电磁场与电磁波课后答案
第一章 矢量场
1.1 z y x C z y x B z y x
A ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=ρρ
ρ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρ
B C ⨯ ； (e) ()ρρρA B C ⨯⨯ (f)
()ρρρA B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x B
B b -+==ρρ
( c) 7=⋅B A ρρ; (d) z y x
C B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ρ
ρ (e)
z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ρ
ρρ (f)
19)(-=⋅⨯C B A ρ
ρρ 1.2 ρA z =++2∃∃∃ρ
πϕ; ρ
B z =-+-∃∃∃ρϕ32 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρ
B A ⨯ ; (e) B A ρρ+
解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(14
1ˆz b -+-=
ϕρ;(c) 43-=⋅πB A ρρ (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρ
πρ
ρ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ
ρ
ρ 1.3 ρ
A r
=+-22∃∃∃πθπϕ; ρB r =-∃∃πθ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) ρρ
A B +
解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2
θππ-+=
r b ； (c) 22π-=⋅B A ρρ ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r
A B ρρ ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A ρρ 1.4 ρA x y z =+-∃∃∃2; ρ
B x y z =+-α∃∃∃3 当ρρ
A B ⊥时，求α。
解：当ρρA B ⊥时，ρρ
A B ⋅=0, 由此得 5-=α
1.5 将直角坐标系中的矢量场ρρ
F x y z x
F x y z y 12(,,)∃,(,,)∃==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。
解：(1)圆柱坐标系
由(1.2-7)式，ϕϕϕρsin ˆcos ˆˆ1-==x
F ρ;ϕϕϕρcos ˆsin ˆˆ2+==y F ρ
(2)圆球坐标系
由(1.2-14)式, ϕϕϕθθϕθsin ˆcos cos ˆcos sin ˆˆ1-+==r x
F ρ
ϕϕϕθθϕθcos ˆsin cos ˆsin sin ˆˆ2++==r y
F ρ
1.6 将圆柱坐标系中的矢量场ρρ
F z F z 1223(,,)∃,(,,)∃ρϕρρϕϕ
==用直角坐标系中的坐标分量表示。 解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2
ˆsin 2ˆcos 2ˆ2221y y x
x y
x y x F ++=+==ϕϕρρ )ˆˆ(3
ˆcos 3ˆsin 3ˆ3222y x x
y y
x y x F +-+=+-==ϕϕϕρ
1.7将圆球坐标系中的矢量场ρρ
F r r F r 125(,,)∃,(,,)∃θϕθϕθ
==用直角坐标系中的坐标分量表示。 解：由(1.2-15)式，)ˆˆˆ(5
)ˆcos ˆsin sin ˆcos (sin 52
221z z y y x
x z y x z y x F ++++=++=θϕθϕθρ )ˆsin ˆsin cos ˆcos (cos 2z y x F θϕθϕθ-+=ρ2
2222ˆˆˆˆˆˆˆz y x z z y y x
x y x y x x y r ++++⨯
++-=⨯=ϕ
}ˆ)(ˆˆ{1
12222222z y x y yz x
xz y
x z y x +-++++= 1.8求以下函数的梯度：
(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6
(b)
f z z (,,)sin ρϕϕρ=-+24
(c) f r r (,,)cos θϕθϕ=-+252
解：(a) z x y x x z y f ˆˆ10ˆ)105(-+-+=∇ (b)
z z f ˆˆcos 2ˆρϕρ
ϕρ-+-=∇ (c)
ϕθ
θθθˆsin 5
ˆsin 2ˆcos 2r r
f --=∇ 1.9 求标量场f x y z xy z (,,)=+22
在点(1,1,1)沿)ˆˆ(2
1y x l -=ρ方向的变化率。 解：)(2
1ˆx y l f l f -=⋅∇=∂∂
1.10 在球坐标中，矢量场ρρ
F r ()为 ρρF r k
r r ()∃=2 其中k 为常数，证明矢量场ρρ
F r ()对任意闭合曲线l 的环量积分为零，即 ρρ
F dl l
⋅=⎰0
解：由斯托克斯定理, ⎰⎰⎰⋅⨯∇=⋅s
l
S d F l d F ρ
ρρρ
因为0)ˆ(2=⨯∇=⨯∇r r k
F ρ 所以 ρρF dl l
⋅=⎰0 1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。
1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。 1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。 1.14计算下列矢量场的散度
a) ρ
F
yzx zyy xzz =++∃∃∃ b) ρ
F z z =++ρρϕϕ∃sin ∃∃2 c) ρ
F r
r r =++2∃cos ∃∃θθϕ 解：(a) z x F +=⋅∇ρ
(b) ϕρ
cos 2z
F +
=⋅∇ρ
(c)
θ
θ
θ
sin sin cos 42-+=⋅∇r F ρ
1.15计算下列矢量场的旋度
a) ρ
F
xyx
yzy z =+-∃∃∃2 b) ρ
F =+2∃sin ∃ρϕϕ c) ρ
F rr =++∃∃sin ∃θθϕ 解： (a) z x x
y F ˆˆ2--=⨯∇ρ
(b) ∧
=
⨯∇z F ρ
ϕsin ρ (c) )ˆˆsin ˆcos 2(1
ϕθθθ+-=⨯∇r
r
F ρ 1.16计算 a) ∇∇∇ρ,,r e
kr
b)∇⋅∇⋅∇⋅(∃),,()ρρρ
ρr ke kr c)∇⨯∇⨯∇⨯ρρ
ρρ,,(∃)r z 解：(a) ;ˆˆˆˆρϕρϕρρρ=∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇z z ;ˆsin ˆˆˆr r r r r r =∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇ϕ
θϕθθ kr kr kr kr ke r
r ke kr e e ˆ)(=∇=∇=∇ (b) ;2)(1=∂∂
=
⋅∇ρρρρρρ ;3)(122=∂∂=⋅∇r r r r r ρ
kr kr
kr kr kr ke r
k e k k e e k e k ˆ)(⋅=∇⋅=⋅∇+∇⋅=⋅∇ρρρρρ (c) ϕρ
ρˆ)ˆ(;0;0=⨯∇=⨯∇=⨯∇z r ρ
ρ 1.17已知ρA yx xy =-∃∃，计算ρρ
A A ⋅∇⨯() 解：0)(;ˆ2=⨯∇⋅-=⨯∇A A z A ρ
ρρ 1.18已知∇⋅=∇⨯=ρρF x y z F δδδ()()(),,0计算ρ
F
解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⨯∇F ρ
，所以0=A ρ
⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅∇=ΦV
V r dz dy dx R z y x dV R r F r πδδδππ41''')'()'()'(41')'('41)(ρ
ρρ
2
4ˆr r
F π=Φ-∇=ρ 1.19已知∇⋅=∇⨯=ρρF
F
z x y z 0,∃()()(),δδδ计算ρ
F 解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⋅∇F ρ
，所以0=Φ
r
z
dz dy dx R z z y x dV R F A V V πδδδππ4ˆ'''ˆ)'()'()'(41''41==⨯∇=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ
ρ 2
4ˆˆ)ˆ1ˆ1(41ˆ41r r z
z r z r r z A F πππ⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇=ρρ 1.20求矢量场z z F ˆˆˆ++=ϕρρρ
穿过由ρϕπ≤≤≤≤≤1001,,z 确定的区域的封闭面的通量。
解：根据高斯定理，矢量场z z F ˆˆˆ++=ϕρ
ρρ
穿过由l z ≤≤≤≤≤0,0,1πϕρ确定的区域的封闭面的通量
⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅=ψS
V
dV
F S d F ρ
ρρ
因为 31)(1=∂∂+∂∂+∂∂=
⋅∇z
F F F F
z
ϕρρρρϕρρ
所以
⎰⎰⎰==⋅∇=ψV
l
V dV F 2332πρ
第二章习题解
2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，
(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。
解：设z
r
ˆ=ρ
,y r x r y r x r ˆ',ˆ',ˆ',ˆ'2321-=-===ρρρρ z y r r R z x r r R z y r r R z x
r r R ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ'44332211+=-=+=-=+-=-=+-=-=ρ
ρρρρρρρρρρρ
84ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(41
024*********
221110πεπεz y x R R q R R q R R q R R q E ++=+++=
ρ
2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。
(a) (b) (c)
题2-2图
解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E
ρ
ρρρρ
(b) 由对称性0321=++=E E E E ρ
ρρρ
(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为
y
a
y x y x a E E E l
l a ˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(40021περπερ-=--+-=
+=ρρρ 半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为
y a
E l
b ˆ20περ=
ρ 总电场为0
=+=b a E E E ρ
ρρ
2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。
解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ϕad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为
ϕρρad s l =,对ϕ积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为
y d x y a d r a E s
s s ˆ)ˆcos ˆsin (22ˆ00
00
0⎰⎰-=--==πππερϕϕϕπερπεϕρρ 题2-3图 题2-4图
2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。 解: 在平板上
'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dx s l ρρ=，在点
),(y x 处产生的电场为 ρ
ρρπε'ˆ21),(0dx y x E d s =ρ
其中 22)'(y x x +-=ρ
；2
2
)'(ˆˆ)'(ˆy
x x y y x
x x +-+-=
ρ
对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为 )}2
/2/(2ˆ)2/()2/(ln ˆ{4),(2
2220y a x arctg y a x arctg y y a x y a x x y x E s --+++-++=περρ
2-5.已知电荷分布为
ρ=≤>⎧⎨⎪
⎩⎪r a r a r a 2
20;;
ρs b r a ==;
r 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。求电场强度。
解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理
⎰⎰=
⋅s
q S d E 0
ερρ
等式左边为 r s
E r S d E ⎰⎰=⋅2
4πρρ
半径为 r 的球面内的电量为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+<=a
r ba a a r a r q ;554;54
2
325
ππ 因此，电场强度为
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧>+<=a r r
ba a a r a r E r ;55;5202
32
03
εε
2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为
ρ=≤>⎧⎨⎪⎩⎪r a
r a
r a
;;0 r 为场点到z 轴的距离，a 为常数。求电场强度。
解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理
⎰⎰=
⋅s
q S d E 0
ερρ
等式左边为 r s
E r S d E ⎰⎰=⋅π2ρ
ρ
半径为 r 的圆柱面内的电量为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a r a a r a
r q ;3
2;322
3
ππ 因此，电场强度为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a r r
a a r a r E r ;3;302
2
εε 2-7. 在直角坐标系中电荷分布为
ρρ(,,);;x y z x a x a =≤>⎧⎨⎩
00
求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，
取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为
⎩
⎨⎧><=a x aS a x xS q ;2;200ρρ
因此，电场强度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a x a a x x
E x ;
;0
000ερε
ρ 题2-9图
题2-7图
2-8. 在直角坐标系中电荷分布为
ρ(,,);;x y z x x a
x a =≤>⎧⎨
⎩
0 求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面
积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为 ⎩
⎨⎧><=a x S a a x S x q ;;22
因此，电场强度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<=a
x a a x x E x ;20;20
2002ερερ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<<--=a x a x a x E x ;20;202
2
εε
2-9.在电荷密度为ρ（常数）半径为a 的带电球中挖一个半径为b 的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c 解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为 3ερR E a ρρ= 完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为 3ερr E b ρρ- = 所以，空腔中某点的电场为 00 3)(3ερερc r R E E E b a ρρρρρρ=-=+= c ρ 为从球心指向空腔中心的矢量。 2-10.已知电场分布为 ρE x b x b x b x x b x x b =-<<>-<⎧⎨⎪⎪ ⎩ ⎪⎪22222∃ ;//∃;/∃;/ 求电荷分布。 解:由0/ερ=⋅∇E ρ 得 ⎪⎩⎪⎨⎧><=⋅∇=2 /;02 /;200b x b x b E εερρ 2-11. 已知在圆柱坐标中，电场分布为 ρE Cr r a r b r a r b =<<<>⎧⎨⎪⎩⎪∃;;,0 求电荷分布。 解: 由0/ερ=⋅∇E ρ 得 00=⋅∇=E ρ ερ 在r=a,r=b 的面上，电场不连续，有面电荷.电荷面密度为 ⎩⎨ ⎧=-====b r b C a r a C E D n n s ;/;/000εεερ 2-12.若在直角坐标系中电位为 B Ax +=Φ 其中A ，B 均为常数，求电荷密度。 解:由02 /ερ-=Φ∇ 得 =Φ∇-=20ερ0 2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。 (a) (b) 解:(a) 方形均匀线电荷在轴线上的电位 对于方形，每条边均匀线电荷的电位 2 /)2 (2 /)2(ln 4''4)(222202 /2/220L L d L L d x d dx d l L L l -+++=+=Φ⎰-περπερ 其中 2 22)2/(L z d += 方形均匀线电荷在轴线上的电位为 2 /2/2 /2/ln )(22220L L z L L z z l -+++=Φπερ (b) 圆形均匀线电荷在轴线上的电位 2 2 020 2 2 2'4)(z a a z a ad z l l += +=Φ⎰ ερϕπερ π 2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。 解: 题2-5给出的电荷分布的电场为 ⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧>+<=a r r ba a a r a r E r ;55;5202 32 03 εε 由电位的定义,电位为 ⎰∞ =Φr r dr E r )( 对于r>a ⎰∞ +=+=Φr r ba a dr r ba a r 02 32 0235555)(εε 对于r 204 02022 032023202055555)(a r a ba a dr a r dr r ba a r a a r εεεεε-++=++=Φ⎰⎰∞ 2-15.半径为a ，长度为L 的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为ρ P P z =0∃(P 0为常数）。求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为0'=⋅-∇=P ρ ρ (2) 介质表面的束缚电荷面密度为P n s ρ⋅=ˆ'ρ 在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为0'P s ±=ρ. (3) 上下端面上束缚电荷产生的电场 由例题2.2, 圆盘形电荷产生的电场为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++->+-=0 ');''1(20');''1(2)'(220 2 20 z a z z z a z z z E s s z ερερ 式中a 为圆盘半径。将坐标原点放在圆柱介质棒中心。 对上式做变换,2/'L z z -= ,0P s =ρ,可上端面上束缚电荷产生的电场为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧<+--+->+---=2 /);)2/(2/1(22/);)2/(2/1(2)(22002 20 1L z a L z L z P L z a L z L z P z E z εε 同理,做变换,2/'L z z +=,0P s -=ρ,可下端面上束缚电荷产生的电场为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧-<++++->+++--=2 /);)2/(2/1(22/);)2/(2/1(2)(220 02 20 2L z a L z L z P L z a L z L z P z E z εε 上下端面上束缚电荷产生的总电场为 ⎪⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎪⎨⎧-<+---+++<<-+---++++->+---+++=2/);)2/(2 /)2/(2/(22/2/);)2/(2/)2/(2/2(22 /);)2/(2/)2/(2/(22222002 2220 0222200L z a L z L z a L z L z P L z L a L z L z a L z L z P L z a L z L z a L z L z P E z εεε 2-16.半径为a 的介质球均匀极化， ρ P P z =0∃，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为 0'=⋅-∇=P ρ ρ (2) 介质表面的束缚电荷面密度为 θρcos ˆˆˆ'00P P r z P n s =⋅=⋅=ρ 题2-16图 (3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场 在介质球表面取半径为θsin a r =宽度为θad dl =的环带,可看成 半径为θsin a r =,θcos a z -=,电荷线密度为θθρd aP l cos 0=的线电荷圆环,例2.1给出了线电荷 圆环的电场,对θ积分得 00 2 0002 /32223003cos cos 2])cos ()sin [(cos sin 2εθθεθθθθθεππP d P a a d a P E z =-=+=⎰⎰ 2-17.无限长的线电荷位于介电常数为ε的均匀介质中，线电荷密度ρl 为常数，求介质中的电场强度。 解: 设无限长的线电荷沿 z 轴放置, 利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为 περ ρρ2l E = ρ为场点到线电荷的距离. 2-18. 半径为a 的均匀带电球壳，电荷面密度ρs 为常数，外包一层厚度为d 、介电常数为ε的介质，求介质内外的电场强度。 解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，利用高斯定理 ⎰⎰=⋅S q S d D ρ ρ 上式左右两边分别为 s r a D r ρππ22 44= 由此得 2 2r a D s r ρ= 因为E D ρρε=，所 以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+<<=d a r r a d a r a r a E s s r ;;2022 2ερερ 2-19.两同心导体球壳半径分别为a 、b ，两导体之间介质的介电常数为ε，求两导体球壳之间的电容。 解：设内导体带电荷为 q ，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 24r q E r πε= 两导体球壳之间的电压为 )11(4b a q dr E V b a r -= =⎰πε 两导体球壳之间的电容为 a b ab V q C -==πε4 2-20. 两同心导体球壳半径分别为a 、b ，两导体之间有两层介质，介电常数为ε1、ε2，介质界面半径为c ，求两导体球壳之间的电容。 解：设内导体带电荷为 q ，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的球面，采用高斯定理可得，24r q D r π= 两导体球壳之间的电场为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<=b r c r q c r a r q E r ;4;42221πεπε 两导体球壳之间的电压为 )11(4b a q dr E V b a r -= =⎰πε 两导体球壳之间的电容为 a b ab V q C -==πε4 2-21. 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a 、b ，两导体之间介质的介电常数为ε，介质的击穿场强为E b ，求此电容器的耐压。 解：设内导体带电荷为 q ，由于电荷与介质分布具有轴对称性，取半径为 r 的柱面，忽略边缘效应，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为 rl q E r πε2= 内导体表面上的电场最强，设等于击穿场强b E ，则al E q b πε2=。两导体球壳之间的电场用击穿场强b E 表示为 r aE E b r = 两导体球壳之间的耐压为 a b aE dr E V b a b r ln max ⎰== 2-22.已知电场强度为ρ E x y z =+-345∃∃∃，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。 解：由于0=⨯∇E ρ，从而⎰=⋅l l d E 0ρρ，即对 E ρ的线积分与路径无关，因此从点(0,0,0)到点(1,2,1)之间对E ρ的线积分的路径可取沿如图所示的路径，点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压为 题2-22图 ⎰⎰⎰=⋅+⋅+⋅=10201 06ˆˆˆdz z E dy y E dx x E V ρρρ 2-23.已知在球坐标中电场强度为ρE r r =32∃，试求点(,,)a θϕ11与点(,,)b θϕ22之间的电压。 解：由于0=⨯∇E ρ，从而⎰=⋅l l d E 0ρρ，即对E ρ的线积分与路径无关，因此从点(,,)a θϕ11到点 (,,)b θϕ22之间对E ρ的线积分的路径可取从(,,)a θϕ11沿径向到点),,(11ϕθb ，再从),,(11ϕθb 沿球面到点(,,)b θϕ22的路径，而第二条路径的切向与E ρ垂直，线积分为零，因此 ⎰⎰-==⋅=l b a ba a b dr r l d E V )(332ρρ 2-24.已知在圆柱坐标中电场强度为ρE =2ρρ∃，试求点(,,)a ϕ10与点(,,)b ϕ20之间的电压。 解：由于0=⨯∇E ρ，从而⎰=⋅l l d E 0ρρ，即对E ρ的线积分与路径无关，因此从点(,,)a ϕ10到点(,,)b ϕ20之间对E ρ的线积分的路径可取从(,,)a ϕ10沿径向到点)0,,(1ϕb ，再从)0,,(1ϕb 沿柱面到点(,,)b ϕ20的路径，而第二条路径的切向与E ρ垂直，线积分为零，因此 ⎰⎰==⋅=l b a a b d l d E V ln 22ρρρρ 2-25已知真空中一内外半径分别为a 、b 的介质球壳，介电常数为ε，在球心放一电量为q 的点电荷，求电场强度。 解：由题意，电场具有球对称结构。利用高斯定理⎰⎰=⋅S q S d D ρ ρ，在半径为r 的球面上 24r q D r π= 由E D ρ ρε=得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<><=b r a r q b r a r r q E r ;4,;42 20πεπε 2-26.有三层均匀介质，介电常数分别为εεε123,,,取坐标系使分界均平行于xy 面。已知三层介质中均为匀强场，且ρE x z 132=+∃∃，求ρρE E 23,。 解：因为三层介质中均为匀强场，ρE x z 132=+∃∃，设第二、三层介质中的电场强度分别为 z E y E x E E z y x ˆˆˆ2222++=ρ； z E y E x E E z y x ˆˆˆ3333++=ρ 由边界条件t t E E 21=可得 3132===x x x E E E ， 0132===y y y E E E 由边界条件n n D D 21=， 可得 11322ε===z z z D D D ，即212/2εε=z E ；313/2εε=z E 所以 z x E ˆ/2ˆ3212εε+=ρ，z x E ˆ/2ˆ3313εε+=ρ 题2-27图 题2-28图 2-27.半径为a 的导体球中有两个半径均为b 的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q 的点电荷，如图所示，求导体球腔中及球外的电场强度。 解：（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为2101 1 4ˆR R q E πε=ρ，1R ρ为从空腔中心指向该空腔 中场点的位置矢量。 （2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。 （3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为 204r q E r πε= r 为导体球心到场点的距离。 2-28.同轴圆柱形电容器内外半径分别为a 、b ，导体之间一半填充介电常数为ε1的介质，另一半填充介电常数为ε2的介质。当电压为V 时，求电容器中的电场、电容及电荷分布。 解：设内导体上的电量为q,在内外导体之间取半径为 r 的圆柱面，利用高斯定理 ⎰⎰=⋅S q S d D ρρ 在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为 q E E rl r r =+)(22211εεπ 由介质边界条件r r r E E E ==21，可得 r l q E r )(221εεπ+= 内外导体之间的电压为 a b l q dr E V b a r ln )(221εεπ+= =⎰ 由此得a b V l q ln )(221εεπ+=；从而得 a b r V E r ln = a b l V q C ln )(221εεπ+== 由n D s ˆ⋅=ρρ，电荷分布为 ε1介质侧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==b r a b b V a r a b a V s ;ln ;ln 11εερ；ε2介质侧⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧=-==b r a b b V a r a b a V s ;ln ;ln 22εερ 2-29.z>0半空间为介电常数为ε1的介质，z<0半空间为介电常数为ε2的介质，当 (1)电量为q 的点电荷放在介质分界面 (2)电荷线密度为ρl 的均匀线电荷放在介质分界面 求电场强度。 解：（1）电量为q 的点电荷放在介质分界面 以点电荷为中心作以半径为r 的球，利用高斯定理 ⎰⎰=⋅S q S d D ρρ 设上、下半球面上的电位移矢量分别1D ρ、2D ρ ，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有 (22r π)21n n D D +=q 根据边界条件t t E E 21=，因此 2 21)(2r q E n εεπ+= （2）电荷线密度为ρl 的均匀线电荷放在介质分界面 以线电荷为轴线作以半径为r 单位长度的圆柱面，利用高斯定理 ⎰⎰=⋅S l S d D ρρρ 设上、下半柱面上的电位移矢量分别1D ρ、2D ρ ，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别相等，有 (r π)21n n D D +=l ρ (r π)2211n n E E εε+=l ρ 根据边界条件n n E E 21=，因此 r E l n )(21εε πρ+= 2-30.面积为A ，间距为d 的平板电容器电压为V ，介电常数为ε厚度为t 的介质板分别按如图a 、b 所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中的电容、电场及电荷分布。 题2-30图 解：（a ）设导体板之间介质与空气中的电场分别为e E 、0E ρ，那么e E 、0E ρ满足关系 V t d E t E e =-+)(0 00E E e εε= （边界条件） 求解以上两式得 )(t d t V E r e -+=ε； ) (0t d t V E r r -+=εε 根据导体表面上的边界条件n s D =ρ，在上、下导体表面上的电荷面密度为 )(t d t V r s -+±=εερ 电容为 ) (t d t AS V A C r s -+==εερ (b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为 d V E /= 根据导体表面上的边界条件n s D =ρ，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为 d V s /00ερ±= 在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为 d V es /ερ±= 电容为 ad At ad t a A V A A C e es s εερρ+-=+=)(000 2-31.电荷分布为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧><<<=d x d x x x x ;00;0;0)(ρ 在x=0处电位为0，求电位分布。 解：由电荷分布可知，电位仅是x 的函数，电位满足的方程为 ⎩⎨⎧><<<-=Φd x x d x x dx d ,0;00;/022ε 其通解为 在d x <<0 210 3 16c x c x ++-=Φε 在0 在d x > 653c x c +=Φ 设0)0(==Φx ，根据边界条件 002 1==Φ=Φx ;d x =Φ=Φ31; 021=Φ=Φx dx d dx d ;d x dx d dx d =Φ=Φ31 当∞→x 时，电荷分布可看成薄层，薄层外电场具有对称分布，32E E ρρ-=，即 ∞ →Φ=-∞→Φ-x dx d x dx d 32 得0 3602531423;4;0εεd c d c c c c c ==-==== 即 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧>+-<<+- <=Φd x d x d d x x d x x x d x ;340;460;4)(03 020 203 02 εεεεε 2-32.两块电位分别为0和V 的半无限大的导电平板构成夹角为α的角形区域，求该角形区域中的电位分布。 解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是ϕ的函数，在导电平板之间电位方程为 01222 =Φ=Φ∇ϕ ρd d 其通解为 01c c +=Φϕ 由边界条件V ==Φ==Φ)(;0)0(αϕϕ，得 ϕα V =Φ φ=V c α b φ=0 a 题2.32A 图 题2.31图 2-33.由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V 外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。 解：用分离变量法，可得电位的通解为 )(sin sin ),,(1,z mn z m n mn e B e y c n x a m A z y x ααππ+= Φ-∞ =∑ 22)()(c n a m ππα+= 利用边界条件V b z z ==Φ==Φ)(;0)0(，可求出系数 1-=mn B )(162b sh mn V A mn απ= （m 、n 为奇数） 0=mn A （m 、n 为偶数） 题2-33图 题2-34图 2-34.在ρE E x =0∃的匀强电场中沿z 轴放一根半径为a 的无限长导电圆柱后，求电位及电场。 解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为 ∑∞=-++++=Φ1 00)sin )(cos (ln ),(m m m m m m m b m d c d c ϕϕρρρϕρ （1） 设0)0(==Φρ，当∞→ρ时的电位等于无导电圆柱的电位，即 ⎰-=-=⋅=∞→Φ=∞→Φ00000cos ˆ)()(x E x E dx x E ϕρρρρ （2） 要使式（1）的电位在∞→ρ时等于式（2），可得到系数 01E c -=，01=≠m c ，0=m b ，00=d 再由导体界面的边界条件0)(==Φa ρ得 0,1021==≠m d E a d 因此，电位的特解为 ϕρρϕρcos )(),(20a E - -=Φ 2-35.在无限大的导电平板上方距导电平板h 处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为ρl ，求导电平板上 方的电场。 解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-ρl 的线电荷, 导电平板上方的电场为 )(22221110r r r r E l ρρρ-=περ 式中1r ρ、2r ρ分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。 2-36.由无限大的导电平板折成45ο的角形区，在该角形区中某一点(x y z 000,,)有一点电荷q ，用镜像法求 电位分布。 解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为(x y z 000,,)，在圆柱坐标系中为),,(000z ϕρ，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为 00;z z i i ==ρρ 7,1Λ=i ;270;180;180;90;90005004003002001ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=+=-=+=-= 07006;270ϕϕϕϕ-=+= 镜像电荷为q q q q q q q q q q q q q q -==-==-==-=7654321;;;;;; 对于场点),,(z y x ，电荷到场点的距离矢量为 z z z y y y x x x r i i i i ˆ)(ˆ)(ˆ)(-+-+-=ρ；7,0Λ=i 则场点的电场为∑==70304)(i i i r r q r E ρρρπε 题2-36图 题2-37图 2-37.半径为a ，带电量为Q 的导体球附近距球心f 处有一点电荷q ，求点电荷q 所受的力。 解：点电荷q 受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷'q 的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷"q 的力。由镜像法，镜像电荷'q 的大小和位置分别为 f a d q f a q 2 ;'=-= 由于包围导体球的总电量为Q ，所以位于位于球中心的点电荷"q =Q-'q ;因此点电荷q 受到的力为 ]) (//[4ˆ220d f f aq f f aq Q q x F --+=περ 2-38.内外半径分别为a 、b 的导电球壳内距球心为d(d (1)导电球壳电位为零； (2)导电球壳电位为V ； (3)导电球壳上的总电量为Q ； 分别求导电球壳内外的电位分布。 解：（1）导电球壳电位为零 由于导电球壳电位为零，导电球壳外无电荷分布，因此导电球壳外的电位为零。 导电球壳内的电位的电位由导电球壳内的点电荷和导电球壳内壁上的电荷产生，而导电球壳内壁上的电荷可用位于导电球壳外的镜像电荷等效，两个电荷使导电球壳内壁面上的电位为零，因此镜像电荷的大小、距球心的距离分别为 q d a q -='；d a f 2= 导电球壳内的电位为 }'{42 10r q r q q -=Φπε 其中1r 、2r 分别为场点与点电荷及镜像电荷的距离，用圆球坐标表示为 θ cos 2221rd d r r -+= θcos )(2)(22222d a r d a r r -+= （2）导电球壳电位为V 当导电球壳电位为V 时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，其电位满足 r c =Φ 利用边界条件得 r bV =Φ 导体球壳内的电位可看成两部分的叠加，一部分是内有点电荷但球壳为零时的电位，这一部分的电位同前；另一部分是内无点电荷但球壳电位为V 时的电位，这一部分的电位为V 。因此导电球壳电位为V 时，导电球壳内的电位为 V r q r q q +-=Φ}'{4210 πε 其中1r 、2r 分别为场点与点电荷及镜像电荷的距离。 (3)导电球壳上的总电量为Q 当导电球壳上的总电量为Q 时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，导电球壳内的总电量为Q+q,其电位满足 r q Q 04πε+=Φ 导电球壳上的电位为b q Q U 04πε+= 同上得，导电球壳内的电位为 U r q r q q +-=Φ}'{42 10πε 题2-38图 题2-39图 2-39.无限大导电平面上有一导电半球，半径为a ，在半球体正上方距球心及导电平面h 处有一点电荷q ，求该点电荷所受的力。 解：要使导体球面和平面上的电位均为零，应有三个镜像电荷，如图所示。三个镜像电荷的电量和位置分别 为h z q h a z q h a z q h a q -=--=-=-=,;,';,'2 2 点电荷q 所受的力为三个镜像电荷的电场力，即 })2(1)/(/)/(/{42 222202h h a h h a h a h h a q z F -++--=πε)ρ 力的正方向向上。 2-40. 无限大导电平面上方平行放置一根半径为a 的无限长导电圆柱，该导电圆柱轴线距导电平面为h ，求导电圆柱与导电平面之间单位长度的电容。 解：如果无限长导电圆柱上有电荷线密度l ρ，导电平面可用镜像位置的线电荷等效，镜像电荷线密度为-l ρ。由导体圆柱的镜像法可求得导体圆柱的电位Φ，那么，单位导体圆柱与导电平面之间的电容为 )ln(2220a a h h C l -+= Φ=περ 题2-40图 2-41. z>0半空间为介电常数为ε1的介质，z<0半空间为介电常数为ε2的介质，在界面两边距界面为h 的对称位置分别放置电量分别为q 1和q 2的点电荷。分别计算两个点电荷所受得力。 解：利用镜像法，计算z>0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(b)，计算z<0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(c)。这样上半空间的电位可表示为 )'(41 22111 1r q r q +=Φπε 式中1r 为q 1到场点的距离，2r 为q 1的镜像位置的电荷2'q 到场点的距离；下半空间的电位可表示为 )'( 41 413222r q r q +=Φπε 式中3r 为2q 到场点的距离，4r 为2q 的镜像位置的电荷1'q 到场点的距离。利用边界条件， s 21Φ=Φ和s D D n n 11=得 221121/)'(/)'(εεq q q q +=+ )'()'(2121q q q q -=- 由此得 22121121212'q q q εεεεεεε+-++= 12 121221122'q q q εεεεεεε+-++= q 1和2q 所受的斥力分别为 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为： ) 0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。 解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则 21=r ，32=r ，23=r 。 利用点电荷的场强公式r e E 2 04r q πε= ，其中r e 为点电荷q 指向场点 P 的单位矢量。那么， 1q 在P 点的场强大小为0 2 1 011814πεπε= = r q E ，方向为 ()z y r e e e +- =2 11。 2q 在P 点的场强大小为0 2 2 022121 4πεπε= = r q E ，方向为 ()z y x r e e e e ++- =3 12。 3q 在P 点的场强大小为0 2 3 033414πεπε= = r q E ，方向为y r e e -=3 则P 点的合成电场强度为 ?? ???????? ??++???? ??+++- =++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε 2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-?C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为6102-?C 的点电荷由无限远 处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。 解 根据叠加原理，P 点的合成电位为 ()V 105.24260?=? =r q πε? 因此，将电量为C 1026 -?的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ? 2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度 πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。 解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即 习题图2-4 习题图2-6 1麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?,B E t ???=-?,0B ?=,D ρ ?= 2静电场的基本方程积分形式为： C E dl =? S D ds ρ =? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=? ?=?? ?=?? ?=?D B E H 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=,B H μ=,J E σ= 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ? 6电位满足的泊松方程为 2 ρ ?ε?=- ； 》 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E 的单位是V/m ，电位移D 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =??的依据是（ 0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?= =-? 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? , 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =? 得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞ ∞ ==== ??? 导体球的电容04q C a U πε== $ 《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。 第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。 第一章 矢量分析 第一章 题 解 1-1 已知三个矢量分别为 z y e e e A x 32-+=； z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。试求①|| |,| |,|C B A ；②单 位矢量c b a e e e , ,；③B A ?；④B A ?；⑤C B A ??)(及 B C A ??)(；⑥B C A ??)(及C B A ??)(。 解 ① ()143212 22222=-++=++= z y x A A A A 1421322222 2=++=++=z y x B B B B ()51022 22222=-++=++=z y x C C C C ② ()z y e e e A A A e x a 32141 14-+= == ()z y e e e B B B e x b 23141 14++= == ()z e e C C C e x c -= == 25 1 5 ③ 1623-=-+=++=?z z y y x x B A B A B A B A ④ z y z y z y x z y x z y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x 51172 13 321--=-==? ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x 223111 2 5117 +-=---=?? 因 z y z y z y x z y x C C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x 4521 02 321---=--==? 则 ()z y z y e e e e e e B C A x x 13862 1 3 452 +--=---=?? ⑥ ()()()152131532=?+?-+?-=??B C A ()()()1915027=-?-++?=??C B A 。 1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为， 位置矢量B 与X 轴的夹角为 ，试证 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为 ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x += 已知()βα-=?cos B A B A ，求得 ()B A B A B A β αβαβαsin sin cos cos cos += - 即 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ， )3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。试问：①该三角形是否是直角三 角形；②该三角形的面积是多少 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为 z y e e P 21-=； z y x e e e P 342-+=； z y x e e e P 5263++= 那么，由顶点P 1指向P 2的边矢量为 z e e P P x -=-412 同理，由顶点P 2指向P 3的边矢量由顶点P 3指向P 1的边矢量分别为 z y e e e P P x 8223++=- z y e e e P P x 7631---=- 电磁场 与电磁波（第四版） 课后答案 第一章 习 题 解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的 分 量；（6）⨯A C ； （7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 cos AB θ = 14-==⨯A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分 量 B A =A cos AB θ= 11 17 =-A B B （6）⨯=A C 1235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e 电磁场与波课后思考题 2-1 电场强度的定义是什么？如何用电场线描述电场强度的大小及方向？ 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。 用曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，这种曲线称为电场线。 电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。 2-2给出电位与电场强度的关系式，说明电位的物理意义。 静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。 2-3什么是等位面？ 电位相等的曲面称为等位面。 2-5给出电流和电流密度的定义。 电流是电荷的有规则运动形成的。单位时间内穿过某一截面的电荷量称为电流。 分为传导电流和运流电流两种。 传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。 电流密度：是一个矢量，以J 表示。电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单 位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。 2-10运动电荷，电流元以及小电流环在恒定磁场中受到的影响有何不同？ 运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直，磁场力只能改变其运动方向，磁场 与运动电荷之间没有能量交换。 当电流元的电流方向与磁感应强度B 平行时，受力为零；当电流元的方向与B 垂直时， 受力最大，电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方向。 当电流环的磁矩方向与磁感应强度B 的方向平行时，受到的力矩为零；当两者垂直时， 受到的力矩最大 2-11什么是安培环路定理？试述磁通连续性原理。 为真空磁导率，70 10π4-?=μ (H/m)，I 为闭合曲线包围的电流。 安培环路定理表明：真空中恒定磁场的磁通密度沿任意闭合曲面的环量等于曲线包围的 电流与真空磁导率的乘积。 真空中恒定磁场通过任意闭合面的磁通为0。 磁场线是处处闭合的，没有起点与终点，这种特性称为磁通连续性原理。 2-12什么是感应电动势和感应磁通？ 感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即 穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势e 为 ? -?=E ρS J I ρ ρd d ?=t q I d d = B v q ρρρ?=F B l I F ρρρ ?=d ISB B Il IlBl Fl T ====2)(B S I T ρρρ?=S I ρρ=m B T ρρ?=m I l B l ? =? 0 d μρρ? =?S S B 0d ρρt l E l d d d Φ -=?? ρρt e d d Φ-= 第一章 矢量场 1.1 z y x C z y x B z y x A ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=ρρ ρ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρ B C ⨯ ； (e) ()ρρρA B C ⨯⨯ (f) ()ρρρA B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x B B b -+==ρρ ( c) 7=⋅B A ρρ; (d) z y x C B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ρ ρ (e) z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ρ ρρ (f) 19)(-=⋅⨯C B A ρ ρρ 1.2 ρA z =++2∃∃∃ρ πϕ; ρ B z =-+-∃∃∃ρϕ32 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρ B A ⨯ ; (e) B A ρρ+ 解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(14 1ˆz b -+-= ϕρ;(c) 43-=⋅πB A ρρ (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρ πρ ρ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ ρ ρ 1.3 ρ A r =+-22∃∃∃πθπϕ; ρB r =-∃∃πθ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) ρρ A B + 解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2 θππ-+= r b ； (c) 22π-=⋅B A ρρ ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r A B ρρ ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A ρρ 1.4 ρA x y z =+-∃∃∃2; ρ B x y z =+-α∃∃∃3 当ρρ A B ⊥时，求α。 解：当ρρA B ⊥时，ρρ A B ⋅=0, 由此得 5-=α 1.5 将直角坐标系中的矢量场ρρ F x y z x F x y z y 12(,,)∃,(,,)∃==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。 解：(1)圆柱坐标系 由(1.2-7)式，ϕϕϕρsin ˆcos ˆˆ1-==x F ρ;ϕϕϕρcos ˆsin ˆˆ2+==y F ρ (2)圆球坐标系 由(1.2-14)式, ϕϕϕθθϕθsin ˆcos cos ˆcos sin ˆˆ1-+==r x F ρ ϕϕϕθθϕθcos ˆsin cos ˆsin sin ˆˆ2++==r y F ρ 1.6 将圆柱坐标系中的矢量场ρρ F z F z 1223(,,)∃,(,,)∃ρϕρρϕϕ ==用直角坐标系中的坐标分量表示。 解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2 ˆsin 2ˆcos 2ˆ2221y y x x y x y x F ++=+==ϕϕρρ )ˆˆ(3 ˆcos 3ˆsin 3ˆ3222y x x y y x y x F +-+=+-==ϕϕϕρ 第二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为 43230049U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电 压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。 解 （1） 4323000 4d ()d 9d Q U d x S x τρτε--==-=??11004 4.7210C 3U S d ε--=-? （ 2 ） 432002 4d ()d 9d d Q U d x S x τρτε--' '== -=? ?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电 2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。由 2 12 mv qU = 得 61.3710v ==? m s 故0.318J v ρ== 2A m 26(2)10I J d π-== A 2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin r φωθ=?=v r e ω 球内的电荷体密度为 3 43 Q a ρπ= 故 33 3sin sin 434Q Q r r a a φφω ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω 绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin a φωθ=?=v r e ω 球面的上电荷面密度为 2 4Q a σπ= 第二章习题解答 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为，式中阴极板位于，阳极板位于，极间电压为。如果、、横截面，求：（1）和区域内的总电荷量；（2）和区域内的总电荷量。 解（1） （2） 一个体密度为的质子束，通过的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解质子的质量、电量。由 得 故 一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。 解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为 球内的电荷体密度为 故 一个半径为的导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。 解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球面上任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为 球面的上电荷面密度为 故 两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处的电场强度。 解电荷在处产生的电场为 电荷在处产生的电场为 故处的电场为 一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度，设半圆环的半径也为，如题图所示。 解半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为 三根长度均为，均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成 等边三角形。设，计算三角形中心处的电场强度。 解建立题图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 题图 则 故等边三角形中心处的电场强度为 －点电荷位于处，另－点电荷位于处，空间有没有电场强度的点？ 解 电荷在处产生的电场为 电荷在处产生的电场为 处的电场则为。令，则有 由上式两端对应分量相等，可得到 ① ② ③ 当或时，将式②或式③代入式①，得。所以，当或时无解； 当且时，由式①，有 解得 但不合题意，故仅在处电场强度。 2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。 解 半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为 故整个导电带电面在轴上处的电场强度为 而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为 一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题图所示。求球心处的磁感应强度。 解 球面上的电荷面密度为 当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为 将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为 细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 两个半径为、同轴的相同线圈，各有匝，相互隔开距离为，如题图所示。电流以相 题图 题图 电磁场与波课后思考题 1-1 什么是标量与矢量?举例说明 . 仅具有大小特征的量称为标量.如:长度 ,面积 ,体积 ,温度 ,气压 ,密度 ,质量 ,能量及电位移等. 不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量 .如:力 ,位移 ,速度 ,加速度 ,电场强度及磁场强度 . 1-2 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么? 矢量加减运算表示空间位移. 矢量与标量的乘法运算表示矢量的伸缩. 1-3矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么? 矢量的标积 : A B A x B x A y B y A z B z A B cos ,A 矢量的模与矢量 B 在矢量 A 方向上的投影大小的乘积 . 矢积 : e x e y e z 矢积的方向与矢量A,B 都垂直 ,且 A B A x A y A z e z A B sin 由矢量 A 旋转到 B,并与矢积构成右 B x B y B z 旋关系 ,大小为 A B sin 1-4什么是单位矢量 ?写出单位矢量在直角坐标中的表达式. 模为 1的矢量称为单位矢量. e a cos e x cos e y cos e z 1-5梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的表示式 . 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方向为该点具有最大方向导数的方向. 梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向 在直角坐标中的表示式: x e x y e y z e z 1-6什么是矢量场的通量 ?通量值为正 ,负或零时分别代表什么意义? 矢量 A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面S 的通量 ,以标量表示， 即Ψ A dS通量为零时表示该闭合面中没有矢量穿过. S ; 通量为负时表示闭合面中有洞 . 通量为正时表示闭合面中有源 1-7给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式. d div Alim S 散度：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S的通量 A S 与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度。V0V 直角坐标形式：A x A y A z div A x y z A 1-8试述散度的物理概念 ,散度值为正 ,负或零时分别表示什么意义? 物理概念：通过包围单位体积闭合面的通量。 散度为正时表示辐散 ,为负时表示辐合 ,为零时表示无能量流过 . 1-9试述散度定理及其物理概念 . 散度定理 : 建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S 上的场之间的关系 电磁场与电磁波课后习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ； （7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由 c o s AB θ = 8==A B A B ，得 1c o s AB θ- =(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =A B B （6）⨯=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()⨯⨯=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123 PP P ∆是否为一直角三角形； 电磁场与电磁波课后习题及答案 1 4e x e y e z 1，R 23 r 3 r 2 2e x e y 4e z 8，R 31 r 1 r 3 6e x e y e z 3，由于R 12 R 23 411)21430，R 23 R 31 214)61384，R 31 R 12 613)41136，故PP 2 不是一直角三角形。 2）三角形的面积可以用矢量积求得：S 1 2 R 12 R 23 的模长，即 S 1 2 2 411)214214 613)411411 613)214613 3 2 begin{n} 1）三个顶点P、$P_2$(4,1,-3)和$P_3$(0,1,-2)的位置矢量分别为$r_1=e_y-e_z$，$r_2=e_x+4e_y-e_z$， $r_3=e_x+6e_y+2e_z$，则$R_{12}=r_2-r_1=4e_x+e_y+e_z$，$R_{23}=r_3-r_2=2e_x+e_y+4e_z$，$R_{31}=r_1-r_3=- 6e_x+e_y-e_z$，由于$R_{12}\cdot R_{23}=(4+1+1)(2+1+4)=30$，$R_{23}\cdot R_{31}=(2+1+4)(6+1+3)=84$，$R_{31}\cdot R_{12}=(-6+1-3)(4+1+1)=-36$，故$\triangle PP_2P_3$不是一直角三角形。 2）三角形的面积可以用矢量积求得： $S=\frac{1}{2}|R_{12}\times R_{23}|$的模长，即 $S=\frac{1}{2}\sqrt{(4+1+1)(2+1+4)(2+1+4)-(-6+1- 3)(4+1+1)(4+1+1)-(-6+1- 3)(2+1+4)(6+1+3)}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。 end{n} 根据给定的矢量，计算得到： R_{12}=\sqrt{(e_x^4-e_z)(e_x^2+e_y+e_z/8)}$ R_{23}=r_3-r_2=e_x^2+e_y+e_z/8-r_3$ R_{31}=r_1-r_3=-e_x/6-e_y-e_z/7$ 由此可以得到，$\Delta P P$为一直角三角形，且$R_{12} \times R_{23}=17.13$。 电磁场与电磁波课后习题及答案 习题解答如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。解根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为y?)?a(y,?) 0①?(0,) 0②?(x,0? ③?(x,b)?U0 根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为y ?(x,y)??Ansinh(n?1?n?yn?x)sin()aa b o U0 条件③，有 a 题图U0??Ansinh(? ax n?1n?bn?x)sin()aa sin(两边同乘以n?x)a，并从0到a对x积分，得到a2U0n?xAn?sin()dx?asinh(n?ba)?a0 4U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba)2U0?(1?cosn?) ??n?2,4,6,n?sinh(n?ba)?0，?(x,y)?故得到槽内的电位分布4U01?,sinh?n?1,3,5nn?(ban?ysinh()a?nx)s in(a ) 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。y U0解应用叠加原理，设板间的电位为?(x,y)??1(x,y)??2(x,y) 其中，boxydxy oxy 题图?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间的电位，即?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①?2(x,0)??2(x,b)?0 ②?2(x,y)?0(x??) U0?U?y??0b?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y ?U0y?b?d③(0?y?d)(d?y?b) ??xn?y?nb?2(x,y)?? Ansin()e?(x,y)的通解为bn?1根据条件①和②，可设 2 U0?U?y?n?y??0bAnsin()???bn?1?U0y?U0 y?b?d条件③有sin(两边同乘以 第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ,B ,C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：⑴矢量A 的单位矢量A a ； ⑵矢量A 和B 的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ⨯B ⑷A ·〔B ⨯C 〕和〔A ⨯B 〕·C ； ⑸A ⨯〔B ⨯C 〕和〔A ⨯B 〕⨯C 解：⑴ A a = A A = 〔x a +2y a -3z a 〕⑵cos AB θ=A ·B /A B AB θ=135.5o ⑶A ·B =-11,A ⨯B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·〔B ⨯C 〕=-42 〔A ⨯B 〕·C =-42 ⑸A ⨯〔B ⨯C 〕=55x a -44y a -11z a 〔A ⨯B 〕⨯C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r)=x a 〔-y 〕+y a 则c=ln<1+4+9>=ln14 那么2x +2y +2 z =14 1.9求标量场ψ〔x,y,z 〕=62x 3 y +z e 在点P 〔2,-1,0〕的梯度. 解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a z ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ∇=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2 x +2 y =9和平面x=0,y=0,z=0与z=2所包围的区域,设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量,其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a 〔3y+z 〕+z a <3z -x> ⑵验证散度定理. 解：⑴⎰ •s d A = A d S •⎰曲 +A d S •⎰xoz +A d S •⎰yoz +A d S •⎰上 +A d S •⎰下 A d S •⎰曲 =232 (3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰ 曲 =156.4 A d S •⎰xoz =(3)y z dxdz +⎰xoz =-6 A d S •⎰yoz =-2 3x dydz ⎰yoz =0 A d S •⎰上 +A d S •⎰下 =(6cos )d d ρθρθρ-⎰上 +cos d d ρθρθ⎰下 = 27 2 π ⎰•s d A =193 ⑵dV A V ⎰•∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+⎰=193 即：⎰•s s d A =dV A V ⎰•∇ 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2 y 沿圆周2x +2y =2 a 的线积分,再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分,验证斯托克斯定理. 解：⎰•l l d A =2 L xdx xy dy +⎰=44a π A ∇⨯=z a 2y ⎰•⨯∇S s d A =2S y dS ⎰=22sin S d d θ ρρρθ⎰=44a π 第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：⑴矢量A 的单位矢量A a ； ⑵矢量A 和B 的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ⨯B ⑷A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ； ⑸A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C 解：⑴A a = A A = 149 A ++=（x a +2y a -3z a ）/14 ⑵cos AB θ=A ·B /A B AB θ=135.5o ⑶A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·（B ⨯C ）=-42 （A ⨯B ）·C =-42 ⑸A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a （A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2 y =c 1.6求数量场ψ=ln （2 x +2 y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2 y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2 y +2z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3 y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a z ψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ∇=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2 x +2 y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) ⑵验证散度定理。 解：⑴⎰∙s d A = A d S ∙⎰曲 +A d S ∙⎰xoz +A d S ∙⎰yoz +A d S ∙⎰上 +A d S ∙⎰下 A d S ∙⎰曲 =2 32(3cos 3sin sin )z d d ρ θρθθρθ++⎰曲 =156.4 A d S ∙⎰xoz =(3)y z dxdz +⎰xoz =-6 A d S ∙⎰ yoz =- 23x dydz ⎰ yoz =0 A d S ∙⎰上 +A d S ∙⎰下 =(6cos )d d ρθρθρ-⎰上 +cos d d ρθρθ⎰下 = 272 π ⎰∙s d A =193 ⑵dV A V ⎰∙∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+⎰=193 即：⎰∙s s d A =dV A V ⎰∙∇ 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2 y 沿圆周2x +2y =2 a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。 解：⎰∙l l d A =2 L xdx xy dy +⎰=44a π A ∇⨯=z a 2y电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套
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