三角函数与平面向量专题复习
专题一：三角函数与平面向量
一、高考动向：
1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是sin()y A x ω?=+的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材.
2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.
3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.
4.在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．
5.在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．
二、知识再现：
三角函数跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数，不等式，立体几何问题时，三角函数是常用的工具，在实际问题中也有广泛的应用，平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、距离、共线等问题，以解答题为主。
1．三角函数的化简与求值
（1）常用方法：① ② ③ （2）化简要求：① ② ③ ④ ⑤ 2．三角函数的图象与性质
（1）解图象的变换题时，提倡先平移，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
（2）函数x y sin =，x y cos =，x y tan =图象的对称中心分别为 。（Z k ∈）
（3）函数x y sin =，x y cos =图象的对称轴分别为直线 Z k ∈ 3．向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共 的，和向量是始点与已知向量的 重合的那条对角线，而差向量是 ，方向是从 指向 。
（2）三角形法则的特点是 ，由第一个向量的 指向最后一个向量的 的有向线段就表示这些向量的和，差向量是从 的终点指向 的终点。
（3）当两个向量的起点公共时，用 法则；当两个向量是首尾连接时，用 法则。 （4）要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量，使得平面向量的几何推导成为可能。 ①在平行四边形ABCD 中，
=，则0)()(=-?+，即菱形模型。 若AD AB ⊥
-=+ ②在ABC ?中，2
2
2
OC OB OA ==，O 是ABC ?的外心；
AC AB +一定过BC 的中点；通过ABC ?的重心； =++，O 是ABC ?的重心；
?=?=?，O 是ABC ?的垂心；
+
λ)(R ∈λ通过ABC ?的内心；
三、课前热身：
1.（天津卷）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
（A ）sin(2)3y x π
=-
，x R ∈ （B ）sin()26x y π
=+，x R ∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3
2y x π
=+
，x R ∈ 2.（湖南卷）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA =
2,AF FB = 则AD BE CF ++
与BC ( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
3．
（江苏）函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（ ） Ａ．5ππ6?
?
--
????
， Ｂ．5ππ66??
-
-???
?， Ｃ．π03??
-????
，
Ｄ．π06??
-????
，
4．（重庆卷)若过两点)2,1(1-P ,)6,5(2P 的直线与x 轴相交于点P ，则P 点分有向线段12PP
所成的比λ的值为 （ ）
(A)－13 (B) －15 (C) 15 (D) 13
5．（山东卷）已知c b a ,,为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量()1,3-=
，
()A A sin ,cos =.若⊥，且C c A b B a sin cos cos =+，则角B ＝ .
四、典例体验：
题型一：三角函数基本公式的应用
例1 （安徽卷）已知40,sin 2
5
π
αα<<
=
（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2αα
αα
++的值；（Ⅱ）求
5tan()4πα-的值。
例2．在ABC △中，5cos 13A =-
，3
cos 5
B =． （Ⅰ）求sin
C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．
变式训练：在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
sin ,sin 510
A B =
=
（I ）求A B +的值；
（II ）若1a b -=
，求a b c 、、的值。
题型二：三角函数的图像与性质
例3.已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域。
例4.（2011四川卷）已知函数73()sin cos ,4
4f x x x x R ππ???
?
=++-∈ ?
??
??
?
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知()()44cos ,cos 55
βαβα-=
+=-，02παβ<<≤，求证：[]2
()20f β-=.
变式训练：已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=时取得
最大值4． (1) 求()f x 的最小正周期；
(2) 求()f x 的解析式；
(3) 若f (
23α +12π)=125
,求sin α．
题型三：三角函数与向量综合
例5.已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量 ),(b a m =， )sin ,(sin A B n =，
)2,2(--=a b p . （1） 若n m //，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2）若p m ⊥，边长c = 2，角ΔABC 的面积
例6.（湖北卷）设函数()
x f +?=)(，其中向量(sin ,cos )a x x =-
， (sin ,3cos )b x x =- ，(cos ,sin )c x x =-
，x R ∈。
（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，
求长度最小的d
。
变式训练：已知向量()()2sin ,cos m x x π=--
，,2sin()2n x x π?
=-??
，函数
()1f x m n =-?
．求：
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；
（3）说明()f x 的图象可以由()sin g x x =的图象经过怎样的变换而得到．
题型四：解斜三角形
例7.在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知
cos A-2cosC 2c-a
=cos B b
.
（1）求sin sin C
A
的值； （2）若cosB=1
4
，?ABC 的周长为5，求b 的长。
例8.在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =B x =，周长为y ．
（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．
变式训练：在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ,且3
1cos =A . (1)求A C
B 2cos 2
sin 2
++的值; (2)若3=a ,求ABC ?面积的最大值.
五、能力提升
1.三角函数是一种特殊函数，因此，要重视函数思想对三角函数的指导意义，要注意数形结合、分类整合，化归与转化思想在三角中的运用，要熟记正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称中心和它们的图象特征，能从图象中直接看出它们的性质。
2.解题策略：切割化弦；活用公式；边角互化
3.常用技巧：“1”的代换；角的变换；特殊角；辅助角公式；降幂公式
练习1.（江西卷）如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
A ．2AC AF BC +=
B ．22AD AB AF =+
C ．AC A
D AD AB ?=? D ．()()AD AF EF AD AF EF ?=?
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
A
B
D
E
C
F
2.已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+
???，ππ42x ??∈????
，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ??
∈????
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
3.在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=．
（Ⅰ）若ABC △a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
六、高考真题
1、（05年四川高考）已知函数2
()2sin 2,[0,2].sin f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的
集合.
2、（06年四川高考）已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角，向量)3,1(m -=，
)sin ,(cos A A =，且1=?。
（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若22
1sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B
3、（07年四川高考）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π
02
βα<<<． （Ⅰ）求tan 2α的值； （Ⅱ）求β．
4、（08年四川高考）求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值和最小值．
5、（09年四川高考）在ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且
3
cos 2,sin 5A B ==
（I ）求A B +的值；（II ）若1a b -=，求,,a b c 的值。
七、专项训练
一.选择题：（30分）
1．已知向量OB =(2，0),向量OC
=（2，2），向量CA =αα），则向量OA 与向量OB
的夹角的范围为（ ）
A ［0，
4π］ B ［4π，512π］ C ［512π，2π］ D ［12π，512
π
］ 2．△ABC 中，若)(2222444b a c c b a +=++，则C ∠度数是：（ ）
A 600
B 450或1350
C 1200
D 300
3.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3
π
平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4
x π
=
,则θ的一个可能取值是（ ）A.
π125 B. π125- C. π12
11 D. 1112π-
4．已知k ＜－4，则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是( )
(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 5.给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3
x π
=
对称，则下列四个函数中，同时具
有性质①②的是（ ）
（A ） sin()26
x y π=+（B ）sin(2)6y x π=+（C ）sin y x = （D ）sin(2)6y x π=-
6.设(43)=，
a ，a 在
b 上的投影为2
，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为 A ．(214)，
B ．227?
?- ??
?， C ．227??- ???， D ．(28)，
二.填空题：（8分）
7．（湖南卷）若)4
sin(3)4sin()(π
π-++=x x a x f 是偶函数，则a = .
8．已知向量a =(cos ,sin θθ)，向量b 1-)，则|2a －b |的最大值是
三、解答题：（37分）
9．已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-= ，且1m n ?= .
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若
22
1sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B ，C tan . 10．（2007全国）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8
π
=x 。（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在
区间],0[π上的图像。
11. 在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，， （1）求cos C ； （2）若2
5
=?，且9a b +=，求c ．
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
高中数学三角函数平面向量解三角形练习题必修4
三角函数、平面向量、解三角形 一、选择题(每小题5分，共50分) 1.化简cos15cos45cos75sin45??-??的值为（ ） A. 12- B. C.12 D. -2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ?+=, 则a 与b 的夹角是（ ） A ．ο30 B ．ο60 C ．ο90 D ．ο120 3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ，且5 4cos -=α，则m 的值为（ ） A 21 B 2 1- C 23- D 23 4.设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ =+-+∈，则函数()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 5.已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)-- 6.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4 πα-等于（ ） A.17 - B.7- C.71 D.7 7.函数2tan 2tan 12x y x =-的最小正周期为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ． 2 π 8.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 （A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 49 （ ）
高中数学三角函数、解三角形知识点
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
高中数学专题练习-三角函数及解三角形
高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点:；当时，
，它有一个零点:，故在有个零点:，故③错误．当时，；当时， ，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A． 图1
图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D． 【答案】B 【解析】，， ，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点
高考数学压轴专题专题备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案解析
数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关 于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】
三角函数与解三角形
课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、
7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足
(新高考地区使用)专题01 三角函数与解三角形
三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-． （1）求角C ； （2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=；
（2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=， （1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； （2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值；
三角函数、平面向量综合题六类型
三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04 πα<<，β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值． 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期，故βπ=．因为a b m ?= ， 又cos tan()24a b βαα?=?+- ，故cos tan()24 m βαα?+=+． 由于04 π α<< ，所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤） 的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . （II ）由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像，得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=，故,P M P N <>= 15arccos 17 .
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点
5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin :
三角函数与平面向量(好)
三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则
高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．
三角函数及平面向量知识点总结
三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 （经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称）
11. 周期函数：()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx
14. 函数性质： （注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 （左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。 注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。
三角函数与解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案
专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 1．A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=?-=-C C ，所以由余弦定理， 得222 32cos 251251()325 =+-?=+-???-=AB AC BC AC BC C ， 所以=AB A ． 2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222 1sin 24 a b c ab C +-=， 所以222sin cos 2a b c C C ab +-= =，所以在ABC ?中，4 C π =．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+， 即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得 1sin 342a c π== ，则2 a c =．在△ABC 中，由余弦定理可得 222222295 322 b a c c c c c =+-= +-= ，则b =． 由余弦定理，可得22 22 2 2 59cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】 11 sin 22 AB BC B ??= ，∴sin 2B =，所以45B =或135B =． 当45B = 时，1AC = =， 此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾； 当135B = 时，AC = =．
必修4《三角函数和平面向量》
必修4三角函数和平面向量综合检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．下列命题中的真命题是（ ）． A ．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C ．终边在第一象限的角是锐角 D ．终边在第二象限的角是钝角 2．cos(2640)sin1665-+=o o （ ）． A ．122+ B ．122+- C ．132+ D ．13 2 +- 3．已知角α的终边过点(43)P m m -，，(0)m ≠，则ααcos sin 2+的值是（ ） ． A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或5 2- D ．－1或52 4．已知向量(cos 75,sin 75),(cos15,sin15)a b ==o o o o r r ，则a b -r r 的值为（ ）． A ． 1 2 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数3sin( 3)3cos(3)44 y x x ππ =-+-的最小正周期为（ ） ． A ．23π B ．3 π C ．8 D ．4 6．函数sin()(0,0)y A x A ???=+>>的部分图象如图所示， 则(1)(2)(3)(11)f f f f ++++=…（ ）． A ．2 B ．22+ C ．222+ D ．222-- 7．设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ）． A ．B A I 中有3个元素 B ．B A I 中有1个元素 C ．B A I 中有2个元素 D ．B A Y R = 8．判断函数2()lg(sin 1sin )f x x x =+的奇偶性为（ ）． A ．非奇非偶函数 B ．奇函数 C ．偶函数 D ．既奇又偶函数 9．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3 x π =对称；③在[,]63 ππ - 上是增 函数”的一个函数是（ ）． A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=- D ．cos(2)6 y x π =- 10．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的
三角函数及解三角形知识点总结
三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(
三角函数与解三角形-专题复习
专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.
专题 三角函数及解三角形(解析版)
专题 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ 2 π，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x | 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， 2 π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C 3 D 5 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x
③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π ，且4g π?? = ???38f π??= ??? A ．2- B ． C D ．2 7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为_________． 9．【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ；