6 y =√t （t 为参数），曲 线C 2的参数方程为{ x =− 2+s 6 y =−√s （s 为参数）． (1)写出C 1的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)； (2)C 3,C 1的交点坐标为(1 2 ,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−1 2 ,−1)，(−1,−2)． 【解析】 【分析】 (1)消去t ，即可得到C 1的普通方程； (2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6 ，y =√t ，所以x = 2+y 26 ，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)． (2) 因为x =− 2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)， 由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =1 2y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)； 联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参 数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π 3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

1 / 6 坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨ '=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如下图,在平面取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)与其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系那么不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

2 / 6 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,如下图: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

高考数学参数方程

高考数学参数方程 1．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：{x =cosα+1y =sinα （α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程ρ=4sinθ. （1）分别写出圆C 1的普通方程与圆C 2的直角坐标方程； （2）设圆C 1与圆C 2的公共弦的端点为A,B ，圆C 1的圆心为C 1，求ΔAC 1B 的面积. 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+t y =t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系，圆C 1的极坐标方程为ρ2−2aρcosθ+a 2−4=0(a >0)． （1）若直线l 与圆C 1相切，求a 的值； （2）若直线l 与曲线C 2:{x =2cosθy =√3sinθ （ 为参数），交于A ，B 两点，点C (2,1)，求|AC |+|BC |． 【答案】（1）a =2√2+1；（2）|AC |+|BC |=20√2 7。 3．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极 坐标方程为ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)；直线l 的参数方程为{x =−2+√2 2t,y =√22t （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若点P 的极坐标为(2,π)，|PM |+|PN |=5√2，求a 的值. 【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为即(x −a )2+(y −1)2=a 2+1，直线l 的普通方程为y =x +2；（2）a =2. 4．在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为{x =4cosα+2y =4sinα (α为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)。 （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△PAB 面积的最大值. 【答案】（1）ρ2−4ρcosθ−12=0；（2）5√15。

(新课标)2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点23参数方程和极坐标方程(教师版)

（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点23参数方程和 极坐标方程（教师版） 【三年真题重温】 1.【2011⋅新课标全国理，23】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α α =⎧⎨ =+⎩（α为参数）， M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ． (Ⅰ)当求2C 的方程； (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与1C 的异于极点 的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ． 2.【2010⋅新课标全国理，23】选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θ θ =⎧⎨=⎩（θ为参数）， （Ⅰ）当α= 3 π 时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

【2012⋅新课标全国理，23】坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕ ϕ ⎩⎨ ⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值X 围。 【命题意图猜想】 2011年高考考查了参数方程

《参数方程》专题(学生版)

《参数方程》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数 的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t ). 3．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 直线参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0 ＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则 ①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|. ②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 2 2，中点M 到定点M 0的距离 |MM 0|＝|t |＝⎪⎪ ⎪⎪t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|. 在参数方程与普通方程的互 化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性.