《双曲线的标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】

《双曲线的标准方程》教学设计

第一课时

◆教学目标

1. 掌握双曲线的定义，提升学生的数学抽象素养．

2.掌握双曲线的标准方程的推导过程，提高学生的数学运算素养．

◆教学重难点

◆

教学重点：双曲线的定义及其标准方程．

教学难点：双曲线标准方程的推导过程．

◆课前准备

PPT课件．

◆教学过程

一、整体概览

问题1：阅读课本，回答下列问题：

（1）本节将要研究哪类问题？

（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？

师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.

预设的答案：（1）本节课主要学习双曲线的标准方程第一课时．（2）学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高．如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章．所以说本节课的作用就是纵向承接双曲线定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用．

设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.

二、探索新知

1、探究新知

问题2：如图所示，某中心O 接到其正西、正东、正北方向三个观测点A ，B ，C 的报告： A ，C 两个观测点同时听到一声巨响，B 观测点听到的时间比A 观测点晚4s ，已知各观测点到该中心的距离都是1020m ，假定当时声音传播的速度为340m /s ，且A ，B ，C ，O 均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？

师生活动：学生充分思考，并鼓励学生尝试给出答案．

设计意图：通过实际问题，引导思考，引出双曲线的定义．发展学生数学抽象，直观想象的核心素养．

上述情境中，因为观测点A 与C 同时听到响声，说明P 一定在AC 的垂直平分线上;因为观测点B 听到的时间比观测点A 晚4s ，这说明P 距离B 更远，而且13603404||||=⨯=-PA PB ，那么，满足上式的点P 可能的位置有哪些呢?这与本小节我们要讨论的双曲线有关．

一般地:如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，

其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.另外，可以看出，双曲线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．

问题3：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？

师生活动：教师提示，学生自己尝试画出双曲线．

预设的答案:画法：

如图①所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2

上，把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换，如图②所示，类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.

设计意图：通过具体的操作，让学生更加清楚双曲线的形成过程．

问题3：这种作双曲线的方法，请问双曲线上的点到两定点21,F F 的距离有何特点? 师生活动：通过实践操作，学生自己总结答案．

预设的答案:可以看出拉链M 到21,F F 的距离的差的是一个常数．

设计意图：通过观察实践．让学生自己总结结论，发展学生直观想象，数学抽象的核心素养．

问题4：怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？

师生活动：学生充分思考，并由学生在练习本上写出过程，展台展示．

预设的答案：以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为

y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设双曲线的焦点分别为

)0,(),0,(21c F c F -．

设P 的坐标为),(y x ，因为a PF PF 2||||||21=-，而且

221)(||y c x PF ++=，222)(||y c x PF +-=，所以+

++22)(y c x a y c x 2)(22±=+-， ①

由①得a y c x y c x y c x y c x 2)()(]

)[()(22222222±=+-++++--++

整理得x a c y c x y c x 2)()(2222±=+-+++，②

①+ ②整理得)()(22x a

c a y c x +±=++，③ 将③式平方再整理得22222

22)(a c y a

x a c -=-- ④

因为0>>a c ，所以22a c >，设222b a c =-，且0>b ，则④式可化为

的双曲线的标准方程．

设计意图：类比双曲线的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程．发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养．

三、初步应用

例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程．

两个焦点分别是)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上的点P 到两焦点的距离之差的绝对值为8；

师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．

预设的答案：由已知得82=a ，因此4=a ，又因为5=c ，所以9222=-=a c b ，因

为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求的双曲线的标准方程为19

162

2=-y x 设计意图：通过典例解析，，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法．发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．

四、归纳小结，布置作业

问题5：（1）什么是双曲线？焦点？焦距？

（2）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是什么？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.

预设的答案：（1）如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，

则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，

其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.

（2

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解双曲线的标准方程的有关知识． 布置作业：教科书上的练习题

五、目标检测设计

1．“11m -<<”是“方程22

112

x y m m +=+-表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

设计意图：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义是解决本题的关键．

2．若方程22

1625x y k k

+=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．(5,10)

B ．(3,5)

C ．(6,)+∞

D ．,35),()(∞⋃+∞-

设计意图：考查学生双曲线的定义的认识． 3．过点(1，

1)，且b a

=x 轴上的双曲线的标准方程是（ ） A ．2

2112

x y -=

B ．22112y x -=

C ．2

211

2y x -= D ．22112x y -=或22112

y x -= 设计意图：考查学生对双曲线的标准方程的求法．

参考答案：

1．【答案】A 若方程22

112

x y m m +=+-表示双曲线， 则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，

则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，

“11m -<<”是“方程22

112

x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．

2．【答案】B 方程22

1625x y k k

+=--表示焦点在y 轴上的双曲线 所以50620k k ->⎧⎨-<⎩

，即35k << 故选：B

3．【答案】D

由b a

=，知：222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a

-=，将点(1，1)代入可得212a =，则双曲线方程为2

211

2

x y -=. 故选：A

双曲线及其标准方程(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册

第二单元双曲线 一、内容和内容解析 （一）内容 双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质 本单元内容结构图如下： （二）内容解析 1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题. 2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比. 3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用. 4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.

5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质 二、目标及其解析 （一）单元目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． 4．理解数形结合思想． （二）目标解析 达成上述目标的标志是: 1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程． 2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质． 3．能解决与双曲线有关的简单应用问题． 三、教学问题诊断分析 1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。 破解方法：在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。

双曲线及其标准方程教学设计

2014年河南省高中数学优质课大赛 人教A版选修1-1 《双曲线及其标准方程》 教学设计 鹤壁高中乔肖燕 2014年14月 课题：双曲线及其标准方程 授课人：河南省鹤壁市鹤壁高中乔肖燕 2014年4月 【教材内容分析】 本节课是高中数学选修1-1第二章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握. 【学情分析】 知识结构分析： 学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系. 能力体系分析： 本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算能力. 【教学目标】 通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义； 通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程； 通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣. 【教学重点】

双曲线的定义； 双曲线标准方程的两种形式. 【教学难点】 双曲线标准方程的推导方法及化简过程. 【教具准备】 多媒体投影仪，几何画板动画 【教学方法】 采用启发、探究式教学. 【教学环节】 教学 环节 教学内容师生活动设计意图 (一) 创设情境，感知图形 回顾初中时学 习过的反比例函 数的图像； 观察电厂的冷 却塔图片，它的轴 截面的外轮廓就 是双曲线的一部 分. 教师引入，学生回忆初中所学 内容； 多媒体展示图片，学生观察， 实物感知双曲线的形状. 教师引入课题，告知学生本节 课的学习目标、学习重点和学习 难点.这一段可由一名学生代表 阅读. 通过学生熟 悉的知识以及 生活中的实例 让学生感知双 曲线的形状， 这样的两个例 子简单、生动， 学生易于接 受. (二) 动画演示，引入定义 双曲线是如何 形成的可以如何 给双曲线下定义 借助经典的拉链 动画，引导学生总 结动点在运动过 程中的特征，从而 引入双曲线的定 义. 教师手动演示双曲线的形成过 程，先演示靠近 2 F的一支，由学 生总结动点特征: 并解释为什么有这样的特征: 随着拉链的闭拢和拉开，两条线 段减小或增加的量相等，所以差 值始终是同一个常数. 再演示靠近 1 F的那一支，仍 然由学生总结特征: 接着，强调以上两个常数是相 等的，两支曲线合在一起叫做双 曲线，引导学生把两个式子合二 为一:. 2 1 常数 = -MF MF 并把数学式子转化成自然语 充分调动学 生的积极性， 突出学生的主 体地位，并且 通过总结特征 提高学生的语 言表达能力， 对图形的认知 能力. 学生概述定 义时往往会漏 掉常数的范 围，这个问题 暂时保留，下 一个环节来解 决。 保留常数的

《双曲线的标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】

《双曲线的标准方程》教学设计 第一课时 ◆教学目标 1. 掌握双曲线的定义，提升学生的数学抽象素养． 2.掌握双曲线的标准方程的推导过程，提高学生的数学运算素养． ◆教学重难点 ◆ 教学重点：双曲线的定义及其标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导过程． ◆课前准备 PPT课件． ◆教学过程 一、整体概览 问题1：阅读课本，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容. 预设的答案：（1）本节课主要学习双曲线的标准方程第一课时．（2）学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高．如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章．所以说本节课的作用就是纵向承接双曲线定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用． 设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架. 二、探索新知 1、探究新知

问题2：如图所示，某中心O 接到其正西、正东、正北方向三个观测点A ，B ，C 的报告： A ，C 两个观测点同时听到一声巨响，B 观测点听到的时间比A 观测点晚4s ，已知各观测点到该中心的距离都是1020m ，假定当时声音传播的速度为340m /s ，且A ，B ，C ，O 均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？ 师生活动：学生充分思考，并鼓励学生尝试给出答案． 设计意图：通过实际问题，引导思考，引出双曲线的定义．发展学生数学抽象，直观想象的核心素养． 上述情境中，因为观测点A 与C 同时听到响声，说明P 一定在AC 的垂直平分线上;因为观测点B 听到的时间比观测点A 晚4s ，这说明P 距离B 更远，而且13603404||||=⨯=-PA PB ，那么，满足上式的点P 可能的位置有哪些呢?这与本小节我们要讨论的双曲线有关． 一般地:如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线， 其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.另外，可以看出，双曲线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． 问题3：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？ 师生活动：教师提示，学生自己尝试画出双曲线．

双曲线及其标准方程教学设计完整版

双曲线及其标准方程教 学设计 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

《双曲线及其标准方程》教学设计 一、设计理念 1.课标解读： 《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造 有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生 的数学思维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观 察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程， 提高学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数 学课程实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人 为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息 技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提 倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技 术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学 生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数 学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作 的态度、表达与交流的意识的评价。 基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作 用。 2.高考解读： 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进 行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基 本元素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方 法。 3.教材解读： 本节课的教学内容是《数学选修2-1》第二章《圆锥曲线与方程》§3.1“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的几何模 型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应 用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双曲线是三种圆锥 曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分考虑到了知识学习由

高中数学 新人教A版选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 教案

双曲线及其标准方程 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线及其标准方程 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。 从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 【教学目标与核心素养】 【重点难点】 重点：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 难点：双曲线的标准方程及其求法. 【课前准备】 多媒体 【教学过程】

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 我们知道，平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？121如图，在直线上取两个定点,，是直线上的动点。在平面内，取定点,，以点为圆心、线段为半径作圆，在以为圆心、线段为半径作圆。 l A B P l F F F PA F PB 12如图，在＞的条件下，让两圆的交点的轨迹是什么形状？ F F AB M 1.双曲线的定义

高中数学_双曲线的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

2.6.1双曲线的标准方程 一．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是胜利一中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、试验探究： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 动手试验： （1）实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分； 2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； 3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线. 点M在运动过程中满足什么几何条件？(如图)

高中数学_双曲线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

《双曲线及其标准方程》 教学设计 数学组 《双曲线及其标准方程》教学设计

【教学目标】 （1）知识与技能目标：掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其推导方法，理解怎 样的双曲线其方程为标准方程，双曲线的标准方程所表示的曲线，其图形有什么特征，并能 根据双曲线的标准方程确定焦点的位置 （2）过程与方法目标：类比推理，探索知识。 （3）情感态度与价值观目标：使学生认识到比较法是认识事物，掌握其实质的一种有效的 方法；发现数学美体验成功后的喜悦。 【教学重点】 双曲线中a,b,c 之间的关系 【教学难点】 双曲线的标准方程 【教具】 交互式电子白板 【课型】新授课 【教学过程】 一、复习引入 问题1：椭圆的定义是什么？ 问题2：椭圆的标准方程是怎样的? a,b ,c ,关系如何？ 问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变 化？ 二、形成新知 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于|F1F2|，且不等于0） 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 问题1:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 问题2：定义中为什么强调常数要小于|21F F |且不等于0（即0<2a<2c ）？ 如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ 三、自主探究 1、双曲线标准方程的推导 ① 建系 ② 设点 ③ 列式 ④化简

2.双曲线焦点在x 轴上的标准方程)0,0(12222 >>=-b a b y a x 问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 四、例题讲解 例、已知双曲线的焦点 1F (-5,0), 2F (5,0)，双曲线上一点P 到焦点的距离差的绝对 值等于6，求双曲线的标准方程。 跟踪练习: 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在x 轴上，3,4==b a ； ②2,12-=-=+c a c a ； ③焦点在在x 轴上，经过点)2,3 15(),3,2(--; ④焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5） 五、巩固练习 1.试求下列适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上，a=4，b=3；（2）焦点为（0，-13），（0,13），且b=12. 2.已知方程 22 121 x y m m -=++表示双曲线，则m= 3.双曲线 22 1515x y -=与椭圆 22 1255x y m +=+的焦点相同.，则m= 学情分析： 我所授课的班级是理科普通班的学生，学生水平中等。由于我同时担任本班的班主任，所以 班中学生学习数学的兴趣比较浓，但由于学生的数学学习基础比较弱，同时学习习惯较差， 所以在授课过程中，更注重基础的练习。 《双曲线及其标准方程》在高考中是重点，选择、填空、大题中均有出现，难度中等偏难。 通过学生的预习情况发现，由于双曲线和椭圆的知识点相似，学生在本节课的学习中容易将 双曲线和抛物线混淆，所以在本节课的导入设置中关注了这一点，通过对椭圆的复习，一方 面巩固椭圆的概念，另一方面对比两者关系从而引入本节课的内容。

高中数学_2.3.1双曲线及其标准方程(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思

2.3.1双曲线及标准方程教学设计 一、教材分析与处理 1、教材的地位与作用 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。 2、学生状况分析： 学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。 根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。 3、教学目标 （1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程； （2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力； （3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。 4．教学重点、难点 依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点是双曲线标准方程的推导。 5、教材处理： 我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双曲线图形。因为相比之下，几何画板更为形象直观。通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。

二、教学方法与教学手段 1、教学方法 双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课我采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点： （1）以类比思维作为教学的主线 （2）以自主探究作为学生的学习方法 2、教学手段 采用多媒体辅助教学。体现在用几何画板画双曲线。但不是单纯用动画演示给学生看，而是用动画启发引导学生思考，调动学生学习的积极性。 三、教学过程与设计 为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我把教学过程分为四个阶段。（一）知识引入----知识回顾、观察动画、概括定义 在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾： （1）椭圆的第一定义是什么？定义中哪些字非常关键？ （2）椭圆的标准方程是什么？ （3）如何判断焦点位置？a、b、c是何种关系？ 通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫。之后，告诉学生：今天要学习一种新的曲线。 打开几何画板，首先通过动画让学生再一次回顾椭圆的生成过程，然后改变图中的条件，将距离变大，动画生成一种新的曲线，学生易看出该曲线为双曲线。 双曲线的定义其实就是动点所满足的关系，那么双曲线的定义是什么？也就是动点所满足的关系是什么？这个问题可让学生进行探究。解决这个问题有两个难点：一是距离的运算关系的得出；二是运算关系的简化。 在探究中，学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值，会认为这个定值必是正值，而忽视了距离差为负值的情况，这样实质上只能得到双曲线的一支。对于这种情况，我采取启发引导，把P从一支移到另一支，然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下，学生会想到自己缺少一种情况，动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。但这个关系能不能加以简化？学生这个时候会联想到利用绝对值进行简化。这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系，也就是得到了双曲线的定义。这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程，在此基础上，再通过教师的引导，学生就可在观察思考中一步

高二数学《双曲线的定义及其标准方程》一等奖说课稿

高二数学《双曲线的定义及其标准方程》一等奖说课稿 《高二数学《双曲线的定义及其标准方程》一等奖说课稿》这是优秀的说课稿文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！ 1、高二数学《双曲线的定义及其标准方程》一等奖说课稿 一、教材分析与处理 1、教材的地位与作用 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的.简单性质的学习打下基础。 2、学生状况分析： 学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。 根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。 3、教学目标 （1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程； （2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力； （3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。 4．教学重点、难点 依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点是双曲线标准方程的推导。 5、教材处理：

我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双曲线图形。因为相比之下，几何画板更为形象直观。通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。 二、教学方法与教学手段 1、教学方法 著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。” 双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课我 采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点： （1）以类比思维作为教学的主线 （2）以自主探究作为学生的学习方法 2、教学手段 采用多媒体辅助教学。体现在用几何画板画双曲线。但不是单纯用动画演示给学生看，而是用动画启发引导学生思考，调动学生学习的积极性。 三、教学过程与设计 为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我把教学过程分为四个阶段。 （一）知识引入---- 知识回顾、观察动画、概括定义 在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾：（1）椭圆的第一定义是什么？定义中哪些字非常关键？ （2）椭圆的标准方程是什么？ 2、高二数学《双曲线的定义及其标准方程》一等奖说课稿 一、教材分析 1、教材地位 本节课是新课程人教A版选修2-1 第2章第三节第一课时。它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫。

双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程（第一课时） 教学目标： 1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义； 2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程； 3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。 教学重点：双曲线的定义和标准方程。 教学难点：双曲线标准方程的推导过程。 教学过程： 一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点)0,1(1-F 和)0,1(2F ，定圆1C 的圆心为1F ，且半径为r ，动圆2C 过 定点2F ，且及定圆相切。 （1）若4=r ，试求动圆圆心的轨迹；（2）若1=r ，试求动圆圆心的轨迹。 （教师结合几何画板演示分析）： 师：当4=r 时，我们得到的轨迹是什么？ 生：是椭圆。 师：为什么？ 生：因为当4=r 时动圆2C 内切于定圆1C ，所以两个圆的圆心距1MF 满足214MF MF -=，移项后可以得到：421=+MF MF 满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以1F 、2F 为定点，4为定长的椭圆。 师：很好。那么，当1=r 呢，此时动圆2C 及定圆1C 相切有几种情况？ 生：有两种情况：内切和外切。 师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 211MF MF +=，移项后可以得到：121=-MF MF 。(教师演示轨迹) 师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 121-=MF MF ，移项后可以得到：121-=-MF MF 。(教师演示轨迹) 师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到及定圆相切且过定点的动圆的圆心满足121±=-MF MF 即121=-MF MF ，圆心的轨迹我们称之为双曲线。 二、新课讲解： 1、定义给出 师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？ 生：双曲线是到平面上两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a 。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？ 生：当a MF MF 221=-时，表示的是双曲线的右支，当a MF MF 221-=-时，表示的是双曲线的左支。 2、定义探究 （教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a 有没有限制条件？ 生：有。这个常数2a 要比焦距21F F 小。 师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下： （1）若a=0，则有021=-MF MF 即21MF MF =，此时轨迹为线段21F F 的中垂线； （2）若2a=21F F ,则有2121F F MF MF ±=-，此时轨迹为直线21F F 上除去线段21F F 中间部分，以1F 、2F 为端点的两条射 线； （3）若2a>21F F ,则根据三角形的性质，轨迹不存在。 3、双曲线标准方程的推导过程： 师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之） 第一步：建立直角坐标系； 第二步：设点：设M(x ，y)，焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，M 到焦点的距离差的绝对值等于2a ； 第三步：启发学生根据定义写出M 点的轨迹构成的点集： 第四步：建立方程：a y c x y c x 2)()(222 2 ±=+--++；

高中数学——双曲线说课稿

《双曲线及其标准方程》说课稿 各位评委老师： 大家好！我说课的题目是《双曲线及其标准方程》，内容选自于人教版《高中数学选修1-1》的第二章第二节第一小节，课时安排为两课时，本课为第一课时.下面我将从这五个方面来谈谈对教材的理解和对教学设计的一些构思. 一、教材分析 1、教材的地位与作用 双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一.与椭圆相比，双曲线所涉及到的知识更加丰富、方法更加灵活，能力要求更高.解析几何无论从知识结构、题目类型、解题方法还是数学思想都在双曲线这里达到高潮.可以说双曲线是解析几何的核心. 学习双曲线本身就是对椭圆知识和方法的巩固、深化和提高.自然也为进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础.因此，本节课具有承前启后的作用. 2、教学目标 教学目标是教学设计的灵魂和统帅, 根据新课标的教学要求和学生的认知水平，确定如下的教学目标： （1）理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程. （2）通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力. （3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数学美的熏陶. 3、重点和难点 依据教学目标，确定本节课 重点为：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程. 难点为：双曲线标准方程的推导. 二、学情分析

教学的主体是学生，对学生的认识是否全面直接决定了教学的成败。 1、知识方面：学生已经学习了直线、圆和椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会. 2、能力方面：学生有一定的分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力. 三、方法分析 1、教学方法 我将采取启发探究的教学方法.引导学生在分析问题时不断与椭圆的有关知识类比，在对比中归纳问题，强化椭圆与双曲线的区别和联系. 2、教学手段 使用多媒体辅助教学，通过丰富的内容体现，使枯燥的知识“活”起来，增强学习的趣味性. 3、学法指导 引导学生学习方式发生转变，在教师的引导下主动参与、积极体验、类比探究的学习. 四、过程设计 接下来看我的教学设计，我将教学过程分为这五个阶段. 下面我就本节课展开具体叙述： （一）创设情景，引入课题 首先引导学生回顾椭圆定义，同时在屏幕上给出相应的定义，以利于下一问题中进行对比.接着由学生探讨：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，轨迹又是什么图形呢？ 设计意图：通过一个知识冲突的教学情境，有和到差，不仅加强新旧知识的联系，而且通过学生类比和与差，促进学生思考，激发他们的求知欲望．接下来我拿出准备好的一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学生思考拉链拉开的两部分长度的内在联系．紧接着再通过多媒体播放这个拉链的演示实验，以强化学生的认识．然后通过小组活动，由学生利用提前准备的拉链，作两端点位置互换后拉链头运行的轨迹.这是学生的作图过程，和作图结果．

优秀教案双曲线及其标准方程

良机网首页 高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一) 高中青年数学教师优秀课教案：双曲线及其标准方程（一） 教学目标： （1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程； （2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力； （3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题。 教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多电视台，一根拉链，小夹子 教学过程： 一、复习提问 师：椭圆定义是什么？ 生：最简单的面内与两个定点的间隔之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。（幻灯片展示椭圆图形及其定义） 二、新课引入 1、设问 师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思虑（老师在黑板上画出两个点,使F1在左侧,F2在右侧.记=2c,2c>0）。 师：在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数，那么，最简单的面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗 生：不一定。 师：多是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零）师：当常数是零时动点的轨迹是什么？ 生：是线段F1F2的中垂线。老师做出的中垂线。 师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？ 生：在线段F1F2的中垂线的右侧。 师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。 师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢？我们一路做一个实验来探索。 2、实验：（师生共同完成） 道具：一根拉链 详细作法：老师在拉开的拉链双侧各取一点打结（实验前已经丈量好，使两结之间的间隔小于两定点间的间隔），请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。将拉链头看作动点M,使M到F1的间隔比M到F2的间隔远。 师：|MF1|比|MF2|长多少？ 请同学不雅察，将此中一侧拉链拉过来比较，学生可以很清楚的看到长出的部分。在|MF1|

高中数学 221(双曲线的定义和标准方程)教案 湘教版选修1-1 教案

双曲线的定义和标准方程 教学背景分析 “2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，c b a ,,三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别. “以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备. 教学过程设计 一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、椭圆的定义是什么？ 2、椭圆定义中有哪些注意点？ 3、椭圆的标准方程是怎样的？ 二、讲授新课 1、概念引入 问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差:12||||2PF PF a -=或21||||2PF PF a -=, 即:12||||||2PF PF a -=，其中0>a 动点的轨迹会发生什么变化呢？ ①若21212F F a MF MF ==-，则轨迹是线段21F F 的延长线；若 21122F F a MF MF ==-，则轨迹是线段12F F 的延长线； ②若21212MF MF a F F -=<，则无轨迹； ③在1202||a F F <<条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线. [说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现a 2与21F F 的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可

以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度. 2、概念形成 ⏹ 双曲线定义 定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距. ⏹ 双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意： （1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F . （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支， 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支. 3、双曲线的标准方程的推导 可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程． 如图8-12建系，设c F F 221=，取过点21F F 、的直 线为x 轴，线段21F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系， 则 )0,(F )0,(21c c F 、-，设M 是所求轨迹上的点. 依已知条件有 a MF MF 221±=-， 221)(y c x MF ++=， 2 22)(y c x MF +-=， 22)(y c x ++∴a y c x 2)(22±=+--， 移项得：2 2 )(y c x ++22)(2y c x a +-+±=， 平方得：2 2 2 )()(y c x a cx a +-=-± （*） 再平方得：)()(2 2 2 2 2 2 2 2 c a a y a x c a -=+-， 即)()(2 2 2 2 2 2 2 2 a c a y a x a c -=--，令)0(2 2 2 >>-=b c a c b

《双曲线及其标准方程》教案(公开课).docx

《双曲线及其标准方程》教案 一、教学目标 （一）知识教学点 使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导. （二）能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力. （三）学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识. 二、教材分析 1.重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程. （解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义; 对于双曲线的标准方程通过比较加深认识.） 2.难点：双曲线的标准方程的推导. （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.） 3.疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？ （解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式.） 三、活动设计 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结. 四、教学过程 （一）复习提问 1.椭圆的定义是什么？（学生回答，教师板书） 平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件：（1）平面内；（2）到两定点Fl、F2的距离的和等于常数; （3）常数2a>|FlF2|. 2.椭圆的标准方程是什么？（学生口答，教师板书） 焦点在菇由上的椭圆标准方程为％•+ &■ = 】（a〉b〉0）；焦点在萨由 a b

上的椭圆标准方程为%+ &=l（a〉b〉0）. a b （二）双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？ 1.简单实验（边演示、边说明） 如图2-23,定点Fl、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，是常数，这样就画出曲线的一支; 由MF2|-|MF1是同一常数，可以画出另一支. 注意：常数要小于IF1F2，否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线. 2.设问 问题1：定点Fl、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能.强调“在平面内” . 问题2： |MF1与|MF2|哪个大? 请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|>|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|<|MF2|. 问题3：点M与定点Fl、F2距离的差是否就是MF1|-|MF2|? 请学生回答，不一定，也可以是MF2|-|MF1| .正确表示为| |MF2|-|MF1| | . 问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|? 请学生回答，应小于F1F2且大于零.当常数=|F1F2时，轨迹是以Fl、F2 为端点的两条射线；当常数>|F1F2|时，无轨迹. 3.定义 在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义： 平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点Fl、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.

2019-2020年高中数学2.3.1双曲线及其标准方程教案北师大选修1-1

2019-2020年高中数学2.3.1双曲线及其标准方程教案北师大选修1-1 一、预习与引入过程 预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P 56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm 长，另一条约6cm 每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm ，另一条约12cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程． 二、新课讲授过程 （i ）由上述探究过程容易得到双曲线的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集． 思考题“为什么小于”? （ii ）双曲线标准方程的推导过程 提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系． 无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程． 类比椭圆：设参量的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()22 2210,0y x a b b a -=>>． 三、例题讲解、引申与补充 例1 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程． 分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出． 补充：求下列动圆的圆心的轨迹方程：① 与⊙：内切，且过点；② 与⊙：和⊙：都外切；③ 与⊙：外切，且与⊙：内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆的半径为． ① ∵⊙与⊙内切，点在⊙外，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，即的轨迹方程是； ② ∵⊙与⊙、⊙均外切，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，∴的轨迹方程是； ③ ∵与外切，且与内切，∴，，因此，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，∴的轨迹方程是．

高中数学(北师大版)选修1-1教案：第2章双曲线第一课时参考教案

双曲线的标准方程 【讲课目的】: 1.知识与技术 掌握双曲线的定义,标准方程,并会依据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 教材经过详细实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,经过类比推导出双曲线的标准方程. 3.感情、态度与价值观 经过本节课的学习,能够培育我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培育学生思虑问题、分析问题、解决问题的能力. 【讲课要点】:双曲线的定义、标准方程及其简单应用 【讲课难点】:双曲线标准方程的推导 【讲课种类】：新讲课 【课时安排】：1课时 【教具】：多媒体、实物投影仪 【讲课过程】: 一.情境设置 (1)复习发问： (由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题1：椭圆的定义是什么？ 问题2：椭圆的标准方程是如何的？ 问题3：假如把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是如何的呢？ (2)研究新知: (1)演示：指引学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思虑以下问题。 (2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？ ②点M到F1与F2两点的距离的差如何表示？ ③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？

（请学生回答：应小于|F1F2|且大于零，当常数等于|F1F2|时，轨迹是以F1、F2 为端点的两条射线；当常数大于|F1F2|时，无轨迹） 二.理论建构 1.双曲线的定义 指引学生归纳出双曲线的定义： 定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点 轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影） 见解中几个要点词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于F1F2” 2.双曲线的标准方程 此刻我们能够用近似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生 思虑、回想椭圆标准方程的推导方法，随即指引学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示） （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直均分线为y轴成立平面直角坐标系。 (2)设点 设M（x,y）为双曲线上随意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<2c）. （3）列式 由定义可知,双曲线上点的会合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}. 即: xc2y2xc2y22a, y （4）化简方程 由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：M F 1O F 2x xc2y2xc2y22a 移项两边平方得