2020高一数学暑期讲义学生版
高2020届高2017级高一数学暑假提高班讲义初升高数学衔接教材
初升高衔接教材 数 学
目录 第一部分新教材初高中数学衔接概述 第1节如何做好初高中衔接 (1) 第2节现有初高中数学知识存在的“脱节” (4) 第二部分初高中数学衔接分章节讲解 第一讲数与式的运算 (7) 第1节绝对值 第2节乘法公式 第3节二次根式 第4节分式 第5节分解因式 第二讲一元二次方程 (7) 第1节根的判别式 第2节根与系数的关系(韦达定理) 第三讲二次函数 (7) 第1节二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 第2节二次函数的三种表示方式 第3节二次函数的简单应用 第4节二次函数的最值问题 第四讲方程与不等式 (7) 第1节二元二次方程组解法 第二节一元二次不等式解法 第五讲相似形 (7) 第1节平行线分线段成比例定理 第2节相似形 第6讲三角形 (7) 第1节三角形的“四心” 第2节几种特殊的三角形 第7讲圆 (7) 第1节直线与圆,圆与圆的位置关系 第2节点的轨迹 附录:初、高中数学衔接紧密的知识点
第一部分新教材初高中数学衔接概述 1.1为什么要做好高、初中数学的衔接 初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化,要求我们改变学习方式,以尽快适应学习 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很“玄”。确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步；因式分解先看什么,再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。课时相对较少,辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧,因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。这样,不可避免地造成学生不适应高中数学学习,而影响成绩的提高。这就要求:第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识。第二,要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三,因知识教学多以零星积累的方式进行的,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”。如表格化,使知识结构一目了然；类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四,要多做总结、归类,建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态会加大数学学习的两极分化,因此要养成良好的学习习惯 1 学习习惯,因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一,为提高分数,初中数学教师将各种题型都一一罗列,学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二,家长望子成龙心切,回家后辅导也是常事。升入高中后,教师的教学方法变了,套用的“模子”没有了,家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后,还象初中那样,有很强的依赖心理,跟随老师惯性运转,没有掌握学习的主动权。表现在不定计划,坐等上课,课前没有预习,对老师要上课的内容不了解,上课忙于记笔记,没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时
讲义高一数学必修一函数复习
函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致 (化简前) ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 4．值域：先考虑其定义域 （1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、
)0,(>+ =b a x b ax y 三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上 . (2) 画法 描点法 图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换 6．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 7．映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足： (1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；
暑假班高一数学讲义第1讲
第1讲：集合的概念及表示方法 【开心自测】 1、请你列出“小于10”的自然数： 2、请你写出方程2 230x x --=的解： 3、咱们班性格开朗的女生全体是否确定一个集合？ 【考纲要求】 1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系. 2.在具体情境中，了解空集的含义. 3.掌握常用数集及其专用符号. 4.掌握集合的表示方法，通过实例体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，能在具体问 题中选择适当的方法表示集合. 【教学重难点】集合的概念和表示方法 【重难点命题方向】集合的概念及表示方法 自主预习： （1）集合的概念：一般的，把一些能够____________对象看成一个整体，就说这个整体是有 这些对象的____构成的集合（或集）.构成集合的_____叫做这个集合的元素（或成员）. （2）集合与元素的记法：集合一般用_______字母来表示，集合中的元素一般用______字母 来表示. （3）元素与集合的关系:如果a 是集合A 的元素，就说__________,记作______读作_______; 如果a 不是集合A 的关系，就说__________,记作_______读作_______. （4)空集的概念：把____________________的集合叫做空集，记作________. （5）集合元素的性质特征：①___________；②___________；③___________. （6）集合的分类： 含有有限个元素的集合叫做________;含有无限个元素的集合叫做 _________. （7）常用数集及其表示符号：自然数集记作__,正整数集记作__，整数集记作__，有理数集记 作__，实数集记作__. （8）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用____________括起来表示集合的方法叫做 ___________. （9）特征性质描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质 ()p x ， 而不属于集合A 的元素都不具有性质()p x ，则性质()p x 叫做集合A 的一个_______.于是集合A 可以用它的特征性质()p x 描述为_______________，它表示集合A 是由集合I 中 具有性质()p x 的所有元素构成的.这种表示集合的方法叫做_____________,简称描述法. 【基础限时训练】（1.1.1）
高中数学暑期讲义课程大纲(含高一、高二、高三)
高一暑假课程大纲·数学 讲次内容教学目标 第一讲二次函数及高次不等式①掌握二次函数系数与交点的问题 ②因式分解解高次不等式 第二讲集合的含义和表示①掌握元素与集合之间的关系 ②掌握集合的常见的表示方法 第三讲集合间的基本关系①掌握集合间的一些运算 ②了解集合运算间的结论 第四讲函数的概念及表示方法①理解函数的概念 ②掌握函数的定义域值域问题 ③了解函数的三种表达形式 第五讲单调性与最值①掌握用定义法求函数的单调性 ②掌握对勾函数的性质 ③掌握复杂函数的单调新 ④掌握利用单调性求函数的最值 第六讲奇偶性①掌握定义法求奇偶性 ②掌握复杂函数的奇偶性 ③掌握奇偶性的简单运用 第七讲函数性质综合①掌握函数单调性与奇偶性的结合 ②了解周期性 ③理解对称性 ④了解函数对称性和周期性的区别 第八讲指数运算与指数函数①掌握指数的相关运算 ②掌握指数的函数的相关性质 第九讲对数运算①掌握对数的概念 ②掌握对数的相关性质及运算 第十讲对数函数①掌握对数函数的概念与性质 ②理解对数函数与指数函数的性质 第十一讲幂函数与二次函数①理解幂函数的概念与性质 ②掌握二次根的分布及根系关系 第十二讲函数与方程①理解函数与方程的关系 ②掌握如何进行一些简单的函数图象变换 ③掌握排除法求解函数图象
高二暑假课程大纲·数学 讲次内容教学目标 第一讲直线的倾斜角与斜率①掌握直线斜率与倾斜角的间的关系 ②理解直线的五种表达形式 ③掌握直线与直线的位置关系 第二讲点到直线距离问题、对称 问题 ①掌握距离公式 ②掌握点跟直线的对称问题 第三讲圆的方程①掌握圆的概念 ②掌握圆的标准方程与一般方程之间的转化 第四讲直线与圆的位置关系①掌握直线与圆的位置关系 ②掌握直线与圆的弦长计算问题 ③了解圆与圆的计算问题 第五讲空间几何体结构、三视 图、直观图 ①了解一些常见的几何体 ②掌握常见的几何体的三视图 ③掌握直观图的做法 第六讲空间几何体的表面积、体 积的计算 ①掌握三视图的还原 ②掌握椎体、柱体的表面积、体积的计算 第七讲点线面的位置关系①掌握三大公理 ②掌握点线面的之间的关系 第八讲线、面平行①线、面平行的判定 ②线、面平行的性质 第九讲线、面垂直判定①线面垂直的判定 ②面面垂直的判定 第十讲线面垂直的性质①掌握线面垂直的性质 ②掌握面面垂直的性质 第十一讲线面角计算①掌握线面角的概念 ②掌握线面角的几种处理处理方方法 第十二讲二面角的计算①掌握二面角的概念 ②掌握二面角的几种处理方法
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 第一讲 集合 知识要点一： 集合的有关概念 ⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。 ⑵集合中元素的特性：?? ? ??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。 ⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ? （注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上） ⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。例：{ }2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N * ；整数集记 作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}） 高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些 简单集合。 例题讲解： 夯实基础 一、判断下列语句是否正确 数学基础知识 第一讲 集合 知识要点一： 集合的有关概念 ⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。 ⑵集合中元素的特性：?? ? ??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。 ⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作： A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ? （注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上） ⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示 方法。例：{ }2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再 画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例： {}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}） 高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。 例题讲解： 夯实基础 一、判断下列语句是否正确 1）大于5的自然数集可以构成一个集合。 正确{}5>∈x N x 2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。错误 3）所有的偶数构成的集合是无限集。 正确 4）集合{}{}b a c B c b a A ,,,,,==则集合A 和集合B 是两个不同的集合。 错误 二、用符号∈或?填空。 1）N __0 2）Z _____14.3 3）Q ______π 此文档下载后即可编辑 高一数学：集合讲义 一、集合及其基本概念 1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。 集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。 注意：集合｛0｝与空集?的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。 例1：下列各项中不能组成集合的是 （A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题 （C ）所有数学难题 （D ）所有无理数 2、元素与集合的关系 一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）； 要么a 不是A 中的元素，记作a A ?（读作a 不属于A ）。这个性质即为集合中元素的确定性。 在元素与集合之间，只能用∈或?表示，它们之间只存在这两种关系。 例2、若A={x | x=0}，则下列各式正确的是 （A ）φ=A （B ）φ∈A （C ）{ 0 }∈A （D ）0 ∈A 3、集合的表示方法 我们用列举法与描述法表示一个集合。 列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。 描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。 我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可 以用Z 表示；有理数集可以用Q 表示；实数集可以用R 表示。 例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(____________________ 例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来__________________________. 二、集合与集合的关系 1、子集 对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ?。任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。 2、真子集 对于两个集合A 和B ，如果集合A B ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的 专题21 期中复习 知识梳理 一、集合与命题 1．区分集合中元素的形式： 2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性． 3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ?． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ??． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ? ． 注意：若条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况． 集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =； ()( )( )U U U A B A B =、 ()( )( )U U U A B A B =． ①U U U A B A A B B A B B A A B =?=??? ? ?=?． ①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n 2、12-n 、12-n 、22-n ． 4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系： 原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β； 逆否命题：如果β，那么α； ① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲?乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题． ① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式： 6．充要条件： 在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性： 首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式 -- 高一数学：集合讲义 一、集合及其基本概念 １、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体,可以看作一个集合。 集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。 注意：集合{0}与空集?的区别：前者是含有一个元素“０”的集合，后者是不含元素的集合。 例１:下列各项中不能组成集合的是 (A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题 (C ）所有数学难题 (D ）所有无理数 2、元素与集合的关系 一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）； 要么a 不是A 中的元素,记作a A ?(读作a 不属于A )。这个性质即为集合中元素的确定性。 在元素与集合之间，只能用∈或?表示,它们之间只存在这两种关系。 例2、若A=｛x ｜ ｘ＝0}，则下列各式正确的是 （A)φ＝A （B ）φ∈A (C){ 0 }∈A （D ）０ ∈A 3、集合的表示方法 我们用列举法与描述法表示一个集合。 列举法就是把集合中的元素一一列举出来,并写在大括号中。 描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。 我们应熟练记住一些常用的数学符号:自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可以 用Z 表示；有理数集可以用Q 表示;实数集可以用R 表示。 例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(＿_____＿＿＿____＿__＿＿__ 例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来_＿____＿＿____＿_＿_＿__＿___＿__. 二、集合与集合的关系 1、子集 对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集,记作A B ?。任何集合都是自己的子集;空集是任何集合的子集。 2、真子集 对于两个集合A 和B ,如果集合A B ?,并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真 专题22 期末复习 知识梳理 一、集合与命题 1．区分集合中元素的形式： 2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性． 3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ?． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ??． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ? ． 注意：若条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况． 集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =； ()( )( )U U U A B A B =、 ()( )( )U U U A B A B =． ①U U U A B A A B B A B B A A B =?=??? ? ?=?． ①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n 2、12-n 、12-n 、22-n ． 4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系： 原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β； 逆否命题：如果β，那么α； ① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲 ?乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题． ① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式： 6．充要条件： 在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式 1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算） ① b a >且c b >?c a >； 高一数学暑假预科讲义 第一节 集合的含义与表示 随堂练习 1、下列说法正确的是（ ） A.若,N a ∈-则N a ∈ B.方程0442=+-x x 的解集为{}2,2 C.高一年级最聪明的学生可构成一个集合 D.在集合N 中，1不是最小的数 2、集合{}2,1,12--x x 中x 不能取的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3、方程组?? ?=-=+0 , 2y x y x 的解构成的集合是( ) A.{})1,1( B.{}1,1 C.()1,1 D.{}1 4、若{},1,3,132+-∈-m m m 则._______=m 5、集合{}Z x x x y y x ∈≤-=,1||,1|),(2，用列举法表示为.________ 6、由332,|,|,,x x x x x --组成的集合，元素的个数最多为几个？ 7、已知集合M 满足条件：若,M a ∈则).0,1(11≠±≠∈-+a a M a a 若,3M ∈试求集合.M 8、已知集合{},,023|2R x x ax x A ∈=+-=若A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围. 第二节 集合间的基本关系 随堂练习 1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ） A.P a ? B.P a ? C.{}P a ? D.{}P a ∈ 2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 3、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是 A.Q P ? B.Q P ? C.Q P = D.以上都不正确 4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ?则.________=m 6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ?则实数k 的取值范围是.____________ 7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ?=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合. 8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A （1）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a 使得B A =成立？ 第二章、函数 第一节、函数 一、函数 1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一 确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈。其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。所有函数值构成的集合，即(){} ,y y f x x A =∈叫做这个函数的值域。 2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验： （1）定义域和对应法则是否给出； （2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。 1、下列图形中，能表示y 是x 的函数的是（ ） 2、下列等式中，能表示y 是x 的函数的是（ ） A. y x =± B. 2 1y x =+ C. 21y x = -- D. 21y x =- 3、如何判断函数的定义域： （2）开偶次方根的被开方数要不小于零； （3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数0 x 中x 不为零。 例3、求下列函数的定义域 （1）32()32x f x x -=+； （2）()21f x x =- A x B C D x x x y y y y o o o o （3）20 ()(4)f x x =-； （4）21()42 f x x x = -+ + 例4、求下列函数值域 （1）{}()21,1,2,3,4f x x x =+∈ （2）[]2()21,0,3f x x x x =--∈ （3）) ,1(,1 )(+∞-∈= x x x f （4）[)21(),1,1 x f x x x -=∈+∞+ 4、函数的3要素：定义域、值域和对应法则。 判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。 注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。 例5、下列各对函数中，是相同函数的是 （ ） A.2 (),()f x x g x x == B. 2 (),()f x x g x x == C.2(),()f x x g x x = = D. 2 (),()f x x g x x == 5、区间：设a ，b ∈R ，且a ＜b ， 满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[a,b]； 满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作﹙a,b ﹚； 满足a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b ﹚或﹙a,b ]； 分别满足x ≥a,x ＞a,x ≤a,x ＜a 的全体实数的集合分别记作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a ﹚。 6、映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一 个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．其中x 叫做原象，y 叫做象。 注：映射可以是多对一，不可以一对多。即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。特别的，集合B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。 7、映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有m n 个。 例6、已知集合},{},3,2,1{b a B A ==。问： 高ー数学复习讲义17年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题ー般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意ー般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) ー般有5类：1、ー次函数型：形如：给定ー次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 高一数学集合讲义精编 版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 高一数学：集合讲义 一、集合及其基本概念 1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。 集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。 注意：集合｛0｝与空集?的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的 集合。 例1：下列各项中不能组成集合的是（A）所有正三角形（B）《数学》教材中所有的习题 （C）所有数学难题（D）所有无理数 2、元素与集合的关系 一个集合A与一个对象a，要么a是A中的元素，记作a A ∈（读作a属于A）； 要么a不是A中的元素，记作a A ?（读作a不属于A）。这个性质即为集合中元 素的确定性。 在元素与集合之间，只能用∈或?表示，它们之间只存在这两种关系。 例2、若A={x|x=0}，则下列各式正确的是 （A）φ=A（B）φ∈A （C）{0}∈A（D）0∈A 3、集合的表示方法 我们用列举法与描述法表示一个集合。 列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。 描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作 {} |x x具有某种特性 。 我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N表示；正整数集可以用+ N表示；整数集可以用Z表示；有理数集可以用Q表示；实数集可以用R表示。 例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x∈ ∈ = - +, ,0 5 2|) , (____________________ 例4、解不等式2 3< - x，并把其正整数解表示出来__________________________. 二、集合与集合的关系 1、子集 对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记作A B ?。任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。 2、真子集 高一数学暑假预科讲义第一节 集合的含义与表示 随堂练习 1、下列说法正确的是（ ） A.若,N a ∈-则N a ∈ B.方程0442=+-x x 的解集为{}2,2 C.高一年级最聪明的学生可构成一个集合 D.在集合N 中，1不是最小的数 2、- 3、 集合{}2,1,12--x x 中x 不能取的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 4、方程组?? ?=-=+0 , 2y x y x 的解构成的集合是( ) A.{})1,1( B.{}1,1 C.()1,1 D.{}1 4、若{},1,3,132+-∈-m m m 则._______=m 5、集合{}Z x x x y y x ∈≤-=,1||,1|),(2，用列举法表示为.________ 6、由332,|,|,,x x x x x --组成的集合，元素的个数最多为几个？ 7、已知集合M 满足条件：若,M a ∈则).0,1(11≠±≠∈-+a a M a a 若,3M ∈试求集合.M 8、# 9、 已知集合{},,023|2R x x ax x A ∈=+-=若A 中的元素至多有一个，求a 的 取值范围. 第二节 集合间的基本关系 随堂练习 1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ） A.P a ? B.P a ? C.{}P a ? D.{}P a ∈ 2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 3、~ 4、 设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是 A.Q P ? B.Q P ? C.Q P = D.以上都不正确 4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ?则.________=m 6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ?则实数k 的取值范围是.____________ 7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ?=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合. 8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A （1）· （2） 当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a 使得B A =成立？高一数学基础知识讲义全套
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