导数综合练习题(详细解答)
导数练习题（B ）
1．（本题满分12分）
已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；
（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；
（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3
1
的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）
已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．
（I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为
,23若函数]2
)('[31)(23m
x f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．
3．（本小题满分14分）
已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若方程9
)32()(2
+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；
（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分）
已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．
（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）
已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；
（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）
已知2x =是函数2
()(23)x
f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）．
（I ）求实数a 的值；
（II ）求函数()f x 在]3,2
3[∈x 的最大值和最小值．
7．（本小题满分14分）
已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；
（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）
已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．
单调性． （I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22
()()6g x f x x
'=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238
|()()|||27
g x g x x x ->
-恒成立． 9．（本小题满分12分）
已知函数.1,ln )1(2
1)(2
>-+-=
a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；
（II ）证明：若.1)
()(,),,0(,,52
1212121->--≠+∞∈ 10．（本小题满分14分） 已知函数2 1()ln ,()(1),12 f x x a x g x a x a = +=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,]( 2.71828 )a e e ∈= ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．（本小题满分12分） 设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值； （II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分） 定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ， （I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域； （II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在 )14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围； （III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 导数练习题（B ）答案 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得 ? ? ?==????=--++=03 023233c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f ? ? ?=+--+-=--+5346483 23412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2 +-='x x x f ．可转化为：( ) m x x x x x x +++-=++-5343962 2 3 有三个不等实根， 即：()m x x x x g -+-=872 3 与x 轴有三个交点； 2'， ()m g m g --=-=?? ? ??164,273． …………（10分） 当且仅当()016402768 32<--=>-= ?? ? ??m g m g 且时，有三个交点， 故而，27 68 16<<-m 为所求． …………（12分） 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间（1， 3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 解：（I ）)0() 1()('>-= x x x a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为 时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞ （II ）32ln 2)(,223 43)4('-+-=-==- =x x x f a a f 得 2)4()(',2)22 (31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x m x x g （6分） 2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间 ?? ?><∴. 0)3(', 0)1('g g （8分）?? ? ??>-<∴,319 , 3m m （10分）)3,319(--∈m （12分） 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=?=320)1(--=?='a b f ),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f 由3 3 210)(+-==?='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值， 所以313 3 2-+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ； …………（4分） （II 依题意得：9 )32(272 -=+a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-= …………（10分） （III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα 在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间 x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． …………（14分） 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分） （II ）a x a x a x x g )22)(22(22)(-+ =- ='，由0)(='x g ，得2a x =，列表 当2x 2 22( …………（6分） 由（I ）a e a >，∵? ? ???>>22a a e e a a ，∴22a e a >，∴22a e a > 01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分） （i ）当 122≤a ，即20≤a ，即2>a 时 若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =； 若0)2 ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点； 综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论： 当02a e <<时，函数() f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点． …………（12分） 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 解：（I ）当1k =时，2()1 x f x x -'=- )(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数 ∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点， ∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分） ②当0k >时，1() 11()11 1 k k x k kx k f x k x x x +- +-'= -==---- ………………（6分） 令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1 (1,),()0x f x k '∈++∞<时， ∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1 [1,)k ++∞在上是减函数， ∴()f x 的最大值是1 (1)ln f k k +=-， ∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >， 因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3 [∈x 的最大值和最小值． 解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得 22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分） ∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '= ∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增， 由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减 ∴2)2(e f =是()f x 在]3,2 3[∈x 的最小值； ……………（8分） 2 34 7)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=- ∴()f x 在]3,2 3 [∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分） 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2 ≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=， x x x x x x f )4)(2(21642)('-+=- -= 2分 由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2- 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分 （Ⅱ）在],[2 e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2 -+-= 所以x a x x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2 当0 此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2 e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分 当0>a 时，△=08)2(2416>=-?-a a ， 令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x + >或221a x -<； 令0)(' 21a x + <<. ①若2 21a +≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==. ②若22 21e a e <+ <，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2 e a +上单调递增， 所以min )(x f )221(a f +=)2 21ln()2(322a a a a +-+--=. ③若2 21a +≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=； 当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)2 21ln()2(322)(min a a a a x f +-+--= ； 当a ≤2 )1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min 14分 8．（本小题满分12分） 已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．． 单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238 |()()|||27 g x g x x x -> -恒成立． 解：（I ）226()26a x x a f x x x x -+'=-+=， ………………（2分） ∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．． 单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是3 2 x = ，开口向上的抛物线，∴222620y a =?-?+< 的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分） （II ）由（I ）22()2a g x x x x =+-， 方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x '=- +=+->， ∵4a <，∴323233 444244 ()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分） 设2344()2h x x x =-+，344 8124(23) ()x h x x x x -'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值38 27 ∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38 ()27 y g x x =-是增函数， 12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838 ()()2727g x x g x x ->- ∴212138 ()()()27 g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1 212()()3827g x g x x x ->- ∴ 1212()()g x g x x x --3827 >，即121238 |()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 方法2： 11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点， 121222 121212()()2()2g x g x x x a x x x x x x -+=+-- ，12x x +> 4a < 12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+ ->+ -12 4 2x x >+- ………（8分） 设0t t = >，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t > 由()0u t '<得2 0,3 t << ()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数， )(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38 ()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827 > 即121238 |()()|||27 g x g x x x -> - ………………（12分） 9．（本小题满分12分） 已知函数.1,ln )1(2 1)(2 >-+-= a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性； （II ）证明：若.1) ()(,),,0(,,52 1212121->--≠+∞∈ 则对任意 （1）)(x f 的定义域为),0(+∞，x a x x x a ax x x a a x x f ) 1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分 （i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2 x x x f -= 故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而 )1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加． （iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加． （II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212 x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(1 21)1()('2---=---?≥-+--=a a x a x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞> 故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1) ()()()(1 2122121->--=--x x x f x f x x x f x f 10．（本小题满分14分） 已知函数2 1()ln ,()(1),12 f x x a x g x a x a = +=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,]( 2.71828 )a e e ∈= ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 解：（I ）(),()1a f x x g x a x ''=+=+， ……………（2分） ∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同， ∴当[1,3]x ∈时，2(1)() ()()0a x a f x g x x ++''?= ≥恒成立， ……………（4分） 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-??≥-?在[1,3]x ∈时恒成立，或2 1a a x <-??≤-? 在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分） （II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x = +-+，()(1) ()(1)a x a x F x x a x x --'=+-+= ∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a > ∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1 (1)2M F a ==--， 当x a =时，()F x 取极小值21 ()ln 2 m F a a a a a ==--， ………………（8分） ∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分） 设211 ()ln 22 G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--， ∴1 [()]1G a a ''=- ，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''> ∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>= ∴211 ()ln 22 G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分） ∴()()G a G e ≤，即2 211(1)()1222 e G a e e -≤--= -， 而22 211(1)(31)1112222 e e e ----= -<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分） 设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值； （II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e x x -'= -==，得1 x e = 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表： ∴当1 x e = 时，()f x 取得极大值()2f e =-，没有极小值； …………（4分） （II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴ 2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201 ln 0x x x x x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211 ()ln ()x g x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--，1 / 211 ()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222 ()()ln ()0x g x g x x x x x <=--=； 222211()ln ()x g x x x x x =--，2 / 221 ()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111 ()()ln ()0x g x g x x x x x >=--=， ∴函数2211 ()ln ()x g x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分） 又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211 ()ln ()x g x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2121 ()ln x x x g x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分） （方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021 ln ln ()1 x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一 设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x > ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分） 定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ， （I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域； （II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在 )14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围； （III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分） 得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++ 设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++ ∴存在实数b 使得??? ??>+++-<<--=++111482302 0300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分） 由①得,238020ax x b ---=代入③得08202 0<---ax x ， 2 000280 41 x ax x ?++>?∴? -<<-??由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以008 2()[8,10)() x x -+ ∈-， 当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线 ………………（10分） 方法2：得08)1()1(208)4()4(22 2 >+-?+-?>+-?+-?a a 或， 1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分） 方法3：是22 2(4)(4)802(1)(1)80 a a ??-+?-+≤???-+?-+≤??的补集，即10a < ………………（10分） （III ）令2 ) 1ln(1)(,1,)1ln()(x x x x x h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x x x x p 0)1(11)1(1)(2 2<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分 0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有 ),1[)(+∞∴在x h 单调递减， x y y x y x x y y y x x y x )1()1(),1ln()1ln(,) 1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分） ①② ③ 构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧． 技法一：“比较法”构造函数 [典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1． (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜e x． [解] (1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a． 因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2， 所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2， 令f′(x)＝0，得x＝ln 2， 当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． (2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x． 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0， 故g(x)在R上单调递增． 所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x． [方法点拨] 在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的 结论求解． [对点演练] 已知函数f (x )＝x e x ，直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0(x 0＜1) 处的切线，求证：f (x )≤g (x )． 证明：函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)． 令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝ 1－x e x － 1－x 0 e 0 x ＝ ?1－x ?e 0 x －?1－x 0?e x e 0 ＋x x ． 设φ(x )＝(1－x )e 0 x －(1－x 0)e x ， 则φ′(x )＝－e 0 x －(1－x 0)e x ， ∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0， ∴φ(x )在R 上单调递减，又φ(x 0)＝0， ∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0， ∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x )． 技法二：“拆分法”构造函数 [典例] 设函数f (x )＝ae x ln x ＋be x －1 x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1)) 处的切线为y ＝e (x －1)＋2． (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1． [解] (1)f ′(x )＝ae x ? ?? ??ln x ＋1x ＋be x －1 ?x －1? x 2 (x ＞0)， 由于直线y ＝e (x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)， 导数综合应用复习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 导数综合应用复习题 一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系 设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内： （1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥； （2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='； （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤： （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=； （3）判断出函数的单调性； （4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值； 在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤： 利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。 二、例题解析： 例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。 （2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减， 若存在，请求a 的取值范围。 解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减 且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立， 即()()11201120 f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。 例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。 导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y = 与m x x f y ++'= 5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论． （1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?? ?? 0，12，求 h (x 1)－h (x 2)的最小 值． [审题程序] 第一步：在定义域内，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值范围； 第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规范解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ， 其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2， 令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4. ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a >2时，Δ>0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－4 2 ， 合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析，高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题，考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。在内容上日趋综合化，在解题方法上日趋多样化. 解决这类有关的问题，有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题） 已知函数()()ax x x ax x f --++=2 3 1ln . (1) 若 3 2 为()x f y =的极值点，求实数a 的值； (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若1-=a 时，方程()()x b x x f = ---3 11有实根，求实数b 的取值范围。 解：（1）因为3 2= x 是函数的一个极值点，所以0)32 (='f ，进而解得：0=a ，经检验是 符合的，所以.0=a （2）显然(),2312a x x ax a x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且01≥+ax a 。同时a x x --232此函数是31 导数综合应用复习题经典 RUSER redacted on the night of December 17,2020 导数综合应用复习题 一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系 设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内： （1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥； （2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='； （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤： （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=； （3）判断出函数的单调性； （4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值； 在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤： 利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。 二、例题解析： 例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。 （2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减， 若存在，请求a 的取值范围。 解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减 且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立， 即()() 11201120f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。 例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。 （2）若对[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。 （3）若对[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。 （4）若对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立， 导数及其应用综合检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为() A．v＝2sin t＋2t cos t＋1 B．v＝2sin t＋2t cos t C．v＝2sin t D．v＝2sin t＋2cos t＋1 3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是() A．4 B．5 C．6 D．7 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1() A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是() A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x) ＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3) 8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④ 9．(2010·湖南理，5)??2 4 1x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞， ＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4 复合函数求导练习题 一．选择题（共26小题） 1．设，则f′（2）=（） A．B．C．D． 2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（） A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D． 3．下列式子不正确的是（） A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2 C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′= 4．设f（x）=sin2x，则=（） A．B．C．1 D．﹣1 5．函数y=cos（2x+1）的导数是（） A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1） C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1） 6．下列导数运算正确的是（） A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 7．下列式子不正确的是（） A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x C．D． 8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（） A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3 9．函数的导数是（） A． B． C．D． 10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（） A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x 11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 12．下列求导运算正确的是（） A． B． C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x 13．若，则函数f（x）可以是（） A．B．C．D．lnx 14．设 ，则f2013（x）=（） A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x） C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x） 15．设f（x）=cos22x，则=（） A．2 B．C．﹣1 D．﹣2 16．函数的导数为（） A．B． C．D． 17．函数y=cos（1+x2）的导数是（） A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2） 18．函数y=sin（﹣x）的导数为（） A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+） 19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（） A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x） C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x） 21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（） A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x 22．函数的导函数是（） A．f'（x）=2e2x B． C．D． 导数选择题之构造函数法解不等式的一类题 一、单选题 1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为 A． B． C． D． 2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得 成立的的取值范围是（） A． B． C． D． 3．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（） A． B． C． D． 4．已知函数定义在数集上的偶函数，当时恒有，且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 5．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 6．设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则的大小关系是（） A． B． C． D． 7．已知偶函数满足，且，则的解集为 A． B． C． D． 8．定义在R上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( ) A． B． C． D． 9．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式 的解集为（） A． B． C． D． 10．定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若 ，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（） A． e2017f(－2017) 导 数 测 试 题 (考试时间120分钟； 满分：150分) 第Ⅰ卷（共90分） 注意事项：本卷共17道题 一.选择题（共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中， 1.2 x y =在1=x 处的导数为（ ） A. x 2 B.2x ?+ C.2 D.1 2.下列求导数运算正确的是（ ） A. 2 ' 11)1(x x x + =+ B. = ' 2 )(log x 2 ln 1x C. e x x 3 ' log 3)3(= D. x x x x sin 2)cos (' 2 -= 3.)(x f 与)(x g 是定义在R 上的两个可导函数，若) (x f ,)(x g 满足) ()(' ' x g x f =, 则 ) (x f 与)(x g 满足（ ） A. )(x f =)(x g B. )(x f －)(x g 为常数函数 C. ) (x f =)(x g =0 D. ) (x f +)(x g 为常数函数 4.函数x x y sin =的导数为（ ） A.2 'sin cos x x x x y += B.2 'sin cos x x x x y -= C.2 ' cos sin x x x x y -= D.2 ' cos sin x x x x y += 5.若 ) (x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且) ,(b a x ∈ 时，) (' x f >0,又 ) (a f <0, 则（ ） A. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f >0 B. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f <0 C. )(x f 在],[b a 上单调递减，且)(b f <0 D. ) (x f 在],[b a 上单调递增，但 )(b f 的符号无法判断 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而 构造函数解决高考导数问题 1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数a ax x e x f x +--=)12()(，其中1 6.（2016?课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 7.（2017·天津文）（本小题满分14分） 设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知函数()y g x =和x y e =的图像在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0； （ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 8.（2016·江苏）（本小题满分16分）已知函数f （x ）=a x +b x （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）． （1）设a =2，b =1 2 ． ①求方程f （x ）=2的根； ②若对于任意x ∈R ，不等式f （2x ）≥mf （x ）－6恒成立，求实数m 的最大值； （2）若0＜a ＜1，b ＞1，函数g （x ）=f （x ）－2有且只有1个零点，求ab 的值． 基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案） 选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于() A．1B．2 C. 3 D. 4 答案］D 解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)' =2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1, y‘ =1= 4. 2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=() A. x4 B. x4— 2 C. 4x3—5 D. x4+ 2 答案］B 解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1 ? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2. 3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是() A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn—1 D.n+1n 答案］A 解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1, /. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x, 即f(n) = n2+n=n(n+ 1), 二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为： Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1) =1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1 =1 —1n+ 1= nn+ 1, 故选 A. 4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第 一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案］C 解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C. 5 .函数y = (2 + x3)2的导数为() A. 6x5+ 12x2 B. 4+ 2x3 C. 2(2+ x3)2 D. 2(2+ x3)?3x 答案］A 解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6, /. y = 6x5 + 12x2. 导数综合练习题 1．设函数x x f ln )(=的导函数为)(x f '，则函数) (1 )()(x f x f x g '+ '=的值域为（ ） （A ）]2,(--∞ （B ）),2[+∞ （C ）),2[]2,(+∞?--∞ （D ）[-2，+2] 2．已知x x f 1)(=，则x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 的值是（ ） （A ） 21x （B ）x （C ）x - （D ）2 1 x - 3．设),()(,),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n ' ='='==+ 其中N n ∈，则)(2009x f 等于（ ） （A ）x sin （B ）x sin - （C ）x cos （D ）x cos - 4．已知函数)1()(2 +++=a ax x e x f x 没有极值点，则a 的取值范围是（ ） （A ）40<a 或0则()y f x = ( ) A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1 (,1),(1,)e e 内均无零点。 C 在区间1 (,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1 (,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。 10.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3 :103C y x x =-+上，且在第二象 限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 11.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 12.若曲线()2 f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 13.(2009陕西卷理)设曲线1 *()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x , 令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为 14.（2009宁夏海南卷文）曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 15.已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点 利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2- 令0)(='x f ，得1±=x ． 当1- 《构造函数解决导数问题》专练 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则 ()24f x x >+的解集为（ ）． A ．R B ．(),1-∞- C ．()1,1- D ．()1,-+∞ 2．设函数()f x 是定义在()0-∞， 上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有22()()f x x f x x '+?>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +?+-?->的解集为 （ ） A ．(2023)-∞-， B ．()2-∞-， C ．(20)-， D ．(20220)-， 3．设()f x 是定义在(,0) (0,)ππ-的奇函数，其导函数为()'f x ，当(0,)x π∈时， ()sin ()cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2()sin 6 f x f x π <的解集为 （ ） A ．(,0)(0,)66 π π - ? B ．(,0)(,)66 π π π- C ．(,)(,)66 π π ππ-- ? D ．()(0,)66 π π π-- ， 4．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()f x f x '>，(2)1008f =，则不等式2 1 e ( 1) 1008e 0x f x ++->的解集为（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞ 5．已知()f x 是定义在()(),00,-∞?+∞上的奇函数，且0x >时 ()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（ ） A ．() (),11,-∞-+∞ B ．()()1,00,1- C ．()()1,01,-?+∞ D ．()(),10,1-∞-? 6．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<， ()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集 为（ ） 导数练习题（B ） 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间 （1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值．构造函数解导数综合题
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